高二数学寒假课程第2讲-等差数列与等比数列.doc

寒假课程·高二数学第二讲 等差数列与等比数列【知识梳理】1、理解数列的概念，了解数列通项公式的意义.了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项.2、理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题.3、理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题.数列数列的定义数列的有关概念数列的通项数列与函数的关系项项数通项等差数列等差数列的定义等差数列的通项等差数列的性质等差数列的前n项和等比数列等比数列的定义等比数列的通项等比数列的性质等比数列的前n项和【考点一：等差数列通项公式及前n项和公式】1.等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列叫做等差数列，常数称为等差数列的公差.2.通项公式与前项和公式：（1）通项公式：，为首项，为公差.（2）前项和公式：或.（3）第二通项公式：方法归纳：等差数列的判定方法（1）定义法：（，是常数）是等差数列；（2）中项法：（）是等差数列.（3）通项法：（为常数）是等差数列.【例1】设为等差数列的前项和，若，则 .【答案】15【解析】，解得，【课堂练习】1. 在等差数列中，已知，求，【解析】解法一：，则 ，解法二：，2.设是等差数列的前n项和，已知，则等于（ ）A.13 B.35 C.49 D. 63 【答案】 C 【解析】故选C.或由， 所以故选C.【例2】已知为等差数列，且，.（）求的通项公式；（）若等比数列满足，求的前n项和公式【解析】（）设等差数列的公差.因为，所以，解得，所以（）设等比数列的公比为，因为，所以，即=3，所以的前项和公式为.【课堂练习】3.已知为等差数列的前项和，求；【解析】设等差数列的首项为，公差为，则【知识点二：等比数列通项公式及前n项和公式】1.等比数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列叫做等比数列，常数称为等比数列的公比.2.通项公式与前项和公式（1）通项公式：，为首项，为公比 .（2）前项和公式：当时，当时，.（3）第二通项公式： 方法归纳：等比数列的判定方法：（，）（为非零常数）.正数列成等比数列的充要条件是数列（）成等差数列.【例3】已知为等比数列，求的通项公式.【解析】方法一：设等比数列n的公比为q，则a2=，a4=3q=2q，+2q=.解得q1=，q2=3.当q=时，a1=18，an=18×（）n-1=2×33-n；当q=3时，a1=，an=×3n-1=2×3n-3. 综上所述，an=2×33-n或an=2×3n-3.方法二：由a3=2，得a2a4=4，又a2+a4=，则a2，a4为方程x2-x+4=0的两根，解得或.当a2=时，q=3，an=2×3n-3;当a2=6时，q=，an=2×33-n.综上所述，an=2×33-n或an=2×3n-3.【课堂练习】4.设为等比数列的前项和，则A.11 B.5 C. D.【答案】D【解析】通过，设公比为，将该式转化为，解得=-2，代入所求式可知答案选D.【例4】设为等比数列的前项和，已知，则公比（ ）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】选B【解析】两式相减得， ，.【点三：等差与等比数列的性质应用】等差数列等比数列定义中项公式A= 推广：2=.推广：性质1若m+n=p+q则 若m+n=p+q，则.2若成A.P（其中）则也为A.P.若成等比数列 （其中），则成等比数列.3 成等差数列.成等比数列.4 ， 5若等差数列的前项和，则是等差数列；当项数为，则；当项数为，则.数列是等比数列，则数列（是常数）都是等比数列；在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为等比数列，公比为.方法归纳：1.等差中项：如果成等差数列，那么叫做与的等差中项.即：是与的等差中项，成等差数列.2.等比中项：如果成等比数列，那么叫做与的等比中项.即：是与的等比中项，成等比数列.注意：i. ，是、b、c成等比的双非条件，即、b、c等比数列. ii. （c0）为、b、c成等比数列的充分不必要条件. iii. 为、b、c成等比数列的必要不充分条件. iv. 且为、b、c成等比数列的充要条件.注意：任意两数、c不一定有等比中项，只有当c0时，才有等比中项.【例5】等差数列an中，a10，S9=S12，该数列前多少项的和最小？【解析】由条件S9=S12可得9a1+d=12a1+d，即d=-a1.由a10知d0，即数列an为递增数列.方法一：由， 得，解得10n11.当n为10或11时，Sn取最小值，该数列前10项或前11项的和最小.方法二：S9=S12，a10+a11+a12=3a11=0，a11=0.又a10，公差d0，从而前10项或前11项和最小.方法三 ：S9=S12，Sn的图像所在抛物线的对称轴为x=10.5，又nN+，a10，an的前10项或前11项和最小.方法四：由Sn=na1+d=+n，结合d=-a1得Sn=·n2+·n=-+a1 （a10），由二次函数的性质可知n=10.5时，Sn最小.又nN+，故n=10或11时Sn取得最小值.【课堂练习】5.已知为等差数列的前项和，.（1）求； （2）求；（3）求.【解析】，当时，当时，当时， .由，得，当时，；当时，.（1）；（2）；（3）当时，当时， 6.在等差数列中，设前m项和为Sm，前n项和为Sn，且SmSn，mn，求Sm+n.【解析】且，整理，得，即，由，得，.