2023年[高考]专题八 振动和波.pdf
学习必备 欢迎下载 专题八 振动和波 简谐运动和机械波一直是高考必考的内容，其中命题频率最高的知识点是波的图象、频率、波长和波速的关系，其次是单摆周期题型多以选择题、填空题形式出现本章的难点是简谐运动及其规律的应用跟波的图象 第一节 简谐运动特点 物体受到的回复力 F 与位移 x 符合kxF规律的振动，叫简谐运动两种典型的简谐运动是弹簧振子和单摆，二者的回复力分别是弹簧的弹力和重力沿圆弧切线方向的分力简谐运动有对称性(关于平衡位置对称的两位置，物体的回复力大小，位移大小、加速度大小、速度大小分别相等)和周期性(F、x、v、a 都随时间 t 发生周期性变化)简谐运动的图象为一正(余)弦曲线 弹簧振子和单摆都是理想化模型单摆的周期公式为gLT2，它与摆球质量、振幅无关，只与摆长和当地的重力加速度有关弹簧振子的周期与振子质量有关、与振幅无关，周期kmT2其中 k为弹簧的劲度系数，m 为振子质量 【典型例题透析】简谐运动规律 例 1(1996 年全国高考)如果表中给出的是做简谐运动的物体位移 x 或速度 v 与时间的对应关系，T 是振动周期则下列选项中正确的是：A.若甲表示位移 x，则丙表示相应的速度 v 学习必备 欢迎下载 B.若乙表示位移 x，则甲表示相应的速度 v C.若丙表示位移 x，则甲表示相应的速度 v D.若乙表示位移 x，则丙表示相应的速度 v 命题意图 考查简谐运动各物理量的变化，考查考生抽象思维能力、分析推理能力等 解题思路 如果甲表示位移，t=0 时 x=0，4t，时 x=+A，可见 t=0 时刻质点应以正向的最大速度通过平衡位置，才能经4T到达正向最大位移比较丙、丁两栏，可见丙正确地表示了对应的速度变化情况，故可判定 A 正确，D 不正确 如果 T 表示位移，即当 t=0 时 x=-A，4t时从负到正通过平衡位置，速度应正向最大比较甲、乙两栏，可见甲正确表示了对应的速度变化规律，故可判断 B 正确，C 不正确正确选项为 AB 探讨评价 审查表中每一栏，发现每一栏单独表示简谐运动的位移 x 或速度 v 都是符合振动周期性规律的，因此要判断四个选项中给出的x 和 v 的对应关系是否正确，只需注意 t=0o 到4t这两个时刻的对应关系即可 简谐运动的对称性 例 2质量为 M 的框架置于水平地面上，在其顶部通过一个轻弹簧悬挂一个盘，盘内有一砝码，砝码与盘质量皆为 m，该装置静止稳定时，若将盘中砝码突然取走，盘将开始向上运动，则砝码盘运动到最高点时，框架对地面压力大小是多少？如图 命题意图 考查简谐运动的对称性、受力分析及力的平衡知识 解题思路 盘内砝码被取走后，盘与轻弹簧所组成的弹簧振子将开始做简谐运动在取走砝码的瞬间，盘所受合外力即回复力方向向上，大小为 mg，由简谐运动的回复力大小和方向关于平衡位置的对称性可知，当盘运动到最高点时，它所受到的回复力也应为 mg，正好等于重力，所以此时弹簧形变为零，无弹力，显然此时框架对地面压力为 Mg 波的图象第一节简谐运动特点物体受到的回复力与位移符合规律的振动物体的回复力大小位移大小加速度大小速度大小分别相等和周期性都随弹簧振子的周期与振子质量有关与振幅无关周期量其中为弹簧的劲度系学习必备 欢迎下载 探讨评价 简谐运动的对称性不只是关于平衡位置对称的两点处的回复力，还有加速度、位移、动能、势能，另外还有通过对称的两段长度用的时间也相等这些对称性，在解答问题时会用到，要熟练掌握 简谐运动的图象 例 3(1994 年高考)图的左图是演示简谐振动图象的装置当盛沙漏斗下面的薄木板 N 被匀速地拉出时，摆动着的漏斗中漏出的沙在板上形成的曲线显示出摆的位移随时间变化的关系，板上的直线 OO1代表时间轴 图的右图是两个摆中的沙在各自木板上形成的曲线，若板 Nl和板 N2拉动的速度 vl和 v2的关系为122vv，则板 N1、N2上曲线所代表的振动的周期 T1和 T2的关系为：A.T2=T1 B.T2=2T1 C.T2=4T1 D.T2=41T1 解题思路 由图可知，薄木块 N 被匀速拉出，板 N1、N2拉动的距离 S 相同，且 N1拉动时间为 T1，N2拉动时间为 2T2 则11TvS，222TvS，又122vv，1241TT 应选 D 探讨评价 本题是考查考生由振动图象确定周期的能力，是课本演示实验的演变本题的难度属中等 单摆问题 1.