中考数学高频考点专题训练--圆的综合题.docx

中考数学高频考点专题训练-圆的综合题一、综合题1如图，A，B，C，D四点共圆，过点C的切线CEBD，与AB的延长线交于点E（1）求证：BAC=CAD；（2）如图，若AB为O的直径，AD=6，AB=10，求CE的长；（3）在（2）的条件下，连接BC，求 CBAC 的值2一个玻璃球体近似半圆O，AB为直径，半圆O上点C处有个吊灯EF，EF/AB，COAB，EF的中点为D，OA=4.（1）如图，CM为一条拉线，M在OB上，OM=1.6，DF=0.8，求CD的长度（2）如图，一个玻璃镜与圆O相切，H为切点，M为OB上一点，MH为入射光线，NH为反射光线，OHM=OHN=45°，tanCOH=34，求ON的长度（3）如图，M是线段OB上的动点，MH为入射光线，HOM=50°，HN为反射光线交圆O于点N，在M从O运动到B的过程中，求N点的运动路径长3如图1，RtABC内接于O，ACB=90°，点M为AB中点，点D在弧 BC 上，连接CD，BD，点G是CD的中点，连结MG（1）求证：MGCD；（2）如图2，若AC=BC，AD平分BAC，AD与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，求证：CF=CE；（3）在（2）的条件下，若OGDE=3（2 2 ），求O的面积4如图，在平面直角坐标系中，直线y2x+4与坐标轴交于A，B两点，动点C在x轴正半轴上，D为AOC的外接圆，射线OD与直线AB交于点E.（1）如图，若OEDE，求 SAOESACE 的值； （2）如图，当ABC2ACB时，求OC的长； （3）点C由原点向x轴正半轴运动过程中，设OC的长为a，用含a的代数式表示点E的横坐标xE；若xEBC，求a的值.5在平面直角坐标系 xOy 中，给出如下定义：若点 P 在图形 M 上，点 Q 在图形 N 上，如果 PQ 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形 M,N 的“近距离”，记为 d(M,N) .特别地，当图形 M 与图形 N 有公共点时， d(M,N)=0 . 已知 A(4,0) ， B(0,4) ， C(2,0) ，（1）d( 点 A ，点 B) = ， d( 点 A ，线段 BC) = ； （2） O 半径为 r ， 当 r=1 时，求 O 与线段 AB 的“近距离” d( O ，线段 AB) ；若 d( O ， ABC) =1 ，则 r= .（3）D 为 x 轴上一点， D 的半径为1，点 B 关于 x 轴的对称点为点 B' ， D 与 BAB' 的“近距离” d( D ， BAB')<1 ，请直接写出圆心 D 的横坐标 m 的取值范围. 6如图，正六边形ABCDEF中，点M在AB边上，FMH=120°，MH与六边形外角的平分线BQ交于点H（1）当点M不与点A、B重合时，求证：AFM=BMH（2）当点M在正六边形ABCDEF一边AB上运动（点M不与点B重合）时，猜想FM与MH的数量关系，并对猜想的结果加以证明7如图，AB是半圆O的直径，C为半圆O上的点（不与A，B重合），连接AC，BAC的角平分线交半圆O于点D，过点D作AC的垂线，垂足为E，连接BE交AD于点F.（1）求证：DE是半圆O的切线；（2）若AE = 6，半圆O的半径为4，求DF的长.8等腰直角ACB中，C90°，点D为CB延长线上一点，连接AD，以AD为斜边构造直角AED（点E与点C在直线AD的异侧）.（1）如图1，若EAD30°，AE302，BD2，求AC的长；（2）如图2，若AEDE，连接BE，猜想线段BE与线段AD之间的数量关系并证明；（3）如图3，若AC4，tanBAD13，连接CE，取CE的中点P，连接DP，当线段DP最短时，直接写出此时PDE的面积.9如图，点C在以AB为直径的O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D（1）求证：AC平分DAB； （2）求证：AC2=ADAB； （3）若AD= 35 ，sinB= 45 ，求线段BC的长 10如图，以AB为直径作半圆O，点C是半圆上一点，ABC的平分线交O于E，D为BE延长线上一点，且DAEFAE.（1）求证：AD为O切线； （2）若sinBAC 35 ，求tanAFO的值. 11如图1，I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交I于P、Q两点（Q在P、H之间）.