平凉市重点中学2022-2023学年高三3月份第一次模拟考试数学试卷含解析.doc

2023年高考数学模拟试卷注意事项:1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设函数的导函数，且满足，若在中，则（ ）ABCD2我国宋代数学家秦九韶（1202-1261）在数书九章（1247）一书中提出“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积. 其实质是根据三角形的三边长，求三角形面积，即. 若的面积，则等于（ ）ABC或D或3若复数（为虚数单位）的实部与虚部相等，则的值为( )ABCD4在正方体中，E是棱的中点，F是侧面内的动点，且与平面的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确的是（ ）A点F的轨迹是一条线段B与BE是异面直线C与不可能平行D三棱锥的体积为定值5已知等差数列的公差为-2，前项和为，若，为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为，则的最大值为（ ）A5B11C20D256已知函数，若，,则a，b，c的大小关系是（ ）ABCD7已知为抛物线的焦点，点在抛物线上，且，过点的动直线与抛物线交于两点，为坐标原点，抛物线的准线与轴的交点为.给出下列四个命题：在抛物线上满足条件的点仅有一个；若是抛物线准线上一动点，则的最小值为；无论过点的直线在什么位置，总有；若点在抛物线准线上的射影为，则三点在同一条直线上.其中所有正确命题的个数为（ ）A1B2C3D48已知、，则下列是等式成立的必要不充分条件的是（ ）ABCD9已知数列中，()，则等于（ ）ABCD210若复数是纯虚数，则( )A3B5CD11已知向量，且，则（ ）ABC1D212已知抛物线的焦点为，是抛物线上两个不同的点，若，则线段的中点到轴的距离为（ ）A5B3CD2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知数列an的前n项和为Sn，向量（4，n），（Sn，n+3）.若，则数列前2020项和为_14九章算术中记载了“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足。问人数、豕价各几何？”.其意思是“若干个人合买一头猪，若每人出100，则会剩下100；若每人出90，则不多也不少。问人数、猪价各多少？”.设分别为人数、猪价，则_，_.15从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名代表，甲被选中的概率为_.16过直线上一动点向圆引两条切线MA，MB，切点为A，B，若，则四边形MACB的最小面积的概率为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）如图，在三棱柱中，平面平面，侧面为平行四边形，侧面为正方形，为的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的大小.18（12分）已知定点，直线、相交于点，且它们的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线。（1）求曲线的方程；（2）过点的直线与曲线交于、两点，是否存在定点，使得直线与斜率之积为定值，若存在，求出坐标；若不存在，请说明理由。19（12分）已知四棱锥中，底面为等腰梯形，丄底面.（1）证明：平面平面；（2）过的平面交于点，若平面把四棱锥分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值.20（12分）已知椭圆的中心在坐标原点，其短半轴长为，一个焦点坐标为，点在椭圆上，点在直线上的点，且证明：直线与圆相切；求面积的最小值21（12分）对于非负整数集合（非空），若对任意，或者，或者，则称为一个好集合以下记为的元素个数（1）给出所有的元素均小于的好集合（给出结论即可）（2）求出所有满足的好集合（同时说明理由）（3）若好集合满足，求证：中存在元素，使得中所有元素均为的整数倍22（10分）已知正实数满足 .（1）求 的最小值.（2）证明：参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据的结构形式，设，求导，则，在上是增函数，再根据在中，得到，利用余弦函数的单调性，得到，再利用的单调性求解.【详解】设，所以 ，因为当时，即，所以，在上是增函数，在中，因为，所以，因为，且，所以，即，所以，即故选：D【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了运算求解的能力，属于中档题.2、C【解析】将，代入，解得，再分类讨论，利用余弦弦定理求，再用平方关系求解.【详解】已知，代入，得，即 ，解得，当时，由余弦弦定理得： ，.当时，由余弦弦定理得： ， .故选：C【点睛】本题主要考查余弦定理和平方关系，还考查了对数学史的理解能力，属于基础题.3、C【解析】利用复数的除法，以及复数的基本概念求解即可.【详解】，又的实部与虚部相等，解得.