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第三章第三章投影法和点、直线、平面的投影投影法和点、直线、平面的投影3.3 直线的投影直线的投影预备知识：预备知识：1.点的三面投影及其投影规律点的三面投影及其投影规律2.两点间的相对位置关系及重影点两点间的相对位置关系及重影点aa a b b b 两点确定一条直线，将两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。就得到直线的同名投影。直线对一个投影面的投影特性直线对一个投影面的投影特性一、直线的投影特性一、直线的投影特性ABab直线垂直于投影面直线垂直于投影面投影重合为一点投影重合为一点 积聚性，积聚性，=90直线平行于投影面直线平行于投影面投影反映线段实投影反映线段实 ab=AB=0直线倾斜于投影面直线倾斜于投影面投影比空间线段短投影比空间线段短 ab=ABcosABabAMBabm 夹角：直线与它的水平投影、正面投影、侧面投影夹角：直线与它的水平投影、正面投影、侧面投影的夹角，分别称为该直线对投影面的夹角，分别称为该直线对投影面H、V、W的倾的倾角角、直线平行于投影面，直线平行于投影面，倾角为倾角为0 直线垂直于投影面，直线垂直于投影面，倾角为倾角为90 直线倾斜于投影面，直线倾斜于投影面，倾角大于倾角大于 0,小于小于 90投影面平行线投影面平行线平行于某一投影面而平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾斜投影面垂直线投影面垂直线正平线正平线(平行于面平行于面)侧平线侧平线(平行于面平行于面)水平线水平线(平行于面平行于面)正垂线正垂线(垂直于面垂直于面)侧垂线侧垂线(垂直于面垂直于面)铅垂线铅垂线(垂直于面垂直于面)一般位置直线一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面垂直于某一投影面2.直线对三个投影面的投影特性直线对三个投影面的投影特性2.1、投影面平行线、投影面平行线只平行某一投影面而同时倾斜另外两个投影面的直线只平行某一投影面而同时倾斜另外两个投影面的直线水平线水平线正平线正平线侧平线侧平线2.1.1、正平线、正平线 平行于正面，倾斜于水平面和侧面的直线平行于正面，倾斜于水平面和侧面的直线 V面投影反映实长，面投影反映实长，ab=ABabOX ,abOZ 投投 影影 特特 性：性：正平线正平线实长实长反映倾角反映倾角、角的真实大小角的真实大小2.1.2、水平线、水平线 平行于水平面，倾斜于正面和侧面的直线平行于水平面，倾斜于正面和侧面的直线 H面投影反映实长，面投影反映实长，ab=ABabOX ,ab OY 投投 影影 特特 性：性：反映倾角反映倾角、角的真实大小角的真实大小水平线水平线实长实长2.1.3、侧平线、侧平线 平行于侧面，倾斜于水平面和正面的直线平行于侧面，倾斜于水平面和正面的直线 W面投影反映实长，面投影反映实长，ab=ABabOZ ,ab OY 投投 影影 特特 性：性：反映倾角反映倾角、角的真实大小角的真实大小侧平线侧平线实长实长2.1.4、小、小 结结 直线在其平行的那个投影面上的投影，反映实长，直线在其平行的那个投影面上的投影，反映实长，并反映直线与另两投影面倾角的实际大小。并反映直线与另两投影面倾角的实际大小。另两个投影面上的投影平行于相应的投影另两个投影面上的投影平行于相应的投影 轴，且比线段的实长短轴，且比线段的实长短平行线的投影特性：平行线的投影特性：分析：利用正平线的投影特性作图分析：利用正平线的投影特性作图例例1：已知：点：已知：点A（30，30，20），），要求：试作正平线要求：试作正平线AB，使，使=30，AB=20mmOYWYHZX作图：作图：先做出点先做出点A的三投影的三投影aaa利用利用=30过过a作与作与X轴轴成成30的直线的直线利用利用AB=20mm过过a作一作一半径为半径为20mm的圆，该圆的圆，该圆与直线的交点即为与直线的交点即为b 30bbb四四解解利用利用abOX、ab OZ，确定，确定b、b2.2、投影面垂直线、投影面垂直线铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线垂直于一个投影面，平行于另外两个投影面的直线垂直于一个投影面，平行于另外两个投影面的直线 ab OX；ab OY 水平投影积聚为一点水平投影积聚为一点 b(a)（积聚性）（积聚性）投影特性投影特性:2.2.1、铅垂线、铅垂线垂直于水平面，平行于正面和侧面的直线垂直于水平面，平行于正面和侧面的直线 