【例6】等比数列的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数）的图像上. 求r的值； 【解析】因对任意的，点均在函数且均为常数）的图像上.所以得，当时， 当时，又因为为等比数列，所以，公比为，所以【课堂练习】7. 已知等比数列的前n项和，则 【解析】由的特点可知，【例7】已知为等比数列，Sn是它的前n项和.若， 且与2的等差中项为，则=（ ）A.35 B.33 C.31 D.29【答案】C【解析】设的公比为，则由等比数列的性质知，即.由与2的等差中项为知，即.，即.，即.【课堂练习】8.已知是公差不为零的等差数列，a11，且a1，a3，a9成等比数列.（）求数列的通项;（）求数列的前n项和Sn.【解析】（）由题设知公差d0，由a11，a1，a3，a9成等比数列得， 解得d1，d0（舍去）， 故的通项an1+（n1）×1n.（）由（）知=2n，由等比数列前n项和公式得Sn=2+22+23+2n=2n+1-2.【课后练习】基础训练（A类）1.如果等差数列中，那么（ ）A.14 B.21 C.28 D.352.等差数列的前n项和为，且 =6，=4， 则公差d等于（ ）A.1 B. C.- 2 D .33.已知为等差数列，则等于（ ）A. -1 B. 1 C. 3 D.74.设是由正数组成的等比数列，为其前n项和.已知a2a4=1， ，则（ ）A. B. C. D. 5.已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则= （ ）A. B. C. D.2 6.设数列的前n项和，则的值为（ ）A. 15 B. 16 C. 49 D.647.已知为等差数列，且21， 0，则公差（ ）A.2 B. C. D.28.设等差数列的前项和为，若，则= . 9.设等比数列的公比，前项和为，则 .10.在等比数列中，若公比，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式 .【参考答案】1.【答案】C 【解析】2.【答案】C【解析】且.故选C 3.【答案】B【解析】，即，同理可得，公差.选B.4.【答案】B【解析】由a2a4=1可得，因此，又因为，联立两式有，所以q=，所以，故选B.5.【答案】B【解析】设公比为，由已知得，即，又因为等比数列的公比为正数，所以，故，选B.6.【答案】 A【解析】.7.【答案】B【解析】a72a4a34d2（a3d）2d1 Þ d8.【答案】24【解析】是等差数列，由，. 9.【答案】15【解析】因为10.【答案】【解析】由题意知，解得，所以通项.提高训练（B类）1.公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项，则等于（ ）A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 2.等差数列的公差不为零，首项1，是和的等比中项，则数列的前10项之和是（ ） A. 90 B. 100 C. 145 D. 1903.等差数列的前n项和为，已知，则（ ） A.38 B.20 C.10 D.9 4.设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和=（ ） A. B. C. D.5.已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是（ ）A.B. C.D.6.函数的图像在点处的切线与x轴交点的横坐标为， k为正整数，则 .7.若数列满足：，则 ；前8项的和 .（用数字作答）8.设等比数列的前n项和为.若，则= .9.设等差数列的前项和为，若则 .10.等差数列的前项和为，且则 .【参考答案】1.【答案】C【解析】由得得，再由得则，所以，故选C2.【答案】B【解析】设公差为，则.0，解得2，1003.【答案】C【解析】因为是等差数列，所以，由，得20，所以2，又，即38，即（2m1）×238，解得m10，故选C.4.【答案】A【解析】设数列的公差为，则根据题意得，解得或（舍去），所以数列的前项和5.【答案】 D6.【答案】21【解析】在点处的切线方程为：当时，解得，所以.7.【答案】 225【解析】，易知，应填255.8.【答案】3【解析】由得q3=3故a4=a1q3=3.9.【答案】9【解析】 为等差数列，10.【答案】【解析】，故.综合迁移（C类）1. 已知为等比数列，且（1）若，求；（2）设数列的前项和为，求.2.已知等差数列的前项和为，公差成等比数列.求数列的通项公式；3.设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和.已知，且构成等差数列.（1）求数列的等差数列.（2）令求数列的前项和.4.等比数列中，已知 （）求数列的通项公式； （）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和.5.已知等差数列中，求前n项和. 6.已知等差数列满足：，的前n项和为.（）求及； （）令bn=（nN*），求数列的前n项和.【参考答案】1.【解析】设，由题意，解之得，进而（1）由，解得（2）， 2.【解析】依题意得 ，解得，.3.【解析】（1）由已知得 解得.设数列的公比为，由，可得.又，可知，即，解得.由题意得. .故数列的通项为.（2）由于由（1）得，又 是等差数列.故.4.【解析】（）设的公比为.由已知得，解得（）由（）得，则，设的公差为，则有解得从而所以数列的前项和5.【解析】设的公差为，则即，解得因此6.【解析】（）设等差数列的公差为d，因为，所以有，解得，所以；=.（）由（）知，所以bn=，所以=，即数列的前n项和=.16