中考九年级数学高频考点 专题训练--三角形动点问题.docx

中考九年级数学高频考点 专题训练-三角形动点问题一、综合题1如图，在ABC中，ACBC4，ACB90°，动点P从点A出发，沿AB以每秒 22 个单位长度的速度向点B运动，点Q从点A出发，沿折线ACCB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作AC的平行线与过点Q作AB的平行线交于点D，当有一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设PQD与ABC重叠部分图形的面积为S，运动的时间为t（秒） （1）点P到AC的距离为 （用含t的代数式表示） （2）当点D落在BC上时，求t的值 （3）当PQD与ABC重叠部分图形是三角形时，求S与t的函数关系式（S0） 2如图1，在等腰RtABC中，BAC90°，ABAC2，点M为BC中点点P为AB边上一动点，点D为BC边上一动点，连接DP，以点P为旋转中心，将线段PD逆时针旋转90°，得到线段PE，连接EC（1）当点P与点A重合时，如图2根据题意在图2中完成作图；判断EC与BC的位置关系并证明（2）连接EM，写出一个BP的值，使得对于任意的点D总有EMEC，并证明 3（模型建立）（1）如图1，等腰Rt ABC中，ACB90°，CBCA，直线ED经过点C，过点A作ADED于点D，过点B作BEED于点E，求证： BEC CDA （2）如图2，已知直线l1：y 32 x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕点A逆时针旋转45°至直线l1则直线l2的函数表达式为 （3）如图3，将图1四边形放到平面直角坐标系中，点E与O重合，边ED放到x轴上，若OB2，OC1，在x轴上存在点M使的以O、A、B、M为顶点的四边形面积为4，请直接写出点M的坐标 （4）如图4，平面直角坐标系内有一点B(3，4)，过点B作BAx轴于点A，BCy轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y2x+1上的动点且在第四象限内若 CPD是等腰直角三角形请直接写出点D的坐标 4如图，AE与BD相交于点C，ACEC，BCDC，AB8cm，点P从点A出发，沿ABA方向以2cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿DE方向以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t（s）.（1）求证：ABDE.（2）写出线段AP的长（用含t的式子表示）.（3）连接PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值.5如图，已知ABC 中，AB=AC=6cm，B=C，BC=4cm，点 D 为 AB的中点.（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点 B 向点C运动，同时，点Q在线段 CA 上由点C向点A运动.若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD与CQP是否全等，请说明理由；若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD 与CQP 全等？（2）若点Q以中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC 三边运动，则经过 后，点P与点 Q 第一次在ABC的 边上相遇？