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    四川蓉城名校2022-2023学年高三六校第一次联考数学试卷含解析.doc

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    四川蓉城名校2022-2023学年高三六校第一次联考数学试卷含解析.doc

    2023年高考数学模拟试卷考生须知:1全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1已知实数集,集合,集合,则( )ABCD2如图,在三棱锥中,平面,分别是棱,的中点,则异面直线与所成角的余弦值为A0BCD13设集合,集合 ,则 =( )ABCDR4阿基米德(公元前287年公元前212年),伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家,他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形,为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的,且球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形,其表面积为,则该圆柱的内切球体积为( )ABCD5如图,设为内一点,且,则与的面积之比为ABCD6公比为2的等比数列中存在两项,满足,则的最小值为( )ABCD7在明代程大位所著的算法统宗中有这样一首歌谣,“放牧人粗心大意,三畜偷偷吃苗青,苗主扣住牛马羊,要求赔偿五斗粮,三畜户主愿赔偿,牛马羊吃得异样马吃了牛的一半,羊吃了马的一半”请问各畜赔多少?它的大意是放牧人放牧时粗心大意,牛、马、羊偷吃青苗,青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食(1斗=10升),三畜的主人同意赔偿,但牛、马、羊吃的青苗量各不相同马吃的青苗是牛的一半,羊吃的青苗是马的一半问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食?( )ABCD8设函数(,)是上的奇函数,若的图象关于直线对称,且在区间上是单调函数,则( )ABCD9已知,则a,b,c的大小关系为( )ABCD10已知关于的方程在区间上有两个根,且,则实数的取值范围是( )ABCD11设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是()A若,则B若,,则C若,则D若,则12一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )ABCD二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13已知单位向量的夹角为,则=_.14若幂函数的图象经过点,则其单调递减区间为_15记数列的前项和为,已知,且.若,则实数的取值范围为_.16已知集合A,B,若AB中有且只有一个元素,则实数a的值为_三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12分)如图,已知四边形的直角梯形,BC,为线段的中点,平面,为线段上一点(不与端点重合)(1)若,()求证:PC平面;()求平面与平面所成的锐二面角的余弦值;(2)否存在实数满足,使得直线与平面所成的角的正弦值为,若存在,确定的值,若不存在,请说明理由18(12分)已知是各项都为正数的数列,其前项和为,且为与的等差中项(1)求证:数列为等差数列;(2)设,求的前100项和19(12分)在平面直角坐标系中,有一个微型智能机器人(大小不计)只能沿着坐标轴的正方向或负方向行进,且每一步只能行进1个单位长度,例如:该机器人在点处时,下一步可行进到、这四个点中的任一位置记该机器人从坐标原点出发、行进步后落在轴上的不同走法的种数为(1)分别求、的值;(2)求的表达式20(12分)已知关于的不等式有解.(1)求实数的最大值;(2)若,均为正实数,且满足.证明:.21(12分)已知数列是等差数列,前项和为,且,(1)求(2)设,求数列的前项和22(10分)已知公差不为零的等差数列的前n项和为,是与的等比中项.(1)求;(2)设数列满足,求数列的通项公式.参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】可得集合,求出补集,再求出即可.【详解】由,得,即,所以,所以.