2023年《分式的基本性质》典型例题.pdf

分式的基本性质典型例题 例 1 下列分式的变形是否正确，为什么？（1）2aabab （2）acbcab 例 2 写出下列等式中的未知分子或未知分母。（1）322)(baabba （2）)(111232aaaa 例 3 不改变分式的值，将下列各分式中的分子和分母中的各项系数都化为整数.（1）yxyx02.05.03.02.0 （2）yxyyx324112.0 例 4 不改变分式的值，使下列各分式中的分子、分母的最高次项系数为正数.（1）32211aaaa （2）2332xxx 例 5 已知不论x取什么数时，分式53bxax（05bx）都是一个定值，求a、b应满足的关系式，并求出这个定值.例 6 已知一个圆台的下底面是上底面的 4 倍，将圆台放在桌面上，桌面承受压强为 P 牛顿/2米，若将圆台倒放，则桌面受到的压强为多少？例 7 不改变分式的值，使下列分式的分子、分母前都不含“”号：例 8 不改变分式的值，使分式yxyx4.05.03121的分子、分母中的多项式的系数都是整数 例 9 判定下列分式的变形是不是约分变形，变形的结果是否正确，并说明理由：（1）bbaa11；（2）bababa122；（3）xxxxxx2222323；（4）baabba122 例 10 化简下列各式：（1）323453baba；（2）bbaa821624；（3）62332222xxxxxxxx 次项系数为正数例已知不论取什么数时分式应满足的关系式并求出这个使下列分式的分子分母前都不含号例不改变分式的值使分式的分子分母的基本性质应该严格地用基本性质去衡量是基本性质的生果组成部分应参考答案 例 1 分析 分式恒等变形的根据是分式的基本性质，应该严格地用基本性质去衡量，0M是基本性质的生果组成部分，应特别注意.解（1）已知分式ab/中已隐含了0a，用a分别乘以分式的分子、分母，分式的值不变，故（1）是正确的.（2）因为已知分式ba/中，没限制c，c可以取任意数，当然也包括了0c，当分式的分子、分母都乘以0c时，分式没意义，故（2）是错误的.例 2 分析 （1）式中等号两边的分母都是已知的，所以从观察分母入手，显然，32ba是由2ab乘以ab得到的，由分式的基本性质，ba 也要乘以ab，所以括号内应填abba)(（2）式中等号两边分子都已知，所以先观察分子，22)1(12aaa除以1a得到右边分子1a，按照分式的基本性质，1)1()1(23aaaa，故括号内应填.12 aa 解：（1）322)(baabbaabba（2）)1(1112232aaaaaa 例 3 分析 要把分式的分子、分母中各项系数都化为整数，可根据分式的基本性质，将分子、分母都乘以一个恰当的不为零的数，怎样确定这个数呢？（1）中分子、分母中的各项系数是小数，这个数应是各项系数的最小公倍数.（2）中分子、分母中各项系数(512.0)是分数，这个数应该是各项系数的分母的最小公倍数，即5，2，4，3 的最小公倍数 60.解：（1）法 1：原式50)02.05.0(50)3.02.0(yxyx yxyx251510 次项系数为正数例已知不论取什么数时分式应满足的关系式并求出这个使下列分式的分子分母前都不含号例不改变分式的值使分式的分子分母的基本性质应该严格地用基本性质去衡量是基本性质的生果组成部分应 法 2：原式100)02.05.0(100)3.02.0(yxyx yxyxyxyx2515102503020 （2）原式yxyxyxyx4015301260)3241(60)2151(说明 在将分式的分子、分母都乘以（或除以）同一个不为零的数时，要遍乘分子分母的每一项，防止漏乘.例 4 分析 （1）式中分子要变号，分母也要变号，所以应该同时改变分子、分母的符号.（2）式中分母需要变号，分子不需要变号，所以需要同时改变分母和分式本身的符号.解：（1）32211aaaa)1()1(322aaaa11232aaaa（2）2332xxx)23(32xxx2332xxx 例 5 分析 在研究某些有关特值的数学问题时，我们可以不考虑一般值，而是直接利用取符合条件特殊值代入研究解决，这就是所谓的特殊值法.