（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程） 6已知等腰RtABC和等腰RtAEF中，ACBAFE90°，ACBC，AFEF，连接BE，点Q为线段BE的中点（1）如图1，当点E在线段AC上，点F在线段AB上时，连接CQ，若AC8，EF2 2 ，求线段CQ的长度（2）如图2，B、A、E三点不在同一条直线上，连接CE，且点F正好落在线段CE上时，连接CQ、FQ，求证：CQFQ （3）如图3，AC8，AE4 2 ，以BE为斜边，在BE的右侧作等腰RtBEP，在边CB上取一点M，使得MB2，连接PM、PQ，当PM的长最大时，请直接写出此时PQ2的值7已知点O是线段AB的中点，点P是直线l上的任意一点，分别过点A和点B作直线l的垂线，垂足分别为点C和点D我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”（1）猜想验证如图1，当点P与点O重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距”OC和OD的数量关系是 （2）探究证明如图2，当点P是线段AB上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由（3）拓展延伸如图3，当点P是线段BA延长线上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；若 COD=60° ，请直接写出线段AC、BD、OC之间的数量关系8如图，线段 BC=6 ，过点B、C分别作垂线，在其同侧取 AB=4 ，另一条垂线上任取一点D动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿 BC 向终点C运动；同时动点Q从点C出发，以每秒a个单位的速度沿射线 CD 运动，当点P停止时，点Q也随之停止运动设点P的运动的时间为 t(s) （1）当 t=1 ， CP= ，用含a的代数式表示 CQ 的长为 （2）当 a=2，t=1 时， 求证： ABPPCQ 求证： APPQ （3）如图，将“过点B、C分别作垂线”改为“在线段 BC 的同侧作 ABC=DCB ”，其它条件不变若 ABP 与 PCQ 全等，直接写出对应的a、t的值 9如图，在ABC中，ACBC4，ACB90°，动点P从点A出发，沿AB以每秒 22 个单位长度的速度向点B运动，点Q从点A出发，沿折线ACCB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作AC的平行线与过点Q作AB的平行线交于点D，当有一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设PQD与ABC重叠部分图形的面积为S，运动的时间为t（秒） （1）点P到AC的距离为 （用含t的代数式表示）（2）当点D落在BC上时，求t的值（3）当PQD与ABC重叠部分图形是三角形时，求S与t的函数关系式（S0）10如图，RtABC中，C=90°，BC=8cm，AC=6cm点P从B出发沿BA 向A运动，速度为每秒1cm，点E是点B以P为对称中心的对称点点P运动的同时，点Q从A出发沿AC向C运动，速度为每秒2cm 当点Q到达顶点C时，P，Q同时停止运动设P， Q两点运动时间为t秒（1）当t为何值时，PQBC ？（2）设四边形PQCB的面积为y，求y关于t的函数解析式;（3）四边形PQCB的面积与APQ面积比能为3：2吗？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；（4）当t为何值时，AEQ为等腰三角形？11已知：如图，在 ABC 中， CDAB ，垂足 D，BD=CD=4cm，AD=2cm ；点 P 从点 A 出发，沿 AD 方向匀速运动，速度为 1cm/s ，同时，点 Q 从点 D 出发，沿 DB 方向匀速运动，速度为 2cm/s ；以 PQ 为底边作等腰三角形 PQM ，使 MPQ=A ，并且 PQM 与 ABC 分别在 AB 的两侧，连接 PC、QC ，设运动时间为 t(s) 解答下列问题：（1）当 0<t2 时，是否存在某一时刻 t ，使 MP/CQ ？若存在，求出此时 t 的值：若不存在，请说明理由； （2）设四边形 MQCP 的面积为 y(cm2) ，求当 0<t2 时， y 与 t 之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻 t ，使 PQM 与以 A、P、C 为顶点的三角形相似若存在，请直接给出此时 t 的值；若不存在，请说明理由 12如图，在 RtABC 中， B=90° ， AC=60cm ， A=60° ，点 D 从点 C 出发沿 CA 方向以4cm/s的是速度向点 A 匀速运动，同时点 E 从 A 出发沿 AB 方向以2cm/s的速度向点 B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点 D 、 E 运动的时间是 t s.