故选:A【点睛】本题考查了集合的补集和交集的混合运算,属于基础题.2、B【解析】根据题意可得平面,则即异面直线与所成的角,连接CG,在中,易得,所以,所以,故选B3、D【解析】试题分析:由题,选D考点:集合的运算4、D【解析】设圆柱的底面半径为,则其母线长为,由圆柱的表面积求出,代入圆柱的体积公式求出其体积,结合题中的结论即可求出该圆柱的内切球体积.【详解】设圆柱的底面半径为,则其母线长为,因为圆柱的表面积公式为,所以,解得,因为圆柱的体积公式为,所以,由题知,圆柱内切球的体积是圆柱体积的,所以所求圆柱内切球的体积为.故选:D【点睛】本题考查圆柱的轴截面及表面积和体积公式;考查运算求解能力;熟练掌握圆柱的表面积和体积公式是求解本题的关键;属于中档题.5、A【解析】作交于点,根据向量比例,利用三角形面积公式,得出与的比例,再由与的比例,可得到结果.【详解】如图,作交于点,则,由题意,且,所以又,所以,即,所以本题答案为A.【点睛】本题考查三角函数与向量的结合,三角形面积公式,属基础题,作出合适的辅助线是本题的关键.6、D【解析】根据已知条件和等比数列的通项公式,求出关系,即可求解.【详解】,当时,当时,当时,当时,当时,当时,最小值为.故选:D.【点睛】本题考查等比数列通项公式,注意为正整数,如用基本不等式要注意能否取到等号,属于基础题.7、D【解析】设羊户赔粮升,马户赔粮升,牛户赔粮升,易知成等比数列,结合等比数列的性质可求出答案.【详解】设羊户赔粮升,马户赔粮升,牛户赔粮升,则成等比数列,且公比,则,故,.故选:D.【点睛】本题考查数列与数学文化,考查了等比数列的性质,考查了学生的运算求解能力,属于基础题.8、D【解析】根据函数为上的奇函数可得,由函数的对称轴及单调性即可确定的值,进而确定函数的解析式,即可求得的值.【详解】函数(,)是上的奇函数,则,所以.又的图象关于直线对称可得,即,由函数的单调区间知,即,综上,则,.故选:D【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的综合应用,由对称轴、奇偶性及单调性确定参数,属于中档题.9、D【解析】与中间值1比较,可用换底公式化为同底数对数,再比较大小【详解】,又,即,故选:D.【点睛】本题考查幂和对数的大小比较,解题时能化为同底的化为同底数幂比较,或化为同底数对数比较,若是不同类型的数,可借助中间值如0,1等比较10、C【解析】先利用三角恒等变换将题中的方程化简,构造新的函数,将方程的解的问题转化为函数图象的交点问题,画出函数图象,再结合,解得的取值范围.【详解】由题化简得,作出的图象,又由易知故选:C.【点睛】本题考查了三角恒等变换,方程的根的问题,利用数形结合法,求得范围.属于中档题.11、C【解析】在A中,与相交或平行;在B中,或;在C中,由线面垂直的判定定理得;在D中,与平行或【详解】设是两条不同的直线,是两个不同的平面,则:在A中,若,则与相交或平行,故A错误;在B中,若,则或,故B错误;在C中,若,则由线面垂直的判定定理得,故C正确;在D中,若,则与平行或,故D错误故选C【点睛】本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,是中档题12、B【解析】由题意首先确定几何体的空间结构特征,然后结合空间结构特征即可求得其表面积.【详解】由三视图可知,该几何体为边长为正方体挖去一个以为球心以为半径球体的,如图,故其表面积为,故选:B.【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积,关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析,从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系(2)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积应注意重合部分的处理(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】因为单位向量的夹角为,所以,所以=.14、【解析】利用待定系数法求出幂函数的解析式,再求出的单调递减区间【详解】解:幂函数的图象经过点,则,解得;所以,其中;所以的单调递减区间为故答案为:【点睛】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题,属于基础题15、【解析】根据递推公式,以及之间的关系,即可容易求得,再根据数列的单调性,求得其最大值,则参数的范围可求.【详解】当时,解得.所以.因为,则,两式相减,可得,即,则.两式相减,可得.所以数列是首项为3,公差为2的等差数列,所以,则.令,则.