高中数学第一章计数原理12排列与组合1211ppt课件新人教A版选修.ppt

1.2排列与组合1.2.1排列第1课时排列的概念及简单排列问题主主题题排列的概念排列的概念问题问题1 1从甲、乙、丙从甲、乙、丙3 3名演名演员员中中选选出出2 2名参加一名参加一项项活活动动,其中其中1 1名演名演员员参加上午的活参加上午的活动动,另另1 1名演名演员员参加下午的活参加下午的活动动,有多少种不同的安排方法有多少种不同的安排方法?(1)(1)该问题该问题能用分步乘法能用分步乘法计计数原理求解数原理求解吗吗?提示提示:能能,分两步分两步.第第1 1步步,确定参加上午活确定参加上午活动的演的演员,有有3 3种种;第第2 2步步,确定参加下午活确定参加下午活动的演的演员,有有2 2种种.所以共有所以共有3 32=62=6种种.(2)(2)如果把上午甲下午乙表示如果把上午甲下午乙表示为为“甲乙甲乙”,你能列你能列举举出所有出所有的不同的安排方法的不同的安排方法吗吗?提示提示:问题问题2 2从从1,2,31,2,3这这3 3个数字中个数字中,每次取出每次取出3 3个排成一个三个排成一个三位数位数,共可得到多少个不同的三位数共可得到多少个不同的三位数?(1)(1)你能列出所有的三位数你能列出所有的三位数吗吗?提示提示:如如图所示所示:所有的三位数有所有的三位数有:123,132,213,231,312,321.(2)(2)该问题该问题用分步乘法用分步乘法计计数原理如何求解数原理如何求解?提示提示:分分3步步,第第1步步,确定百位确定百位,有有3种方法种方法;第第2步步,确定十位确定十位,有有2种方法种方法;第第3步步,确定个位确定个位,有有1种方法种方法.共有共有32=6个个.结论结论:排列的概念排列的概念:一般地一般地,从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mnm(mn)个元素个元素,按照按照一定的一定的_排成一列排成一列,叫做从叫做从_个不同元素中取出个不同元素中取出_个个元素的一个元素的一个_._.顺顺序序n nm m排列排列【微思考微思考】1.1.排列的定排列的定义义包含哪两包含哪两项项基本内容基本内容?提示提示:一是一是“从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m个元素个元素”,二是二是“按照一定的按照一定的顺序序”.2.2.元素相同的两个排列是否相同元素相同的两个排列是否相同?两个排列相同的充要两个排列相同的充要条件是什么条件是什么?提示提示:元素相同的两个排列不一定相同元素相同的两个排列不一定相同.两个排列相同两个排列相同的充要条件是元素完全相同的充要条件是元素完全相同,且元素的排列且元素的排列顺序也相同序也相同.【预习预习自自测测】1.1.从从1,2,3,41,2,3,4这这4 4个数字中个数字中,每次取出每次取出2 2个排成一个两位个排成一个两位数数,可以得到多少个不同的两位数可以得到多少个不同的两位数()A.12A.12B.24B.24C.8C.8D.16D.16【解析解析】选A.树形形图如如图.故共有故共有12个不同的两位数个不同的两位数.2.2.下列下列问题问题中中:(1)10(1)10本不同的本不同的书书分分给给1010名同学名同学,每人一本每人一本.(2)10(2)10位同学每两位通一次位同学每两位通一次电话电话.(3)10(3)10位同学互通一封信位同学互通一封信.(4)10(4)10个没有任何三点共个没有任何三点共线线的点构成的的点构成的线线段段.属于排列的有属于排列的有()A.1A.1个个B.2B.2个个C.3C.3个个D.4D.4个个【解析解析】选B.B.根据排列的概念可知根据排列的概念可知(1)(3)(1)(3)属于排列属于排列问题.3.3.从从5 5本不同的本不同的书书中中选选2 2本送本送给给2 2个同学每人一本个同学每人一本,共有共有给给法种数是法种数是()A.5A.5B.10B.10C.20C.20D.60D.60【解析解析】选C.C.分两步分两步,第第1 1步步,选1 1本本给其中一个同学有其中一个同学有5 5种方法种方法,第第2 2步步,从余下从余下4 4本中本中选1 1本本给另一同学有另一同学有4 4种方种方法法,共有共有5 54=204=20种种.4.4.