过点 D 作 DFBC 于点 F ，连接 DE 、 EF . （1）求证： AE=DF ； （2）四边形 AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的 t 值；如果不能，请说明理由； （3）当 t 为何值时， DEF 为直角三角形？请说明理由. 13已知：如图，在RtABC中，C90°，AC4cm，BC3cm，点P由B点出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s，点Q由A点出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；若设运动的时间为t（s）（0t2），解答下列问题：（1）如图，连接PQ，直接写出t 时，以A、P、Q为顶点的三角形与ACB相似（2）如图，当点P，Q运动时，是否存在某一时刻t，使得PQPC，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）如图，当点P，Q运动时，线段BC上是否存在一点G，使得四边形PQGB为菱形？若存在，试求出BG长；若不存在，请说明理由14如图，在RtABC中，ACB90°，BC是ABC中最短的边，边AC的长度比BC长10cm，斜边AB的长度比BC长度的2倍短10cm（1）求RtABC的各条边的长（2）求AB边上的高（3）点D从点B出发在线段AB上以2cm/s的速度向终点A运动，设点D的运动时间为t（s）用含t的代数式表示线段BD的长为 ；当BCD为等腰三角形时，请求出t的值15如图，在 RtABC 中， BAC=90° ， AB=AC ，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE.点F是DE的中点，连接CF. （1）求证： CF=22AD ；（2）如图2所示，在点D运动的过程中，当 BD=2CD 时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；（3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使 PA+PB+PC 的值最小.当 PA+PB+PC 的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长.16如图1，在ABC中，ACB=90°，CA=CB，点D，E分别在边CA，CB上，CD=CE，连接DE，AE，BD点F在线段BD上，连接CF交AE于点H（1）比较CAE与CBD的大小，并证明；若CFAE，求证：AE=2CF；（2）将图1中的CDE绕点C逆时针旋转(0°<<90°)，如图2若F是BD的中点，判断AE=2CF是否仍然成立如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.答案解析部分1【答案】（1）12 t（2）解：当D落在BC上，D与Q不重合时，如图2，CDCQ， 42t 12 t，t 85 ，当D落在BC上，D与Q重合时，如图3，CDCQ，2t4 12 t，t 83 ，综上所述，t的值是 85 或 83 ；（3）解：当0t 85 时，如图4，Q在AC上，过点P作PEAC于点E， PD/AQ，QD/AP，四边形APDQ是平行四边形，PDAQ2t，S 12 PDPE 12×2t×12t t 12t2 ；当2t 83 时，如图5，Q在BC上，CQ2t4，PFBFBC-CF4 12 t，FQCFCQ 12 t-(2t4)，S 12 PFFQ 12(412t)12t(2t4) 38t2 4t+8；当 83 t4时，Q在BC上，如图6，延长PD交BC于F点，CQ2tAC2t4，DFFQCQCF2t4 12 t 32 t4，PDPFDF4 12 t( 32 t4)82t，S 12 PDFQ 