内蒙古开来中学2022-2023学年高三第二次诊断性检测数学试卷含解析.doc

2023年高考数学模拟试卷注意事项1考生要认真填写考场号和座位序号。2试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知函数，若,且 ，则的取值范围为（ ）ABCD2我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的周髀算经、九章算术、海岛算经、孙子算经、缉古算经，有丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（ ）ABCD3一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ） ABCD4已知函数，则（ ）A2B3C4D55已知向量，若，则与夹角的余弦值为（ ）ABCD6中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题；“三百七十八里关，初行健步不为难，次后脚痛递减半，六朝才得到其关，要见每朝行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走了378里路，第一天健步走行，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地，求该人每天走的路程.”由这个描述请算出这人第四天走的路程为（ ）A6里B12里C24里D48里7设抛物线的焦点为F,抛物线C与圆交于M,N两点,若,则的面积为( )ABCD8已知，则的大小关系为（ ）ABCD9定义在R上的函数，若在区间上为增函数，且存在，使得.则下列不等式不一定成立的是（ ）ABCD10函数，的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）ABCD11已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）ABCD12设是虚数单位，复数（）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知，若，则a的取值范围是_14若且时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为_15若函数恒成立,则实数的取值范围是_.16在中，已知，是边的垂直平分线上的一点，则_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数，（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围18（12分）已知数列满足，其前n项和为.（1）通过计算，猜想并证明数列的通项公式；（2）设数列满足，若数列是单调递减数列，求常数t的取值范围.19（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的右准线方程为x2，且两焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形（1）求椭圆C的方程；（2）假设直线l：与椭圆C交于A，B两点若A为椭圆的上顶点，M为线段AB中点，连接OM并延长交椭圆C于N，并且，求OB的长；若原点O到直线l的距离为1，并且，当时，求OAB的面积S的范围20（12分）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数）和曲线（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求直线和曲线的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知点是射线与直线的公共点，点是与曲线的公共点，求的最大值21（12分）已知.（1）求的单调区间；（2）当时，求证：对于，恒成立；（3）若存在，使得当时，恒有成立，试求的取值范围.22（10分）在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情，在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线，如图，在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为（），M为该曲线上的任意一点.（1）当时，求M点的极坐标；（2）将射线OM绕原点O逆时针旋转与该曲线相交于点N，求的最大值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】分析：作出函数的图象，利用消元法转化为关于的函数，构造函数求得函数的导数，利用导数研究函数的单调性与最值，即可得到结论.详解：作出函数的图象，如图所示，若，且，则当时，得，即，则满足，则，即，则，设，则，当，解得，当，解得，当时，函数取得最小值，当时，；当时，所以，即的取值范围是，故选A.点睛：本题主要考查了分段函数的应用，构造新函数，求解新函数的导数，利用导数研究新函数的单调性和最值是解答本题的关键，着重考查了转化与化归的数学思想方法，以及分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题.2、D【解析】利用列举法，从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件有10种情况，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有9种情况，由古典概型概率公式可得结果.