2023年三角函数复习精品讲义整理1.pdf

学习必备 欢迎下载 三角函数复习教案【知识网络】学法：1注重化归思想的运用如将任意角的三角函数值的问题化归为锐角的三角函数的问题，将不同名的三角函数问题化成同名的三角函数的问题，将不同角的三角函数问题化成同角的三角函数问题等 2注意数形结合思想的运用如讨论函数性质等问题时，要结合函数图象思考，便易找出解题思路和问题答案 第 1 课 三角函数的概念【学习目标】理解任意角的概念、弧度的意义 能正确地进行弧度与角度的换算 掌握终边相同角的表示方法 掌握任意角的正弦、余弦、正切的意义了解余切、正割、余割的定义 掌握三角函数的符号法则 【考点梳理】考点一、角的概念与推广 1任意角的概念：正角、负角、零角 2象限角与轴线角：与终边相同的角的集合：,2|Zkk 第一象限角的集合：|22,2kkkZ 任意角的概念 弧长公式 角度制与 弧度制 同角三角函数的基本关系式 诱导 公式 计算与化简 证明恒等式 任意角的 三角函数 三角函数的 图像和性质 已知三角函数值求角 和角公式 倍角公式 差角公式 应用 应用 应用 应用 应用 应用 应用 学习必备 欢迎下载 第二象限角的集合：|22,2kkkZ 第三象限角的集合：3|22,2kkkZ 第四象限角的集合：3|222,2kkkZ 终边在x轴上的角的集合：|,kkZ 终边在y轴上的角的集合：|,2kkZ 终边在坐标轴上的角的集合：|,2kkZ 要点诠释：要熟悉任意角的概念，要注意角的集合表现形式不是唯一的，终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，还要注意区间角与象限角及轴线角的区别与联系.考点二、弧度制 1弧长公式与扇形面积公式：弧长lr，扇形面积21122Slrr扇形（其中r是圆的半径，是弧所对圆心角的弧度数）.2角度制与弧度制的换算：180；18010.017451()57.3057 18180radradrad；要点诠释：要熟悉弧度制与角度制的互化以及在弧度制下的有关公式.考点三、任意角的三角函数 1.定义：在角上的终边上任取一点(,)P x y，记22rOPxy 则sinyr,cosxr,tanyx，cotxy，secrx，cscry.2.三角函数线：如图，单位圆中的有向线段MP，OM，AT分别叫做的正弦线，余弦线，正切线.倍角公应用差角公应用学法注重化归思想的运用如将任意角的三角函数思想的运用如讨论函数性质等问题时要结合函数图象思考便易找出解题正切的意义了解余切正割余割的定义掌握三角函数的符号法则考点梳理学习必备 欢迎下载 3.三角函数的定义域：siny，cosy的定义域是R；tany，secy的 定 义 域 是|,2kkZ；coty，cscy的 定 义 域 是|,kkZ.4.三角函数值在各个象限内的符号：要点诠释：三角函数的定义是本章内容的基础和出发点，正确理解了三角函数的定义，则三角函数的定义域、三角函数在各个象限内的符号以及同角三角函数之间的关系便可以得到牢固掌握利用定义求三角函数值时，也可以自觉地根据角的终边所在象限进行分情况讨论.三角函数线是三角函数的几何表示，是处理有关三角问题的重要工具，它能把某些繁杂的三角问题形象直观地表达出来 有关三角函数值的大小比较问题、简单三角不等式及简单三角方程的解集的确定等问题的解决常结合使用三角函数线，这是数形结合思想在三角中的具体运用.【典型例题】类型一、角的相关概念 例 1.已知是第三象限角,求角2的终边所处的位置.【答案】2是第二或第四象限角【解析】方法一：是第三象限角，即322,2kkkZ ，3,224kkkZ ,当2kn时，322,224nnnZ ,2是第二象限角，当21kn时，3722,224nnnZ ,2是第四象限角，2是第二或第四象限角.倍角公应用差角公应用学法注重化归思想的运用如将任意角的三角函数思想的运用如讨论函数性质等问题时要结合函数图象思考便易找出解题正切的意义了解余切正割余割的定义掌握三角函数的符号法则考点梳理学习必备 欢迎下载 方法二：由图知:2的终边落在二，四象限.【总结升华】（1）要熟练掌握象限角的表示方法本题容易误认为2是第二象限角，其错误原因为认为第三象限角的范围是3(,)2解决本题的关键就是为了凑出2的整数倍，需要对整数进行分类（2）确定“分角”所在象限的方法：若是第 k(1、2、3、4)象限的角，利用单位圆判断n，(*nN)是第几象限角的方法：把单位圆上每个象限的圆弧 n 等份，并从 x 正半轴开始，沿逆时针方向依次在每个区域标上 1、2、3、4，再循环，直到填满为止，则有标号 k 的区域就是角n(*nN)终边所在的范围。