山西省太原市第五中学2023年高三第五次模拟考试数学试卷含解析.doc

2023年高考数学模拟试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知曲线且过定点，若且，则的最小值为（ ）.AB9C5D2已知点，点在曲线上运动，点为抛物线的焦点，则的最小值为（ ）ABCD43已知是第二象限的角，则( )ABCD4已知等差数列中，则（ ）A20B18C16D145已知集合，则（ ）ABCD6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（ ）ABCD7已知集合Ay|y，Bx|ylg（x2x2），则R（AB）（ ）A0，）B（，0），+）C（0，）D（，0，+）8已知函数，其中，记函数满足条件：为事件，则事件发生的概率为ABCD9若,则下列结论正确的是( )ABCD10已知复数z满足（其中i为虚数单位），则复数z的虚部是（ ）AB1CDi11若与互为共轭复数，则（ ）A0B3C1D412已知函数，且，则（ ）A3B3或7C5D5或8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知 ，则_.14设,满足约束条件,若目标函数的最大值为,则的最小值为_15一次考试后，某班全班50个人数学成绩的平均分为正数，若把当成一个同学的分数，与原来的50个分数一起，算出这51个分数的平均值为，则_16若方程有两个不等实根，则实数的取值范围是_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的参数方程是（为参数，常数），曲线的极坐标方程是.（1）写出的普通方程及的直角坐标方程，并指出是什么曲线；（2）若直线与曲线，均相切且相切于同一点，求直线的极坐标方程.18（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，直线交曲线于两点，为中点.（1）求曲线的直角坐标方程和点的轨迹的极坐标方程；（2）若，求的值.19（12分）某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参与问卷调查的100人的得分（满分：100分）数据，统计结果如表所示：组别男235151812女051010713 (1)若规定问卷得分不低于70分的市民称为“环保关注者”，请完成答题卡中的列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为是否为“环保关注者”与性别有关？(2)若问卷得分不低于80分的人称为“环保达人”视频率为概率在我市所有“环保达人”中，随机抽取3人，求抽取的3人中，既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率；为了鼓励市民关注环保，针对此次的调查制定了如下奖励方案：“环保达人”获得两次抽奖活动；其他参与的市民获得一次抽奖活动每次抽奖获得红包的金额和对应的概率.如下表：红包金额（单位：元）1020概率现某市民要参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加间卷调查获得的红包金额，求的分布列及数学期望附表及公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820（12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，.（1）求证：平面；（2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.21（12分）已知抛物线上一点到焦点的距离为2，（1）求的值与抛物线的方程；（2）抛物线上第一象限内的动点在点右侧，抛物线上第四象限内的动点，满足，求直线的斜率范围.22（10分）已知抛物线E：y22px（p0），焦点F到准线的距离为3，抛物线E上的两个动点A（x1，y1）和B（x2，y2），其中x1x2且x1+x21线段AB的垂直平分线与x轴交于点 C（1）求抛物线E的方程；（2）求ABC面积的最大值参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据指数型函数所过的定点，确定，再根据条件，利用基本不等式求的最小值.【详解】定点为,，当且仅当时等号成立，即时取得最小值.故选：A【点睛】本题考查指数型函数的性质，以及基本不等式求最值，意在考查转化与变形，基本计算能力，属于基础题型.2、D【解析】如图所示：过点作垂直准线于，交轴于，则，设，则，利用均值不等式得到答案.【详解】如图所示：过点作垂直准线于，交轴于，则，设，则，当，即时等号成立.故选：.【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.3、D【解析】利用诱导公式和同角三角函数的基本关系求出,再利用二倍角的正弦公式代入求解即可.【详解】因为,由诱导公式可得,即,因为,所以,由二倍角的正弦公式可得,所以.故选:D【点睛】本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的正弦公式;考查运算求解能力和知识的综合运用能力;属于中档题.4、A【解析】设等差数列的公差为,再利用基本量法与题中给的条件列式求解首项与公差,进而求得即可.【详解】设等差数列的公差为.由得,解得.所以.故选：A【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量求解,属于基础题.5、A【解析】考虑既属于又属于的集合，即得.【详解】.故选：【点睛】本题考查集合的交运算，属于基础题.6、D【解析】先根据三视图还原几何体是一个四棱锥，根据三视图的数据，计算各棱的长度.【详解】根据三视图可知，几何体是一个四棱锥，如图所示：由三视图知： ， 所以，所以，所以该几何体的最长棱的长为故选：D【点睛】本题主要考查三视图的应用，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.7、D【解析】求函数的值域得集合，求定义域得集合，根据交集和补集的定义写出运算结果.【详解】集合Ay|yy|y00，+）；Bx|ylg（x2x2）x|x2x20x|0x（0，），AB（0，），R（AB）（，0，+）.故选：D.【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有函数的定义域，函数的值域，集合的运算，属于基础题目.8、D【解析】由得，分别以为横纵坐标建立如图所示平面直角坐标系，由图可知，.9、D【解析】根据指数函数的性质，取得的取值范围，即可求解，得到答案.【详解】由指数函数的性质，可得，即，又由，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查了指数幂的比较大小，其中解答中熟记指数函数的性质，求得的取值范围是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.10、A【解析】由虚数单位i的运算性质可得，则答案可求.【详解】解：，则化为，z的虚部为.故选：A.