2023年08高考数学江苏卷含超详细解析答案.pdf

江苏卷 一、填空题：本大题共 1 小题，每小题 5 分，共 70 分 1.cos6fxx的最小正周期为5，其中0，则=2一个骰子连续投 2 次，点数和为 4 的概率 3.11ii表示为abi,a bR，则ab=4.A=2137x xx，则 A IZ 的元素的个数 5.ar，br的夹角为120，1a r，3b r 则5ab rr 6.在平面直角坐标系xoy中，设 D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域，向 D 中随机投一点，则落入 E 中的概率 7.算法与统计的题目 8.直线12yxb是曲线ln0yx x的一条切线，则实数 b 9 在平面直角坐标系中，设三角形 ABC 的顶点分别为 A(0,a),B(b,0),C(c,0)，点 P（0，p）在线段 AO 上（异于端点），设 a,b,c,p 均为非零实数，直线 BP,CP 分别交 AC,AB 于点 E,F，一同学已正确算的OE的方程：11110 xycbpa，请你求 OF的方程：（）110 xypa.10将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 按照以上排列的规律，第 n 行（n 3）从左向右的第 3 个数为 11.已知,x y zR，230 xyz，则2yxz的最小值 12.在平面直角坐标系中，椭圆2222xyab1(ab 0)的焦距为 2，以 O 为圆心，a为半径的圆，过点2,0ac作圆的两切线互相垂直，则离心率e=13若 AB=2,AC=2BC，则ABCS的最大值 14.331f xaxx 对于 1,1x总有 f x0 成立，则a=二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15如图，在平面直角坐标系xoy中，以ox轴为始边做两个锐角,，它们的终边分别与单位圆相交于 A,B 两点，已知 A,B 的横坐标分别为2 2 5,105（）求 tan()的值；（）求2的值 16在四面体 ABCD 中，CB=CD,ADBD，且 E,F 分别是 AB,BD 的中点，求证：（）直线 EF 面 ACD；（）面 EFC 面 BCD 17某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD 的顶点 A,B 及 CD的中点 P 处，已知 AB=20km,CBPOAD CB=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形 ABCD 的区域上（含边界），且 A,B 与等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道 AO,BO,OP，设排污管道的总长为ykm （）按下列要求写出函数关系式：设BAO=(rad)，将y表示成的函数关系式；设 OPx(km)，将y表示成 xx的函数关系式（）请你选用（）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短 18设平面直角坐标系xoy中，设二次函数 22f xxxb xR的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为 C求：（）求实数 b 的取值范围；（）求圆 C 的方程；（）问圆 C 是否经过某定点（其坐标与 b 无关）？请证明你的结论 19.（）设12,na aaL L是各项均不为零的等差数列（4n），且公差0d，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：当 n=4 时，求1ad的数值；求n的所有可能值；（）求证：对于一个给定的正整数 n(n 4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列12,nb bbL L，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列 离不大于的点构成的区域向中随机投一点则落入中的概率算法与统计的你的方程将全体正整数排成一个三角形数阵按照以上排列的规律第行从解答题解答应写出文字说明证明过程或演算步骤如图在平面直角坐标系20.若 113x pfx，222 3x pfx g，12,xR pp为常数，且 112212,fxfxfxfxfxfxfx（）求 1f xfx对所有实数成立的充要条件（用12,pp表示）；（）设,a b为两实数，ab且12,pp,a b,若 f afb 求证：f x在区间,a b上的单调增区间的长度和为2ba（闭区间,m n的长度定义为nm）一、填空题：本大题共 1 小题，每小题 5 分，共 70 分 1.【答案】10【解析】本小题考查三角函数的周期公式.2105T 2【答案】112【解析】本小题考查古典概型基本事件共 66 个，点数和为 4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共 3 个，故316 612P 3.【答案】1【解析】本小题考查复数的除法运算 21112iiii，a0，b1，因此1ab 4.【答案】0【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式由 2137xx得2580 xx,0，集合 A 为，因此 A IZ 的元素不存在 5.