12 (82t)( 32 t4) 32t2 +10t16，综上所述，S与t的函数关系式（S0）：S 12t2(0<t85)38t24t+8(2t<83)32t2+10t16(83<t<4) 2【答案】（1）解：图形如图2中所示： 结论：ECBC理由：ABAC，BAC90°，BACB45°，EADBAD90°，BADCAE，ADAE，BADCAE（SAS），BACE45°，BCEACB+ACE90°，ECBC（2）解：当BP 23 时，总有EMEC 理由：如图3中，作PSBC于S，作PNPS，并使得PNPS，连接NE，延长NE交BC于Q，连接EM，ECPDPE，DPESPN90°，DPSEPN，PSDN90°，DPSEPN（AAS），PHPS，PSDN90°，PEQPSQSPN90°，四边形PNQS是矩形，PSPN，四边形PNQS是正方形，BP 23 ，B45°，AB2，BSPS 324 ，BC2 2 ，BQ2BS 322 ，QC 22 ，M是BC的中点，MC 2 ，MQQC 22 ，EQCM，NQ是CM的垂直平分线，EMEC3【答案】（1）证明： ADED ， BEED ， BEC=ADC=90° ，ACD+DAC=90° ，ACB=90° ，BCE+ACD=90° ，BCE=CAD ，在 BEC 和 CDA 中，BEC=ADCBCE=DACBC=AC ，BECCDA(AAS) ；（2）y=-5x-10（3）(2，0)或（-2，0）（4）解：若点 P 为直角顶点时，如图， 设点 P 的坐标为 (3，m) ，则 PB 的长为 4+m ，CPD=90° ， CP=PD ， CPM+CDP+PDH=180° ，CPM+PDH=90° ，又 CPM+DPM=90° ，PCM=PDH ，在 MCP 与 HPD 中，PCM=PDHCMP=PHMPC=PD ， MCPHPD(AAS) ，CM=PH ， PM=PD ， 点 D 的坐标为 (7+m，3+m) ，又 点 D 在直线 y=2x+1 上，2(7+m)+1=3+m ，解得： m=103 ，即点 D 的坐标为 (113，193) ；若点 C 为直角顶点时，如图，设点 P 的坐标为 (3，n) ，则 PB 的长为 4+n ， CA=CD ，同理可证明 PCMCDH(AAS) ，PM=CH ， MC=HD ， 点 D 的坐标为 (4+n，7) ，又 点 D 在直线 y=2x+1 上，2(4+n)+1=7 ，解得： n=0 ， 点 P 与点 A 重合，点 M 与点 O 重合，即点 D 的坐标为 (4，7) ；若点 D 为直角顶点时，如图，设点 P 的坐标为 (3，k) ，则 PB 的长为 (4+k) ， CD=PD ，同理可证明 CDMPDQ(AAS) ，MD=PQ ， MC=DQ ，D(7+k2，7k2) ，又 点 D 在直线 y=2x+1 上，2×k+72+1=7k2 ，解得： k=53 ， 点 P 与点 A 重合，点 M 与点 O 重合，即点 D 的坐标为 (83，133) ，综上所述，点 D 的坐标为 (113，193) 或 (4，7) 或 (83，133) ，故答案为： (113，193) 或 (4，7) 或 (83，133) 4【答案】（1）证明：在ABC和EDC中， AC=ECACB=ECDBC=DC ，ABCEDC（SAS），AE，ABDE；（2）解：当0t4时，AP2tcm， 当4t8时，BP（2t8）cm，AP8（2t8）（162t）cm，线段AP的长为2tcm或（162t）cm；（3）解：根据题意得DQtcm，则EQ（8t）cm，由（1）得：AE，EDAB8cm，在ACP和ECQ中，A=EAC=ECACP=ECQ ，ACPECQ（ASA），APEQ，当0t4时，2t8t，解得：t 83 ；当4t8时，162t8t，解得：t8；综上所述，当线段PQ经过点C时，t的值为 83 或8.5【答案】（1）解：全等，理由如下： t=1秒，BP=CQ=1×1=1厘米，AB=6cm，点D为AB的中点，BD=3cm.又PC=BCBP，BC=4cm，PC=41=3cm，PC=BD.