2023年一元二次方程章节知识点总结归纳及应用题经典题型超详细知识汇总全面汇总归纳1.pdf

一元二次方程章节知识点及应用题经典题型汇总 一元二次方程 1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式：)0(02acbxax，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中2ax叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。一元二次方程的解法 1、直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如bax2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，ax 是 b 的平方根，当0b时，bax，bax，当 b0 时，一元二次方程有 2 个不相等的实数根；II 当=0 时，一元二次方程有 2 个相同的实数根；III 当0 时，一元二次方程没有实数根 一元二次方程根与系数的关系 如果方程)0(02acbxax的两个实数根是21xx，那么abxx21，acxx21。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。一元二次方程的二次函数的关系 大家已经学过二次函数（即抛物线）了，对他也有很深的了解，好像解法，在图象中表示等等，其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当 Y的 0 的时候就构成了一元二次方程了。那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与 X轴的交点。也就是该方程的解了 一元二次方程应用题 学习了一元二次方程的解法以后，就会经常遇到解决与一元二次方程有关的生活中的应用问题，即列一元二次方程解应用题，不少同学遇到这类问题总是左右为难，难以下笔，事实上，同学们只要能认真地阅读题目，分析题意，并能学会分解题目，各个击破，从而找到已知的条件和未知问题，必要时可以通过画图、列表等方法来帮助我们理顺已知与未知之间的关系，找到一个或几个相等的式子，从而列出方程求解，同时还要及时地检验答案的正确性并作答.现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的十大典型题目，举例说明.一、增长率问题 例 1 恒利商厦九月份的销售额为 200 万元，十月份的销售额下降了 20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了 193.6 万元，求这两个月的平均增长率.解 设这两个月的平均增长率是x.，则根据题意，得 200(1 20%)(1+x)2193.6，即(1+x)21.21，解这个方程，得x10.1，x22.1（舍去）.答 这两个月的平均增长率是 10%.说明 这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2式右边是零其中叫做二次项叫做二次项系数叫做一次项叫做一次项系数次方程根据平方根的定义可知是的平方根当时当时方程没有实数根配方数的一半的平方最后配成完全平方公式公式法公式法是用求根公式解一n求解，其中mn.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1x)2n即可求解，其中mn.二、商品定价 例 2 益群精品店以每件 21 元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（35010a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过 20%，商店计划要盈利 400 元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？解 根据题意，得(a21)(350 10a)400，整理，得a256a+775 0，解这个方程，得a125，a231.因为 21(1+20%)25.2，所以a2=31 不合题意，舍去.所以 35010a3501025100（件）.答 需要进货 100 件，每件商品应定价 25 元.说明 商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点.三、储蓄问题 例 3 王红梅同学将 1000 元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500 元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的 90%，这样到期后，可得本金和利息共 530 元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）解 设第一次存款时的年利率为x.则根据题意，得1000(1+x)500(1+0.9x)530.整理，得 90 x2+145x30.解这个方程，得x10.0204 2.04%，x21.63.由于存款利率不能为负数，所以将x21.63 舍去.答 第一次存款的年利率约是 2.04%.说明 这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税.四、趣味问题 例 4 一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4 米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高 2 米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？解 设渠道的深度为xm，那么渠底宽为(x+0.1)m，上口宽为(x+0.1+1.4)m.