如：k=3，如下图中标有号码 3 的区域就是2终边所在位置 举一反三：【变式 1】已知是第二象限角,求角3的终边所处的位置.y x 1 2 3 4 1 2 3 4 倍角公应用差角公应用学法注重化归思想的运用如将任意角的三角函数思想的运用如讨论函数性质等问题时要结合函数图象思考便易找出解题正切的意义了解余切正割余割的定义掌握三角函数的符号法则考点梳理学习必备 欢迎下载【答案】3是第一或第二或第四象限角【解析】方法一：是第二象限角，即22,2kkkZ ，22,36333kkkZ ,当3kn时，22,633nnkZ ,3是第一象限角，当31kn时，522,63nnkZ ,3是第二象限角，当32kn时，3522,233nnkZ ,3是第四象限角，3是第一或第二或第四象限角.方法二：k=2，如下图中标有号码 2 的区域就是3终边所在位置 由图知：3的终边落在一，二，四象限.【变式 2】已知弧长 50cm的弧所对圆心角为 200 度，求这条弧所在的圆的半径（精确到 1cm）.【答案】29cm.类型二、任意角的三角函数 例 2.若sincos0，则角在 象限.【答案】第一或第三【解析】倍角公应用差角公应用学法注重化归思想的运用如将任意角的三角函数思想的运用如讨论函数性质等问题时要结合函数图象思考便易找出解题正切的意义了解余切正割余割的定义掌握三角函数的符号法则考点梳理学习必备 欢迎下载 方法一：由sincos0知（1）sin0cos0或（2）sin0cos0 由（1）知在第一象限，由（2）知在第三象限，所以在第一或第三象限.方法二：由sincos0有sin 20，所以222kkkZ,即2kkkZ 当2()kn nZ时，为第一象限，当21()knnZ时，为第三象限 故为第一或第三象限.方法三：分别令57116666、，代入sincos0，只有6、76满足条件，所以为第一或第三象限.【总结升华】角的象限和角的三角函数值符号可以相互判定，方法三只能用于选择题或填空题.举一反三：【变式 1】确定tan(3).sin 5cos1的符号.【答案】原式小于零【解析】因为3,5,1分别是第三、第四、第一象限的角，所以tan(3)0，sin50，cos10，所以原式小于零.【变式 2】已知tancos0，tan0sin，则是第 象限角.【答案】二【解析】tan10sincos，cos0，tan0，则是第二象限角.【变式 3】求sin|cos|tan|sin|cos|tan|xxxxxx的值.【答案】当x为第一象限角时，值为 3；当x为第二、三、四象限角时，值为-1.例 3.已 知角的 顶 点 在原 点，始 边与x轴 的 非负 半 轴 重 合，终 边为射 线430(0)xyx，则2sin(sincot)cos的值是（）倍角公应用差角公应用学法注重化归思想的运用如将任意角的三角函数思想的运用如讨论函数性质等问题时要结合函数图象思考便易找出解题正切的意义了解余切正割余割的定义掌握三角函数的符号法则考点梳理学习必备 欢迎下载 1.5A 2.5B 8.5C 9.5D【答案】C【解析】在角的终边上任取一点(3,4)P，则有5r，则原式44398()554255，故选C.举一反三：【变式】已知角的终边过点(,2)(0)aa a，求sin、cos、tan的值【解析】22(2)5|raaa（1）当0a 时，5ra，2 5sin5，5cos5，tan2；（2）当0a 时，5ra，2 5sin5，5cos5，tan2.【课堂练习】1角的终边在第一、三象限的角平分线上，角的集合可写成 2已知角的余弦线是单位长度的有向线段，那么角的终边 ()A在 x 轴上 B在 y 轴上 C在直线 y=x 上 D在直线 y=x 上 3已知角的终边过点 p(5，12)，则 cos=，tan=4 tan(3)cot5cos8的符号为 5若 costan0，则是 ()A第一象限角 B第二象限角 C第一、二象限角 D第二、三象限角【课后检测】1 已知是钝角，那么2 是 （）A第一象限角 B第二象限角 C第一与第二象限角 D不小于直角的正角 2 角的终边过点 P（4k，3k）(k0，则 cos的值是 （）A 3 5 B 45 C 35 D 45 3已知点 P(sincos，tan)在第一象限，则在0，2内，的取值范围是 ()A(2，34)(，54)B(4，2)(，54)C(2，34)(54，32)D(4，2)(34，)4若 