2023年不等关系与不等式课时作业.pdf

学习必备 欢迎下载 31 不等关系与不等式 学习目标 1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.初步学会作差法比较两实数的大小.3.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题 知识链接 下面关于不等式的几个命题正确的有_(1)若 ab，则 acbc；(2)若 ab，则 acbc；(3)a 与 b 的和是非负数可表示为 ab0；(4)某公路立交桥对通过车辆的高度 h“限高 4 m”可表示为 0h4；(5)设点 A与平面 的距离为 d，B 为平面 上的任意一点，则有 0d|AB|；(6)任意实数 a，b 之间的大小关系可表示为 ab 或 ab.答案(1)(4)(5)(6)解析 对于(2)，当 c0 时，不成立；对于(3)，应表示为 ab0；其余命题正确 预习导引 1比较实数 a，b 大小的文字叙述(1)如果 ab 是正数，那么 ab；(2)如果 ab 等于 0，那么 ab；(3)如果 ab 是负数，那么 ab；(2)ab0ab；(3)ab0abbb，bcac(传递性)；(3)abacbc(可加性)；(4)ab，c0acbc；ab，c0acb，cdacbd；(6)ab0，cd0acbd；(7)ab0，nN，n1anbn；(8)ab0，nN，n2nanb.要点一 用不等式(组)表示不等关系 例 1 某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售，可以售出 8 万本据市场调查，若单价每提高0.1 元，销售量就可能相应减少 2 000 本若把提价后杂志的定价设为 x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于 20 万元呢？解 设杂志社的定价为 x 元，则销售的总收入为8x2.50.10.2x 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于 20 万元”可以表示为不等式8x2.50.10.2x20.规律方法 数学中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时：(1)要先读懂题，设出未知量；(2)抓关键词，找到不等关系；(3)用不等式表示不等关系.思维要严密、规范 跟踪演练 1 如下图，在一个面积为 350 平方米的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地 仓库的长 L 大于宽 W 的 4 倍写出 L 与 W的关系 解 由题意，得 L10W10 350，L4W，L0，W0.要点二 实数大小的比较 例 2(1)已知 x1，比较 x31 与 2x22x 的大小(2)设 x，y，zR，比较 5x2y2z2与 2xy4x2z2 的大小 则与的和是非负数可表示为某公路立交桥对通过车辆的高度限高可表示小的文字叙述如果是正数那如果等于那如果是负数那反之也成立比较实万本据市场调查若单价每提高元销售量就可能相应减少本若把提价后杂学习必备 欢迎下载 解(1)x31(2x22x)x32x22x1(x3x2)(x22x1)x2(x1)(x1)2(x1)(x2x1)(x1)x12234，x1，x10，(x1)x122340，x310，ab0，a3b3a2bab2.要点三 不等式性质的应用 例 3 已知 a、b、c 为实数，判断以下各命题的真假：则与的和是非负数可表示为某公路立交桥对通过车辆的高度限高可表示小的文字叙述如果是正数那如果等于那如果是负数那反之也成立比较实万本据市场调查若单价每提高元销售量就可能相应减少本若把提价后杂学习必备 欢迎下载(1)若 ac2bc2，则 ab；(2)若 ababb2；(3)若 ab，1a1b，则 a0，bbc2知 c0，c20，ab，故该命题为真命题(2)abaab；又 abbb2，a2abb2，故该命题为真命题(3)由已知条件知 abab0，又1a1b1a1b0baab0，ab0，ba0，abb，a0，b0，故该命题为真命题 规律方法 判断命题的真假，应紧扣不等式的性质，同时要注意条件和结论之间的联系利用不等式的性质进行不等式的证明时，一定要在理解的基础上记准、记熟不等式的性质，并注意在解题时要灵活、准确地加以应用 跟踪演练 3 判断下列各命题是否正确，并说明理由：(1)若ca0，则 ab；(2)若 ab0 且 cd0，则 ad bc；(3)若 ab，ab0，则1ab，cd，则 acbd.解(1)ca01ab，故(1)错(2)ab0cd0adbc0 ad bc成立，故(2)对(3)错例如，当 a1，b1 时，不成立 则与的和是非负数可表示为某公路立交桥对通过车辆的高度限高可表示小的文字叙述如果是正数那如果等于那如果是负数那反之也成立比较实万本据市场调查若单价每提高元销售量就可能相应减少本若把提价后杂学习必备 欢迎下载(4)错例如，当 ac1，bd2 时，不成立.1某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩 x 不低于 95 分，文化课总分 y 高于 380 分，体育成绩 z 超过 45 分，用不等式表示就是()A.x95y380z45 B.x95y380z45 C.x95y380z45 D.x95y380z45 答案 D 解析“不低于”即，“高于”即，“超过”即“”，x95，y380，z45.2已知 ab0，bbba Babab Cabba Dabab 答案 C 解析 由 ab0 知 ab，ab0.又 b0，abba.3比较(a3)(a5)与(a2)(a4)的大小 解(a3)(a5)(a2)(a4)(a22a15)(a22a8)70.(a3)(a5)0ab；ab0ab；ab0ab.2作差法比较的一般步骤 第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”；第三步：定号，就是确定是大于 0，等于 0，还是小于 0.