则根据题意，得12(x+0.1+x+1.4+0.1)x1.8，整理，得x2+0.8x1.80.解这个方程，得x11.8（舍去），x21.所以x+1.4+0.1 1+1.4+0.1 2.5.答 渠道的上口宽 2.5m，渠深 1m.说明 求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解.五、古诗问题 式右边是零其中叫做二次项叫做二次项系数叫做一次项叫做一次项系数次方程根据平方根的定义可知是的平方根当时当时方程没有实数根配方数的一半的平方最后配成完全平方公式公式法公式法是用求根公式解一例 5 读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）.大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？解 设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x3.则根据题意，得x210(x3)+x，即 x2-11x+30 0，解这个方程，得x5 或x6.当x5 时，周瑜的年龄 25 岁，非而立之年，不合题意，舍去；当x6 时，周瑜年龄为 36 岁，完全符合题意.答 周瑜去世的年龄为 36 岁.说明 本题虽然是一道古诗问题，但它涉及到数字和年龄问题，通过求解同学们应从中认真口味.六、象棋比赛 例 6 象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记 2 分，输者记 0 分.如果平局，两个选手各记 1 分，领司有四个同学统计了中全部选 手的得分总数，分别是 1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.解 设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与(n1)个选手比赛一局，共计n(n1)局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为12n(n1)局.由于每局共计 2 分，所以全部选手得分总共为n(n1)分.显然(n1)与n为相邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是 0，2，6，故总分不可能是 1979，1984，1985，因此总分只能是 1980，于是由n(n1)1980，得n2n1980 0，解得n145，n244（舍去）.答 参加比赛的选手共有 45 人.说明 类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题，都可以仿照些方法求解.七、情景对话 例 7 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1 对话中收费标准.某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用 27000 元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？解 设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游.因为 10002525000 27000，所以员工人数一定超过 25 人.则根据题意，得1000 20(x25)x27000.整理，得x275x+1350 0，解这个方程，得x145，x230.当x45 时，100020(x25)600700，故舍去x1；当x230 时，1000 20(x25)900700，符合题意.答：该单位这次共有 30 名员工去天水湾风景区旅游.式右边是零其中叫做二次项叫做二次项系数叫做一次项叫做一次项系数次方程根据平方根的定义可知是的平方根当时当时方程没有实数根配方数的一半的平方最后配成完全平方公式公式法公式法是用求根公式解一说明 求解本题要时刻注意对话框中的数量关系，求得的解还要注意分类讨论，从中找出符合题意的结论.八、等积变形 例 8 将一块长 18 米，宽 15 米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到 0.1m）（1）设计方案 1（如图 2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.（2）设计方案 2（如图 3）花园中每个角的扇形都相同.以上两种方案是否都能符合条件?若能，请计算出图 2 中的小路的宽和图 3 中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由.解 都能.（1）设小路宽为x，则 18x+16xx223 1815，即x234x+180 0，解这个方程，得x344362，即x6.6.（2）设扇形半径为r，则 3.14r223 1815，即r257.32，所以r7.6.说明 等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，面积公式；其原则是形变积不变；或形变积也变，但重量不变，等等.九、动态几何问题 例 9 如图 4 所示，在ABC中，C90，AC6cm，BC8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以 1cm/s 的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以 2cm/s 的速度移动.（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使PCQ的面积为 8 平方厘米？（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得PCQ的面积等于ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.