sinx=35，cosx=45，则角 2x 的终边位置在 ()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 倍角公应用差角公应用学法注重化归思想的运用如将任意角的三角函数思想的运用如讨论函数性质等问题时要结合函数图象思考便易找出解题正切的意义了解余切正割余割的定义掌握三角函数的符号法则考点梳理学习必备 欢迎下载 5若 46，且与 23 终边相同，则=6 角终边在第三象限，则角 2终边在 象限 7已知tanx=tanx，则角 x 的集合为 8如果是第三象限角，则 cos(sin)sin(sin)的符号为什么？9已知扇形 AOB 的周长是 6cm，该扇形中心角是 1 弧度，求该扇形面积 参考答案：【课堂练习】1|=k+4，kZ 2 A 3.513 ，125 4 5 C 【课后检测】1 A 2 B 3 B 4 D 5163 6一、二 72k+2x2k+或 2k+32x2k+2，kZ 8负 9 2cm2 第 2 课 同角三角函数的关系及诱导公式【学习目标】掌握同角三角函数的基本关系式：sin 2+cos2=1，sin cos=tan，tancot=1，掌握正弦、余弦的诱导公式能运用化归思想（即将含有较多三角函数名称问题化成含有较少三角函数名称问题）解题 【考点梳理】考点一、同角三角函数间的基本关系式 1.平方关系：222222sincos1;sec1tan;csc1cot .2.商数关系：sincostan;cotcossin.3.倒数关系：tancot1;sincsc1;cossec1 要点诠释：同角三角函数的基本关系主要用于：（1）已知某一角的三角函数，求其它各三角函倍角公应用差角公应用学法注重化归思想的运用如将任意角的三角函数思想的运用如讨论函数性质等问题时要结合函数图象思考便易找出解题正切的意义了解余切正割余割的定义掌握三角函数的符号法则考点梳理学习必备 欢迎下载 数值；（2）证明三角恒等式；（3）化简三角函数式.三角变换中要注意“1”的妙用，解决某些问题若用“1”代换，如221sincos，221sectantan 45，则可以事半功倍；同时三角变换中还要注意使用“化弦法”、消去法及方程思想的运用.考点二、诱导公式 1.2(),2kkZ 的三角函数值等于的同名三角函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值所在象限的符号.2.2，23的三角函数值等于的互余函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值所在象限的符号.要点诠释：1、诱导公式其作用主要是将三角函数值转化为090角的三角函数值，本节公式较多，要正确理解和记忆，诱导公式可以用“奇变偶不变，符号看象限（奇、偶指的是2的奇数倍、偶数倍）”这个口诀进行记忆.2、在利用诱导公式求三角函数的值时，一定要注意符号。3、三角变换一般技巧有 切化弦，降次，变角，化单一函数，妙用 1，分子分母同乘除，类型三、诱导公式 例4.已知33)6cos(，求)6(sin)65cos(2的值.【答案】233【解析】)6(sin)65cos(22cos()sin ()66 22cos()sin()cos()1cos()6666 31231333 .倍角公应用差角公应用学法注重化归思想的运用如将任意角的三角函数思想的运用如讨论函数性质等问题时要结合函数图象思考便易找出解题正切的意义了解余切正割余割的定义掌握三角函数的符号法则考点梳理学习必备 欢迎下载 举一反三：【变式 1】计算：sin330cos 240【答案】1【解析】原式sin(36030)cos(180+60=sin30cos601）.【变式 2】化简sin()cos()44.【答案】0【解析】原式sin()cos()sin()sin()042444.类型四、同角三角函数的基本关系式 例 5已知1sincos5，且0 求sincos、sincos的值；【答案】1225；75【解析】方法一：由1sincos5可得：221sin2sincoscos25，即112sincos25，12sincos25 1sincos5，12sincos25 sin、cos是方程21120525xx的两根，4sin53cos5 或3sin54cos5 0 ，sin0，4sin5，3cos5，7sincos5 方法二：由1sincos5可得：221sin2sincoscos25，即112sincos25，12sincos25 0 ，sin0，cos0，sincos0 倍角公应用差角公应用学法注重化归思想的运用如将任意角的三角函数思想的运用如讨论函数性质等问题时要结合函数图象思考便易找出解题正切的意义了解余切正割余割的定义掌握三角函数的符号法则考点梳理学习必备 欢迎下载 由21249sincos1 2sincos122525 （）7sincos5 举一反三：【变式】已知2sincos2，求2211sincos的值.