【答案】7【解析】本小题考查向量的线性运算 2222552510ababaa bbrrrrrr rrg=22125 110 1 33492 ，5ab rr7 6.【答案】16【解析】本小题考查古典概型如图：区域 D 表示边长为 4 的正方形的内部（含边界），区域 E 表示单位圆及其内部，因此214 416P 7.算法与统计的题目 8.【答案】ln2 1【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法1yx，令112x得2x，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，所以 bln2 1 离不大于的点构成的区域向中随机投一点则落入中的概率算法与统计的你的方程将全体正整数排成一个三角形数阵按照以上排列的规律第行从解答题解答应写出文字说明证明过程或演算步骤如图在平面直角坐标系9【答案】11bc【解析】本小题考查直线方程的求法画草图，由对称性可猜想填11cb事实上，由截距式可得直线 AB：1xyba，直线 CP：1xycp ，两式相减得11110 xybcpa，显然直线 AB与 CP 的交点 F 满足此方程，又原点 O 也满足此方程，故为所求直线 OF 的方程 10【答案】262nn 【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式 前 n1 行共有正整数 12（n1）个，即22nn个，因此第 n 行第 3 个数是全体正整数中第22nn3 个，即为262nn 11.【答案】3【解析】本小题考查二元基本不等式的运用由230 xyz得32xzy，代入2yxz得 229666344xzxzxzxzxzxz，当且仅当x3z 时取“”12.【答案】22【解析】设切线 PA、PB 互相垂直，又半径 OA 垂直于 PA，所以OAP 是等腰直角三角形，故22aac，解得22cea 13【答案】2 2【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想设 BC x，则 AC 2x，根据面积公式得ABCS=21sin1 cos2AB BCBxBg，根据余弦定理得 2222242cos24ABBCACxxBAB BCxg244xx，代入上式得 ABCS=2221281241416xxxx 离不大于的点构成的区域向中随机投一点则落入中的概率算法与统计的你的方程将全体正整数排成一个三角形数阵按照以上排列的规律第行从解答题解答应写出文字说明证明过程或演算步骤如图在平面直角坐标系由三角形三边关系有2222xxxx 解得2 222 22x ，故当2 2x 时取得ABCS最大值2 2 14.【答案】4【解析】本小题考查函数单调性的综合运用若 x0，则不论a取何值，f x0 显然成立；当 x0 即 1,1x时，331f xaxx 0 可化为，2331axx 设 2331g xxx，则 43 12xgxx，所以 g x 在区间10,2上单调递增，在区间1,12上单调递减，因此 max142g xg ，从而a4；当 x0 即1,0时，331f xaxx0 可化为a 2331xx，43 12xgxx0 g x 在区间1,0上单调递增，因此 ma14ng xg，从而a4，综上a4 二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式 解：由条件的22 5cos,cos105，因为,为锐角，所以sin=7 25,sin105 因此1tan7,tan2（）tan()=tantan31tantan （）22tan4tan21tan3，所以tantan2tan211tantan2 ,为锐角，3022，2=34 16【解析】本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定 解：（）E,F 分别是 AB,BD 的中点，EF 是ABD 的中位线，EFAD，EF面 ACD，AD 面 ACD，直线 EF面 ACD （）ADBD，EFAD，EFBD.CB=CD,F 是 BD的中点，CFBD.又 EFICF=F，BD 面 EFC BD面 BCD，面 EFC 面 BCD 17【解析】本小题主要考查函数最值的应用 离不大于的点构成的区域向中随机投一点则落入中的概率算法与统计的你的方程将全体正整数排成一个三角形数阵按照以上排列的规律第行从解答题解答应写出文字说明证明过程或演算步骤如图在平面直角坐标系解：（）由条件知 PQ 垂直平分 AB，若BAO=(rad)，则10coscosAQOA,故 10cosOB，又 OP 10 10tan1010ta，所以101010 10tancoscosyOAOBOP，所求函数关系式为20 10sin10cosy04 若 OP=x(km)，则 OQ 10 x，所以 OA=OB=222101020200 xxx 所求函数关系式为2220200 010yxxxx （）选择函数模型，2210coscos20 10sin10 2sin1coscossinyg 令y 0 得 sin 12，因为04，所以=6，当0,6时，0y ，y是的减函数；当,6 4 时，0y ，y是的增函数，所以当=6时，min10 10 3y。这时点 P 位于线段 AB 的中垂线上，且距离 AB 边 10 33km处。18【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法 解：（）令x0，得抛物线与y轴交点是（0，b）；令 220f xxxb，由题意 b0 且0，解得 b1 且 b0（）设所求圆的一般方程为2x20yDxEyF 令y0 得20 xDxF 这与22xxb0 是同一个方程，故 D2，Fb 令x0 得2yEy0，此方程有一个根为 b，代入得出 Eb1 所以圆 C 的方程为222(1)0 xyxbyb .