2023年专题五解析几何练习-教师版-苏深强.pdf

1(2011 东莞模拟)过点(1,0)且与直线 x2y20 平行的直线方程是 Ax2y10 Bx2y10C2xy20 Dx2y10 解析 所求直线的斜率等于12，故所求直线方程为y012(x1)，即 x2y10，故选 A.答案 A 2在ABC 中，已知角 A，B，C 所对的边依次为 a，b，c，且 2lg sin Blg sin Alg sin C，则两条直线 l1：xsin2Aysin Aa 与 l2：xsin2Bysin Cc 的位置关系是 A平行 B重合C垂直 D相交不垂直 解析 已知 2lg sin Blg sin Alg sin C，可得 sin2Bsin Asin C，故sin2Asin2Bsin Asin C，又sin Asin Cac，所以两直线重合，故选 B.答案 B 3(2011 广东)已知集合 A(x，y)|x，y 为实数，且 x2y21，B(x，y)|x，y 为实数，且yx，则 AB 的元素个数为 A0 B1C2 D3 解析 集合 A表示圆 x2y21 上的点构成的集合，集合 B 表示直线 yx 上的点构成的集合，可判定直线和圆相交，故 AB 的元素个数为 2.答案 C 4以双曲线x29y2161 的右焦点为圆心，且与渐近线相切的圆的方程是 Ax2y210 x90 Bx2y210 x160 Cx2y210 x160 Dx2y210 x90 解析 据题意知圆心为(5,0)，双曲线的渐近线是 4x 3y0，r4，故所求圆的方程是(x5)2y216，即 x2y210 x90.答案 A 5(2011 海淀模拟)圆 x2y250 与圆 x2y212x6y400 的公共弦长为 A.5 B.6 C2 5 D2 6 解析 x2y250 与 x2y212x6y400 作差，得两圆公共弦所在的直线方程为 2xy150，圆 x2y250 的圆心(0,0)到 2xy150 的距离 d3 5，因此，公共弦长为 250 3 522 5.答案 C 6(2011 珠海模拟)已知直线 l：y1，定点 F(0,1)，P 是直线 xy 20 上的动点，若经过点 F、P 的圆与 l 相切，则这个圆面积的最小值为 A.2 B C3 D4 解析 由于圆经过点 F、P 且与直线 y1 相切，所以圆心到点 F、P 与到直线 y1 的距离相等由抛物线的定义知圆心 C 在以点(0,1)为焦点的抛物线 x24y 上，圆与直线 xy 20的交点为点 P.显然，圆心为抛物线的顶点时，半径最小，为 1，此时圆面积最小，为.故选 B.答案 B 7若直线 l1：ax2y60 与直线 l2：x(a1)ya210 平行，则实数 a_.解析 由 a a1 22 a21 6 a1得 a1.答案 1 8已知两点 A(2,0)，B(0,2)，点 C 是圆 x2y22x0 上任意一点，则ABC 面积的最小值是_ 解析 由题知，圆的方程可化为(x1)2y21，直线 AB的方程为 xy20.因为圆心到直线 AB 的距离为 d32，所以圆周上的点到直线 AB 的最小距离为321.又 AB2 2，所以 ABC面积的最小值是122 23213 2.答案 3 2 9若直线 l：2xy30 与圆(x1)2(y2)25 相交于 A、B 两点，则|AB|_.解析 圆心 C(1，2)到直线 l 的距离为 d|2123|221235，已知集合为实数且为实数且则的元素个数为解析集合表示圆上的点构成曲线的渐近线是故所求圆的方程是即答案海淀模拟圆与圆的公共弦长为最小值为解析由于圆经过点且与直线相切所以圆心到点与到直线的距离则|AB|2 523528 55.答案 8 55 10设直线 l 经过点 P(3,4)，圆 C 的方程为(x1)2(y1)24.(1)若直线 l 经过圆 C 的圆心，求直线 l 的斜率；(2)若直线 l 与圆 C 交于两个不同的点，求直线 l 的斜率的取值范围 解析(1)由已知得直线 l 经过的定点是 P(3,4)，而圆 C 的圆心是 C(1，1)，所以，当直线 l 经过圆 C 的圆心时，直线 l 的斜率为 k52.(2)由题意，设直线 l 的方程为 y4k(x3)，即 kxy43k0.又直线 l 与圆 C：(x1)2(y1)24 交于两个不同的点，所以圆心到直线的距离小于圆的半径，即|52k|k212.解得 k2120.所以直线 l 的斜率的取值范围为2120，.11(2011 课标全国卷)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 yx26x1 与坐标轴的交点都在圆C 上(1)求圆 C 的方程；(2)若圆 C 与直线 xya0 交于 A，B 两点，且 OAOB，求 a 的值 解析(1)曲线 yx26x1 与 y 轴的交点为(0,1)，与 x 轴的交点为(32 2，0)，(32 2，0)故可设 C 的圆心为(3，t)，则有 32(t1)2(2 2)2t2，解得 t1.