故选:C【点睛】本题主要考查复数的除法运算，复数的概念运用.4、C【解析】分别根据线面平行的性质定理以及异面直线的定义，体积公式分别进行判断【详解】对于，设平面与直线交于点，连接、，则为的中点分别取、的中点、，连接、， ，平面，平面，平面同理可得平面，、是平面内的相交直线平面平面，由此结合平面，可得直线平面，即点是线段上上的动点正确对于，平面平面，和平面相交，与是异面直线，正确对于，由知，平面平面，与不可能平行，错误对于，因为，则到平面的距离是定值，三棱锥的体积为定值，所以正确；故选：【点睛】本题考查了正方形的性质、空间位置关系、空间角、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5、D【解析】由公差d=-2可知数列单调递减，再由余弦定理结合通项可求得首项，即可求出前n项和，从而得到最值.【详解】等差数列的公差为-2，可知数列单调递减，则，中最大，最小，又，为三角形的三边长，且最大内角为， 由余弦定理得，设首项为，即得，所以或，又即,舍去，d=-2前项和.故的最大值为.故选：D【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，考查求前n项和的最值问题，同时还考查了余弦定理的应用.6、D【解析】根据题意，求出函数的导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得在上为增函数，又由，分析可得答案【详解】解：根据题意，函数，其导数函数，则有在上恒成立，则在上为增函数；又由，则；故选：【点睛】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及函数单调性的性质，属于基础题7、C【解析】：由抛物线的定义可知，从而可求 的坐标；：做关于准线的对称点为，通过分析可知当三点共线时取最小值，由两点间的距离公式，可求此时最小值；：设出直线方程，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，可知焦点坐标的关系，进而可求，从而可判断出的关系；：计算直线 的斜率之差，可得两直线斜率相等，进而可判断三点在同一条直线上.【详解】解：对于，设，由抛物线的方程得，则， 故，所以或，所以满足条件的点有二个，故不正确； 对于，不妨设，则关于准线的对称点为， 故，当且仅当三点共线时等号成立，故正确； 对于，由题意知， ，且的斜率不为0，则设方程为：，设与抛物线的交点坐标为，联立直线与抛物线的方程为， ，整理得，则，所以， 则.故的倾斜角互补，所以，故正确.对于，由题意知 ，由知，则 ，由，知，即三点在同一条直线上，故正确.故选:C.【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，考查了直线方程，考查了两点的斜率公式.本题的难点在于第二个命题，结合初中的“饮马问题”分析出何时取最小值.8、D【解析】构造函数，利用导数分析出这两个函数在区间上均为减函数，由得出，分、三种情况讨论，利用放缩法结合函数的单调性推导出或，再利用余弦函数的单调性可得出结论.【详解】构造函数，则，所以，函数、在区间上均为减函数，当时，则，；当时，.由得.若，则，即，不合乎题意；若，则，则，此时，由于函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，则，；若，则，则，此时，由于函数在区间上单调递减，函数在区间上单调递增，则，.综上所述，.故选：D.【点睛】本题考查函数单调性的应用，构造新函数是解本题的关键，解题时要注意对的取值范围进行分类讨论，考查推理能力，属于中等题.9、A【解析】分别代值计算可得，观察可得数列是以3为周期的周期数列，问题得以解决.【详解】解：，()，数列是以3为周期的周期数列，故选：A.【点睛】本题考查数列的周期性和运用：求数列中的项，考查运算能力，属于基础题.10、C【解析】先由已知，求出，进一步可得，再利用复数模的运算即可【详解】由z是纯虚数，得且，所以，.因此，.故选：C.【点睛】本题考查复数的除法、复数模的运算，考查学生的运算能力，是一道基础题.11、A【解析】根据向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值.【详解】由于向量，且，所以解得.故选：A【点睛】本小题主要考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.12、D【解析】由抛物线方程可得焦点坐标及准线方程,由抛物线的定义可知,继而可求出,从而可求出的中点的横坐标,即为中点到轴的距离.【详解】解：由抛物线方程可知，即，.设 则，即，所以.所以线段的中点到轴的距离为.故选:D.【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了抛物线的方程.本题的关键是由抛物线的定义求得两点横坐标的和.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由已知可得4Snn（n+3）0，可得Sn，n1时，a1S11.当n2时，anSnSn1.可得：2（）.利用裂项求和方法即可得出.【详解】，4Snn（n+3）0，Sn，n1时，a1S11.当n2时，anSnSn1.，满足上式，.2（）.数列前2020项和为2（1）2（1）.故答案为：.【点睛】本题考查了向量垂直与数量积的关系、数列递推关系、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.14、10 900 【解析】由题意列出方程组，求解即可.【详解】由题意可得，解得.