又AB=AC，B=C，BPDCQP；假设BPDCQP，vPvQ，BPCQ，又BPDCQP，B=C，则BP=CP=2，BD=CQ=3，点P，点Q运动的时间t= BP1 =2秒，vQ= CQt = 32 =1.5cm/s（2）24秒；AC6【答案】（1）解： 等腰RtABC和等腰RtAEF ， ACB=AFE=90°，AC=BC=8，AF=EF=22，AB=AC2+BC2=2AC=82，AE=2EF=4，CE=AC-AE=8-4=4，BE=CE2+BC2=45，Q是线段BE的中点，CQ=12BE=25；（2）证明：如图，延长FQ至K,使KQ= FQ，连接KB,延长FC至G点，Q为BE的中点，FQ=KQ， 在EFQ与BKQ中，FQ=KQFQE=KQBEQ=BQ，EFQBKQ (SAS)，EF= BK，FEQ =KBQ，AF= BK, EF BK，KBC=BCG，ACB=90°,FCA+BCG = 180°-ACB=90°，FAC+FCA=AFE=90°,BCG =FAC， 又KBC =BCG，FAC=KBC， 在AFC与BKC中，AF=BKFAC=KBCAC=BC，AFCBKC（SAS），CF= CK，FCA=KCB，FCK =FCA+ACK =KCB+ACK = 90°，FCK为等腰直角三角形， 又Q为FK中点，CQ=FQ；（3）680+12817177【答案】（1）OC=OD（2）解：数量关系依然成立 证明（方法一）：过点O作直线 EF/CD ，交BD于点F，延长AC交EF于点EEF/CDDCE=E=CDF=90°四边形CEFD为矩形OFD=90° ， CE=DF由（1）知， OE=OFCOEDOF(SAS) ，OC=OD 证明（方法二）：延长CO交BD于点E，ACCD ， BDCD ，AC/BD ，A=B ，点O为AB的中点，AO=BO ，又AOC=BOE ，AOCBOE(ASA) ，OC=OE ，CDE=90° ，OD=OC （3）解：数量关系依然成立 证明（方法一）：过点O作直线 EF/CD ，交BD于点F，延长CA交EF于点EEF/CDDCE=E=CDF=90°四边形CEFD为矩形OFD=90° ， CE=DF由（1）知， OE=OFCOEDOF(SAS) ，OC=OD .10分证明（方法二）：延长CO交DB的延长线于点E，ACCD ， BDCD ，AC/BD ，ACO=E ，点O为AB的中点，AO=BO ，又AOC=BOE ，AOCBOE(AAS) ，OC=OE ，CDE=90° ，OD=OC AC+BD=3OC8【答案】（1）4；a（2）解：ABBC，CDBC， BC90° a=2，t=1 ， BPCQ2，BC=6，CPAB=4， ABPPCQ； ABPPCQ，ACPQ， APCCPQ+APQ，APCA+B，APQ=B90°APPQ；（3）解：当ABPPCQ时，即PC=AB=4，QC=BP=2t， BP=BC-PC=2，2t=2，解得：t=1，QC=2，a=QCt=2 ，当ABPQCP时 ，即QC=AB=4，BP=CP= 12BC=3 ，t=BP2=32 ，a=QCt=432=83 ，综上所述，当 ABP 与 PCQ 全等时，a2，t1或 a=83 ， t=32 9【答案】（1）12 t（2）解：当D落在BC上，D与Q不重合时，如图2，CDCQ， 42t 12 t，t 85 ，当D落在BC上，D与Q重合时，如图3，CDCQ，2t4 12 t，t 83 ，综上所述，t的值是 85 或 83 ；（3）解：当0t 85 时，如图4，Q在AC上，过点P作PEAC于点E， PD/AQ，QD/AP，四边形APDQ是平行四边形，PDAQ2t，S 12 PDPE 12×2t×12t t 12t2 ；当2t 83 时，如图5，Q在BC上，CQ2t4，PFBFBC-CF4 12 t，FQCFCQ 12 t-(2t4)，S 12 PFFQ 12(412t)12t(2t4) 38t2 4t+8；当 83 t4时，Q在BC上，如图6，延长PD交BC于F点，CQ2tAC2t4，DFFQCQCF2t4 12 t 32 t4，PDPFDF4 12 t( 32 t4)82t，S 12 PDFQ 12 (82t)( 32 t4) 32t2 +10t16，综上所述，S与t的函数关系式（S0）：S 12t2(0<t85)38t24t+8(2t<83)32t2+10t16(83<t<4)10【答案】（1）解：RtABC中，C90°，BC8cm，AC6cm， AB10cmBPt，AQ2t，APABBP10tPQBC，APAB=AQAC10t10=2t6解得t 