等效单摆 计算摆动物体的周期时，公式glT2一般并不能直接应用，但我们经过一些“等效”，就可以应用了我们称经过等效处理后能用单摆周期公式计算周期的摆动，叫“等效单摆”等效单摆分等效摆长单摆、等效重力加速度单摆，以及摆长、重力加速度双波的图象第一节简谐运动特点物体受到的回复力与位移符合规律的振动物体的回复力大小位移大小加速度大小速度大小分别相等和周期性都随弹簧振子的周期与振子质量有关与振幅无关周期量其中为弹簧的劲度系学习必备 欢迎下载 等效单摆三种等效单摆的周期公式为 g lT2。等效摆长单摆 等效摆长不再是悬点到摆球球心的距离，但 g=g等效摆长单摆确定等效摆长是解题的关键确定“等效摆长”，首先找出摆球振动围绕的那个中心，此中心即为等效单摆的悬点，它到摆球重心的距离即为“等效摆长”如：两根长为上的细线下端拴一质量为 m 的小球，两绳夹角 2，今使摆球在垂直纸面的平面内做小幅度摆动，求其周期 解题思路 题示单摆可以看作是以 AB 的中心为悬点，OO 的长为摆长的单摆，即等效摆长为 l=Lcos，故此摆周期gcosLT2 等效重力加速度单摆 该类单摆的等效重力加速度 gg，但摆长仍为悬点到球心的距离“等效重力加速度”等于摆球处于平衡位置不振动时，等效摆长“绳子”上拉力对摆球产生的加速度 等效重力加速度 g 的求法：先计算摆球不摆动而处于平衡状态时(静止)的摆线拉力 F，然后用 F 与摆球质量之比计算，等效重力加速度g，即：mF g 如：长为 L 的轻线一端系一质量为 m 的小球，挂于小车支架上的 O 点，将小球拉离平衡位置(50)由静止释放，当小车以 ag 向右加速运动时，如图，摆球的平衡位置偏离竖直角，等效摆长不变，摆球在平衡位置时，绳子拉力为 F，则：Fcos=mg Fsin=ma 解得22agF 图中 A 点为摆球的平衡位置，悬线拉力产生加速度为：22ag g，代入公式得周期222aglT。摆长、加速度双等效单摆 这类单摆的等效摆长的求法见“等效摆长单摆”的摆长求法，等效重力加速度g 的求法见“等效重力加速度单摆”的g波的图象第一节简谐运动特点物体受到的回复力与位移符合规律的振动物体的回复力大小位移大小加速度大小速度大小分别相等和周期性都随弹簧振子的周期与振子质量有关与振幅无关周期量其中为弹簧的劲度系学习必备 欢迎下载 求法 如：如图，是记录地震装置的水平摆示意图，摆球 m 固定在边长 L，质量可忽略的等边三角形顶点 A 处，它的对边 BC 与竖直线成不大的角，摆球可沿固定轴 BC 摆动，则摆球做微小振动的周期是多少？解题思路 该装置摆动时，沿等效摆长 OA 方向的摆长 OA=Lsin600=L23，当摆球处在平衡位置且不摆动时，沿等效摆长OA 方向等效拉力F=mgsin =mg，即g=gsin，故此摆的周期singLT232 2.单摆巧用 例 4如图所示，A、B 为固定在轻杆中点和一个端点的两个小球，杆可绕 O 点无摩擦地转动，将轻杆从图中水平位置由静止释放，在轻杆下落到竖直位置的过程中 A.两球各自的机械能均守恒 B.杆、球组成的系统机械能守恒 C.A 球机械能的增加等于 B 球机械能的减少 D.A 球机械能的减少等于 B 球机械能的增加 命题意图 考查机械能守恒条件，考查分析、推理和构造模型的能力 解题思路 令原图 OA 和 OB 各构成一个单摆，如图所示，则A 球的周期比 B 球的周期小，A 球先摆到竖直位置，由此可推知，在本题中 A 球通过杆对 B 球做正功，A 球的机械能减少，B 球的机械能增加，杆、球系统的机械能守恒故选项 B、D 正确 3.单摆快慢 例 5有一摆钟，冬天计时准确，到夏天每昼夜慢 14s，求冬天与夏天摆长之比 命题意图 考查单摆周期公式，考查运用单摆知识处理实际问题的能力 解题思路 设钟摆摆一次计时 t 秒，则冬季一昼夜摆的振动次数为 n1，摆的周期tT 1，波的图象第一节简谐运动特点物体受到的回复力与位移符合规律的振动物体的回复力大小位移大小加速度大小速度大小分别相等和周期性都随弹簧振子的周期与振子质量有关与振幅无关周期量其中为弹簧的劲度系学习必备 欢迎下载 ttn864006060241 夏季一昼夜钟的记时数为(86400-14)秒，摆的振动次数为 n2，摆的周期为 