【详解】周髀算经、九章算术、海岛算经、孙子算经、缉古算经，这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期记这5部专著分别为，其中产生于汉、魏、晋、南北朝时期从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件有共10种情况，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有，共9种情况，所以所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为故选D【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，. ，再，.依次. 这样才能避免多写、漏写现象的发生.3、B【解析】还原几何体可知原几何体为半个圆柱和一个四棱锥组成的组合体，分别求解两个部分的体积，加和得到结果.【详解】由三视图还原可知，原几何体下半部分为半个圆柱，上半部分为一个四棱锥半个圆柱体积为：四棱锥体积为：原几何体体积为：本题正确选项：【点睛】本题考查三视图的还原、组合体体积的求解问题，关键在于能够准确还原几何体，从而分别求解各部分的体积.4、A【解析】根据分段函数直接计算得到答案.【详解】因为所以.故选：.【点睛】本题考查了分段函数计算，意在考查学生的计算能力.5、B【解析】直接利用向量的坐标运算得到向量的坐标，利用求得参数m，再用计算即可.【详解】依题意， 而， 即， 解得， 则.故选：B.【点睛】本题考查向量的坐标运算、向量数量积的应用，考查运算求解能力以及化归与转化思想.6、C【解析】设第一天走里，则是以为首项，以为公比的等比数列，由题意得，求出（里，由此能求出该人第四天走的路程【详解】设第一天走里，则是以为首项，以为公比的等比数列，由题意得：，解得（里，（里故选：C【点睛】本题考查等比数列的某一项的求法，考查等比数列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题7、B【解析】由圆过原点，知中有一点与原点重合，作出图形，由，得，从而直线倾斜角为，写出点坐标，代入抛物线方程求出参数，可得点坐标，从而得三角形面积【详解】由题意圆过原点，所以原点是圆与抛物线的一个交点，不妨设为，如图，由于，点坐标为，代入抛物线方程得，故选：B.【点睛】本题考查抛物线与圆相交问题，解题关键是发现原点是其中一个交点，从而是等腰直角三角形，于是可得点坐标，问题可解，如果仅从方程组角度研究两曲线交点，恐怕难度会大大增加，甚至没法求解8、A【解析】根据指数函数的单调性，可得，再利用对数函数的单调性，将与对比，即可求出结论.【详解】由题知，则.故选:A.【点睛】本题考查利用函数性质比较大小，注意与特殊数的对比，属于基础题.9、D【解析】根据题意判断出函数的单调性，从而根据单调性对选项逐个判断即可【详解】由条件可得函数关于直线对称；在，上单调递增，且在时使得；又，所以选项成立；，比离对称轴远，可得，选项成立；，可知比离对称轴远，选项成立；，符号不定，无法比较大小，不一定成立故选：【点睛】本题考查了函数的基本性质及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10、A【解析】根据图像的最值求出，由周期求出，可得，再代入特殊点求出，化简即得所求.【详解】由图像知，解得，因为函数过点，所以，即，解得，因为，所以，.故选：A【点睛】本题考查根据图像求正弦型函数的解析式，三角函数诱导公式，属于基础题.11、C【解析】由三视图可知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为，高为的等腰三角形，侧棱长为，利用正弦定理求出底面三角形外接圆的半径，根据三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心，求出球的半径，即可求解球的表面积.【详解】由三视图可知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为，高为的等腰三角形，侧棱长为，如图：由底面边长可知，底面三角形的顶角为，由正弦定理可得，解得， 三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心，所以，该几何体外接球的表面积为：.故选：C【点睛】本题考查了多面体的内切球与外接球问题，由三视图求几何体的表面积，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.12、D【解析】利用复数的除法运算，化简复数，即可求解，得到答案【详解】由题意，复数，故选D【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，其中解答中熟记复数的除法运算法则是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】函数等价为，由二次函数的单调性可得在R上递增，即为，可得a的不等式，解不等式即可得到所求范围【详解】，等价为，且时，递增，时，递增，且，在处函数连续，可得在R上递增，即为，可得，解得，即a的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查分段函数的单调性的判断和运用：解不等式，考查转化思想和运算能力，属于中档题14、【解析】将不等式两边同时平方进行变形，然后得到对应不等式组，对的取值进行分类，将问题转化为二次函数在区间上恒正、恒负时求参数范围，列出对应不等式组，即可求解出的取值范围.