2023年《函数的单调性与最值》精品讲义1.pdf

学习必备 欢迎下载 函数的单调性与最值 适用学科 数学 适用年级 高三 适用区域 新课标 课时时长（分钟）60 知 识 点 1.单调性的概念 2.单调性的判断 3.单调性的应用 4.最值与值域问题 教学目标 1理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义 2会运用函数图像理解和研究函数的单调性、最值 教学重点 单调区间、判断单调性、求最值及利用它们求参数的取值范围 教学难点 函数的单调性与最值 学习必备 欢迎下载 教学过程 一、课堂导入 问题 1：大家一起来举出生活中描述上升或下降的变化规律的成语 （蒸蒸日上、每况愈下、波澜起伏）问题 2：请你根据上述的成语分别给出一个函数，并在直角坐标系中绘制相应的函数图象.图像理解和研究函数的单调性最值教学重点单调区间判断单调性求最值语蒸蒸日上每况愈下波澜起伏问题请你根据上述的成语分别给出一个函学习必备欢迎下载增函数减函数一般地设函数的定义域为如果对于定义学习必备 欢迎下载 二、复习预习 1、函数的概念 2、函数的三要素 3、函数的表示方法 图像理解和研究函数的单调性最值教学重点单调区间判断单调性求最值语蒸蒸日上每况愈下波澜起伏问题请你根据上述的成语分别给出一个函学习必备欢迎下载增函数减函数一般地设函数的定义域为如果对于定义学习必备 欢迎下载 三、知识讲解 考点 1 函数的单调性(1)单调函数的定义：增函数 减函数 定义 一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2.当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数 当 x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D 上是减函数 图象描述 自左向右看图象是逐渐上升的 自左向右看图象是逐渐下降的 (2)如果函数 yf(x)在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数 yf(x)在区间 D 具有(严格的)单调性，这一区间叫做 yf(x)的单调区间 图像理解和研究函数的单调性最值教学重点单调区间判断单调性求最值语蒸蒸日上每况愈下波澜起伏问题请你根据上述的成语分别给出一个函学习必备欢迎下载增函数减函数一般地设函数的定义域为如果对于定义学习必备 欢迎下载 考点 2 函数的最值 前提 设函数 yf(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足 条件 对于任意 xI，都有 f(x)M；存在 x0I，使得 f(x0)M.对于任意 xI，都有 f(x)M；存在 x0I，使得 f(x0)M.结论 M 为最大值 M 为最小值 图像理解和研究函数的单调性最值教学重点单调区间判断单调性求最值语蒸蒸日上每况愈下波澜起伏问题请你根据上述的成语分别给出一个函学习必备欢迎下载增函数减函数一般地设函数的定义域为如果对于定义学习必备 欢迎下载 四、例题精析【例题 1】【题干】讨论函数 f(x)axx21(a0)的单调性 图像理解和研究函数的单调性最值教学重点单调区间判断单调性求最值语蒸蒸日上每况愈下波澜起伏问题请你根据上述的成语分别给出一个函学习必备欢迎下载增函数减函数一般地设函数的定义域为如果对于定义学习必备 欢迎下载【解析】由 x210，得 x 1，即 定义域为(，1)(1,1)(1，)当 x(1,1)时，设1x1x21，则 f(x1)f(x2)ax1x211ax2x221 ax1x22ax1ax2x21ax2 x211x221a x2x1x1x21 x211x221.1x1x20，x1x210，(x211)(x221)0.又 a0，f(x1)f(x2)0，函数 f(x)在(1,1)上为减函数 设 1x1x2，则 f(x1)f(x2)ax1x211ax2x221 图像理解和研究函数的单调性最值教学重点单调区间判断单调性求最值语蒸蒸日上每况愈下波澜起伏问题请你根据上述的成语分别给出一个函学习必备欢迎下载增函数减函数一般地设函数的定义域为如果对于定义学习必备 欢迎下载 a x2x1x1x21 x211x221，1x10，x2210，x2x10，x1x210.f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)f(x)在(1，)上为减函数 又函数 f(x)是奇函数，f(x)在(，1)上是减函数.