宁夏银川市金凤区六盘山高级中学2023年高三二诊模拟考试数学试卷含解析.doc

2023 年高考数学模拟试卷注意事项:1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为20,40),40,60),60,80),80,100，若低于 60 分的人数是 18 人，则该班的学生人数是（）A45B50C55D602已知集合1,3,Am，1,Bm，若ABA，则m（）A0或3B0或3C1或3D1或33已知等差数列 na的前 n 项和为nS，且43a ，1224S，若0ijaa（*,i jN，且1ij），则 i 的取值集合是（）A1,2,3B6,7,8C1,2,3,4,5D6,7,8,9,104五名志愿者到三个不同的单位去进行帮扶，每个单位至少一人，则甲、乙两人不在同一个单位的概率为（）A25B1325C35D19255已知复数z满足(12)43i zi，则z的共轭复数是（）A2iB2iC1 2iD1 2i6复数12izi的共轭复数在复平面内所对应的点位于()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限7已知O为坐标原点，角的终边经过点(3,)(0)Pm m 且10sin10m，则sin2()A45B35C35-D458不等式组201230 xyyxxy表示的平面区域为，则（）A,x y，23xyB,x y，25xyC,x y，231yxD,x y，251yx9如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边,AB AC.已知以直角边,AC AB为直径的半圆的面积之比为14，记ABC，则sin2（）A925B1225C35D4510设m，n均为非零的平面向量，则“存在负数，使得mn”是“0m n”的A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件11已知 cos0,0,2fxAxAxR的部分图象如图所示，则 fx的表达式是（）A32cos24xB2cos4xC2cos 24xD32cos24x12已知全集U R，集合|lg(1)Ax yx，1|Bx yx则UAB（）A(1,)B(0,1)C(0,)D1,)二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13执行如图所示的伪代码，若输出的 y 的值为 13，则输入的 x 的值是_.14某市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩服从正态分布2100N，已知801000.40P，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取的份数为_.15己知双曲线2222:1(0,0)xyCabab 的左、右焦点分别为12,F F，直线l是双曲线C过第一、三象限的渐近线，记直线l的倾斜角为，直线1:tan2yx，2F Ml，垂足为M，若M在双曲线C上，则双曲线C的离心率为_16等边ABC的边长为 2，则AB 在BC 方向上的投影为_三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12 分）如图，在斜三棱柱111ABCABC中，已知ABC为正三角形，D，E 分别是AC，1CC的中点，平面11AAC C 平面ABC，11AEAC.（1）求证：/DE平面11ABC；（2）求证：1AE 平面BDE.18（12 分）如图，已知抛物线E：24yx与圆M：2223 xyr（0r）相交于A，B，C，D四个点，（1）求r的取值范围；（2）设四边形ABCD的面积为S，当S最大时，求直线AD与直线BC的交点P的坐标.19（12 分）等差数列 na的公差为 2,248,a a a分别等于等比数列 nb的第 2 项，第 3 项，第 4 项.（1）求数列 na和 nb的通项公式；（2）若数列 nc满足12112nnncccbaaa,求数列 nc的前 2020 项的和20（12 分）电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了 100 名观众进行调查，其中女性有55 名，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷”(1)根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女1055合计(2)将上述调查所得到的频率视为概率现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取 1 名观众，抽取 3次，记被抽取的 3 名观众中的“体育迷”人数为 X.若每次抽取的结果是相互独立的，求 X 的分布列，期望 E(X)和方差D(X)附：22n adbcKabcdacbd.P(K2k)0.050.01k3.8416.63521（12 分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是11cos,4231sin42xy（是参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C的极坐标方程；（2）在曲线C上取一点M，直线OM绕原点O逆时针旋转3，交曲线C于点N，求|OMON的最大值.22（10 分）max,m n表示m，n中的最大值，如max 3,1010，己知函数2()max1,2lnf xxx，2221()maxln,242g xxxxaxaa.（1）设21()()3(1)2h xf xxx，求函数 h x在0,1上的零点个数；（2）试探讨是否存在实数2,a，使得3()42g xxa对2,xa恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由.