故答案为10 900【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，用消元法来求解即可，属于基础题型.15、【解析】甲被选中,只需从乙、丙、丁、戊中,再选一人即有种方法,从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名共有种方法,根据公式即可求得概率.【详解】甲被选中,只需从乙、丙、丁、戊中,再选一人即有种方法, 从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名共有种方法,.故答案为:.【点睛】本题考查古典概型的概率的计算,考查学生分析问题的能力,难度容易.16、.【解析】先求圆的半径, 四边形的最小面积,转化为的最小值为，求出切线长的最小值,再求的距离也就是圆心到直线的距离,可解得的取值范围,利用几何概型即可求得概率【详解】由圆的方程得，所以圆心为，半径为，四边形的面积，若四边形的最小面积，所以的最小值为，而，即的最小值，此时最小为圆心到直线的距离，此时，因为，所以，所以的概率为【点睛】本题考查直线与圆的位置关系,及与长度有关的几何概型,考查了学生分析问题的能力,难度一般.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解析】（1）连接，交与，连接，由，得出结论；（2）以为原点，分别为，轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用夹角公式求出即可.【详解】（1）连接，交与，连接，在中，又平面，平面，所以平面；（2）由平面平面，为平面与平面的交线，故平面，故，又，所以平面，以为原点，分别为，轴建立空间直角坐标系，设平面的法向量为，由，得，平面的法向量为，由，故二面角的大小为.【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.18、 (1) ；(2) 存在定点，见解析【解析】（1）设动点，则，利用，求出曲线的方程（2）由已知直线过点，设的方程为，则联立方程组，消去得，设，利用韦达定理求解直线的斜率，然后求解指向性方程，推出结果【详解】解：（1）设动点，则，即，化简得：。由已知，故曲线的方程为。（2）由已知直线过点，设的方程为，则联立方程组，消去得，设，则又直线与斜率分别为，则。当时，；当时，。所以存在定点，使得直线与斜率之积为定值。【点睛】本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力，属于中档题19、（1）见证明；（2）【解析】（1）先证明等腰梯形中，然后证明，即可得到丄平面，从而可证明平面丄平面；（2）由，可得到，列出式子可求出，然后建立如图的空间坐标系，求出平面的法向量为，平面的法向量为，由可得到答案【详解】（1）证明：在等腰梯形，易得 在中，则有，故，又平面，平面，即平面，故平面丄平面.（2）在梯形中，设， ，而,即，.以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图的空间坐标系，则，设平面的法向量为，由得，取，得，同理可求得平面的法向量为，设二面角的平面角为，则，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了两平面垂直的判定，考查了利用空间向量的方法求二面角，考查了棱锥的体积的计算，考查了空间想象能力及计算能力，属于中档题20、证明见解析；1.【解析】由题意可得椭圆的方程为，由点在直线上，且知的斜率必定存在，分类讨论当的斜率为时和斜率不为时的情况列出相应式子，即可得出直线与圆相切；由知，的面积为【详解】解：由题意，椭圆的焦点在轴上，且，所以所以椭圆的方程为由点在直线上，且知的斜率必定存在，当的斜率为时，于是，到的距离为，直线与圆相切当的斜率不为时，设的方程为，与联立得，所以，从而而，故的方程为，而在上，故，从而，于是此时，到的距离为，直线与圆相切综上，直线与圆相切由知，的面积为，上式中，当且仅当等号成立，所以面积的最小值为1【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力和创新意识，考查化归与转化思想，属于难题21、（1），（2）；证明见解析（3）证明见解析【解析】（1）根据好集合的定义列举即可得到结果；（2）设，其中，由知；由可知或，分别讨论两种情况可的结果；（3）记，则，设，由归纳推理可求得，从而得到，从而得到，可知存在元素满足题意.【详解】（1），（2）设，其中，则由题意：，故，即，考虑，可知：，或，若，则考虑，则，但此时，不满足题意；若，此时，满足题意，其中为相异正整数（3）记，则，首先，设，其中，分别考虑和其他任一元素，由题意可得：也在中，而，对于，考虑，其和大于，故其差，特别的，由，且，以此类推：，此时，故中存在元素，使得中所有元素均为的整数倍【点睛】本题考查集合中的新定义问题的求解，关键是明确已知中所给的新定义的具体要求，根据集合元素的要求进行推理说明，对于学生分析和解决问题能力、逻辑推理能力有较高的要求，属于较难题.22、（1）；（2）见解析【解析】（1）利用乘“1”法，结合基本不等式求得结果.（2）直接利用基本不等式及乘“1”法，证明即可.【详解】（1）因为 ，所以 因为 ，所以 （当且仅当 ，即 时等号成立），所以（2）证明：因为 ，所以 故 （当且仅当 时，等号成立）【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了乘“1”法的技巧，考查了推理论证能力，属于中档题.