我们把点Q称为I关于直线a的“近点”，点P称为I关于直线a的“远点”把PQ·QH的值称为I关于直线a的“特征数”.（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，3）.半径为1的O与两坐标轴交于点A、B、C、D.过点E画垂直于y轴的直线m，则O关于直线m的“近点”“远点”分别是点 和 （填“A”、“B”、“C”或“D”），O关于直线m的“特征数”为 ；若直线n的函数表达式为 y=3x+3 .求O关于直线n的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（1，2），点F是坐标平面内一点，以F为圆心， 52 为半径作F.若F与直线l相离，点N（ 1 ，0）是F关于直线l的“近点”.且F关于直线l的“特征数”是6，求直线l的函数表达式. 12阅读以下材料，并按要求完成相应地任务：莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则 OI2=R22Rr . 如图1，O和I分别是ABC的外接圆和内切圆，I与AB相切分于点F，设O的半径为R，I的半径为r，外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OId，则有d2R22Rr下面是该定理的证明过程（部分）：延长AI交O于点D，过点I作O的直径MN，连接DM，AN.D=N，DMI=NAI(同弧所对的圆周角相等)，MDIANI，IMIA=IDIN ，IAID=IMIN，如图2，在图1(隐去MD，AN)的基础上作O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF，DE是O的直径，DBE=90°，I与AB相切于点F，AFI=90°，DBE=IFA，BAD=E(同弧所对圆周角相等)，AIFEDB，IADE=IFBD ，IABD=DEIF，任务：（1）观察发现： IM=R+d ， IN= (用含R，d的代数式表示)； （2）请判断BD和ID的数量关系，并说明理由； （3）请观察式子和式子，并利用任务(1)，(2)的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分； （4）应用：若ABC的外接圆的半径为5cm，内切圆的半径为2cm，则ABC的外心与内心之间的距离为 cm. 13下面是小明同学设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图的过程.已知：如图1， O 和 O 外的一点 P .求作：过点 P 作 O 的切线.作法：如图2，连接 OP ；作线段 OP 的垂直平分线 MN ，直线 MN 交 OP 于 C ；以点 C 为圆心， CO 为半径作圆，交 O 于点 A 和 B ；作直线 PA 和 PB .则 PA ， PB 就是所求作的 O 的切线.根据上述作图过程，回答问题：（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形； （2）完成下面的证明：证明：连接 OA ， OB ，由作图可知 OP 是 C 的直径，OAP=OBP=90° （）（填依据），OAPA ， OBPB ，又OA 和 OB 是 O 的半径，PA ， PB 就是 O 的切线（）（填依据）.14如图，已知点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作O，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线（1）求点C的坐标及抛物线的解析式；（2）点E是AC延长线上一点，BCE的平分线CD交O于点D，求点D的坐标；并直接写出直线BC、直线BD的解析式；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得PDB=CBD，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由15在平面直角坐标系 xOy 中，已知线段 AB 和点 P ，给出如下定义：若 PA=PB 且点 P 不在线段 AB 上，则称点 P 是线段 AB 的等腰顶点特别地，当 APB90° 时，则称点 P 是线段 AB 的非锐角等腰顶点 （1）已知点 A(2，0) ， B(4，2) 