从从5 5个人中个人中选选取取2 2个人去完成某个人去完成某项项工作工作,这这_排排列列问题问题.(.(填填“是是”或或“不是不是”)【解析解析】甲和乙去甲和乙去,与乙和甲去完成与乙和甲去完成这项工作是同一种工作是同一种选法法.答案答案:不是不是5.5.从从5 5名教名教师师中中选选派两人到两个中学去支教派两人到两个中学去支教,问问有多少有多少种不同的种不同的选选派方法派方法?(?(仿照教材仿照教材P14P14问题问题1 1的解析的解析过过程程)【解析解析】记5 5名教名教师为a,b,c,d,ea,b,c,d,e,从中取从中取2 2个个,不同的排不同的排法代表不同的法代表不同的选派方法派方法,故排法共有故排法共有:ab,ac,ad,ae,bcab,ac,ad,ae,bc,bd,bebd,be,cd,ce,de,ba,ca,da,ea,cb,db,eb,dc,ec,edcd,ce,de,ba,ca,da,ea,cb,db,eb,dc,ec,ed,共共2020种种.类类型一排列的概念型一排列的概念【典例典例1 1】判断下列判断下列问题问题是否是排列是否是排列问题问题(1)(1)从从1 1到到1010十个自然数中任取两个数十个自然数中任取两个数组组成直角坐成直角坐标标平平面内的点的坐面内的点的坐标标,可得多少个不同的点的坐可得多少个不同的点的坐标标?(2)(2)从从2020名同学中任抽两名同学去学校开座名同学中任抽两名同学去学校开座谈谈会会,有多有多少种不同的抽取方法少种不同的抽取方法?(3)(3)某商某商场场有四个大有四个大门门,若从一个若从一个门进门进去去,购买购买物品后再物品后再从另一个从另一个门门出来出来,不同的出入方式共有多少种不同的出入方式共有多少种?【解解题题指南指南】判断是否判断是否为为排列排列问题问题的关的关键键:一是一是选选出的出的元素互不相同元素互不相同,二是二是选选出的元素在安排出的元素在安排时时,是否与是否与顺顺序序有关有关,若与若与顺顺序有关就是排列序有关就是排列问题问题,否否则则不是排列不是排列问题问题.【解析解析】(1)由于取出的两数由于取出的两数组成点的坐成点的坐标与哪一数作与哪一数作横坐横坐标,哪一数作哪一数作纵坐坐标的的顺序有关序有关,所以所以这是一个排列是一个排列问题.(2)因因为任何一种从任何一种从20名同学抽取两人去学校开座名同学抽取两人去学校开座谈会会的方式不用考的方式不用考虑两人的两人的顺序序,所以所以这不是排列不是排列问题.(3)因因为从一从一门进,从另一从另一门出是有出是有顺序的序的,所以是排列所以是排列问题.所以所以(1)(3)是排列是排列问题,(2)不是排列不是排列问题.【方法方法总结总结】判断一个具体判断一个具体问题问题是否是否为为排列排列问题问题的方的方法法确确认认一个具体一个具体问题问题是否是否为为排列排列问题问题,一般从两个方面确一般从两个方面确认认.(1)(1)要保要保证证元素的无重复性元素的无重复性,否否则则不是排列不是排列问题问题.(2)(2)要保要保证选证选出的元素被安排的有序性出的元素被安排的有序性,否否则则不是排列不是排列问题问题,而而检验检验它是否有它是否有顺顺序的序的标标准是准是变换变换某一某一结结果中两果中两元素的位置元素的位置,看看结结果是否果是否变变化化,有有变变化就是有化就是有顺顺序序,无无变变化就是无化就是无顺顺序序.【巩固巩固训练训练】下列下列问题问题是排列是排列问题吗问题吗?说说明你的理由明你的理由.(1)(1)从从1,2,31,2,3三个数字中三个数字中,任任选选两个做加法两个做加法,其其结结果有多果有多少种不同的可能少种不同的可能?(2)(2)从从1,2,31,2,3三三个数字中个数字中,任任选选两个做除法两个做除法,其其结结果有多果有多少种不同的可能少种不同的可能?(3)(3)会会场场有有5050个座位个座位,要求要求选选出出3 3个座位有多少种方法个座位有多少种方法?若若选选出出3 3个座位安排个座位安排3 3个客人个客人,又有多少种方法又有多少种方法?