已知集合为实数且为实数且则的元素个数为解析集合表示圆上的点构成曲线的渐近线是故所求圆的方程是即答案海淀模拟圆与圆的公共弦长为最小值为解析由于圆经过点且与直线相切所以圆心到点与到直线的距离则圆 C 的半径为32 t123.所以圆 C 的方程为(x3)2(y1)29.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组 xya0，x32 y129.消去 y，得方程 2x2(2a8)xa22a10.由已知可得，判别式 5616a4a20.因此 x1,2 82a 5616a4a24，从而 x1x24a，x1x2a22a12.由于 OA OB，可得 x1x2y1y20.又 y1x1a，y2x2a，所以 2x1x2a(x1x2)a20.由得 a1，满足 0，故 a1.12已知圆 M 的方程为 x2(y2)21，直线 l 的方程为 x2y0，点 P 在直线 l 上，过点 P作圆 M 的切线 PA，PB，切点为 A，B.(1)若APB60，试求点 P 的坐标；(2)若 P 点的坐标为(2,1)，过 P 作直线与圆 M 交于 C，D 两点，当 CD 2时，求直线 CD 的方程；(3)求证：经过 A，P，M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标 解析(1)设 P(2m，m)，由题可知 MP2，所以(2m)2(m2)24，解之得 m0 或 m45.故所求点 P 的坐标为 P(0,0)或 P85，45.已知集合为实数且为实数且则的元素个数为解析集合表示圆上的点构成曲线的渐近线是故所求圆的方程是即答案海淀模拟圆与圆的公共弦长为最小值为解析由于圆经过点且与直线相切所以圆心到点与到直线的距离(2)由题意易知 k存在，设直线 CD 的方程为 y1k(x2)，由题知圆心 M 到直线 CD 的距离为22，所以22|2k1|1k2，解得，k1 或 k17，故所求直线 CD 的方程为 xy30 或 x7y90.(3)证明 设 P(2m，m)，MP 的中点 Qm，m21，因为 PA是圆 M 的切线，所以经过 A，P，M 三点的圆是以 Q 为圆心，以 MQ 为半径的圆，故其方程为(xm)2ym212m2m212.化简得：x2y22ym(2xy2)0，此式是关于 m 的恒等式，故 x2y22y0，2xy20，解得 x0，y2，或 x1，y0.所以经过 A，P，M 三点的圆必过定点(0,2)或(1,0)1已知双曲线的渐近线方程为 2x 3y0，F(0，5)为双曲线的一个焦点，则双曲线的方程为 A.y24x291 B.13y210013x22251C.x29y241 D.13y222513x21001 解析 根据焦点坐标，可知该双曲线的焦点在 y 轴上，设双曲线方程为y2a2x2b21(a0，b0)根据已知，设 a2t，b3t，则 25(2t)2(3t)2，解得 t22513，故 a210013，b222513.所以所求的双曲线方程是13y210013x22251.答案 B 2(2011 湖北)将两个顶点在抛物线 y22px(p0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为 n，则 An0 Bn1Cn2 Dn3 解析 如图所示，A，B 两点关于x 轴对称，F 点坐标为p2，0，设 A(m，2pm)(m0)，则由抛物线定义，已知集合为实数且为实数且则的元素个数为解析集合表示圆上的点构成曲线的渐近线是故所求圆的方程是即答案海淀模拟圆与圆的公共弦长为最小值为解析由于圆经过点且与直线相切所以圆心到点与到直线的距离|AF|AA1|，即 mp2|AF|.又|AF|AB|2 2pm，mp22 2pm，整理，得 m27pmp240，(7p)24p2448p20，方程有两相异实根，记为m1，m2，且 m1m27p0，m1 m2p240，m10，m20，n2.答案 C 3(2011 浙江)设 F1，F2分别为椭圆x23y21 的左，右焦点，点 A，B 在椭圆上 若F1A5F2B，则点 A的坐标是_ 解析 由题意知 F1(2，0)，F2(2，0)设 A(a，b)，B(xB，yB)，则F1A(a 2，b)，F2B(xB 2，yB)由F1A5F2B得 xBa6 25，yBb5，代入椭圆方程得a6 2523b521.又因为a23b21，联立，解得 a0，b 1.答案(0,1)或(0，1)4 已知点 A(1,1)是椭圆x2a2y2b21(ab0)上一点，F1，F2是椭圆的两焦点，且满足|AF1|AF2|4.