解 因为C90，所以 AB22ACBC226810（cm）.（1）设xs 后，可使PCQ的面积为 8cm2，所以 APxcm，PC(6x)cm，CQ2xcm.图 1 如果人数超过 25 人，每增加 1 人，人均旅游费用降低 20 元，但人均旅游费用不得低于 700 元.如果人数不超过 25 人，人均旅游费用为 1000 元.图 2 QPCBA图 4 图 3 式右边是零其中叫做二次项叫做二次项系数叫做一次项叫做一次项系数次方程根据平方根的定义可知是的平方根当时当时方程没有实数根配方数的一半的平方最后配成完全平方公式公式法公式法是用求根公式解一则根据题意，得12(6x)2x8.整理，得x26x+8 0，解这个方程，得x12，x24.所以P、Q同时出发，2s 或 4s 后可使PCQ的面积为 8cm2.（2）设点P出发x秒后，PCQ的面积等于ABC面积的一半.则根据题意，得12(6x)2x1212 6 8.整理，得x26x+12 0.由于此方程没有实数根，所以不存在使PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻.说明 本题虽然是一道动态型应用题，但它又要运用到行程的知识，求解时必须依据路程速度时间.十、梯子问题 例 10 一个长为 10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角 6m.（1）若梯子的顶端下滑 1m，求梯子的底端水平滑动多少米？（2）若梯子的底端水平向外滑动 1m，梯子的顶端滑动多少米？（3）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？解 依题意，梯子的顶端距墙角221068（m）.（1）若梯子顶端下滑 1m，则顶端距地面 7m.设梯子底端滑动xm.则根据勾股定理，列方程 72+(6+x)2102，整理，得x2+12x150，解这个方程，得x11.14，x213.14（舍去），所以梯子顶端下滑 1m，底端水平滑动约 1.14m.（2）当梯子底端水平向外滑动 1m 时，设梯子顶端向下滑动xm.则根据勾股定理，列方程(8x)2+(6+1)2100.整理，得x216x+13 0.解这个方程，得x10.86，x215.14（舍去）.所以若梯子底端水平向外滑动 1m，则顶端下滑约 0.86m.（3）设梯子顶端向下滑动xm 时，底端向外也滑动xm.则根据勾股定理，列方程(8x)2+(6+x)2102，整理，得 2x24x0，解这个方程，得x10（舍去），x22.所以梯子顶端向下滑动 2m 时，底端向外也滑动 2m.说明 求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动，梯子始终与墙上、地面构成直角三角形.十一、航海问题 例 11 如图 5 所示，我海军基地位于A处，在其正南方向 200 海里处有一重要目标B，在B的正东方向 200 海里处有一重要目标C，小岛D恰好位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航 一艘补给船同FEDCBA图 5 式右边是零其中叫做二次项叫做二次项系数叫做一次项叫做一次项系数次方程根据平方根的定义可知是的平方根当时当时方程没有实数根配方数的一半的平方最后配成完全平方公式公式法公式法是用求根公式解一时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰.（1）小岛D和小岛F相距多少海里？（2）已知军舰的速度是补给船的 2 倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（精确到 0.1 海里）解（1）F位于D的正南方向，则DFBC.因为ABBC，D为AC的中点，所以DF12AB100 海里，所以，小岛D与小岛F相距 100 海里.（2）设相遇时补给船航行了x海里，那么DEx海里，AB+BE2x海里，EFAB+BC(AB+BE)CF(300 2x)海里.在 RtDEF中，根据勾股定理可得方程x21002+(300 2x)2，整理，得 3x21200 x+100000 0.解这个方程，得x1200100 63118.4，x2200+100 63（不合题意，舍去）.所以，相遇时补给船大约航行了 118.4 海里.说明 求解本题时，一定要认真地分析题意，及时发现题目中的等量关系，并能从图形中寻找直角三角形，以便正确运用勾股定理布列一元二次方程.十二、图表信息 例 12 如图 6 所示，正方形ABCD的边长为 12，划分成 1212 个小正方形格，将边长为n（n为整数，且 2n11）的黑白两色正方形纸片按图中的方式，黑白相间地摆放，第一张nn的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的nn个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为(n1)(n1)个小正方形.如此摆放下去，直到纸片盖住正方形ABCD的右下角为止.请你认真观察思考后回答下列问题：（1）由于正方形纸片边长n的取值不同，完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，请填写下表：纸片的边长n 2 3 4 5 6 使用的纸片张数 （2）设正方形ABCD被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为S1，未被盖住的面积为S2.当n2 时，求S1S2的值；是否存在使得S1S2的n值？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由.解（1）依题意可依次填表为：11、10、9、8、7.（2）S1n2+(12 n)n2(n1)2n2+25n12.