【详解】因为，所以，所以，所以，所以或，当时，对且不成立，当时，取，显然不满足，所以，所以，解得；当时，取，显然不满足，所以，所以，解得，综上可得的取值范围是：.故答案为：.【点睛】本题考查根据不等式恒成立求解参数范围，难度较难.根据不等式恒成立求解参数范围的两种常用方法：（1）分类讨论法：分析参数的临界值，对参数分类讨论；（2）参变分离法：将参数单独分离出来，再以函数的最值与参数的大小关系求解出参数范围.15、【解析】若函数恒成立，即，求导得，在三种情况下，分别讨论函数单调性，求出每种情况时的，解关于的不等式，再取并集，即得。【详解】由题意得,只要即可，当时，令解得，令，解得，单调递减，令，解得，单调递增，故在时，有最小值，若恒成立，则，解得；当时，恒成立;当时，单调递增，,不合题意,舍去.综上,实数的取值范围是.故答案为：【点睛】本题考查恒成立条件下，求参数的取值范围，是常考题型。16、【解析】作出图形，设点为线段的中点，可得出且，进而可计算出的值.【详解】设点为线段的中点，则，.故答案为：.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，涉及平面向量数量积运算律的应用，解答的关键就是选择合适的基底表示向量，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、 (1) (2) 【解析】（1）当时，当或时，所以可转化为，解得，所以不等式的解集为（2）因为，所以，所以，即，即当时，因为，所以，不符合题意当时，解可得，因为当时，不等式恒成立，所以，所以，解得，所以实数的取值范围为18、（1），证明见解析；（2）【解析】（1）首先利用赋值法求出的值，进一步利用定义求出数列的通项公式；（2）首先利用叠乘法求出数列的通项公式，进一步利用数列的单调性和基本不等式的应用求出参数的范围【详解】（1）数列满足，其前项和为所以，则，所以猜想得：证明：由于，所以，则：（常数），所以数列是首项为1，公差为的等差数列所以，整理得（2）数列满足，所以，则，所以则，所以，所以，整理得，由于，所以，即【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠乘法的应用，函数的单调性在数列中的应用，基本不等式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于中档题型19、（1）；（2）；.【解析】（1）根据椭圆的几何性质可得到a2，b2；（2）联立直线和椭圆，利用弦长公式可求得弦长AB，利用点到直线的距离公式求得原点到直线l的距离，从而可求得三角形面积，再用单调性求最值可得值域【详解】（1）因为两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形，所以，又由右准线方程为，得到，解得，所以 所以，椭圆的方程为 （2）设，而，则， ， 因为点都在椭圆上，所以，将下式两边同时乘以再减去上式，解得， 所以 由原点到直线的距离为，得，化简得： 联立直线的方程与椭圆的方程：，得设，则，且 ，所以的面积，因为在为单调减函数，并且当时，当时，所以的面积的范围为【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围20、（1），；（2）【解析】（1）先将直线l和圆C的参数方程化成普通方程，再分别求出极坐标方程；（2）写出点M和点N的极坐标，根据极径的定义分别表示出和，利用三角函数的性质求出的最大值.【详解】解：（1），即极坐标方程为，极坐标方程（2）由题可知， ，当时，.【点睛】本题考查了参数方程、普通方程和极坐标方程的互化问题，极径的定义，以及三角函数的恒等变换，属于中档题.21、（1）单调减区间为，单调增区间为；（2）详见解析；（3）.【解析】试题分析：（1）对函数求导后，利用导数和单调性的关系，可求得函数的单调区间.（2）构造函数，利用导数求得函数在上递减，且，则，故原不等式成立.（3）同（2）构造函数，对分成三类，讨论函数的单调性、极值和最值，由此求得的取值范围.试题解析：（1），当时，.解得当时，解得所以单调减区间为，单调增区间为（2）设，当时，由题意，当时，恒成立，当时，恒成立，单调递减又，当时，恒成立，即对于，恒成立（3）因为由（2）知，当时，恒成立，即对于，不存在满足条件的；当时，对于，此时，即恒成立，不存在满足条件的；当时，令，可知与符号相同，当时，单调递减当时，即恒成立综上，的取值范围为点睛：本题主要考查导数和单调区间，导数与不等式的证明，导数与恒成立问题的求解方法.第一问求函数的单调区间，这是导数问题的基本题型，也是基本功，先求定义域，然后求导，要注意通分和因式分解.二、三两问一个是恒成立问题，一个是存在性问题，要注意取值是最大值还是最小值.22、（1）点M的极坐标为或（2）【解析】（1）令，由此求得的值，进而求得点的极坐标.（2）设出两点的极坐标，利用勾股定理求得的表达式，利用三角函数最值的求法，求得的最大值.【详解】（1）设点M在极坐标系中的坐标，由，得，或，所以点M的极坐标为或（2）由题意可设，.由，得，.故时，的最大值为.【点睛】本小题主要考查极坐标的求法，考查极坐标下两点间距离的计算以及距离最值的求法，属于中档题.