2023年《两角和与差的正切》课堂实录.pdf

学习必备 欢迎下载 两角和与差的正切课堂实录 师：前面我们学习了两角和与差的正、余弦公式，请大家回忆有关公式(学生口答，教师板书公式)sin()与 cos()是讨论复角 与单角、的正、余弦函数间的关系，且此关系对任意角、均成立.今天我们要讨论 tan()与 tan、tan 间的关系.大家想想，能用 tan、tan 来表示 tan()吗？以旧引新，创设问题的情境，通过设疑，引导学生开展积极的思维活动.生：(这里提示学生如何用 tan、tan 表示)(启发学生将-看成+(-)或 师：可以看出，以上推导是把两角和(或差)的正切转化为两角和(或差)的正、余弦；把两角差的正切转化为两角和的正切，即都采用了“转化”的思想方法，这种思想方法是研究数学问题的基本思想方法.在上面推导过程中，是否还有其他值得注意的地方？(稍加停顿，启发学生回答)分子、分母同除以 cos cos，有没有条件限制？生：cos 0，cos 0 师：还有什么限制？生：cos()0 学习必备 欢迎下载 师：因此，在公式 T中，必须注意、的取值范围，应该是使 tan、tan 及tan()都存在的那些值，即、及 都不能取，若，那么求 tan()的值，就不能运用公式 T+，此时应该用诱导公式.明确定理、公式成立的条件并从公式推导中提炼思想方法，使学生的认识完整化.师：用什么方法能记住公式 T呢？(让学生议论)生甲：这两个公式不必硬记，记住其推导过程，公式就自然记住了.生乙：这两个公式的形式相同，区别仅在于符号上，我觉得只要记住两点：一是右边分子里中间的符号与左边 中间的符号相同；二是分母中间的符号与分子中间的符号相反.理解记忆和对比记忆都是记忆的有效方法 师：我们通过以下的例题来看看如何运用公式 例 1：不查表，求值：(1)tan75 (2)(3)(4)(让学生互相讨论解决，教师巡视指导，并作小结.)师：通过上例，有以下几个方面值得我们注意：(1)将一般角转化为特殊角的和或差，可以不查表求值.(2)运用公式时，不能仅局限在从左到右的使用，还要善于从右到左的逆用.系大家想想能用来表示吗以旧引新创设问题的情境通过设疑引导学生开两角和的正切即都采用了转化的思想方法这思想方法是研究数学问题的因此在公式中必须注意的取值范围应该是使及都存在的那些值即及都不学习必备 欢迎下载 (3)单角和复角是相对的，60+与 30+也均可看成单角，那么 30角就是它们的差角，因此例 1(3)直接逆用公式 T-即可，没有必要将 tan(60+)、tan(30+)用公式 T+展开后计算.(4)掌握变形技巧，灵活进行“1”的代换.如例 1(4)通过例 1(1)的解法暗示 1 可用 tan45来代换.恰当地使用暗示，达到启发学生思维的良好效果.师：下面，我们讨论例 2.例 2：不查表，求值：(1)tan15+tan30+tan15tan30 (2)tan17tan43+tan17tan30+tan43tan30 (让学生思考和讨论，教师进行必要的启发诱导.)生：第(1)题可以仿照求 tan75的方法求出 tan15，再求出整个式子的值.师：实际上大家都已注意到，15和 30两角的和是特殊角 45，能否直接运用公式T+？如果能用，怎么用法？tan15+tan30相当于公式中的 tan+tan，那么这一部分怎样表示呢？(教师配之以手的形象动作，启发学生进行公式变形.)生：可将公式 T+变形为 tan+tan=tan(+)(1-tan tan)(*)师：例 2(1)能用(*)式来解吗？请你继续说下去.生：tan15+tan30+tan15tan30=tan(15+30)(1-tan15tan30)+tan15tan30=1 通过具体例子显示出灵活运用公式的优越性，必将给学生留下深刻的印象，有利用学生解题技巧的形成.师：这里说明，对于公式我们不仅要会正用，还要会逆用，有时还需要适当变形后再用.大家能否用这样的思想自己完成例 2(2)(让一学生板演)系大家想想能用来表示吗以旧引新创设问题的情境通过设疑引导学生开两角和的正切即都采用了转化的思想方法这思想方法是研究数学问题的因此在公式中必须注意的取值范围应该是使及都存在的那些值即及都不学习必备 欢迎下载 例 3：已知 tan 与 tan 是一元二次方程 3x2+5x-2=0的两个根，且 090，90180(1)求+的值(2)求 cot(-)师：求+的值，一般是通过求它的某个三角函数值而得到.求哪一个三角函数值较方便？求值的条件具备了吗？生：可直接求出方程的两根，x2=-2 0 90 90 180，tan=-2运用公式 T+问题即可解决(以下略)师：能不求方程的根吗？实际上，在公式 T+里，出现的是 tan+tan 与 tan tan.你能联想到什么知识？不失时机地联系旧知识，在以新带旧的过程中，数学知识可以不断得到深化，学生的思维能力可以得到提高.生：由一元二次方程根与系数的关系有：，+=135 师：上面解法，有没有问题？(略停顿，引导学生观察、思考.)由 tan(+)=-1 能肯定+=135吗？其依据是什么？生：090，9018090+270在 90与 270之间，只有 135的正切值为-1，+=135 特别提醒学生，这种忽略讨论角度范围的错误，在学习中是常见的，要引起足够的重视，以培养学生思维的严密性.师：不求方程的根，tan-tan 如何求呢？(引导观察 tan-tan，tan+tan，tan tan 三者之间的关系，进而启发学生得到下面方法.)系大家想想能用来表示吗以旧引新创设问题的情境通过设疑引导学生开两角和的正切即都采用了转化的思想方法这思想方法是研究数学问题的因此在公式中必须注意的取值范围应该是使及都存在的那些值即及都不学习必备 欢迎下载 又 tan-tan 0 根据代数知识，创造运用公式的条件，以使学生灵活地综合运用学过的知识，培养分析与解决问题的能力.师：请小结一下本课所讲的内容.生：主要内容有推导公式，讨论公式中，、的取值范围，如何运用公式？做到三会：正用、逆用、变形用.师：课外做如下作业 阅读课文有关内容(略)课本习题(略)研究题 1.若 tan 与 tan 是方程 x2-4x+1=0的两个根，且、均为锐角，求+的值.2.不查表，求(1+tan1)(1+tan2)(1+tan43)(1+tan44)的值.3.求证：tan(A-B)+tan(B-C)+tan(C-A)=tan(A-B)tan(B-C)tan(C-A)点评：1.激发联想，殊途同归，加强学生的思维能力.2.大胆猜想，分类转化，活跃学生的创造性思维.3.运用多种教学策略，实现新课程提倡的综合化的教学目标.系大家想想能用来表示吗以旧引新创设问题的情境通过设疑引导学生开两角和的正切即都采用了转化的思想方法这思想方法是研究数学问题的因此在公式中必须注意的取值范围应该是使及都存在的那些值即及都不