当时,数列单调递减,而,故,即实数的取值范围为.故答案为:.【点睛】本题考查由递推公式求数列的通项公式,涉及数列单调性的判断,属综合困难题.16、2【解析】利用AB中有且只有一个元素,可得,可求实数a的值.【详解】由题意AB中有且只有一个元素,所以,即.故答案为:.【点睛】本题主要考查集合的交集运算,集合交集的运算本质是存同去异,侧重考查数学运算的核心素养.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)()证明见解析()(2)存在,【解析】(1)(i)连接交于点,连接,依题意易证四边形为平行四边形,从而有,由此能证明PC平面(ii)推导出,以为原点建立空间直角坐标系,利用向量法求解;(2)设,求出平面的法向量,利用向量法求解.【详解】(1)()证明:连接交于点,连接,因为为线段的中点,所以,因为,所以因为所以四边形为平行四边形所以又因为,所以又因为平面,平面,所以平面()解:如图,在平行四边形中因为,所以以为原点建立空间直角坐标系则,所以, 平面的法向量为设平面的法向量为,则,即,取,得,设平面和平面所成的锐二面角为,则所以锐二面角的余弦值为(2)设所以,设平面的法向量为,则,取,得,因为直线与平面所成的角的正弦值为,所以解得所以存在满足,使得直线与平面所成的角的正弦值为.【点睛】此题二查线面平行的证明,考查锐二面角的余弦值的求法,考查满足线面角的正弦值的点是否存在的判断与求法,考查空间中线线,线面,面面的位置关系等知识,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.18、(1)证明见解析; (2).【解析】(1)利用已知条件化简出,当时,当时,再利用进行化简,得出,即可证明出为等差数列;(2)根据(1)中,求出数列的通项公式,再化简出,可直接求出的前100项和【详解】解:(1)由题意知,即,当时,由式可得;又时,有,代入式得,整理得,是首项为1,公差为1的等差数列(2)由(1)可得,是各项都为正数,又,则,即:.的前100项和【点睛】本题考查数列递推关系的应用,通项公式的求法以及裂项相消法求和,考查分析解题能力和计算能力.19、(1),(2)【解析】(1)根据机器人的进行规律可确定、的值;(2)首先根据机器人行进规则知机器人沿轴行进步,必须沿轴负方向行进相同的步数,而余下的每一步行进方向都有两个选择(向上或向下),由此结合组合知识确定机器人的每一种走法关于的表达式,并得到的表达式,然后结合二项式定理及展开式的通项公式进行求解.【详解】解:(1),(2)设为沿轴正方向走的步数(每一步长度为1),则反方向也需要走步才能回到轴上,所以,1,2,(其中为不超过的最大整数)总共走步,首先任选步沿轴正方向走,再在剩下的步中选步沿轴负方向走,最后剩下的每一步都有两种选择(向上或向下),即 等价于求中含项的系数,为其中含项的系数为 故【点睛】本题考查组合数、二项式定理,考查学生的逻辑推理能力,推理论证能力以及分类讨论的思想.20、(1);(2)见解析【解析】(1)由题意,只需找到的最大值即可;(2),构造并利用基本不等式可得,即.【详解】(1),的最大值为4.关于的不等式有解等价于,()当时,上述不等式转化为,解得,()当时,上述不等式转化为,解得,综上所述,实数的取值范围为,则实数的最大值为3,即.(2)证明:根据(1)求解知,所以,又,当且仅当时,等号成立,即,所以,.【点睛】本题考查绝对值不等式中的能成立问题以及综合法证明不等式问题,是一道中档题.21、 (1) (2) 【解析】(1)由数列是等差数列,所以,解得,又由,解得, 即可求得数列的通项公式; (2)由(1)得,利用乘公比错位相减,即可求解数列的前n项和【详解】(1)由题意,数列是等差数列,所以,又,由,得,所以,解得, 所以数列的通项公式为 (2)由(1)得,两式相减得,即【点睛】本题主要考查等差的通项公式、以及“错位相减法”求和的应用,此类题目是数列问题中的常见题型,解答中确定通项公式是基础,准确计算求和是关键,易错点是在“错位”之后求和时,弄错等比数列的项数,能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.22、(1);(2).【解析】(1)根据题意,建立首项和公差的方程组,通过基本量即可写出前项和;(2)由(1)中所求,结合累加法求得.【详解】(1)由题意可得即 又因为,所以,所以. (2)由条件及(1)可得. 由已知得, 所以. 又满足上式,所以【点睛】本题考查等差数列通项公式和前项和的基本量的求解,涉及利用累加法求通项公式,属综合基础题.

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