（）圆 C 必过定点（0，1）和（2，1）证明如下：将（0，1）代入圆 C 的方程，得左边021220（b1）b0，右边0，所以圆 C 必过定点（0，1）同理可证圆 C 必过定点（2，1）19.【解析】本小题主要考查等差数列与等比数列的综合运用（）当 n4 时，1234,a aa a中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推离不大于的点构成的区域向中随机投一点则落入中的概率算法与统计的你的方程将全体正整数排成一个三角形数阵按照以上排列的规律第行从解答题解答应写出文字说明证明过程或演算步骤如图在平面直角坐标系出 d0 若删去2a，则有2314,aa a g即211123adaadg 化简得214a dd0，因为d0，所以1ad=4；若删去3a，则有214aa a g，即21113adaadg，故得1ad=1 综上1ad=1 或4 当 n5 时，12345,a aa aa 中同样不可能删去首项或末项 若删去2a，则有15a a g34a a g，即 1111423aadadadgg故得1ad=6；若删去3a，则15a a g24aa g，即 111143aadadadgg 化简得 32d0，因为 d0，所以也不能删去3a；若删去4a，则有15a a g23aa g，即 111142aadadadgg故得1ad=2 当 n6 时，不存在这样的等差数列事实上，在数列1a，2a，3a，2na，1na，na 中，由于不能删去首项或末项，若删去2a，则必有1na a g32na ag，这与 d0 矛盾；同样若删 去2na也有1na a g32na ag，这与 d0 矛盾；若删去3a，2na 中任意一个，则必有 1na a g21naag，这与 d0 矛盾 综上所述，n4，5（）略 20.【解析】本小题考查充要条件、指数函数与绝对值函数、不等式的综合运用（）1f xfx恒成立 12fxfx1232 3xpxp g123log 233xpxp 1232xpxplog（*）因为121212xpxpxpxppp 所以，故只需12pp32log（*）恒成立 综上所述，1f xfx对所有实数成立的充要条件是：12pp32log（）1如果12pp32log，则的图象关于直线1xp对称因为 f afb，所以区间,a b关于直线1xp 对称 因为减区间为 1,a p，增区间为 1,p b，所以单调增区间的长度和为2ba 离不大于的点构成的区域向中随机投一点则落入中的概率算法与统计的你的方程将全体正整数排成一个三角形数阵按照以上排列的规律第行从解答题解答应写出文字说明证明过程或演算步骤如图在平面直角坐标系2如果12pp32log.（1）当12pp32log时.111113,3,xppxxp bfxxa p，2323log 222log 223,3,xppxxp bfxxa p 当 1,xp b，213log 2102331,ppfxfx 因为 120,0fxfx，所以 12fxfx，故 1f xfx=13xp 当 2,xa p，123log 2102331,ppfxfx 因为 120,0fxfx，所以 12fxfx 故 2f xfx=23log 23px 因为 f afb，所以231log 233pab p，所以123log 2,bppa 即 123log 2abpp 当21,xpp时，令 12fxfx，则231log 233xppx，所以123log 22ppx，当1232log 2,2ppxp时，12fxfx，所以 2f xfx=23log 23xp 1231log 2,2ppxp时，12fxfx，所以 1f xfx=13px f x在区间,a b上的单调增区间的长度和12312log 22ppbpp =123log 2222ppabbabb （2）当21pp32log时.111113,3,xppxxp bfxxa p，2323log 222log 223,3,xppxxp bfxxa p 当 2,xp b，213log 2102331,ppfxfx 因为 120,0fxfx，所以 12fxfx，故 2f xfx=23log 23xp 当 1,xa p，123log 2102331,ppfxfx 因为 120,0fxfx，所以 12fxfx 故 1f xfx=13px 因为 f afb，所以231log 233b ppa，所以123log 2abpp 离不大于的点构成的区域向中随机投一点则落入中的概率算法与统计的你的方程将全体正整数排成一个三角形数阵按照以上排列的规律第行从解答题解答应写出文字说明证明过程或演算步骤如图在平面直角坐标系当12,xp p时，令 12fxfx，则231log 233pxxp，所以123log 22ppx，当1231log 2,2ppxp时，12fxfx，所以 1f xfx=13xp 1231log 2,2ppxp时，12fxfx，所以 2f xfx=23log 23px f x在区间,a b上的单调增区间的长度和12321log 22ppbpp=123log 2222ppabbabb 综上得 f x在区间,a b上的单调增区间的长度和为2ba 离不大于的点构成的区域向中随机投一点则落入中的概率算法与统计的你的方程将全体正整数排成一个三角形数阵按照以上排列的规律第行从解答题解答应写出文字说明证明过程或演算步骤如图在平面直角坐标系