参考答案一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据频率分布直方图中频率小矩形的高组距计算成绩低于 60 分的频率，再根据样本容量频数频率求出班级人数.【详解】根据频率分布直方图，得：低于 60 分的频率是（0.005+0.010）200.30，样本容量（即该班的学生人数）是180.3060（人）.故选：D.【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率频数样本容量的应用问题，属于基础题2、B【解析】因为ABA,所以BA,所以3m 或mm.若3m，则1,3,3,1,3AB,满足ABA.若mm，解 得0m 或1m.若0m，则1,3,0,1,3,0AB，满 足ABA.若1m，1,3,1,1,1AB显然不成立，综上0m 或3m，选 B.3、C【解析】首先求出等差数列的首先和公差，然后写出数列即可观察到满足0ijaa的 i 的取值集合.【详解】设公差为 d，由题知43a 133ad，1224S112 1112242ad，解得19a ，2d，所以数列为9,7,5,3,1,1,3,5,7,9,11,，故1,2,3,4,5i.故选：C.【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量的求解，属于基础题.4、D【解析】三个单位的人数可能为 2，2，1 或 3，1，1，求出甲、乙两人在同一个单位的概率，利用互为对立事件的概率和为 1即可解决.【详解】由题意，三个单位的人数可能为 2，2，1 或 3，1，1；基本事件总数有2231335352332222C CC CAAAA150种，若为第一种情况，且甲、乙两人在同一个单位，共有122332C C A种情况；若为第二种情况，且甲、乙两人在同一个单位，共有112332C C A种，故甲、乙两人在同一个单位的概率为36615025，故甲、乙两人不在同一个单位的概率为61912525P .故选：D.【点睛】本题考查古典概型的概率公式的计算，涉及到排列与组合的应用，在正面情况较多时，可以先求其对立事件，即甲、乙两人在同一个单位的概率，本题有一定难度.5、B【解析】根据复数的除法运算法则和共轭复数的定义直接求解即可.【详解】由1243i zi，得43i2i1 2iz，所以2zi故选：B【点睛】本题考查了复数的除法的运算法则，考查了复数的共轭复数的定义，属于基础题.6、D【解析】由复数除法运算求出z，再写出其共轭复数，得共轭复数对应点的坐标得结论【详解】(1 2)22112(12)(1 2)555iiiiziiii，2155zi，对应点为21(,)55，在第四象限故选：D.【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，考查复数的几何意义掌握复数的运算法则是解题关键7、C【解析】根据三角函数的定义，即可求出1m ，得出(3,1)P，得出sin和cos，再利用二倍角的正弦公式，即可求出结果.【详解】根据题意，210sin109mmm，解得1m ，所以(3,1)OP ，所以103 10sin,cos1010，所以3sin22sincos5.故选：C.【点睛】本题考查三角函数定义的应用和二倍角的正弦公式，考查计算能力.8、D【解析】根据题意，分析不等式组的几何意义，可得其表示的平面区域，设1222,1yzxy zx，分析12,z z的几何意义，可得12,z z的最小值，据此分析选项即可得答案.【详解】解：根据题意，不等式组201230 xyyxxy其表示的平面区域如图所示，其中2,1A，1,2B，设12zxy，则122zxy ，1z的几何意义为直线122zxy 在y轴上的截距的 2 倍，由图可得：当122zxy 过点1,2B时，直线12zxy在y轴上的截距最大，即25xy，当122zxy 过点原点时，直线12zxy在y轴上的截距最小，即20 xy，故 AB 错误；设221yzx，则2z的几何意义为点,x y与点1,2连线的斜率，由图可得2z最大可到无穷大，最小可到无穷小，故 C 错误，D 正确；故选：D.【点睛】本题考查本题考查二元一次不等式的性质以及应用，关键是对目标函数几何意义的认识，属于基础题.9、D【解析】由半圆面积之比，可求出两个直角边,AB AC的长度之比，从而可知1tan2ACAB，结合同角三角函数的基本关系，即可求出sin,cos，由二倍角公式即可求出sin2.【详解】解：由题意知0,2，以AB为直径的半圆面积21122ABS，以AC为直径的半圆面积22122ACS，则222114SACSAB，即1tan2ACAB.由22sincos1sin1tancos2，得5sin52 5cos5，所以52 54sin22sincos2555.故选:D.【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式.本题的关键是由面积比求出角的正切值.10、B【解析】根据充分条件、必要条件的定义进行分析、判断后可得结论【详解】因为m，n均为非零的平面向量，存在负数，使得mn，所以向量m，n共线且方向相反，所以0m n，即充分性成立；反之，当向量m，n的夹角为钝角时，满足0m n，但此时m，n不共线且反向，所以必要性不成立所以“存在负数，使得mn”是“0m n”的充分不必要条件故选 B【点睛】判断 p 是 q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件 p 能否推得条件 q；二是由条件 q 能否推得条件 p，定义法是判断充分条件、必要条件的基本的方法，解题时注意选择恰当的方法判断命题是否正确11、D【解析】由图象求出A以及函数 yf x的最小正周期T的值，利用周期公式可求得的值，然后将点,26的坐标代入函数 yf x的解析式，结合的取值范围求出的值，由此可得出函数 yf x的解析式.【详解】由图象可得2A，函数 yf x的最小正周期为542663T，232T.