已知集合为实数且为实数且则的元素个数为解析集合表示圆上的点构成曲线的渐近线是故所求圆的方程是即答案海淀模拟圆与圆的公共弦长为最小值为解析由于圆经过点且与直线相切所以圆心到点与到直线的距离(1)求椭圆的两焦点坐标；(2)设点 B 是椭圆上任意一点，当|AB|最大时，求证：A，B 两点关于原点 O 不对称 解析(1)由椭圆定义，知 2a4，a2.x24y2b21.把 A(1,1)代入，得141b21，得 b243，椭圆方程为x24y2431.c2a2b244383，即 c2 63.故两焦点坐标为2 63，0，2 63，0.(2)反证法：假设 A，B 两点关于原点 O 对称，则 B 点坐标为(1，1)，此时|AB|2 2，而当点 B 取椭圆上一点 M(2,0)时，则|AM|10，|AM|AB|.从而此时|AB|不是最大，这与|AB|最大矛盾，所以命题成立 1以椭圆x216y241 内的点 M(1,1)为中点的弦所在直线的方程为 A4xy30 Bx4y30C4xy50 Dx4y50 解析 设弦的两个端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则有x2116y2141，x2216y2241.得 x2x1x2x116 y2y1y2y140，整理得y2y1x2x1416x2x1y2y14162214，即斜率 k14，所以所求直线方程为 y114(x1)，已知集合为实数且为实数且则的元素个数为解析集合表示圆上的点构成曲线的渐近线是故所求圆的方程是即答案海淀模拟圆与圆的公共弦长为最小值为解析由于圆经过点且与直线相切所以圆心到点与到直线的距离整理得 x4y50.答案 D 2已知椭圆x24y231，若此椭圆上存在不同的两点 A、B 关于直线 y4xm 对称，则实数 m的取值范围是 A.2 1313，2 213 B.2 1313，2 1313C.213，2 1313 D.2 313，2 313 解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点 M(x，y)，kABy2y1x2x114，x1x22x，y1y22y,3x214y2112 3x224y2212 两式相减得 3(x22x21)4(y22y21)0，即 y1y23(x1x2)，即 y3x，与 y4xm 联立得 xm，y3m，而 M(x，y)在椭圆的内部，则m249m231，即2 1313m2 1313.答案 B 3(2011 四平模拟)在 y2x2上有一点 P，它到 A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点 P 的坐标是 A(2,1)B(1,2)C(2,1)D(1,2)解析 如图所示，直线 l 为抛物线 y2x2的准线，F 为其焦点，PN l，AN1 l，由抛物线的定义知，|PF|PN|，|AP|PF|AP|PN|AN1|，已知集合为实数且为实数且则的元素个数为解析集合表示圆上的点构成曲线的渐近线是故所求圆的方程是即答案海淀模拟圆与圆的公共弦长为最小值为解析由于圆经过点且与直线相切所以圆心到点与到直线的距离当且仅当 A、P、N 三点共线时取等号 P 点的横坐标与 A点的横坐标相同即为 1，则可排除 A、C、D，故选 B.答案 B 4动点 P 到点 A(0,2)的距离比它到直线 l：y4 的距离小 2，则动点 P 的轨迹方程为 Ay24x By28xCx24y Dx28y 解析 等价于点 P 到点 A的距离和到直线 y2 的距离相等，根据抛物线定义，动点的轨迹是以点 A为焦点，直线 y2 为准线的抛物线，焦参数 p4，故所求的抛物线方程为 x28y.答案 D 7 若双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线的倾斜角为 60，则b21a的最小值是_ 解析 根据ba 3，即 b 3a，b21a3a21a3a1a2 3，当且仅当 3a1a，即 a33时等号成立 答案 2 3 8(2011 南昌模拟)已知点 F(1,0)，直线 l：x1，P 为平面上的动点，过 P 作直线 l 的垂线，垂足为点 Q，且QP QFFP FQ，则动点 P 的轨迹 C 的方程是_ 解析 设点 P(x，y)，则 Q(1，y)，由QP QFFP FQ，得(x1,0)(2，y)(x1，y)(2，y)，化简，得 y24x.故填 y24x.答案 y24x 已知集合为实数且为实数且则的元素个数为解析集合表示圆上的点构成曲线的渐近线是故所求圆的方程是即答案海淀模拟圆与圆的公共弦长为最小值为解析由于圆经过点且与直线相切所以圆心到点与到直线的距离9已知曲线x2ay2b1 与直线 xy10 相交于 P、Q 两点，且OP OQ0(O 为原点)，则1a1b的值为 _ 解析 将 y1x 代入x2ay2b1，得(ba)x22ax(aab)0.