2023年不等式知识点总结归纳不等式基础知识1.pdf

名师总结 优秀知识点 不等式的知识要点 1.不等式的基本概念 2.不等式的基本性质（1）abba（对称性）（2）cacbba,（传递性）（3）cbcaba（加法单调性）（4）dbcadcba,（同向不等式相加）（5）dbcadcba,（异向不等式相减）（6）bcaccba0,.（7）bcaccba0,（乘法单调性）（8）bdacdcba0,0（同向不等式相乘）(9)0,0ababcdcd （异向不等式相除）11(10),0ab abab（倒数关系）（11）)1,(0nZnbabann且（平方法则）（12）)(0*2Nnan（开方法则）3.几个重要不等式（1）非负式：0,0|,2aaRa则若；.0,0aa则若（2）)2|2(2,2222ababbaabbaRba或则、若（当仅当 a=b 时取等号）（3）二元均值不等式：如果 a,b 都是正数，那么.2abab（当仅当 a=b 时取等号）常用为：2abab（当仅当 a=b 时取等号），2()2abab（当仅当 a=b 时取等号）极值定理：若,x yRxyS xyP 则：1 如果 P 是定值,那么当 x=y 时，S 的值最小；2 如果 S 是定值,那么当 x=y 时，P 的值最大.利用极值定理求最值的必要条件：一正、二定、三相等.不等式链：如果 a,b 都是正数，那么 222.1122abababab（当仅当 a=b 时取等号）3,3abcabcRabc(4)三元均值不等式：若、则（当仅当 a=b=c 时取等号）0,2baabab(5)若则（当仅当 a=b 时取等号）4.几个著名不等式（1）柯西不等式：时取等号当且仅当（则若nnnnnnnnbababababbbbaaaababababaRbbbbRaaaa332211223222122322212332211321321)();,名师总结 优秀知识点（2）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数 若定义在某区间上的函数 f(x),对于定义域中任意两点1212,(),x xxx有 12121212()()()()()().2222xxf xf xxxf xf xff或 则称 f(x)为凸（或凹）函数.（3）绝对值三角不等式：|,bababaRba 则、若 5.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）.步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.特例 一元一次不等式 axb 解的讨论；一元二次不等式 ax2+bx+c0(a0)解的讨论.（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()()0()()0()()0;0()0()()f x g xf xf xf x g xg xg xg x （3）无理不等式：转化为有理不等式求解 1()0()()()0()()f xf xg xg xf xg x 定义域 20)(0)()()(0)(0)()()(2xgxfxgxfxgxfxgxf或 32)()(0)(0)()()(xgxfxgxfxgxf（4）.指数不等式：转化为代数不等式()()()()()(1)()();(01)()()(0,0)()lglgf xg xf xg xf xaaaf xg xaaaf xg xab abf xab （5）对数不等式：转化为代数不等式()0()0log()log()(1)()0;log()log()(01)()0()()()()aaaaf xf xf xg x ag xf xg xag xf xg xf xg x （6）含一个绝对值不等式 1应用零点分段讨论法，分类讨论思想去绝对值；2应用分段函数，数形思想；3应用几何意义，化归思想等价转化 公式法)()()()(0)()0)(),(0)()(|)(|)()()(0)()(|)(|xgxfxgxfxgxgxfxgxgxfxgxfxgxgxgxf或或不同时为（7）含两个或者两个以上绝对值的不等式 1应用零点分段讨论法，分类讨论思想去绝对值；2应用分段函数，数形思想；3应用几何意义，化归思想等价转化 6.不等式证明的几种常用方法 式则若则若若则或当仅当时取等号二元均值不等式如果都是正数那么当一正二定三相等不等式链如果都是正数那么当仅当时取等号三元均值不某区间上的函数对于定义域中任意两点有或则称为凸或凹函数绝对值三名师总结 优秀知识点 比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.7.不等式与线性规划 式则若则若若则或当仅当时取等号二元均值不等式如果都是正数那么当一正二定三相等不等式链如果都是正数那么当仅当时取等号三元均值不某区间上的函数对于定义域中任意两点有或则称为凸或凹函数绝对值三