(不确定的要分情况讨论)最后得结论 概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键 3 不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，千万不可想当然 一、基础达标 1设 xa0，则下列不等式一定成立的是()Ax2axaxa2 Cx2a2a2ax 答案 B 解析 xaa2.x2axx(xa)0，x2ax.又 axa2a(xa)0，axa2.x2xaa2.2已知 a0，babab2 B.ab2aba C.abaab2 D.abab2a 答案 D 解析 取 a2，b2，则ab1，ab212，abab2a.3若 a，b，cR，ab，则下列不等式成立的是()A.1ab2 则与的和是非负数可表示为某公路立交桥对通过车辆的高度限高可表示小的文字叙述如果是正数那如果等于那如果是负数那反之也成立比较实万本据市场调查若单价每提高元销售量就可能相应减少本若把提价后杂学习必备 欢迎下载 C.ac21bc21 Da|c|b|c|答案 C 解析 对 A，若 a0b，则1a0，1b1b，A 不成立；对 B，若 a1，b2，则 a2b，ac21bc21恒成立，C 成立；对 D，当 c0 时，a|c|b|c|，D 不成立 4若 abc 且 abc0，则下列不等式中正确的是()Aabac Bacbc Ca|b|c|b|Da2b2c2 答案 A 解析 由 abc 及 abc0 知 a0，c0，bc，abac.故选 A.5若 1a5，1b2，则 ab 的取值范围为_ 答案 1,6 解析 1b2，2b1，又 1a5，1ab6.6b 克糖水中有 a 克糖(ba0)，若再添上 m 克糖(m0)，则糖水就变甜了，试根据此事实提炼一个不等式：_.答案 ambmab 解析 变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了 7若 cab0，证明acabcb.证明 ab0，ab，caab0，1 cacb0，在 ca1cb0，又 ab0，acabcb.则与的和是非负数可表示为某公路立交桥对通过车辆的高度限高可表示小的文字叙述如果是正数那如果等于那如果是负数那反之也成立比较实万本据市场调查若单价每提高元销售量就可能相应减少本若把提价后杂学习必备 欢迎下载 8一个盒子中红、白、黑三种球分别为 x 个、y 个、z 个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的13，白球与黑球的个数之和至少为 55，试用不等式将题中的不等式表示出来 解 列不等式组，涉及到至少、至多问题，要用到“”或“”，那么在处理“”问题时要注意“”成立的条件，据题意可得 x3zy2yz55(x，y，zN)二、能力提升 9已知 a、b 为非零实数，且 ab，则下列命题成立的是()Aa2b2 Ba2bab2 C.1ab21a2b D.baab 答案 C 解析 对于 A，在 ab 中，当 a0，b0 时，a2b2不成立；对于 B，当 a0 时，a2b0，ab20，a2bab2不成立；对于 C，a0，1ab20 且 a1，Mloga(a31)，Nloga(a21)，则 M，N 的大小关系为()AMN DMN 答案 C 解析 当 a1 时，a31a21，此时，yloga x 为 R上的增函数，loga(a31)loga(a21)；当 0a1 时，a31loga(a21)，当 a0 且 a1 时，总有 MN.11若 xR，则x1x2与12的大小关系为_ 答案 x1x212 解析 x1x2122x1x22 1x2 x122 1x20.则与的和是非负数可表示为某公路立交桥对通过车辆的高度限高可表示小的文字叙述如果是正数那如果等于那如果是负数那反之也成立比较实万本据市场调查若单价每提高元销售量就可能相应减少本若把提价后杂学习必备 欢迎下载 x1x212.12设 f(x)1logx3，g(x)2logx2，其中 x0 且 x1，试比较 f(x)与 g(x)的大小 解 f(x)g(x)1logx32logx2logx3x4，当 0 x1，3x41，或 x1，03x41，即 1x43时，logx3x40，f(x)g(x)；当3x41，即 x43时，logx3x40，即 f(x)g(x)；当 0 x1，03x41，或 x1，3x41，即 0 x1，或 x43时，logx3x40，即 f(x)g(x)综上所述，当 1x43时，f(x)g(x)；当 x43时，f(x)g(x)；当 0 x1，或 x43时，f(x)g(x)三、探究与创新 13已知甲、乙、丙三种食物的维生素 A、B 含量及成本如下表：甲 乙 丙 维生素 A(单位/kg)600 700 400 维生素 B(单位/kg)800 400 500 成本(元/kg)11 9 4 若用甲、乙、丙三种食物各 x kg、y kg、z kg 配成 100 kg 的混合食物，并使混合食物内至少含有 56 000 单位维生素 A和 63 000 单位维生素 B.试用 x、y 表示混合食物成本 c 元，并写出 x、y 所满足的不等关系 解 依题意得 c11x9y4z，又 xyz100，c4007x5y，则与的和是非负数可表示为某公路立交桥对通过车辆的高度限高可表示小的文字叙述如果是正数那如果等于那如果是负数那反之也成立比较实万本据市场调查若单价每提高元销售量就可能相应减少本若把提价后杂学习必备 欢迎下载 由 600 x700y400z56 000，800 x400y500z63 000，及 z100 xy，得 2x3y160，3xy130.x，y 所满足的不等关系为 2x3y160，3xy130，x0，y0.则与的和是非负数可表示为某公路立交桥对通过车辆的高度限高可表示小的文字叙述如果是正数那如果等于那如果是负数那反之也成立比较实万本据市场调查若单价每提高元销售量就可能相应减少本若把提价后杂