3013（2）解：S四边形PQCBSACBSAPQ 12 ACBC 12 APAQsinA y 12 ×6×8 12 ×（10t）2t 81024 45 t（10t） 45 t28t+24，即y关于t的函数关系式为y 45 t28t+24（3）解：四边形PQCB面积能是ABC面积的 35 ，理由如下： 由题意，得 45 t28t+24 35 ×24，整理，得t210t+120，解得t15 13 ，t25+ 13 （不合题意舍去）故四边形PQCB面积能是ABC面积的 35 ，此时t的值为5 13（4）解：AEQ为等腰三角形时，分三种情况讨论： 如果AEAQ，那么102t2t，解得t 52 ；如果EAEQ，那么（102t）× 610 t，解得t 3011 ；如果QAQE，那么2t× 610 5t，解得t 2511 故当t为 52 秒 3011 秒 2511 秒时，AEQ为等腰三角形11【答案】（1）解： MP/QC ， MPQ=CQA ，又 A=MPQ ，A=CQA ，CDAB ，AD=QD ，由题意知 DQ=2t，AD=2 ，2t=2，t=1 （2）解：如图，过点 M 作 MHPQ，AP=t，DP=2t，PQ=2t+2t=2+t ， PH=12PQ=1+12t ，MPH=A，MHP=ADC=90° ，MPHCAD ，MHCD=PHAD 即 MH4=1+12t2 ， MH=2+t ，y=SPCQ+SMPQ=12×(2+t)×4+12×(2+t)×(2+t) ，y=12t2+4t+6 （3）解：APC=M 此时 PA=PC ， 如图，过 P 作 PEAC ， AC=25 ，AE=5，AEPADC ，AP25=52 ，HP=5 ，即 t=5 ，ACP=M，CA=CP ，CDAP ，AP=2AD=4 ，t=4 综上 t=4 或 5s 时， PQM 与以 APC 为顶点的三角形相似12【答案】（1）证明：在 RtABC 中， B=90° ， AC=60cm ， A=60° ，C=90°A=30° .CD=4tcm ， AE=2tcm ，在直角 CDF 中， C=30° ，DF=12CD=2tcm ，DF=AE ；（2）解：DFAB ， DF=AE ， 四边形 AEFD 是平行四边形，当 AD=AE 时，四边形 AEFD 是菱形，即 604t=2t ，解得： t=10 ，即当 t=10 时，平行四边形 AEFD 是菱形；（3）解：当 t=152 时 DEF 是直角三角形（ EDF=90° ）； 当 t=12 时， DEF 是直角三角形（ DEF=90° ）.理由如下：当 EDF=90° 时， DE/BCADE=C=30°AD=2AECD=4tcm ，DF=AE=2tcm ，AD=2AE=4tcm ，4t+4t=60 ，t=152 时， EDF=90° .当 DEF=90° 时， DEEF ，四边形 AEFD 是平行四边形，ADEF ，DEAD ，ADE 是直角三角形， ADE=90° ，A=60° ，DEA=30° ，AD=12AE ， AD=ACCD=604t(cm) ，AE=DF=12CD=2tcm ，604t=12·2t ，解得 t=12 .综上所述，当 t=152 时 DEF 是直角三角形（ EDF=90° ）；当 t=12 时， DEF 是直角三角形（ DEF=90° ）.13【答案】（1）107 或 2513（2）解：存在，如图，过P点作 PMAC 于M点， BP=tcm，AQ=2tcm，CQ=ACAQ=(42t)cm ， PQPC，QM=CM=12CQ=12(42t)=(2t)cm ，AM=AQ+QM=2t+(2t)=(2+t)cm ，PM/BCAPMABC，APAB=AMAC5t5=2+t4t=109（3）解：不存在， BP=tcm，AQ=2tcm， AP=(5t)cm ， 假设线段BC上存在一点G，使得四边形PQGB为平行四边形，PQ/BG，PQ=BGAPQABCAPAB=AQAC=PQBC5t5=2t4=PQ3t=107，PQ=157cmBP=t=107cmPQBP 平行四边形PQGB不可能是菱形， 