【点睛】本题考查了虚数单位i的运算性质、复数的概念，属于基础题.11、C【解析】计算，由共轭复数的概念解得即可.【详解】，又由共轭复数概念得：，.故选：C【点睛】本题主要考查了复数的运算，共轭复数的概念.12、B【解析】根据函数的对称轴以及函数值，可得结果.【详解】函数，若，则的图象关于对称，又，所以或，所以的值是7或3.故选：B.【点睛】本题考查的是三角函数的概念及性质和函数的对称性问题，属基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】对原方程两边求导，然后令求得表达式的值.【详解】对等式两边求导，得，令，则.【点睛】本小题主要考查二项式展开式，考查利用导数转化已知条件，考查赋值法，属于中档题.14、【解析】先根据条件画出可行域,设,再利用几何意义求最值,将最大值转化为轴上的截距,只需求出直线,过可行域内的点时取得最大值,从而得到一个关于,的等式,最后利用基本不等式求最小值即可【详解】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分, 当直线过直线与直线的交点时,目标函数取得最大,即,即,而故答案为【点睛】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用、简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题15、1【解析】根据均值的定义计算【详解】由题意，故答案为：1【点睛】本题考查均值的概念，属于基础题16、【解析】由知x0，故.令，则.当时，；当时，.所以在（0，e）上递增，在（e，+）上递减.故，即.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），表示以为圆心为半径的圆；为抛物线；（2）【解析】（1）消去参数的直角坐标方程，利用，即得的直角坐标方程；（2）由直线与抛物线相切，求导可得切线斜率，再由直线与圆相切，故切线与圆心与切点连线垂直，可求解得到切点坐标，即得解.【详解】（1）消去参数的直角坐标方程为：.的极坐标方程.，.当时表示以为圆心为半径的圆；为抛物线.（2）设切点为，由于，则切线斜率为，由于直线与圆相切，故切线与圆心与切点连线垂直，故有，直线的直角坐标方程为，所以的极坐标方程为.【点睛】本题考查了极坐标，参数方程综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.18、（1），；（2）或【解析】（1）根据曲线的参数方程消去参数，可得曲线的直角坐标方程，再由，可得点的轨迹的极坐标方程；（2）将曲线极坐标方程求，与直线极坐标方程联立，消去，得到关于的二次方程，由的几何意义可求出，而（1）可知，然后列方程可求出的值.【详解】（1）曲线的直角坐标方程为，圆的圆心为，设，所以，则由，即为点轨迹的极坐标方程.（2）曲线的极坐标方程为，将与曲线的极坐标方程联立得，设，所以，由，即，令，上述方程可化为，解得.由，所以，即或.【点睛】此题考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，利用极坐标求点的轨迹方程，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题.19、 (1)不能；(2) ；分布列见解析，.【解析】（1）根据题目所给的数据可求2×2列联表即可；计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论（2）由相互独立事件的概率可得男“环保达人”又有女“环保达人”的概率：P1（）3（）3，解出X的分布列及数学期望E（X）即可；【详解】(1)由图中表格可得列联表如下:非“环保关注者”是“环保关注者”合计男104555女153045合计2575100将列联表中的数据代入公式计算得K”的观测值，所以在犯错误的概率不超过0. 05的前提下，不能认为是否为“环保关注者”与性别有关. (2)视频率为概率,用户为男“环保达人”的概率为.为女“环保达人”的概率为，抽取的3名用户中既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率为；的取值为10，20，30，40.,所以的分布列为10203040 .【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，考查了概率分布列和期望，计算能力的应用问题，是中档题目20、（1）证明见解析（2）【解析】（1）由底面为菱形，得，再由底面，可得，结合线面垂直的判定可得平面；（2）以点为坐标原点，以所在直线及过点且垂直于平面的直线分别为轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面与平面所成锐二面角的余弦值.【详解】（1）证明：底面为菱形，底面，平面，又，平面，平面；（2）解：，为等边三角形，.底面，是直线与平面所成的角为，在中，由，解得.如图，以点为坐标原点，以所在直线及过点且垂直于平面的直线分别为轴建立空间直角坐标系.则，.，.设平面与平面的一个法向量分别为，.由，取，得；由，取，得.平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，属于中档题21、（1）1；（2）【解析】（1）根据点到焦点的距离为2，利用抛物线的定义得，再根据点在抛物线上有，列方程组求解，（2）设，根据，再由，求得，当，即时，直线斜率不存在；当时，令，利用导数求解，【详解】（1）因为点到焦点的距离为2，即点到准线的距离为2，得，又，解得，所以抛物线方程为（2）设，由由，则当，即时，直线斜率不存在；当时，令，所以在上分别递减则【点睛】本题主要考查抛物线定义及方程的应用，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题，22、（1）y26x（2）【解析】（1）根据抛物线定义，写出焦点坐标和准线方程，列方程即可得解；（2）根据中点坐标表示出|AB|和点到直线的距离，得出面积，利用均值不等式求解最大值.【详解】（1）抛物线E：y22px（p0），焦点F（，0）到准线x的距离为3，可得p3，即有抛物线方程为y26x；（2）设线段AB的中点为M（x0，y0），则，y0，kAB，则线段AB的垂直平分线方程为yy0（x2），可得x5，y0是的一个解，所以AB的垂直平分线与x轴的交点C为定点，且点C（5，0），由可得直线AB的方程为yy0（x2），即x（yy0）+2 代入y26x可得y22y0（yy0）+12，即y22y0y+2y020 ，由题意y1，y2是方程的两个实根，且y1y2，所以1y021（2y0212）1y02+180，解得2y02，|AB|，又C（5，0）到线段AB的距离h|CM|，所以SABC|AB|h，当且仅当9+y02212y02，即y0±，A（，），B（，），或A（，），B（，）时等号成立，所以SABC的最大值为【点睛】此题考查根据焦点和准线关系求抛物线方程，根据直线与抛物线位置关系求解三角形面积的最值，表示三角形的面积关系常涉及韦达定理整体代入，抛物线中需要考虑设点坐标的技巧，处理最值问题常用函数单调性求解或均值不等式求最值.