【答案】16【解析】由2sincos2可得：221sin2sincoscos12sincos2；于是1sincos4，22222211sincos16sincossincos 例 6已知2sincos0，求下列各式的值（1）4sin3cos2sin5cos；（2）222sin3sincos5cos【答案】54；125【解析】由2sincos0得1tan2，（1）原式4sin3coscos2sin5coscos4tan353tan54；（2）原式2222112cos(2 tan3tan5)(2 tan3tan5)1tan5 举一反三：【变式】已知tan2，求值（1）sincossincos；（2）212sincoscos【答案】13；53【解析】（1）原式sincoscossincoscostan11tan13；倍角公应用差角公应用学法注重化归思想的运用如将任意角的三角函数思想的运用如讨论函数性质等问题时要结合函数图象思考便易找出解题正切的意义了解余切正割余割的定义掌握三角函数的符号法则考点梳理学习必备 欢迎下载（2）原式22212sincoscoscos()cos 21tan52tan13 【课堂练习】1sin2150+sin2135+2sin210+cos2225的值是 ()A 14 B 34 C 114 D 94 2已知 sin(+)=35，则 ()Acos=45 Btan=34 Ccos=45 Dsin()=35 3已 tan=3，4sin2cos5cos3sin的值为 4化简 1+2sin(-2)cos(+2)=5已知是第三象限角，且 sin4+cos4=59，那么 sin2等于 ()A 2 2 3 B2 2 3 C23 D 23 【课后反馈】1sin600的值是 （）A12 B 12 C3 2 D 3 2 2 sin(4+)sin（4）的化简结果为 （）Acos2 B12cos2 Csin2 D 12sin2 3已知 sinx+cosx=15，x0，则 tanx 的值是 （）A34 B 43 C43 D34或43 4已知 tan=13，则1 2sincos+cos2=5 12sin10cos10 cos10 1cos2170 的值为 6证明1+2sincos cos2sin2=1+tan 1tan 倍角公应用差角公应用学法注重化归思想的运用如将任意角的三角函数思想的运用如讨论函数性质等问题时要结合函数图象思考便易找出解题正切的意义了解余切正割余割的定义掌握三角函数的符号法则考点梳理学习必备 欢迎下载 7已知2sin+cos sin3cos=5，求 3cos2+4sin2的值 8已知锐角、满足 sin+sin=sin，coscos=cos，求的值 参考答案：【课堂练习】1 A 2 D 357 4sin2cos2 5 A 【课后反馈】1 D 2 B 3 B 4103 5 1 6 略 775 83 第 3 课 两角和与两角差的三角函数（一）【学习目标】掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能运用化归思想（将不同角化成同角等）解题【知识梳理】一两角和与差的正弦、余弦和正切公式：coscoscossinsin；coscoscossinsin；sinsincoscossin；sinsincoscossin；tantantan1 tantan（tantantan1 tantan）；tantantan1 tantan（tantantan1 tantan）二二倍角的正弦、余弦和正切公式：sin22sincos 2222cos2cossin2cos1 1 2sin（2cos 21cos2，21 cos 2sin2）倍角公应用差角公应用学法注重化归思想的运用如将任意角的三角函数思想的运用如讨论函数性质等问题时要结合函数图象思考便易找出解题正切的意义了解余切正割余割的定义掌握三角函数的符号法则考点梳理学习必备 欢迎下载 22tantan21 tan 22cos1sin;22cos1cos:)4(22降幂公式 