图像理解和研究函数的单调性最值教学重点单调区间判断单调性求最值语蒸蒸日上每况愈下波澜起伏问题请你根据上述的成语分别给出一个函学习必备欢迎下载增函数减函数一般地设函数的定义域为如果对于定义学习必备 欢迎下载【例题 2】【题干】求函数 y x2x6的单调区间 图像理解和研究函数的单调性最值教学重点单调区间判断单调性求最值语蒸蒸日上每况愈下波澜起伏问题请你根据上述的成语分别给出一个函学习必备欢迎下载增函数减函数一般地设函数的定义域为如果对于定义学习必备 欢迎下载【解析】令 ux2x6，y x2x6可以看作有 y u与 ux2x6 的复合函数 由 ux2x60，得 x3 或 x2.ux2x6 在(，3上是减函数，在2，)上是增函数，而 y u在(0，)上是增函数 y x2x6的单调减区间为(，3，单调增区间为2，)图像理解和研究函数的单调性最值教学重点单调区间判断单调性求最值语蒸蒸日上每况愈下波澜起伏问题请你根据上述的成语分别给出一个函学习必备欢迎下载增函数减函数一般地设函数的定义域为如果对于定义学习必备 欢迎下载【例题 3】【题干】已知 f(x)xxa(xa)，若 a0 且 f(x)在(1，)内单调递减，求 a 的取值范围 图像理解和研究函数的单调性最值教学重点单调区间判断单调性求最值语蒸蒸日上每况愈下波澜起伏问题请你根据上述的成语分别给出一个函学习必备欢迎下载增函数减函数一般地设函数的定义域为如果对于定义学习必备 欢迎下载【解析】任设 1x10，x2x10，要使f(x1)f(x2)0，只需(x1a)(x2a)0 恒成立 a1.综上所述，a 的取值范围是(0,1 图像理解和研究函数的单调性最值教学重点单调区间判断单调性求最值语蒸蒸日上每况愈下波澜起伏问题请你根据上述的成语分别给出一个函学习必备欢迎下载增函数减函数一般地设函数的定义域为如果对于定义学习必备 欢迎下载 【例题 4】【题干】设函数 f(x)x21，对任意 x32，fxm4m2f(x)f(x1)4f(m)恒成立，求实数 m 的取值范围 图像理解和研究函数的单调性最值教学重点单调区间判断单调性求最值语蒸蒸日上每况愈下波澜起伏问题请你根据上述的成语分别给出一个函学习必备欢迎下载增函数减函数一般地设函数的定义域为如果对于定义学习必备 欢迎下载【解析】由题意知，x2m214m2(x21)(x1)214(m21)在 x32，上恒成立，即1m24m23x22x1 在 x32，上恒成立，当 x32时，函数 y3x22x1 取得最小值53，所以1m24m253，即(3m21)(4m23)0，解得 m32或 m32.即实数 m 的取值范围为，3232，.图像理解和研究函数的单调性最值教学重点单调区间判断单调性求最值语蒸蒸日上每况愈下波澜起伏问题请你根据上述的成语分别给出一个函学习必备欢迎下载增函数减函数一般地设函数的定义域为如果对于定义学习必备 欢迎下载 五、课堂运用【基础】1(2012 广东高考)下列函数中，在区间(0，)上为增函数的是()Ayln(x2)Byx1 Cy12x Dyx1x 图像理解和研究函数的单调性最值教学重点单调区间判断单调性求最值语蒸蒸日上每况愈下波澜起伏问题请你根据上述的成语分别给出一个函学习必备欢迎下载增函数减函数一般地设函数的定义域为如果对于定义学习必备 欢迎下载 解析：选 A 选项 A 的函数 yln(x2)的增区间为(2，)，所以在(0，)上一定是增函数 图像理解和研究函数的单调性最值教学重点单调区间判断单调性求最值语蒸蒸日上每况愈下波澜起伏问题请你根据上述的成语分别给出一个函学习必备欢迎下载增函数减函数一般地设函数的定义域为如果对于定义学习必备 欢迎下载 2若 f(x)x22ax 与 g(x)ax1在区间1,2上都是减函数，则 a 的取值范围是()A(1,0)(0,1)B(1,0)(0,1 C(0,1)D(0,1 图像理解和研究函数的单调性最值教学重点单调区间判断单调性求最值语蒸蒸日上每况愈下波澜起伏问题请你根据上述的成语分别给出一个函学习必备欢迎下载增函数减函数一般地设函数的定义域为如果对于定义学习必备 欢迎下载 解析：选 D 函数 f(x)x22ax 在区间1,2上是减函数，a1.