(4)(4)从集合从集合M=1,2,M=1,2,9,9中中,任取相异的两个元素作任取相异的两个元素作为为a,ba,b,可以得到多少个焦点在可以得到多少个焦点在x x轴轴上的上的椭圆椭圆 =1?=1?【解析解析】(1)不是不是.如如1+2与与2+1的的结果是一果是一样的的,即取出即取出的的这两个元素相加两个元素相加结果一果一样,所取元素没有所取元素没有顺序性序性.(2)是是.从从1,2,3,5四个数字中四个数字中,任任选两个做除法两个做除法,有有顺序序,符符合排列特点合排列特点.(3)第一第一问不是不是,第二第二问是是.选座位与座位与顺序无关序无关,“入入座座”问题,与与顺序有关序有关,故故选3个座位安排三位客人是排个座位安排三位客人是排列列问题.(4)不是不是.若方程若方程表示焦点在表示焦点在x轴上的上的椭圆,则必必有有ab,a,b的大小一定的大小一定,因此因此这不是排列不是排列问题.【补偿训练补偿训练】(2017(2017大大连连高二高二检测检测)(1)(1)在各国在各国举举行的行的足球足球联赛联赛中中,一般采取一般采取“主客主客场场制制”(即每两个球即每两个球队队之之间间分分别别作作为为主主队队和客和客队队各各赛赛一一场场).).若共有若共有1212支球支球队队参参赛赛,问问共需共需进进行多少行多少场场比比赛赛?(2)(2)在在“世界杯世界杯”足球足球赛赛中中,由于由由于由东东道主国家承道主国家承办办,故无故无法法实实行行“主客主客场场制制”,而采用而采用“分分组组循循环环淘汰制淘汰制”.若共有若共有3232支球支球队队参加参加,分分为为八八组组,每每组组4 4支球支球队进队进行小行小组组循循环环,问问在小在小组组循循环环中共需中共需进进行多少行多少场场比比赛赛?(3)(3)在在乒乓乒乓球球单单打比打比赛赛中中,由于参由于参赛选赛选手手较较多多,故常采取故常采取“抽抽签组对签组对淘汰制淘汰制”决出冠决出冠军军.若共有若共有100100名名选选手参手参赛赛,待待冠冠军产军产生生时时,共需共需举举行多少行多少场场比比赛赛?在上述三个在上述三个问题问题中中,是排列是排列问题问题的是的是_._.【解析解析】对于于(1),由于甲、乙两由于甲、乙两队比比赛,甲作甲作为主主队和乙和乙作作为主主队是两是两场不同的比不同的比赛,故与故与顺序有关序有关,是排列是排列问题;对于于(2),由于是由于是组内循内循环,故甲、乙两故甲、乙两队之之间只需只需进行一行一场比比赛,与与顺序无关序无关,不是排列不是排列问题;对于于(3),由于两名由于两名选手一旦比手一旦比赛后就淘汰其中一位后就淘汰其中一位,故也故也与与顺序无关序无关,不是排列不是排列问题.答案答案:(1)类类型二写出型二写出简单简单排列排列问题问题的所有排列的所有排列【典例典例2 2】北京、上海、广州三个民航站之北京、上海、广州三个民航站之间间的直达航的直达航线线,需要准需要准备备多少种不同的多少种不同的飞飞机票机票?【解解题指南指南】借助借助树形形图列列举出排列的所有情况出排列的所有情况.【解析解析】需要准需要准备如下如下6 6种不同的种不同的飞机票机票:【方法方法总结总结】“树树形形图图”法写出排列的步法写出排列的步骤骤(1)(1)确定分确定分类类的的标标准准.(2)(2)按要求写出每按要求写出每类类中的首个元素中的首个元素.(3)(3)依次依次进进行行罗罗列列.【巩固巩固训练训练】有有5 5个不同的科研小个不同的科研小课题课题,从中从中选选3 3个由高个由高二二(6)(6)班的班的3 3个学个学习兴习兴趣小趣小组进组进行研究行研究,每每组组一个一个课题课题,共有多少种不同的安排方法共有多少种不同的安排方法?【解析解析】记这5 5个不同的科研小个不同的科研小课题为a,b,c,d,ea,b,c,d,e,从中从中选3 3个分个分给3 3个小个小组,列出列出树形形图如如图.故共有故共有60种不同的安排方法种不同的安排方法.【补偿训练补偿训练】A A、B B、C C、D D四名同学排成一行照相四名同学排成一行照相,要求要求自左向右自左向右,A,A不排第一不排第一,B,B不排第四不排第四,试试写出所有排列方法写出所有排列方法.【解析解析】因因为A A不排第一不排第一,排第一位的情况有排第一位的情况有3 3类(可从可从B B、C C、D D中任中任选一人排一人排),),而此而此时兼兼顾分析分析B B的排法的排法,列列树形形图如如图.