半角公式sincos1cos1sincos1cos122cos12sin;2cos12cos:)5(tg 2121 cos;2122 sin:)6(222万能公式tgtgtgtg 三辅助角公式 22sincossin ，其中tan 注：（）这些公式既可以从左向右运用，也可以从右向左运用 （）要会把一个角分成两个角的和与差 （）在一个十字中，若既有正余弦又有正切，一般是先切化弦，而后在计算 【解题技巧】：1、以变角为主线，注意配凑和转化；2、遇见切，想化弦；个别情况弦化切；3、见和差，想化积；见乘积，化和差；4、见分式，想通分，使分母最简；5、见平方想降幂，见“1cos”想升幂；6、见 2sin，想拆成 sin+sin；7、见 sincos或 sin+sin=p 及 cos+cos=q，想两边平方或和差化积。8、见 asin+bcos，想化为形式)sin(22 ba。9、见 coscoscos，先运用sin22sincos，若不行，则化和差。倍角公应用差角公应用学法注重化归思想的运用如将任意角的三角函数思想的运用如讨论函数性质等问题时要结合函数图象思考便易找出解题正切的意义了解余切正割余割的定义掌握三角函数的符号法则考点梳理学习必备 欢迎下载 【典型例题】例 1 已知 sin sin=13 ，cos cos=12，求 cos()的值 分析 由于 cos()=coscos+sinsin的右边是关于 sin、cos、sin、cos的二次式，而已知条件是关于 sin、sin、cos、cos的一次式，所以将已知式两边平方 解 sinsin=13，coscos=12，2 2，得 22cos()=1336 cos()=7259 【点评】审题中要善于寻找已知和欲求的差异，设法消除差异 例 2 求 2cos10-sin20 cos20 的值 分析 式中含有两个角，故需先化简注意到 10=3020，由于 30的三角函数值已知，则可将两个角化成一个角 解 10=3020，原式=2cos(30-20)-sin20 cos20 =2(cos30cos20+sin30sin20)-sin20 cos20=3 cos30 cos20=3 【点评】化异角为同角，是三角变换中常用的方法 例 3 已知：sin(2+)=2sin 求证：tan=3tan(+)分析 已知式中含有角 2+和，而欲求式中含有角和+，所以要设法将已知式中的角转化成欲求式中的角 解 2+=(+)+，=(+)，sin(+)+=2sin(+)sin(+)cos+cos(+)sin=2sin(+)cos+2cos(+)sin 若 cos(+)0，cos0，则 3tan(+)=tan 【点评】审题中要仔细分析角与角之间的关系，善于运用整体思想解题，此题中将+看成一个整体 【注意】审题中，要善于观察已知式和欲求式的差异，注意角之间的关系；整体思想是三角变换中常用的思想 例 4 求下列各式的值 （1）tan10tan50+3 tan10tan50；(2)（3 tan12-3）csc12 4cos 212-2 (1)解 原式=tan(10+50)（1tan10tan50）+3 tan10tan50=3 （2）分析 式中含有多个函数名称，故需减少函数名称的个数，进行切割化弦 倍角公应用差角公应用学法注重化归思想的运用如将任意角的三角函数思想的运用如讨论函数性质等问题时要结合函数图象思考便易找出解题正切的意义了解余切正割余割的定义掌握三角函数的符号法则考点梳理学习必备 欢迎下载 解 原式=（3 sin12cos123）1 sin122 cos24 =24cos212sin312cos3=48sin21)12cos2312sin21(3224cos12cos12sin212cos312sin3=.3448sin)6012sin(34 【点评】（1）要注意公式的变形运用和逆向运用，注意公式 tanA+tanB=tan(A+B)（1tanAtanB），asinx+bsinx=22ba sin(x+)的运用；（2）在三角变换中，切割化弦是常用的变换方法 例 5 求证1+sin4-cos42 tan =1+sin4+cos4 1-tan2 分析 三角恒等式的证明可从一边开始，证得它等于另一边；也可以分别从两边开始，证得都等于同一个式子；还可以先证得另一等式，从而推出需要证明的等式 由欲证的等式可知，可先证等式1+sin4-cos4 1+sin4+cos4=2tan 1-tan2，此式的右边等于 