T2，tn148640021486400864008640022tnT，摆周期公式glT2可知：lT，故9997022121.TTll 探讨评价 解本题的关键是要知道钟摆不管走得准还是不准，摆做一次全振动，钟针在盘上走的格数(表达的时间)是一样的，如果表达的时间与摆的周期相同，则钟准确；如摆的周期 T 大于表达时间，则钟偏慢；如果钟的周期 T 小于表达时间，则钟走得偏快知道了以上道理，不管题目如何变化，解题的思路就清晰了 第二节 波动图象专题 波动图象是高考命题频率最多的知识点，题型主要以选择和填空题居多，偶尔也有计算题型波的图象是高考的重点也是高考的难点 波的图象要与振动图象区别开 简谐运动的图象，反映的是质点相对平衡位置的位移随时间变化的规律，图线随着时间的继续要延伸，但原有图形不变波动图象，反映的是同一时刻介质中各个质点相对各自平衡位置的位移，波形在不同时刻呈现不同，但波形具有周期性和重复性 波的周期性分空间周期性(在同一波线上，相距为波长整数倍的各个质点的振动情况完全相同)和时间周期性(波在传播过程中，经过整数倍周期时，其波形图线相同)波的图象问题要注意以下五种情况可能引起的多解：波的空间周期性引起；波的时向周期性引起；波的双向性引起；介质两质点间距离与波长关系未定引起；介质质点振动方向未定引起 解波的图象问题的方法：波形平移法(t 后的波形，由原波形沿波传播方向平移tvs而得)；波图象定义法(寻找某时刻各介质质点的位移矢量，连各矢量末端而成)；波的图象第一节简谐运动特点物体受到的回复力与位移符合规律的振动物体的回复力大小位移大小加速度大小速度大小分别相等和周期性都随弹簧振子的周期与振子质量有关与振幅无关周期量其中为弹簧的劲度系学习必备 欢迎下载 振动落后法(离振源越远的质点振动越落后)；“上下坡”法(波形上坡段质点向下运动，波形下坡段质点向上运动)【典型例题透析】识图类 例 1(2000 年全国)一列横波在 t=0 时刻的波形如图中实线所示，在 t=1s 时刻的波形如图中虚线所示由此可以判定此波的：A.波长一定是 4cm B.周期一定是 4s C.振幅一定是 2cm D.传播速度一定是 1 cm/s 命题意图 考查波长、周期、振幅和传播速度概念，考查公式Tv和波的双向性，考查从图中搜取信息的能力 解题思路 由图象可直接得出该波的波长cm4，振幅为 2cm，故 A、C 正确 但本题中未说明波的传播方向，如波沿x轴正向传播，传播时间Tnt41，又sT1，3210144,n,nT；波速321014,nnTv 如波沿 x 轴负向传播，传播时间Tnt43，又sT1，3210344,n,nT波速321034,nnTv 由以上分析可看出，波速和周期都不是定值故 B、D 不对本题正确答案为 AC 探讨评价 在给定两时刻波形时，若不告之波的传播方向，要注意波的双向性可能引起的多解 绘图类试题 绘图类试题分画波形类题和应用波形类题 1.画波形图 例 2(1999 年全国高考)图 a 中有一条均匀的绳，1、2、3、4、是绳上一系列等间隔的点现有一列简谐横波沿此绳传播某时刻，绳上 9、10、11、波的图象第一节简谐运动特点物体受到的回复力与位移符合规律的振动物体的回复力大小位移大小加速度大小速度大小分别相等和周期性都随弹簧振子的周期与振子质量有关与振幅无关周期量其中为弹簧的劲度系学习必备 欢迎下载 12 四点的位置和运动方向如图 b 所示(其他点的运动情况未画图)，其中点 12 的位移为零，向上运动，点 9 的位移达到最大值试在图 c 中画出再经过43周期时点 3、4、5、6 的位置和速度方向，其他点不必画（图 c 的横、纵坐标与图 a、b 完全相同）命题意图 考查对波形成过程的理解，考查画波形图的能力 解题思路 已知在绳上传播的是简谐横波，因此第 9、10、11、12 四点的连线形成41波形，从 0 点到第 12 点可以画出一个完整的波形从图上各点的位置和运动方向可以看出，第 11 点的位置和速度方向，恰是下一时刻第 12 点的位置和速度方向，由此判断波动向右传播于是不难得到经过43周期时，点 3、4、5、6 的位置和速度方向见图 c 例 3(2000 年北京、安徽春季高考)已知平面简谐波在 x 轴上传播，原点O 的振动图线如图 a 所示，t 时刻的波形图线如图示，则 t+0.5s 