在点 C(4，0) ， D(3，1) ， E(1，5) ， F(0，5) 中，是线段 AB 的等腰顶点的是 ；若点 P 在直线 y=kx+3(k0) 上，且点 P 是线段 AB 的非锐角等腰顶点，求 k 的取值范围；（2）直线 y=33x+3 与 x 轴交于点 M ，与 y 轴交于点 N P的圆心为 P(0，t) ，半径为 3 ，若P上存在线段 MN 的等腰顶点，请直接写出 t 的取值范围 16如图，AB是O的直径，点E是劣弧BD上一点，PAD=AED，且DE=2，AE平分BAD，AE与BD交于点F （1）求证：PA是O的切线；（2）若tanDAE=22，求EF的长；（3）延长DE，AB交于点C，若OB=BC，求O的半径答案解析部分1【答案】（1）证明：连结OC，如图，CE为切线，OCCE，CEBD，OCBD，CD=CB ，BAC=CAD；（2）解：如图，连结OC交BD于F， 由（1）得OCBD，则BF=DF，AB为直径，D=90°，BD= AB2AD2=10262 =8，BF= 12 BD=4，在RtOBE中，OF= OB2BE2 =3，BFCE，OBFOCE，BFCE=OFOC ，即 4CE=35 ，CE= 203 ；（3）解：OF=3，OC=5，CF=53=2，CD=CB ，CDB=CAB，tanCBF= CFBF=24 = 12 ，tanCAB=tanCBF= 12 ，tanCAB= BCAC ，BCAC = 12 2【答案】（1）解：DF=0.8，OM=1.6，DFOBDF为COM的中位线D为CO的中点CO=AO=4CD=2（2）解：过N点作NDOH，交OH于点D，OHN=45°，NHD为等腰直角三角形，即ND=DH，又tanCOH=34，tanNOD=34，tanNOD=NDOD=34，ND：OD=3：4，设ND=3x=DH，则OD=4x，OD+DH=OH，3x+4x=4，解得x=47，ND=127，OD=167，在RtNOD中，ON=ND2+OD2=(127)2+(167)2=207；（3）解：如图，当点M与点O重合时，点N也与点O重合 当点M运动至点A时，点N运动至点T，故点N路径长为：OB+ lBTNHO=MHO，THO=MHO，HOM=50°OHA=OAH=65°THO=65°，TOH=50°BOT=80°，lBT=2×4×80°360°=169，N点的运动路径长为：OB+ lBT=4+169，故答案为：4+1693【答案】（1）证明：如图1中，ACB=90°，AB是O的直径，点M与O重合，ADB=90°，OA=OB，CO= 12 AB，OD= 12 AB，CO=OD，CG=GD，CGCD，即MGCD.（2）证明：如图2中，在ACE和BCF中，CAE=CBEAC=BCACE=BCF ，ACEBCF，CE=CF（3）解：过点O作OHBD于H，则BH=DH，则OH= 12 AD，即AD=2OH，又CAD=BAD，CD=BD，OH=OG，DBE=DAC=BAD，RtBDERtADB，BD：AD=DE：BD，BD2=ADDE=2OHDE=2OGDE=6（2 2 ），AB是O的直径，ACB=90°，ADBF，而AD平分BAC，AB=AF，BD=FD，BF=2BD，BF2=4BD2=24（2 2 ），设AC=x，则BC=x，AB= 2 x，AF= 2 x，CF=AFAC= 2 xx=（ 2 1）x，在RtBCF中，CF2+BC2=BF2， 2 1）x2+x2=24（2 2 ），x2=12，解得x=2 3 或x=2 3 （舍去），AB= 2 x=2 6 ，OA= 6 ，O面积=（ 6 ）2=64【答案】（1）解：OEDE， SAOESADE，ADCD，SCDESADE，SAOESACE=12 ，故答案为： 12（2）解：作OFAC于点F， 对于直线y2x+4，当y0时，x2，当x0时，y4，则A的坐标为（0，4），点B的坐标为（2，0），即OA4，OB2，ABC2ACB，ADOABC，ODCABO，tanODCtanABO2，设DFm，则OF2m，由勾股定理得，OD OF2+DF2=5 m，CF（ 5 1）m，tanOCD 251 ，OAOC=251 ，即 4OC=251 ，解得，OC2 5 2（3）解：设直线OD交D另一点为G，连结AG，作EHAO于点H， 则EHAG，EHAG=OHOA ， EHOB=AHOA ，EHAG+EHOB=OHOA+AHOA 1，即 xEa+xE2 1，解得，xE 2aa+2 ；当C在点B右侧时，BCxE，即a2xE，a2 