tan2，而此式的左边出现了“1cos4”和“1+cos4”，分别运用升幂公式可出现角 2，sin4用倍角公式可出现角 2，从而等式可望得证 证略 【点评】注意倍角公式 cos2=2cos21，cos2=12sin2的变形公式：升幂公式 1+cos2=2cos 2，1cos2=2sin2，降幂公式 sin2=1-cos22，cos2=1cos22 的运用；三角恒等式证明的方法：从一边推得另一边；左右归一，先证其等价等于等式；分析法等 例 6 已知 cos(4+x)=35，1712x 74，求sin2x sin2xtanx 1-tanx的值 解 原式=sin2x（1tanx）1-tanx=sin2xtan4tanx 1-tan4tanx=sin2xtan（4+x）=cos2(x+4)tan(x+4)=2cos2(x+)1tan（4+x）1712x 74，53x+42 sin(4+x)=45，tan（4+x）=43 原式=2875 倍角公应用差角公应用学法注重化归思想的运用如将任意角的三角函数思想的运用如讨论函数性质等问题时要结合函数图象思考便易找出解题正切的意义了解余切正割余割的定义掌握三角函数的符号法则考点梳理学习必备 欢迎下载【点评】（1）注意两角和公式的逆用；（2）注意特殊角与其三角函数值的关系，如 1=tan4 等；（3）注意化同角，将所求式中的角 x 转化成已知条件中的角 x+4 【注意】在三角变换中，要注意三角公式的逆用和变形运用，特别要注意如下公式：tanA+tanB=tan(A+B)1tanAtanB；asinx+bcosx=22ba sin(x+)及升幂、降幂公式的运用 【课堂练习 1】1cos105的值为 （）A6 2 4 B 6 2 4 C 2 6 4 D 6 2 4 2对于任何、（0，2），sin(+)与 sin+sin的大小关系是 （）Asin(+)sin+sin Bsin(+)sin+sin Csin(+)=sin+sin D要以、的具体值而定 3已知32，sin2=a，则 sin+cos等于 （）A a+1 B a+1 C a2+1 D a2+1 4已知 tan=13，tan=13，则 cot(+2)=5已知 tanx=12，则 cos2x=【课堂练习 2】求下列各式的值 1cos200cos80+cos110cos10=212（cos15+3 sin15）=3化简 1+2cos2cos2=4cos(20+x)cos(25 x)cos(70 x)sin(25x)=511tan 11tan=【课后反馈 1】1已知 02，sin=35，cos(+)=45，则 sin等于 （）A0 B0 或2425 C 2425 D0 或2425 2 sin7+cos15sin8 cos7sin15sin8 的值等于 （）倍角公应用差角公应用学法注重化归思想的运用如将任意角的三角函数思想的运用如讨论函数性质等问题时要结合函数图象思考便易找出解题正切的意义了解余切正割余割的定义掌握三角函数的符号法则考点梳理学习必备 欢迎下载 A2+3 B 2+3 2 C2 3 D 2 3 2 3 ABC 中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则C 的大小为 （）A 6 B 56 C 6或56 D 3或23 4若是锐角，且 sin(6)=13，则 cos的值是 5cos7cos27cos37=6已知 tan=12，tan=13，且、都是锐角求证：+=45 7已知 cos()=45，cos(+)=45，且（）（2，），+（32，2），求 cos2、cos2的值 8 已知 sin(+)=12，且 sin(+)=13，求tantan 【课后反馈 2】1cos75+cos15的值等于 （）A 6 2 B 6 2 C 2 2 D 2 2 2a=2 2（sin17+cos17），b=2cos2131，c=2 2，则 （）Acab B bca C abc D bac 3化简1+sin2-cos2 1+sin2+cos2=4化简 sin(2+)2sincos(+)=倍角公应用差角公应用学法注重化归思想的运用如将任意角的三角函数思想的运用如讨论函数性质等问题时要结合函数图象思考便易找出解题正切的意义了解余切正割余割的定义掌握三角函数的符号法则考点梳理学习必备 欢迎下载 5在ABC 中，已知 A、B、C 成等差数列，则 tanA2+tanC2+3 tanA2tanC2的值为 6化简 sin2A+sin2B+2sinAsinBcos(A+B)7 化简 sin50(1+3 tan10)8 已知 sin(+)=1，求证：sin(2+)+sin(2+3)=0 参考答案：【课堂练习 1】1 C 2 B 3 B 412 535【课堂练习 2】1 12 2 2 2 3 2 4 2 2 5tan2 【课后反馈 1】1 C 2 C 3 A 42 6 16 5 18 6略 7 cos2=725，cos2=1 8 15【课后反馈 2】1 A 2 A 3 tan 4 sin 5 3 6 sin2（AB）7.1 8.