符合符合题意的所有排列是意的所有排列是:BADC,BACD,BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CBAD,CBDA,CDBA,DABC,DBAC,DBCA,DCBA.共共14种不同的排法种不同的排法.类类型三有限制条件的排列型三有限制条件的排列问题问题【典例典例3 3】由由0,1,2,30,1,2,3四个数字共能四个数字共能组组成多少个没有重成多少个没有重复数字的四位数复数字的四位数?试试全部列出全部列出.【解解题题指南指南】可借助于可借助于树树形形图图列列举举出排列的所有情况出排列的所有情况,注意首位不能是注意首位不能是0.0.【解析解析】画出画出树形形图如下如下:由由树形形图可知可知,所有四位数所有四位数为:1023,1032,1203,1230,1302,1320,2013,2031,2103,2130,2301,2310,3012,3021,3102,3120,3201,3210.共有共有18个个.【延伸探究延伸探究】1.1.问问能能组组成多少个没有重复数字的四位偶数成多少个没有重复数字的四位偶数?【解析解析】画出画出树形形图如下如下:第第1类0在个位在个位:第第2类2在个位在个位:所以所有四位偶数所以所有四位偶数为:1230,1320,3210,3120,2130,2310,1302,1032,3102,3012.共有共有10个个.2.2.问问能能组组成多少个四位偶数成多少个四位偶数(数字可以重复数字可以重复)?)?【解析解析】所有的偶数可分所有的偶数可分为两两类:第第1类,个位数个位数为0,可分可分为3步步:第第1步步,排千位有排千位有3种方法种方法;第第2步步,排百位有排百位有4种方法种方法;第第3步步,排十位有排十位有4种方法种方法.共有共有344=48种方法种方法.第第2类,个位数个位数为2,可分可分为3步步:第第1步步,排千位排千位,从从1,2,3中中选有有3种方法种方法;第第2步步,排百位排百位,从从0,1,2,3中中选有有4种方法种方法;第第3步步,排十位排十位,从从0,1,2,3中中选有有4种方法种方法.共有共有344=48种方法种方法.故共有故共有48+48=96个个.【方法方法总结总结】用用树树形形图图法解有限制条件法解有限制条件问题问题的策略的策略(1)(1)有限制条件的排列有限制条件的排列问题问题一般表一般表现为现为:某些元素不能某些元素不能在某个在某个(或某些或某些)位置、某个位置、某个(或某些或某些)位置只能放某些位置只能放某些元素元素.(2)(2)解有限制条件的排列解有限制条件的排列问题时问题时,要要优优先先处处理特殊元素理特殊元素或先或先处处理特殊位置理特殊位置,做到做到“想透、排想透、排够够、不重不漏、不重不漏”.(3)(3)根据根据题题意合理构造意合理构造树树形形图图,再根据再根据树树形形图图写出所求写出所求内容内容.【补偿训练补偿训练】A,B,C,DA,B,C,D四名同学重新四名同学重新换换位位(每个同学都每个同学都不能坐其原来的位子不能坐其原来的位子),),试试列出所有可能的列出所有可能的换换位方法位方法.【解解题指南指南】本本题是一个有限制条件的排列是一个有限制条件的排列问题;假假设A,B,C,D四名同学原位子分四名同学原位子分别为1,2,3,4号号,则有如下限有如下限制条件制条件:座位号座位号座位号座位号1 12 23 34 4不坐不坐不坐不坐A AB BC CD D解答本解答本题可以按位置排法的可能性分可以按位置排法的可能性分类,列列树形形图解决解决【解析解析】假假设A,B,C,D四名同学原来的位子分四名同学原来的位子分别为1,2,3,4号号,列出列出树形形图如下如下:位置位置编号号换位后位后,原来原来1,2,3,4号座位上坐的同学的所有可能排法号座位上坐的同学的所有可能排法有有:BADC,BCDA,BDAC,CADB,CDAB,CDBA,DABC,DCAB,DCBA,共共9种种.【课课堂小堂小结结】1.1.知知识总结识总结2.2.方法方法总结总结树树形形图图法法将第一、二将第一、二元素依次作元素依次作为树为树干、干、树树枝枝从而写从而写出所有排列的方法出所有排列的方法.