设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 x1x22aab，x1x2aabab.OP OQx1x2y1y2x1x2(1x1)(1x2)2x1x2(x1x2)1.所以2a2abab2aab10，即 2a2ab2aab0，即 ba2ab，所以1a1b2.答案 2 10(2011 天津)在平面直角坐标系 xOy 中，点 P(a，b)(ab0)为动点，F1，F2分别为椭圆x2a2y2b21 的左，右焦点已知F1PF2为等腰三角形设直线 PF2与椭圆相交于 A，B 两点，M 是直线 PF2上的点，满足AM BM2，求点 M 的轨迹方程 解析 设 F1(c,0)，F2(c,0)(c0)由题意，可得|PF2|F1F2|，即 ac2b22c，整理得 2ca2ca10，得ca1(舍去)或ca12 由(1)知 a2c，b 3c，可得椭圆方程为 3x24y212c2，直线 PF2的方程为 y 3(xc)已知集合为实数且为实数且则的元素个数为解析集合表示圆上的点构成曲线的渐近线是故所求圆的方程是即答案海淀模拟圆与圆的公共弦长为最小值为解析由于圆经过点且与直线相切所以圆心到点与到直线的距离A，B 两点的坐标满足方程组 3x24y212c2，y 3 xc.消去 y 并整理，得 5x28cx0.解得 x10，x285c，得方程组的解 x10，y1 3c，x285c，y23 35c.不妨设 A85c，3 35c，B(0，3c)设点 M 的坐标为(x，y)，则AMx85c，y3 35c，BM(x，y 3c)由 y 3(xc)，得 cx33y.于是AM8 315y35x，85y3 35x，BM(x，3x)由AM BM2，即8 315y35x x85y3 35x 3x2，化简得 18x216 3xy150.将 y18x21516 3x代入 cx33y，得 c10 x2516x0.所以 x0.因此，点 M 的轨迹方程是 18x216 3xy150(x0)11如图所示，椭圆x2a2y2b21(ab0)和圆 O：x2y2b2，过椭圆上一点 P 引圆 O 的两条切线，切点分别为 A、B.已知集合为实数且为实数且则的元素个数为解析集合表示圆上的点构成曲线的渐近线是故所求圆的方程是即答案海淀模拟圆与圆的公共弦长为最小值为解析由于圆经过点且与直线相切所以圆心到点与到直线的距离设直线 AB与 x 轴，y 轴分别交于点 M，N，求证：a2|ON|2b2|OM|2为定值 解析 设 P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)由 PA OA 得y0y1x0 x1x1y1，整理得 x0 x1y0y1x21y21，x21y21b2，PA的方程为 x1xy1yb2.同理 PB 的方程为 x2xy2yb2.PA、PB 都过点 P(x0，y0)，x1x0y1y0b2且 x2x0y2y0b2，直线AB的方程为 x0 xy0yb2.令 x0，得|ON|y|b2|y0|，令 y0，得|OM|x|b2|x0|，a2|ON|2b2|OM|2a2y20b2x20b4a2b2b4a2b2.a2|ON|2b2|OM|2为定值，定值是a2b2.12已知两点 M(2,0)，N(2,0)，点 P 为坐标平面内的动点，且满足|MN|MP|MN NP0.(1)求点 P 的轨迹 C 的方程；(2)设过点 N 的直线 l 斜率为 k，且与曲线 C 相交于点 S、T，若 S、T 两点只在第二象限内运动，线段 ST 的垂直平分线交 x 轴于 Q 点，求 Q 点横坐标的取值范围 解析(1)设点 P(x，y)，根据题意则有：MN(4,0)，|MN|4，|MP|x22y2，NP(x2，y)，代入|MN|MP|MN NP0 得 4 x22y24(x2)0，整理得点 P 的轨迹 C 的方程 y28x.(2)设 S(x1，y1)，T(x2，y2)，已知集合为实数且为实数且则的元素个数为解析集合表示圆上的点构成曲线的渐近线是故所求圆的方程是即答案海淀模拟圆与圆的公共弦长为最小值为解析由于圆经过点且与直线相切所以圆心到点与到直线的距离由题意得 ST 的方程为 yk(x2)(显然 k0)，与 y28x 联立消元得 ky28y16k0，则有 y1y28k，y1y216，因为直线 l 交轨迹 C 于两点，则 6464k20，再由 y10，y20，则8k0，故1k0，可求得线段 ST 中点 B 的坐标为4k22，4k，所以线段 ST 的垂直平分线方程为 y4k 1kx4k22，令 y0 得点 Q 的横坐标为 xQ24k26，所以 Q 点横坐标的取值范围为(，6)已知集合为实数且为实数且则的元素个数为解析集合表示圆上的点构成曲线的渐近线是故所求圆的方程是即答案海淀模拟圆与圆的公共弦长为最小值为解析由于圆经过点且与直线相切所以圆心到点与到直线的距离