略 倍角公应用差角公应用学法注重化归思想的运用如将任意角的三角函数思想的运用如讨论函数性质等问题时要结合函数图象思考便易找出解题正切的意义了解余切正割余割的定义掌握三角函数的符号法则考点梳理学习必备 欢迎下载 第 4 课 三角函数的图象与性质（一）【学习目标】了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，能运用数形结合的思想解决问题，能讨论较复杂的三角函数的性质 【典型例题】例 1 （1）函数xxys in21)t a n1lg(的定义域为 (2)若、为锐角，sin cos，则、满足 （）A B C+2 D+2 分析 （1）函数的定义域为0.2sinx-10,tanx-1(*)的解集，由于 y=tanx 的最小正周期为，y=sinx 的最小正周期为 2，所以原函数的周期为 2，应结合三角函数 y=tanx和 y=sinx 的图象先求出(2，32)上满足（*）的 x 的范围，再据周期性易得所求定义域为x 2k2x2k+6，或 2k+56 x2k+54，kZ 分析（2）sin、cos不同名，故将不同名函数转化成同名函数，cos转化成 sin(2)，运用 y=sinx 在0，2的单调性，便知答案为 C 【点评】（1）讨论周期函数的问题，可先讨论一个周期内的情况，然后将其推广；（2）解三角不等式，要注意三角函数图象的运用；（3）注意运用三角函数的单调性比较三角函数值的大小 例 2 判断下列函数的奇偶性：(1)xxxycos1cossin；(2).cossin1cossin1xxxxy 分析 讨论函数的奇偶性，需首先考虑函数的定义域是否关于原点对称，然后考 f(x)f(x)或f(x)解（1）定义域关于原点对称，分子上为奇函数的差，又因为 1+cosx=2cos2 x2，所以分母为偶函数，所以原函数是奇函数 （2）定义域不关于原点对称（如 x=2，但 x2），故不是奇函数，也不是偶函数 【点评】将函数式化简变形，有利于判断函数的奇偶性 例 3 求下列函数的最小正周期：（1）y=sin(2x 6)sin(2x+3)；(2).)32cos(2cos)32sin(2sinxxxxy 倍角公应用差角公应用学法注重化归思想的运用如将任意角的三角函数思想的运用如讨论函数性质等问题时要结合函数图象思考便易找出解题正切的意义了解余切正割余割的定义掌握三角函数的符号法则考点梳理学习必备 欢迎下载 分析 对形如 y=Asin(x+)、y=Acos(x+)和 y=Atan(x+)的函数，易求出其周期，所以需将原函数式进行化简 解 （1）y=sin(2x 6)sin(2x+26)=12sin(4x3)，所以最小正周期为24=2 （2）y=23)2(sin21)2(cos2cos23)2(cos21)2(sin2sinxxxxxx=xxxx2sin232cos232cos232sin23 =).62tan(2tan331332tan2tan312tan3xxxxx 是小正周期为2 【点评】求复杂函数的周期，往往需先化简，其化简的目标是转化成 y=Asin(x+)k 或 y=Acos(x+)k 或 y=Atan(x+)k 的形式（其中 A、k 为常数，0）例 4 已知函数 f(x)=5sinxcosx53cos2x+235(x R)(1)求 f(x)的单调增区间；（2）求 f(x)图象的对称轴、对称中心 分析 函数表达式较复杂，需先化简 解 f(x)=52sin2x531+cos2x2235=5sin(2x3)（1）由 2k22x32k+2，得k12，k+512（kZ）为 f(x)的单调增区间 （2）令 2x 3=k+2，得 x=k2+512（kZ），则 x=k2+512（kZ）为函数y=f(x)图象的对称轴所在直线的方程，令 2x3=k，得 x=k2+6（kZ），y=f(x)图象的对称中心为点（k2+6，0）（kZ）【点评】研究三角函数的性质，往往需先化简，以化成一个三角函数为目标；讨论y=Asin(x+)(0)的单调区间，应将x+看成一个整体，设为 