三角函数的图像与性质讲义-高三数学二轮专题复习.docx

三角函数的图像与性质题型一 诱导公式及同角关系1三角函数：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin y，cos x，tan .2同角关系：sin2cos21，tan .3诱导公式：在，kZ的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”例题：1已知点P落在角的终边上，且0，2)，则的值为_解析tan 1，又sin >0，cos <0，所以为第四象限角，又0，2)，所以.答案2在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称若sin ，则sin _解析由角与角的终边关于y轴对称，可得(2k1)，kZ，sin ，sin sin(2k1)sin .答案3已知是第四象限角，且sin，则tan_解析，sincos，又2k<<2k，kZ，2k<<2k，kZ，sin，tan，tantan.答案题型二 三角函数的图像及应用三角函数图像的两种变换方法解决三角函数图像问题的方法及注意事项(1)已知函数yAsin(x)(A>0，>0)的图像求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定；确定常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图像的升降找准第一个零点的位置(2)在图像变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换，变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向例题1.已知函数f(x)Asin(x)(A>0，>0，0<<)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为A8k1，8k5(kZ)B8k1，8k5(kZ)C8k5，8k1(kZ)D8k3，8k5(kZ)2.将函数f(x)sin的图像向右平移a个单位得到函数g(x)cos 2x的图像，则a的值可以为A.B.C.D.解析(1)由图像可知A2，T2×(73)8，又由8得，所以f(x)2sin，又0<<，结合f(3)0，即2sin0，得，故f(x)2sin，由2k2k(kZ)得8k1x8k5(kZ)故函数f(x)的单调递减区间为8k1，8k5(kZ)(2)将函数f(x)sin的图像向右平移a个单位得到函数g(x)sinsincos 2x.得到ak，kZ.2a2k，kZ.ak.当k1时，a.答案(1)A(2)C题型三 三角函数的性质三角函数的奇偶性、对称性(1)yAsin(x)，当k(kZ)时为奇函数；当k(kZ)时为偶函数；对称轴方程可由xk(kZ)求得(2)yAcos(x)，当k(kZ)时为奇函数；当k(kZ)时为偶函数；对称轴方程可由xk(kZ)求得(3) yAtan(x)，当k(kZ)时为奇函数三角函数的单调性、最值的求法(1)三角函数单调性的求法求形如yAsin(x)(或yAcos(x)(A，为常数，A0，>0)的单调区间的一般思路：令xz，则yAsin z(或yAcos z)，然后由复合函数的单调性求得(2)三角函数最值的求法在求最值时，一般要先确定函数的定义域，然后结合三角函数性质可得函数f(x)的最值例题1.已知函数f(x)2cos(>0)满足：ff，且在区间内有最大值但没有最小值给出下列四个命题：p1：f(x)在区间0，2上单调递减；p2：f(x)的最小正周期是4；p3：f(x)的图像关于直线x对称；p4：f(x)的图像关于点对称其中的真命题是Ap1，p2 Bp1，p3 Cp2，p4 Dp3，p4【解析】由题意得，当x时，f(x)取得最大值，则cos1，2k，(kN*)，又易知T2，0<1，所以k1，f(x)2cos.故f(x)的最小正周期T4，p2是真命题，又f0，因此f(x)的图像关于点对称，p4是真命题故选C.【答案】C2.已知函数f(x)2sin xcos x2sin2x(>0)的最小正周期为.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)将函数f(x)的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数yg(x)的图像；若yg(x)在0，b(b>0)上至少含有10个零点，求b的最小值【解析】(1)f(x)2sin xcos x(2sin2x1)sin 2xcos 2x2sin.由最小正周期为，得1，所以f(x)2sin，由2k2x2k，kZ，整理得kxkx，kZ，所以函数f(x)的单调递增区间是，kZ.(2)将函数f(x)的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到y2sin 2x1的图像；所以g(x)2sin 2x1.令g(x)0，得xk或xk(kZ)，所以在0，上恰好有两个零点，若yg(x)在0，b上有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可所以b的最小值为4.3.已知函数f(x)cos2x(>0)的最小正周期为，将函数f(x)的图像向右平移m(m>0)个单位后关于原点对称，则当m取得最小值时，函数g(x)2sin(2xm)1的一个单调递增区间为A. B.C. D.解析(1)由题意得到f(x)cos 2x，2，f(x)cos 4x.f(xm)cos(4x4m)，4mk(kZ)m.mmin，g(x)2sin1，g(x)在上先增后减，在上单增，在上单减，在上先增后减答案B-6-学科网（北京）股份有限公司