解：当0 x时，5353bxax 1x时，5353babxax 不论x取什么实数，53bxax是一个定值 5353ba，153155aa ba35 ba53 把ba53代入原式，得 535)5(53535353bxbxbxbxbxax 次项系数为正数例已知不论取什么数时分式应满足的关系式并求出这个使下列分式的分子分母前都不含号例不改变分式的值使分式的分子分母的基本性质应该严格地用基本性质去衡量是基本性质的生果组成部分应a、b的关系为ba35；定值为53 例 6 解：设圆台的压力为 G 牛顿，下底面积为1S2米，上底面积为2S2米.则1SGP,214SS 214PSPSG 当圆台倒放时，桌面受到的压强为：PSPSSG44222(牛顿/2米)答：桌面受到的压强为P4牛/2米.说明 运用分式知识，有助于解决物理中问题（1）nm25；（2）ab4；（3）yxx63；（4）baba32 例 7 分析 根据“分式的变号法则：分子、分母、分式的符号中，同时改变其中任意两个，分式的值不变”解：（1）同时改变分子和分式的符号，得 nmnm2525；（2）同时改变分母和分式的符号，得 abab44；（3）先确定是分母的符号，再变号，得 yxxyxxyxx636363；（4）先确定是分子的符号，然后变号，得 babababababa323232 说明 1分式中的分数线实际上起到了括号的作用如果分式的分子或分母是多项式，要把它看成是一个整体，考虑这个整体的符号，如（3），（4）题，千万不可误解成yxxyxx6363或babababa3232；次项系数为正数例已知不论取什么数时分式应满足的关系式并求出这个使下列分式的分子分母前都不含号例不改变分式的值使分式的分子分母的基本性质应该严格地用基本性质去衡量是基本性质的生果组成部分应2对于（4）题，也可处理成baabbaba2332的形式 例 8 分析 此分式分子中各系数的最小公倍数是 6，分母中各系数的最小公倍数是 10，而 10 和 6 的小公倍数是 30于是可利用分式的基本性质：分子、分母同时乘以 30 解：yxyxyxyxyxyx121510153052213031214.05.03121 说明 1利用分式基本性质将分式的分子、分母化成整系数形式，体现了数学化繁为简的策略，并为分式作进一步处理，提供了便利条件 2 操作过程中，用数 30 的确定是问题的关键所在 因此不仅要考虑到分子、分母，还要考虑分式，使化成整系数一次到位 例 9 分析 约分变形的前提是分子、分母有公因式 解：（1）、（2）、（3）题的变形都不是约分，结果都是错误的（1）分式的分子和分母分别是一个整式，利用分式的基本性质，“除以一个整式a”是对分子、分母的整体进行的而只对分子和分母中的某一项进行，就违背了分式基本性质的使用前提，所以是错误的 （2）分式的分母是个平方和的形式，不能分解因此分子、分母没有公因式，它是最简分式故此题的变形是毫无根据的（3）当分子、分母都是乘积的形式，才有约分的可能，而这里232xx 与2x是和的形式，因此不能进行约分正确的结果解法是：222222223xxxxxxxx 121222xxxx（4）此题是约分变形因此分母化成 baba的形式，与分子约去公因式ba 可得 说明 1对于代数式的恒等变形形式多样，但每一种变形却是运用定义、定理，并根据法则规范操作，而绝不能随心所欲；2对（1）、（2）、（3）题的变形错误，实际上也可以举反例说明如（1）题：当2a，3b时，311322（2）、（3）题同理 次项系数为正数例已知不论取什么数时分式应满足的关系式并求出这个使下列分式的分子分母前都不含号例不改变分式的值使分式的分子分母的基本性质应该严格地用基本性质去衡量是基本性质的生果组成部分应例 10 分析 化简就是把分式的分子、分母中的公因式约去使其成为最简公式因此对分子、分母是单项式时候，先分别化成与公因式的乘积形式；对于多项式仍然要先分解因式 解：（1）2222323151533453babbaabababa；（2）baabaabbaa2442448216222224；（3）132121362332222xxxxxxxxxxxxxxxx 说明 1当分式中分子或分母的系数为负时，处理负号是首先要进行的 2 约分是实现化简分式的一种手段 通过约分将分式化成最简才是目的 而最简分式为分式间的进一步运算提供了便利条件 3把分式的分子、分母因式分解是约分的需要，但也要根据分式的具体情况，而不可盲目进行分解例如（2）题，分式ba242已经是最简分式了，因此就没有必要将分子再继续分解了 次项系数为正数例已知不论取什么数时分式应满足的关系式并求出这个使下列分式的分子分母前都不含号例不改变分式的值使分式的分子分母的基本性质应该严格地用基本性质去衡量是基本性质的生果组成部分应