将点,26代入函数 yf x的解析式得32cos2626f，得cos14，22，3444，则04，4，因此，32cos24xfx.故选：D.【点睛】本题考查利用图象求三角函数解析式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12、D【解析】根据函数定义域的求解方法可分别求得集合,A B，由补集和交集定义可求得结果.【详解】10,1Axx，0,B，1,UA，1,UAB.故选：D.【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算问题，涉及到函数定义域的求解，属于基础题.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13、8【解析】根据伪代码逆向运算求得结果.【详解】输入13y，若6yx，则1326x，不合题意若5yx，则13 58x，满足题意本题正确结果：8【点睛】本题考查算法中的If语言，属于基础题.14、10【解析】由题意结合正态分布曲线可得120分以上的概率，乘以100可得.【详解】解：1(120)1 2(80100)0.102PP，所以应从120分以上的试卷中抽取1000.1010份.故答案为：10.【点睛】本题考查正态分布曲线，属于基础题.15、51【解析】由22,2MOFOFc，则|cos2OMc，所以点2cos,cossin222M cc，因为tanba，可得sin,cosbacc，点M坐标化简为,22ca b，代入双曲线的方程求解.【详解】设22,2MOFOFc，则tanba，即22sin,sincos1cosba，解得sin,cosbacc，则|cos2OMc，所以2cos,cossin222M cc，即,22ca bM，代入双曲线的方程可得2222()144cabab，所以22240caca所以2240ee解得51e.故答案为：51【点睛】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系，及三角恒等变换，还考查了运算求解的能力和数形结合的思想，属于中档题.16、1【解析】建立直角坐标系，结合向量的坐标运算求解AB 在BC 方向上的投影即可.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知：0,0A，2,0B，1,3C，则：2,0AB uuu r，1,3BC ，2AB BC 且2AB ，10BC ，据此可知AB 在BC 方向上的投影为212AB BCAB .【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，向量投影的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）根据D，E分别是AC，1CC的中点，即可证明1/DE AC，从而可证/DE平面11ABC；（2）先根据ABC为正三角形，且 D 是AC的中点，证出BDAC，再根据平面11AAC C 平面ABC，得到BD 平面11AAC C，从而得到1BDAE，结合11AEAC，即可得证【详解】（1）D，E分别是AC，1CC的中点1/DE ACDE 平面11ABC，1AC 平面11ABC/DE平面11ABC.（2）ABC为正三角形，且 D 是AC的中点BDAC平面11AAC C 平面ABC，且平面11AAC C 平面ABCAC，BD 平面ABCBD 平面11AAC C1AE 平面11AAC C1BDAE11AEAC且1/DE AC1AEDEDE，BD 平面BDE，且DEBDD1AE 平面BDE.【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，面面垂直的性质等，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，中档题18、（1）2 23r（2）点P的坐标为1(,0)3【解析】1将抛物线方程24yx与圆方程2223 xyr联立,消去y得到关于x的一元二次方程,抛物线E与圆M有四个交点需满足关于x的一元二次方程在0,上有两个不等的实数根,根据二次函数的有关性质即可得到关于r的不等式组,解不等式即可.2不妨设抛物线E与圆M的四个交点坐标为11(,2)A xx，11(,2)B xx，22(,2)C xx，22(,2)D xx，据此可表示出直线AD、BC的方程,联立方程即可表示出点P坐标,再根据等腰梯形的面积公式可得四边形ABCD的面积S的表达式,令12tx x,由29tr及 1知01t,对关于t的面积函数进行求导，判断其单调性和最值,即可求出四边形ABCD的面积取得最大值时t的值,进而求出点P坐标.【详解】（1）联立抛物线与圆的方程22224,3,yxxyr消去y，得22290 xxr.由题意可知22290 xxr在0,上有两个不等的实数根.所以2244 90,90,rr 解得2 23r，所以r的取值范围为2 2,3r.（2）根据（1）可设方程22290 xxr的两个根分别为1x，2x（120 xx），则11(,2)A xx，11(,2)B xx，22(,2)C xx，22(,2)D xx，且122xx，2129x xr，所以直线AD、BC的方程分别为121112222xxyxxxxx，121112222xxyxxxxx,联立方程可得,点P的坐标为12,0 x x，因为四边形ABCD为等腰梯形,所以211221114422SABCDxxxxxx222121212122242 22 944 9xxx xxxx xrr，令290,1tr，则 22324 2244321f tSttttt ，所以 232 321321 31fttttt ，因为01t,所以当103t 时,0ft；当113t 时,0ft，所以函数 f t在1(0,)3上单调递增，在1(,1)3上单调递减，即当13t 时，四边形ABCD的面积S取得最大值，因为12x xt,点P的坐标为12,0 x x,所以当四边形ABCD的面积S取得最大值时,点P的坐标为1(,0)3.