当n2 时，S122+2521234，S2121234110.所以S1S2341101755.若S1S2，则有n2+25n1212 122，即n225n+84 0，解这个方程，得n14，n221（舍去）.图 6 式右边是零其中叫做二次项叫做二次项系数叫做一次项叫做一次项系数次方程根据平方根的定义可知是的平方根当时当时方程没有实数根配方数的一半的平方最后配成完全平方公式公式法公式法是用求根公式解一所以当n4 时，S1S2.所以这样的n值是存在的.说明 求解本题时要通过阅读题设条件及提供的图表，及时挖掘其中的隐含条件，对于求解第（3）小题，可以先假定问题的存在，进而构造一元二次方程，看得到的一元二次方程是否有实数根来加以判断.十三、探索在在问题 例 13 将一条长为 20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.（1）要使这两个正方形的面积之和等于 17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗?若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.解（1）设剪成两段后其中一段为xcm，则另一段为（20 x）cm.则根据题意，得24x +2204x17，解得x116，x24，当x16 时，20 x4，当x4 时，20 x16，答 这段铁丝剪成两段后的长度分别是 4cm 和 16cm.（2）不能.理由是：不妨设剪成两段后其中一段为ycm，则另一段为（20y）cm.则由题意得24y +2204y12，整理，得y220y+104 0，移项并配方，得(y10)240，所以此方程无解，即不能剪成两段使得面积和为 12cm2.说明 本题的第（2）小问也可以运用求根公式中的b24ac来判定.若b24ac0，方程有两个实数根，若b24ac0，方程没有实数根，本题中的b24ac160 即无解.十四、平分几何图形的周长与面积问题 例 14 如图 7，在等腰梯形ABCD中，ABDC5，AD4，BC10.点E在下底边BC上，点F在腰AB上.（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示BEF的面积；（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成 12 的两部分？若存在，求此时BE的长；若不存在，请说明理由.解（1）由已知条件得，梯形周长为 12，高 4，面积为 28.过点F作FGBC于G，过点A作AKBC于K.则可得，FG125x 4，所以SBEF12BEFG25x2+245x（7x10）.（2）存在.由（1）得25x2+245x14，解这个方程，得x17，x25（不合题意，舍去），FEDCBA图 7 K G 式右边是零其中叫做二次项叫做二次项系数叫做一次项叫做一次项系数次方程根据平方根的定义可知是的平方根当时当时方程没有实数根配方数的一半的平方最后配成完全平方公式公式法公式法是用求根公式解一所以存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE7.（3）不存在.假设存在，显然有SBEFS多边形AFECD 12，即(BE+BF)(AF+AD+DC)12.则有25x2+165x283，整理，得 3x224x+70 0，此时的求根公式中的b24ac5768400，所以不存在这样的实数x.即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成 12 的两部分.说明 求解本题时应注意：一是要能正确确定x的取值范围；二是在求得x25 时，并不属于 7x10，应及时地舍去；三是处理第（3）个问题时的实质是利用一元二次方程来探索问题的存在性.十五、利用图形探索规律 例 15 在如图 8 中，每个正方形有边长为 1 的小正方形组成：（1）观察图形，请填写下列表格：正方形边长 1 3 5 7 n（奇数）黑色小正方形个数 正方形边长 2 4 6 8 n（偶数）黑色小正方形个数 （2）在边长为n（n1）的正方形中，设黑色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数为P2，问是否存在偶数n，使P25P1？若存在，请写出n的值；若不存在，请说明理由.解（1）观察分析图案可知正方形的边长为 1、3、5、7、n 时，黑色正方形的个数为 1、5、9、13、2n1（奇数）；正方形的边长为 2、4、6、8、n 时，黑色正方形的个数为 4、8、12、16、2n（偶数）.（2）由（1）可知n为偶数时P12n，所以P2n22n.根据题意，得n22n52n，即n212n0，解得n112，n20（不合题意，舍去）.所以存在偶数n12，使得P25P1.说明 本题的第（2）小问是属于存在性问题，求解时，可以先假设结论存在，进而从中找到数量关系，使问题获解.综上所言，列一元二次方程解应用题是列一元一次方程、二元一次方程组解应用题的延续和发展，列方程解应用题就是先把实际问题抽象为方程模型，然后通过解方程获得对实际问题的解决.列一元二次方程解应用题的关键是：找出未知量与已知量之间的联系，从而将实际问题转化为方程模型，要善于将普通语言转化为代数式，在审题时，要特别注意关键词语，如“多少、快、慢、和、图 8 式右边是零其中叫做二次项叫做二次项系数叫做一次项叫做一次项系数次方程根据平方根的定义可知是的平方根当时当时方程没有实数根配方数的一半的平方最后配成完全平方公式公式法公式法是用求根公式解一差、倍、分、超过、剩余、增加、减少”等等，此外，还要掌握一些常用的公式或特殊的等量关系，如特殊图形的面积公式、行程问题、工程问题、增长率问题中的一些特殊关系等等.式右边是零其中叫做二次项叫做二次项系数叫做一次项叫做一次项系数次方程根据平方根的定义可知是的平方根当时当时方程没有实数根配方数的一半的平方最后配成完全平方公式公式法公式法是用求根公式解一