线段BC上不存在一点G，使得四边形PQGB为菱形14【答案】（1）解：设BC=xcm，则AC=(x+10)cm，AB=(2x10)cm，ACB=90°，AC2+BC2=AB2，(x+10)2+x2=(2x10)2，解得x=30或x=0（舍去），BC=30cm，则AC=40cm，AB=50cm；（2）解：如图所示，过点C作CEAB于E，SABC=12ACBC=12ABCE，CE=ACBCAB=24cm，AB边上的高为24cm；（3）解：2tcm如图3-1所示，当BD=BC=30cm时，2t=30，解得t=15；如图3-2所示，当CD=CB=30cm时，过点C作CEAB于E，由（2）得CE=24cm，BD=2BE=2BC2BE2=36cm，2t=36，解得t=18；如图3-3所示，当CD=BD时，过点C作CEAB于E，由（2）得CE=24cm，设CD=BD=ycm，在直角CEB中BE=BC2CE2=18cm，DE=BDBE=(y18)cm，在直角CDE中，CD2=DE2+CE2，y2=(y18)2+242，解得y=25，2t=25，解得t=252；综上所述，当t的值为15或18或252时，BCD为等腰三角形15【答案】（1）证明：BAC=DAE=90° ， BAD=CAE ，AB=AC ， AD=AE ，在 ABD 和 ACE 中 AB=ACBAD=CAEAD=AE ，ABDACE ，ABD=ACE=45° ，DCE=ACB+ACE=90° ，在 RtADE 中，F为DE中点（同时 AD=AE ）， ADE=AED=45° ，AFDE ，即 RtADF 为等腰直角三角形，AF=DF=22AD ，CF=DF ，CF=22AD ；（2）解：连接AF， 由（1）得 ABDACE ， CE=BD ， ACE=ABD=45° ，DCE=BCA+ACE=45°+45°=90° ，在 RtDCE 中， DE=CD2+CE2=CD2+BD2=5CD ，F为DE中点，DF=EF=12DE=52CD ，在四边形ADCE中，有 DAE=DCE=90° ， DAE+DCE=180° ，点A，D，C，E四点共圆，F为DE中点，F为圆心，则 CF=AF ，在 RtAGC 中，CF=AF ，F为CG中点，即 CG=2CF=5CD ，AG=CG2AC2=5CD2184CD2=22CD ，即 BC=32AG ；（3）解：如图1， 在ABC内取一点P，连接AP、BP、CP，将三角形ABP绕点B逆时针旋转60°得到EBD，得到BPD为等边三角形，所以PD=BP，AP+BP+CP=DE+DP+CP，当 PA+PB+PC 的值取得最小值时，点P位于线段CE上；如图2，将三角形ACP绕点C顺时针旋转60°得到FCG，得到PCG为等边三角形，所以PC=GP，AP+BP+CP=GF+GP+BP，当 PA+PB+PC 的值取得最小值时，点P位于线段BF上；综上所述：如图3，以AB、AC为边向外做等边三角形ABE和等边三角形ACF，连接CE、BF，则交点P为求作的点，AECABF，AEC=ABF，EPB=EAB=60°，BPC=120°，如图4，同理可得， APB=BPC=CPA=120° ，BPD=60° ，设PD为 a ，BD=3a ，又 AD=BD=3a ，a+m=3a ，m=(31)aa=m31又 BD=CECE=3+32m .16【答案】（1）证明：CAE=CBD，理由如下：在CAE和 CBD中，CE=CDACE=BCDAC=BC，CAECBD（SAS），CAE=CBD；CFAE，AHC=ACB=90°，CAH+ACH=ACH+BCF=90°，CAH=BCF，DCF+BCF=90°，CDB+CBD=90°，CAE=CBD，BDC=FCD，CAE=CBD=BCF，CF=DF，CF=BF，BD=2CF，又CAECBD，AE=2BD=2CF；（2）解：AE=2CF仍然成立，理由如下：如图所示延长DC到G使得，DC=CG，连接BG，由旋转的性质可得，DCE=ACB=90°，ACD+BCD=BCE+BCD，ECG=90°，ACD=BCE，ACD+DCE=BCE+ECG，即ACE=BCG，又CE=CD=CG，AC=BC，ACEBCG（SAS），AE=BG，F是BD的中点，CD=CG，CF是BDG的中位线，BG=2CF，AE=2CF 学科网（北京）股份有限公司