【点睛】本题考查利用导数求函数的极值与最值、抛物线及其标准方程及直线与圆锥曲线相关的最值问题；考查运算求解能力、转化与化归能力和知识的综合运用能力;利用函数的思想求圆锥曲线中面积的最值是求解本题的关键;属于综合型强、难度大型试题.19、（1）2nan，2nnb；（2）2022201928.【解析】(1)根据题意同时利用等差、等比数列的通项公式即可求得数列 na和 nb的通项公式；(2)求出数列 nc的通项公式，再利用错位相减法即可求得数列 nc的前 2020 项的和.【详解】(1)依题意得:2324bb b，所以2111(6)(2)(14)aaa，所以22111112361628,aaaa解得12.a 2.nan设等比数列 nb的公比为q，所以342282,4baqba又2224,422.nnnbab(2)由（1）知，2,2.nnnan b因为11121212nnnnnccccaaaa当2n 时,1121212nnncccaaa由得，2nnnca，即12nncn，又当1n 时，311 22cab不满足上式，18,12,2nnncnn.数列 nc的前 2020 项的和342021202082 23 22020 2S 23420214 1 22 23 22020 2 设2342020202120201 22 23 22019 22020 2T ，则34520212022202021 2223 22019220202T ，由得：23420212022202022222020 2T2202020222(12)20202122022420192 ，所以202220202019 24T，所以2020S2022202042019 28T.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式、性质，错位相减法求和,考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力及综合运用数学知识解决问题的能力.考查的核心素养是逻辑推理与数学运算.是中档题.20、(1)无关；(2)34，916.【解析】(1)由频率分布直方图可知，在抽取的 100 人中，“体育迷”有 25 人，从而可得列联表如下：非体育迷体育迷合计男301545女451055合计7525100将 22 列联表中的数据代入公式计算，得.因为 3.0303.841，所以我们没有充分理由认为“体育迷”与性别有关(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为 0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率.由题意知XB(3，)，从而 X 的分布列为X0123PE(X)np34.D(X)np(1p)91621、（1）sin6（2）最大值为34【解析】（1）利用22sincos1消去参数，求得曲线C的普通方程，再转化为极坐标方程.（2）设出,M N两点的坐标，求得|OMON的表达式，并利用三角恒等变换进行化简，再结合三角函数最值的求法，求得|OMON的最大值.【详解】（1）由11cos,4231sin,42xy消去得曲线C的普通方程为2213022xyxy.所以C的极坐标方程为31sincos22，即sin6.（2）不妨设1,M，2,3N，10，20，0,2)，则12|sinsin663OMON sincos631sincoscos22311sin2cos244411sin 2264当6时，|OMON取得最大值，最大值为34.【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，普通方程化为极坐标方程，考查极坐标系下线段长度的乘积的最值的求法，考查三角恒等变换，考查三角函数最值的求法，属于中档题.22、（1）个；（1）存在，ln2 1(,24.【解析】试题分析：（1）设，对其求导，及最小值，从而得到的解析式，进一步求值域即可；（1）分别对和两种情况进行讨论，得到的解析式，进一步构造，通过求导得到最值，得到满足条件的的范围试题解析：（1）设 221121 2ln,2xxF xxx Fxxxx，1 分令 0Fx，得 1,xF x递增；令 0Fx，得 01,xF x递减，1 分 min10F xF，0F x，即212lnxx，21f xx 3 分设 21312G xxx，结合 fx与 G x在0,1上图象可知，这两个函数的图象在0,1上有两个交点，即 h x在0,1上零点的个数为 1 5 分（或由方程 f xG x在0,1上有两根可得）（1）假设存在实数2,a，使得 342g xxa对2,xa恒成立，则2223ln421324422xxxaxaxaaxa，对2,xa恒成立，即21ln4220 xxaxxa，对2,xa恒成立，6 分设 1112ln,222xH xxx Hxxx，令 0Hx，得 02,xH x递增；令 0Hx，得 2,xH x递减，max2ln2 1H xh，当022a即20a 时，4ln2 1a，ln2 14a，0a，4ln2 1,04a故当ln2 1,04a时，1ln42xxa对2,xa恒成立，8 分当22a即0a 时，H x在2,a上递减，12ln212H xH aaa111ln210222aaa，20ln2 10H aH，故当0a 时，1ln42xxa对2,xa恒成立 10 分若220 xxa对2,xa恒成立，则22aa，1,2a 11 分由及得，ln2 1,24a故存在实数2,a，使得 342g xxa对2,xa恒成立，且a的取值范围为ln2 1,24 11 分考点：导数应用.【思路点睛】本题考查了函数恒成立问题；利用导数来判断函数的单调性，进一步求最值；属于难题本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.