2023年2016年高中数学多元函数求最值问题专题.pdf
精品资料 欢迎下载 多元函数求最值问题 一.【问题背景】多元函数是高等数学中的重要概念之一，但随着新课程的改革，高中数学与大学数学知识的衔接，多元函数的值域与最值及其衍生问题在高考试题中频频出现，因其技巧性强、难度大、方法多、灵活多变而具有挑战性，成为最值求解中的难点和热点。同时，多元函数最值问题中蕴含着丰富的数学思想和方法，而且有利于培养学生联想、化归的解题能力。因此，怎样求多元函数的最值，是师生们非常关注和必须解决的问题，也是高考考生们必须具备的解题技能。二.【常见的方法】导数法、消元法、均值不等式法（“1”代换）、换元法（整体换元 三角换元）、数形结合法、柯西不等式法、向量法等 主要思想方法：数形结合、化归思想等 三.【范例】例 1：已知实数,x y满足0 xy，且2xy，则213xyxy的最小值为 。方法一 因为422xy，所以 21214()()(3)()33233332 2xyxyxyxyxyxyxyxyxyxy 当且仅当2 21,32 2xy 取等号，故213xyxy的最小值32 24【评注】这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数，再用单调性或基本不等式求解，二是直接用基本不等式，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过不等式的途径进行。方法二 利用不等式 222ababpqpq，引证：记向量(,),(,)abxypqpq，因为222x yxy 所以 222ababpqpq，则 2212132xyxyxy32 24【评注】在求有些多元函数的最值时，恰当构造向量模型，利用向量数量积的性质，常可使复杂问题变得简单明了，使繁琐的解题显得巧妙自然。方法三 因为 0,2xyxy ，所以 01y 又因为 21213322222 11yxyxyyyyy 精品资料 欢迎下载 1132 28246(3)3yy 当且仅当2 21,32 2xy 取等号【评注】该解法利用条件将不等式放缩后，通过消元，转化为一元函数，再用基本不等式求解。方法四 因为 2xy，所以 211133221 322xyxykkxyxyxyxykk，其中ykx 记 111 322kkg kkk，0,1k 因为 22228404246kkgkkk，令 0gk，得 4 257k 由于 g k在4 25(0,)7上递减，在4 25(,1)7上递增 故 min4 2532 2()74g kg，所以 213xyxy的最小值32 24【评注】该解法充分体现了数学中的消元思想，将二元函数的最值转化为一元函数的最值，从而利用导数研究函数最值，但在处理过程中充分考虑变量的取值范围，否则容易出错。例 2：已知任意非零实数 x，y 满足 3x24xy(x2y2)恒成立，则实数 的最小值为_ 方法一：依题可得 22222234344xxyxxyxy 因为,x y均不为0，故22234xxyxy4，所以 4【评注】关注各项系数，直接利用基本不等式放缩，构思巧妙。方法二：因为,x y均不为0，所以 222234341()yxxyxyxyx 令ytx，则 2341tt，记 2341tf tt，由导数法可知 因为 1,4f t，所以 4【评注】利用消元思想，转化为函数最值，用导数法解决，是通解通法。方法三：因为 22234xxyxy 所以 22(3)40 xxyy 当3时，则 2340yxy 显然不成立 当3时，同除2y得 2(3)()40 xxyy 多灵活多变而具有挑战性成为最值求解中的难点和热点同时多元函数最们必须具备的解题技能二常见的方法导数法消元法均值不等式法代元法最小值评注这是一个二元函数的最值问题通常有两个途径一是通过消元精品资料 欢迎下载 故 3016430 解得 4【评注】利用消元思想，转化为不等式恒成立问题，通过“”法解决，但此法局限于二次问题。变式练习：22222xxymxy对于一切正数,x y恒成立，则实数m的最小值为 。例 3：设实数,a b c满足221abc ，则abc 的最小值为 。方法一：因为 22cab 所以 22abcabab 22111()()222ab 故 abc 的最小值为12【评注】根据条件进行放缩，利用配方法解决问题。方法二：因为 22cab 所以 22abcabab 又因为 222()2abab 故 222()2ababcababab 211122ab 故 abc 的最小值为12【评注】根据条件进行放缩，关注到基本不等式，同时有整体配方思想。方法三：换元法 令 cos,cos,0,1arbrr 222222cossin2 sin()421sin()sin()2424abcababrrrrr 故 abc 的最小值为12【评注】通过换元，利用三角函数的有界性解决问题。变式练习：已知,x y zR，且2221,3x y zxyz ，则xyz的最大值是 。527 例 4：已知正实数,a b满足2291ab+=，则3abab+的最大值为 .多灵活多变而具有挑战性成为最值求解中的难点和热点同时多元函数最们必须具备的解题技能二常见的方法导数法消元法均值不等式法代元法最小值评注这是一个二元函数的最值问题通常有两个途径一是通过消元精品资料 欢迎下载 方法一：利用不等式222112xyxy可得 22221911323 23baababba，则 3abab+的最大值为212【评注】直接利用基本不等式解决问题。方法二：由 2291ab+=可得 16ab，则 因为 32 3abab，此两处取号时均为3ab 故 123122 32 32 36ababababab=+【评注】两次运用基本不等式，注意等号成立的条件。方法三：因为 2222222()()1116139616(3)9()abababababababababab骣=桫+-由 2291ab+=可得 16ab，则 21372abab骣桫+，所以 3abab+的最大值为212 方法四：令 3s i n,c o s,(0,)2ab，则 1sincos33 sincosababqqqq=?+令 s i nc o s,(1,2 t t，则 21sincos2t 于是 1sin cos11()33 sincos6abtabtqqqq=?-+，由于函数 1f ttt 在区间1,2上递增，故当2t 时，取最大值212 四巩固练习 1.设实数6n，若不等式08)2(2nxxm对任意 2,4x都成立，则nmnm344的多灵活多变而具有挑战性成为最值求解中的难点和热点同时多元函数最们必须具备的解题技能二常见的方法导数法消元法均值不等式法代元法最小值评注这是一个二元函数的最值问题通常有两个途径一是通过消元精品资料 欢迎下载 最小值为 .803 2已知max 32,42,1 6Mxxyy，则M的最小值为 。1910 3.已知 1,1,222cbacbaRcba，则a的最小值为_。13 4.已知na是等差数列，若221510aa，则56789aaaaa 的最大值是 25 5ABC的三边长分别为,a b c，并满足abc，记min,b cKa b，则K的取值范围是 。511,2 多灵活多变而具有挑战性成为最值求解中的难点和热点同时多元函数最们必须具备的解题技能二常见的方法导数法消元法均值不等式法代元法最小值评注这是一个二元函数的最值问题通常有两个途径一是通过消元