2aa+2 ，解得，a11+ 5 ，a21 5 （舍去），当C在点B左侧时，BCxE，即2axE，2a 2aa+2 ，解得，a11+ 5 ，a21 5 （舍去），所以a的值为 5 ±1.5【答案】（1）42；2（2）解：作ODAB交AB于D,交O于点E,OD= 4×442=22 ， d( O ，线段 AB) =DE=2 2 -1， ； 4551 或5（3）解： 6<m<2246【答案】（1）证明：六边形ABCDEF为正六边形， 每个内角均为120°FMH=120°，A、M、B在一条直线上，AFM+FMA=FMA+BMH=60°，AFM=BMH（2）解：猜想：FM=MH 证明：当点M与点A重合时，FMB=120°，MB与BQ的交点H与点B重合，有FM=MH当点M与点A不重合时，证法一：如图1，连接FB并延长到G，使BG=BH，连接MGBAF=120°，AF=AB，ABF=30°，ABG=180°30°=150°MH与六边形外角的平分线BQ交于点H，CBQ= 12 ×60°=30°，MBH=ABC+CBQ=120°+30°=150°，MBH=MBG=150°BH=BGMBH=MBGMB=MB ，MBHMBG，MHB=MGB，MH=MG，AFM=BMH，HMB+MHB=30°，AFM+MGB=30°，AFM+MFB=30°，MFB=MGBFM=MG=MH证法二：如图2，在AF上截取FP=MB，连接PMAF=AB，FP=MB，PA=AMA=120°，APM= 12 ×（180°120°）=30°，有FPM=150°，BQ平分CBN，MBQ=120°+30°=150°，FPM=MBH，由（1）知PFM=HMB，FPMMBHFM=MH7【答案】（1）证明：如图，连接OD，可得OA=OD ODA=OADAD平分BACOAD=DACODA=DAC.ODAE又AEDE，DEOD，又OD为O的半径，DE是的O切线.（2）解：如图，连接BD，设BE交OD于点G， OA=OB=12ABOBAB=12由（1）得 ODAEBOG=BAE BGO=BEABOGBAEOGAE=OBAB=12AE = 6OG6=12OG =3半圆O的半径为4OD =4DG=OD -OG=4-3=1 ODAE ， AE = 6FDG=FAE FGD=FEAFDGFAEDFAF=DGAE=16AF=6DFAD=AF+DF=6DF+DF=7DFDF=17ADAB为O的直径ADB=90° AB=2OA=8AEDEAED =90° AED=ADBAD平分BACEAD=DABEADDABAEAD=ADAB6AD=AD8AD=43DF=17AD=4738【答案】（1）解：EAD=30°，AE=302，E=90°，DE=102，AD=2DE=10，AD2=AC2+CD2，10=AC2+(AC+2)2，AC=1或AC=3（舍去），AC=1；（2）解：BE=22AD，理由如下：如图2，取AD的中点H，连接CH，AE=DE，BC=AC，ACB=AED=90°，ADE=DAE=CAB=CBA=45°，AB=2AC，AD=2AE，CAD=BAE，H是AD的中点，AH=22AE，CH=12ADAE=2AH，AEAH=ABAC=2，EABHAC，BECH=2，BE=12AD×2=22AD；（3）解：SPDE=148418537.9【答案】（1）证明：连接OC，如图所示： CD切O于C，COCD，又ADCD，ADCODAC=ACO，OA=OC，ACO=CAO，DAC=CAO，AC平分BAD（2）证明：AB为O的直径， ACB=90°=ADC，DAC=CAO，ADCACB，AD：AC=AC：AB，AC2=ADAB（3）解：由（2）得：ADCACB， ACD=B，sinACD= ADAC=sinB=45 ，AD= 35 ，AC= 34 ，AC2=ADAB，AB= AC2AD=1516 ，在RtABC中，BC= AB2AC2=916 10【答案】（1）证明：BE平分ABC， 12，13，34，42，AB为直径，AEB90°，2+BAE90°4+BAE90°，即BAD90°，ADAB，AD为O切线；（2）解：AB为直径， ACB90°，在RtABC中，sinBAC BCAB=35 ，设BC3k，AC4k，则AB5k.