t，从而归结为讨论y=Asint 的单调性 【注意】讨论较复杂的三角函数的性质，往往需要将原函数式进行化简，其目标为转化成同一个倍角公应用差角公应用学法注重化归思想的运用如将任意角的三角函数思想的运用如讨论函数性质等问题时要结合函数图象思考便易找出解题正切的意义了解余切正割余割的定义掌握三角函数的符号法则考点梳理学习必备 欢迎下载 角的同名三角函数问题讨论三角函数的单调性，解三角不等式，要注意数形结合思想的运用注意函数性质在解题中的运用：若一个函数为周期函数，则讨论其有关问题，可先研究在一个周期内的情形，然后再进行推广；若要比较两个角的三角函数值的大小，可考虑运用三角函数的单调性加以解决【课堂练习】1若 3+2cosx0，则 x 的范围是 2下列各区间，使函数 y=sin(x+)的单调递增的区间是 （）A2，B 0，4 C ，0 D 4，2 3下列函数中，周期为2的偶函数是 （）Ay=sin4x B y=cos22xsin22x C y=tan2x D y=cos2x 4判断下列函数的奇偶性 （1）y=xsinx+x2cos2x 是 函数；（2）y=sin2xxcotx 是 函数；（3）y=sin(72+3x)是 函数 5函数 f(x)=cos(3x+)是奇函数，则的值为 【课后反馈】1函数 y=lg(2cosx 1)的定义域为 （）Ax 3x3 Bx6x6 Cx2k3x2k+3，kZ D x2k6x2k+6，kZ 2如果、（2，），且 tancot，那么必有 （）A B C +32 D +32 3若 f(x)sinx 是周期为的奇函数，则 f(x)可以是 （）Asinx B cosx C sin2x D cos2x 4下列命题中正确的是 （）A若、是第一象限角，且，且 sinsin B函数 y=sinxcotx 的单调递增区间是（2k2，2k+2），kZ C函数 y=1cos2x sin2x 的最小正周期是 2 D函数 y=sinxcos2 cosxsin2的图象关于 y 轴对称，则=k24，kZ 5函数 y=sinx2+cosx2在（2，2）内的递增区间是 6y=sin6x+cos6x 的周期为 7比较下列函数值的大小：（1）sin2，sin3，sin4；倍角公应用差角公应用学法注重化归思想的运用如将任意角的三角函数思想的运用如讨论函数性质等问题时要结合函数图象思考便易找出解题正切的意义了解余切正割余割的定义掌握三角函数的符号法则考点梳理学习必备 欢迎下载(2)cos2，sin2，tan2（42）8设 f(x)=sin(k5x+3)(k0)(1)写出 f(x)的最大值 M，最小值 m，以及最小正周期 T；（2）试求最小的正整数 k，使得当自变量 x 在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数 f(x)至少有一个 M 与 m 第 6 课 三角函数的图象与性质（二）【学习目标】了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数 y=Asin(x+)的图象，理解参数 A、的物理意义掌握将函数图象进行对称变换、平移变换、伸缩变换会根据图象提供的信息，求出函数解析式【课堂练习】1将 y=cosx 的图象作关于 x 轴的对称变换，再将所得的图象向下平移 1 个单位，所得图象对应的函数是 （）Ay=cosx+1 By=cosx1 Cy=cosx+1 Dy=cosx1 2函数 f(x)=sin3x 图象的对称中心的坐标一定是 （）A(12k，0)，kZ B（13k，0），kZ C（14k，0），kZ D（k，0），kZ 3函数 y=cos(2x+2)的图象的一个对称轴方程为 （）Ax=2 Bx=4 Cx=8 Dx=4 为了得到函数y=4sin(3x+4)，xR的图象，只需把函数y=3sin(x+4)的图象上所有点（）A横坐标伸长到原来的 3 倍，纵坐标不变 B横坐标缩短到原来的13倍，纵坐标不变 C纵坐标伸长到原来的 3 倍，横坐标不变 D纵坐标缩短到原来的13倍，横坐标不变 5要得到 y=sin(2x 3)的图象，只需将 y=sin2x 的图象 （）A向左平移3个单位 B 向右平移3个单位 倍角公应用差角公应用学法注重化归思想的运用如将任意角的三角函数思想的运用如讨论函数性质等问题时要结合函数图象思考便易找出解题正切的意义了解余切正割余割的定义掌