又函数 g(x)ax1在区间1,2上也是减函数，a0.a 的取值范围是(0,1 图像理解和研究函数的单调性最值教学重点单调区间判断单调性求最值语蒸蒸日上每况愈下波澜起伏问题请你根据上述的成语分别给出一个函学习必备欢迎下载增函数减函数一般地设函数的定义域为如果对于定义学习必备 欢迎下载 3若函数 f(x)loga(2x2x)(a0 且 a1)在区间0，12内恒有 f(x)0，则 f(x)的单调递增区间为()A.，14 B.14，C(0，)D.，12 图像理解和研究函数的单调性最值教学重点单调区间判断单调性求最值语蒸蒸日上每况愈下波澜起伏问题请你根据上述的成语分别给出一个函学习必备欢迎下载增函数减函数一般地设函数的定义域为如果对于定义学习必备 欢迎下载 解析：选 D 令 g(x)2x2x0，得 x0 或 x12，所以函数 f(x)的定义域为，12(0，)易知函数 g(x)在0，12上单调递增，所以在0，12上，0g(x)0 恒成立，故 0a0(a 是常数且 a0)对于下列命题：函数 f(x)的最小值是1；函数 f(x)在 R 上是单调函数；若 f(x)0 在12，上恒成立，则 a 的取值范围是 a1；对任意的 x10，x20 且 x1 x2，恒有 fx1x220 在12，上恒成立，则 2a1210，a1，故正确；由图象可知在(，0)上对任意的 x10，x20 且 x1 x2，恒有 fx1x22f x1 f x22成立，故正确 答案：图像理解和研究函数的单调性最值教学重点单调区间判断单调性求最值语蒸蒸日上每况愈下波澜起伏问题请你根据上述的成语分别给出一个函学习必备欢迎下载增函数减函数一般地设函数的定义域为如果对于定义学习必备 欢迎下载 【拔高】6讨论函数 f(x)mxx2(m0)的单调性 图像理解和研究函数的单调性最值教学重点单调区间判断单调性求最值语蒸蒸日上每况愈下波澜起伏问题请你根据上述的成语分别给出一个函学习必备欢迎下载增函数减函数一般地设函数的定义域为如果对于定义学习必备 欢迎下载 解：函数定义域为x|x2，不妨设 x1，x2(，2)且 x1x2，f(x2)f(x1)mx2x22mx1x12mx2 x12 mx1 x22 x12x222m x1x2 x12x22.m0，x1，x2(，2)，且 x1x2，x1x20.m x1x2 x22x120，即 f(x2)f(x1)，故函数 f(x)在区间(，2)上是增函数 同理可得函数 f(x)在区间(2，)上也是增函数 综上，函数 f(x)在(，2)，(2，)上为增函数 图像理解和研究函数的单调性最值教学重点单调区间判断单调性求最值语蒸蒸日上每况愈下波澜起伏问题请你根据上述的成语分别给出一个函学习必备欢迎下载增函数减函数一般地设函数的定义域为如果对于定义学习必备 欢迎下载 7已知函数 f(x)对任意的 a，bR 恒有 f(ab)f(a)f(b)1，并且当 x0 时，f(x)1.(1)求证：f(x)是 R 上的增函数；(2)若 f(4)5，解不等式 f(3m2m2)3.图像理解和研究函数的单调性最值教学重点单调区间判断单调性求最值语蒸蒸日上每况愈下波澜起伏问题请你根据上述的成语分别给出一个函学习必备欢迎下载增函数减函数一般地设函数的定义域为如果对于定义学习必备 欢迎下载 解：(1)证明：任取 x1，x2R,且 x10，f(x2x1)1.f(x2)f(x1)f(x2x1)10，即 f(x2)f(x1)f(x)是 R 上的增函数(2)令 ab2，得 f(4)f(2)f(2)12f(2)1，f(2)3.而 f(3m2m2)3，f(3m2m2)f(2)又 f(x)在 R 上是单调递增函数，3m2m22，解得1m43.故原不等式的解集为1，43.图像理解和研究函数的单调性最值教学重点单调区间判断单调性求最值语蒸蒸日上每况愈下波澜起伏问题请你根据上述的成语分别给出一个函学习必备欢迎下载增函数减函数一般地设函数的定义域为如果对于定义学习必备 欢迎下载 课程小结 函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间 图像理解和研究函数的单调性最值教学重点单调区间判断单调性求最值语蒸蒸日上每况愈下波澜起伏问题请你根据上述的成语分别给出一个函学习必备欢迎下载增函数减函数一般地设函数的定义域为如果对于定义