连接OE交OE于点G，如图，12，AE=CE ，OEAC，OEBC，AGCG2k，OG 12 BC 32 k，EGOEOGk，EGCB，EFGBFC，FGCF=EGBC=k3k=13 ，FG 14 CG 12 k，在RtOGF中，tanGFO OGFG=32k12k=3 ，即tanAFO3.11【答案】（1）解：B|D|4；如图，过点 O 作 OH 直线 n 于点 H ，交 O 于点 Q ， P ， 设直线 y=3x+3 交 x 轴于点F，交 y 轴于点E，令y0，则x 3 ；令x0，则y3，F(3 ， 0) ， E(0，3) ，OE=3 ， OF=3 ，EF=OE2+OF2=32+(3)2=23 ，SEOF=12OEOF=12EFOH ，12×3×3=12×23OH ，解得： OH=32 ，QH=OHOQ=12 ，又PQ=OQ+OP=2 ，O 关于直线 n 的“特征数” =PQQH=2×12=1 ；（2）解：如图，设直线l交x轴于点A，交y轴于点B，过点F作FH直线l，垂足为点H，交F于N，G， F的半径为 52 ，FNFG 52 ，GNFNFG 5 ，F关于直线l的“特征数”是6，GN·NH6，5 ·NH6，解得：NH 655 ，设直线 l 的解析式是 y=kx+b ，直线l经过点M（1，2），将（1，2）代入 y=kx+b ，得： k+b=2 ，b=2k ，y=kx+(2k) ， 当 x=0 时， y=2k ，点B坐标为（0，2k），OB=|2k| ，当 y=0 时， kx+(2k)=0 ，解得： x=k2k ，点A坐标为（ k2k ，0），OA=|k2k| ， AN=|k2k(1)|=|k2k+1| ，AB=OA2+OB2 =|k2k|1+k2 ，BAO=NAH ， AOB=AHN=90° ，AOBAHN ， NHOB=ANAB ， 655|k2k+1|=|2k|k2k|1+k2 ，整理，得： 2k2+5k+2=0 ，解得： k=12 或 k=2 ， 直线 l 的解析式为 y=12x+52 或 y=2x+4 .12【答案】（1）Rd（2）解：BD=ID，理由如下： 点I是ABC的内心，BAD=CAD，CBI=ABI，DBC=CAD，BID=BAD+ABI，DBI=DBC+CBI，BID=DBI，BD=ID（3）解：由(2)知：BD=ID， 又 IAID=IMIN ， IABD=DEIF ，DE·IF=IM·IN，2Rr=(R+d)(Rd) ，R2d2=2Rrd2=R22Rr（4）513【答案】（1）解：如图所示: （2）解：连接OA，OB， 由作图可知 OP 是 C 的直径，OAP=OBP=90° （直径所对的圆周角是直角），OAPA ， OBPB ，又OA 和 OB 是 O 的半径，PA ， PB 就是 O 的切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）.14【答案】（1）解：以AB为直径作O，交y轴的负半轴于点C，OCA+OCB=90°，又OCB+OBC=90°，OCA=OBC，又AOC=COB=90°，AOCCOB，OAOC=OCOB 又A（1，0），B（9，0），1OC=OC9 ，解得OC=3（负值舍去）C（0，3），故设抛物线解析式为y=a（x+1）（x9），3=a（0+1）（09），解得a= 13 ，二次函数的解析式为y= 13 （x+1）（x9），即y= 13 x2 83 x3（2）解：AB为O的直径，且A（1，0），B（9，0），OO=4，O（4，0），点E是AC延长线上一点，BCE的平分线CD交O于点D，BCD= 12 BCE= 12 ×90°=45°，连接OD交BC于点M，则BOD=2BCD=2×45°=90°，OO=4，OD= 12 AB=5ODx轴D（4，5）设直线BD的解析式为y=kx+b，9k+b=04k+b=5 ，解得 k=1k=9直线BD的解析式为y=x9C（0，3），设直线BC的解析式为：y=ax+b，b=39a+b=0 ，解得： b=3a=13 ，直线BC的解析式为：y= 13 x3（3）解：假设在抛物线上存在点P，使得PDB=CBD，解法一：设射线DP交O于点Q，则 BQ = CD 分两种情况（如图所示）：O（4，0），D（4，5），B（9，0），C（0，3）把点C、D绕点O逆时针旋转90°，使点D与点B重合，则点C与点Q1重合，因此，点Q1（7，4）符合 BQ = CD ，D（4，5），Q1（7，4），用待定系数法可求出直线DQ1解析式为y= 13 x 193 解方程组 y=13x193y=13x283x3得 x1=9412y1=29416或x2=9+412y2=29+416点P1坐标为（ 9+412 ， 29+416 ），坐标为（ 9412 ， 29416 ）不符合题意，舍去Q1（7，4），点Q1关于x轴对称的点的坐标为Q2（7，4）也符合 BQ = CD D（4，5），Q2（7，4）用待定系数法可求出直线DQ2解析式为y=3x17解方程组 y=3x17y=13x283x3得 x1=3y1=8 ，即 x2=14y2=25点P2坐标为（14，25），坐标为（3，8）不符合题意，舍去符合条件的点P有两个：P1（ 9+412 ， 29+416 ），P2（14，25）解法二：分两种情况（如图所示）：当DP1CB时，能使PDB=CBDB（9，0），C（0，3）用待定系数法可求出直线BC解析式为y= 13 x3又DP1CB，设直线DP1的解析式为y= 13 x+n把D（4，5）代入可求n= 193 ，直线DP1解析式为y= 13 x 193 解方程组 y=13x193y=13x283x3得 x1=9412y1=29416或x2=9+412y2=29+416点P1坐标为（ 9+412 ， 29+416 ）或（ 9412 ， 29416 ）（不符合题意舍去）在线段OB上取一点N，使BN=DM时，得NBDMDB（SAS），NDB=CBD由知，直线BC解析式为y= 13 x3取x=4，得y= 53 ，M（4， 53 ），ON=OM= 53 ，N（ 173 ，0），又D（4，5），直线DN解析式为y=3x17解方程组 y=3x17y=13x283x3得 x1=3y1=8 ，x2=14y2=25点P2坐标为（14，25），坐标为（3，8）不符合题意，舍去符合条件的点P有两个：P1（ 9+412 ， 29+416 ），P2（14，25）解法三：分两种情况（如图所示）：求点P1坐标同解法二过C点作BD的平行线，交圆O于G，此时，GDB=GCB=CBD由（2）题知直线BD的解析式为y=x9，又C（0，3）可求得CG的解析式为y=x3，设G（m，m3），作GHx轴交于x轴与H，连接OG，在RtOGH中，利用勾股定理可得，m=7，由D（4，5）与G（7，4）可得，DG的解析式为y=3x17，解方程组 y=3x17y=13x283x3得 x1=3y1=8 ，即 x2=14y2=25点P2坐标为（14，25），坐标为（3，8）不符合题意舍去符合条件的点P有两个：P1（ 9+412 ， 29+416 ），P2（14，25）15【答案】（1）解：C(4，0)，E(-1，5)；（）当点 (4，0) 在直线 y=kx+3 上时， 4k+3=0 ， k=34 ；（）当点 (3，1) 在直线 y=kx+3 上时， 3k+3=1 ， k=23 ；（）当点 (2，2) 在直线 y=kx+3 上时， 2k+3=2 ， k=12 ；结合图象可得 34k12 且 k23 ；（2）解：直线 y=33x+3 与x轴的交点M坐标为 (3，0) ，与y轴交点N的坐标为 (0，3) ， tanNMO=33 ，NMO=30° ，如图，作出线段MN的垂直平分线，如图为两个临界情况： ，利用待定系数法求得MN垂直平分线解析式为 y=3x3 ，R(0，3) ， ORQ1=P2RQ2=30° ，P1R=2P1Q1=23 ， P2R=2P2Q2=23 ，P1(0，3) ， P2(0，33) ，33t<3 16【答案】（1）证明：AB 是 O 的直径， ADB=90° ，DAB+DBA=90° ，AD=AD ，AED=ABD ， PAD=AED ，PAD=ABD ，BAD+PAD=BAD+ABD=90° ，即 PAB=90° ，PA 是 O 的切线（2）解：如图，连接 OE，EB ， AE 平分 BAD ，DAE=BAE ，DE=BE=2OEBDOA=OE ，OEA=OAE ，DAE=AEO ，ADOE ，AB 是 O 的直径，ADDB ， AEEB ，即ADF=BEF=90°，DE=DEDAE=DBE ，tanEBF=tanDAE=22 ，EFEB=22 ，EF=22EB=1（3）解：如图，过点 B 作 BGAD ， 由（2）可知 ADOE ，OEBG ，AO=OB=BC ，DE=EG=GC ，设 O 的半径为 x ，则 GB=12OE=12x ，ADBG ，CGBCDA ，CGCD=GBAD ，AD=3GB=32x ，OEDB ，DBGB ， DE=2 ，DG=2DE=22 ，在 RtDBG 中， DB2=DG2GB2=8(12x)2 ，在 RtADB 中， AD2+DB2=AB2 ，即 (32x)2+8(12x)2=(2x)2 ，解得： x=2 （负值舍去），O 的半径为2 学科网（北京）股份有限公司