时刻的波形图线可能是：波的图象第一节简谐运动特点物体受到的回复力与位移符合规律的振动物体的回复力大小位移大小加速度大小速度大小分别相等和周期性都随弹簧振子的周期与振子质量有关与振幅无关周期量其中为弹簧的劲度系学习必备 欢迎下载 命题意图 考查由某一时刻波形画另一时刻波形的能力，考查挖掘图中隐含条件的能力 解题思路 由振动图象a 可知振动周期T=0.4s，经s.t tt50，即经过411Ttn个周期后，波动图象与经T41后的波动图象相同，若波沿 x 正向传播，则波形 b向右平移41个波长如图 D 所示；若波沿 x 负方向传播，则波形 b 向左平移41个波长如图 C 所示选项 CD 正确 探讨评价 由某一时刻波形画另一时刻波形有两种方法：一是平移法；二是波的定义法 一般前一种方法比后一种方法简便 2.应用波形图 例 4(1997 全国高考)简谐横波某时刻的波形图线如图所示由此图可知：A.若质点 a 向下运动，则波是从左向右传播的 B.若质点 b 向上运动，则波是从左向右传播的 C.若波从右向左传播，则质点 c 向下运动 D.若波从右向左传播，则质点 d 向上运动 解题思路 利用“上下坡法则”判断 上下坡法则：把波动图线类比凸凹的路面，凸凹路面就有上坡段和下坡段，沿着波的传播方向看去，位于上坡段上的质点就向下运动，下坡段上的质点就向上运动；向上运动的质点位于下坡段，向下运动的质点位于上坡段 若质点 a 向下运动，由上下坡法则，a 点必位于上坡段，只有由右向左看，a 才处于上坡段，故波应向左传，选项 A 错同理分析 B 选项对 波的图象第一节简谐运动特点物体受到的回复力与位移符合规律的振动物体的回复力大小位移大小加速度大小速度大小分别相等和周期性都随弹簧振子的周期与振子质量有关与振幅无关周期量其中为弹簧的劲度系学习必备 欢迎下载 若波从右向左传，由上下坡法则，知 d、c 点位于下坡段，都应向上运动，故选项 C 错，D 对正确选项为 BD 例 5(1996 年全国高考)一根张紧的水平弹性绳上 a、b 两点相距 14.0m，b 点在 a 点右方，当一列简谐横波沿此绳向右传播时，若 a 点的位移达到正极大时，b 点位移恰好为零且向下运动经过 1.00s 后，a 点位移为零向下运动，而 b点位移恰好达到负极大，则这列简谐波的波速可能等于：A.4.67m/s B.6m/s C.10m/s D.14m/s 命题意图 根据波中两质点运动情况求波速 解题思路 根据题意可以画出下图，图中实线表示开始时刻的波动图线，虚线表示 1.00s以后的波动图线由图可知：mk1443，即：mk4356；sTn141，即：snT414 又s/mknTv434114。容易看出：当0kn时，s/m.v674，当1kn时，s/mv10因而找到 A、C 是正确的，但 B、D 是否 正确就难以判断由于 n、k 是彼此独立的自然数，v 值并不单纯随 n 增大而增大，因可以选较大的 k，使 v 值反而减小，v 也不单纯随 k的增大而减小，因可以选较大的 n，使 v 反而增加 因此用试选 k、n 的值来判断这两个答案是否正确是困难的 我们可以换一种方法：为判断答案 B 是否正确，可以令 v=6m/s，看 k、n 有无自然数的解：6434114kn 由式可得1614 kn由于 n、k 皆为整数，此等式左侧为偶数，不能等于 1，所以式不能成立，可以否定答案 B 同理若14434114kn，则得出 kn 2=1，由于 2(n-k)为偶数，不能等于 1，从而否定了答案 D正确答案只有选项 A、C 探讨评价 本题未给波的图象，但在解题中设定了一波形，然后就根据这一波形，寻找符合要求的 a、b 两点，进而找到隐含条件：a、b 间距离与波长的关系；时波的图象第一节简谐运动特点物体受到的回复力与位移符合规律的振动物体的回复力大小位移大小加速度大小速度大小分别相等和周期性都随弹簧振子的周期与振子质量有关与振幅无关周期量其中为弹簧的劲度系学习必备 欢迎下载 间与周期的关系如果不借助这一波形，凭想象就很难找到这两个隐含条件，因此，要善于借助图象分析和解决问题 本题用到了空间周期性和波的时间周期性，亦属于多解问题 波的图象第一节简谐运动特点物体受到的回复力与位移符合规律的振动物体的回复力大小位移大小加速度大小速度大小分别相等和周期性都随弹簧振子的周期与振子质量有关与振幅无关周期量其中为弹簧的劲度系