ab=ab=AB，即其余两投影反映实长，即其余两投影反映实长babab(a)2.2.2、正垂线、正垂线 ab OX；ab OZ 正面投影积聚为一点正面投影积聚为一点(a)b投影特性投影特性:ab=ab=AB，即其余两投影反映实长，即其余两投影反映实长垂直于正面，平行于水平面和侧面的直线垂直于正面，平行于水平面和侧面的直线ababoXZ(a)bYwYH2.2.3、侧垂线、侧垂线垂直于侧面，平行于水平面和正面的直线垂直于侧面，平行于水平面和正面的直线 ab OY；ab OZ 侧面投影积聚为一点侧面投影积聚为一点a(b)投影特性投影特性:ab=ab=AB，即其余两投影反映实长，即其余两投影反映实长abbaa(b)oYwXZYH2.2.4、小结、小结 直线在与其垂直的投影面上的投影积聚成一点（积聚性）直线在与其垂直的投影面上的投影积聚成一点（积聚性）直线在其他两个投影面上的投影分别垂直于相应的投影直线在其他两个投影面上的投影分别垂直于相应的投影轴，且反映该线段的实长轴，且反映该线段的实长垂直线的投影特性：垂直线的投影特性：abbaa(b)oababo(a)b2.3、一般位置直线、一般位置直线投影特性：投影特性：三投影都倾斜于投影轴；三投影都倾斜于投影轴；投影长度小于直线的真长投影长度小于直线的真长ab=ABcos，ab=ABcos，a”b”=ABcos；投影与投影轴的夹角不反映直线对投影面的倾角。投影与投影轴的夹角不反映直线对投影面的倾角。二、直线与点的相对位置二、直线与点的相对位置点属于直线（点属于直线（C点）点）点不属于直线（点不属于直线（D点）点）直线上点的投影特性直线上点的投影特性 附属性：直线上的一点，其附属性：直线上的一点，其投影在直线的同名投影上，且投影在直线的同名投影上，且符合点的投影规律。符合点的投影规律。作图问题作图问题 判断问题判断问题AC:CB=ac:cb=a c :c b ABCVHbcc b a a定比定理定比定理定比性：点分割线段之比定比性：点分割线段之比=点的投影分线段的投影之比点的投影分线段的投影之比点点C不不在在直线直线AB上上例例2：判断点：判断点C是否在线段是否在线段AB上。上。abca b c c abca b 点点C在直在直线线AB上上附属性附属性注意：对于一般位置直线，只根据任意两对同名投注意：对于一般位置直线，只根据任意两对同名投影，就可作出判断。影，就可作出判断。例例3：判断点：判断点K是否在线段是否在线段AB上。上。a b k 因因k 不在不在a b 上，上，故点故点K不在不在AB上。上。应用定比定理应用定比定理abka b k 另一判断法另一判断法?注意：对于特殊位置直线，注意：对于特殊位置直线，只根据任意两对同名投影，只根据任意两对同名投影，不能直接作出判断。不能直接作出判断。空间两直线空间两直线三、两直线的相对位置三、两直线的相对位置共面共面异面异面平行两直线平行两直线相交两直线相交两直线交叉两直线交叉两直线垂直垂直平行两直线平行两直线投影特性投影特性 平行性：空间两直线平行，则其各同名投影必平行性：空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之亦然。相互平行，反之亦然。abcdc a b d 注意：注意：对于一般位置直线，对于一般位置直线，只要两直线的任意两对同只要两直线的任意两对同名投影互相平行，空间两名投影互相平行，空间两直线就平行。直线就平行。AB/CDacdd c a 对于特殊位置的两直线，只有两个同名投影互对于特殊位置的两直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。相平行，空间直线不一定平行。AB与与CD不平行。不平行。求出侧面投影求出侧面投影如何判断？如何判断？注意：注意：c d a bb b HVABCDKabcdka b c k d abcdb a c d kk 投影特性投影特性 假设空间两直线相交，则其同名投影必相交，假设空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合点的投影特性。反之亦然且交点的投影必符合点的投影特性。反之亦然交点是两直交点是两直线的共有点线的共有点2.相交两直线相交两直线注意：注意：对于一般位置直线，只要两直线的任意两对同对于一般位置直线，只要两直线的任意两对同名投影符合相交条件，空间两直线就相交。名投影符合相交条件，空间两直线就相交。对于特殊位置的两直线，只根据两对同名投影对于特殊位置的两直线，只根据两对同名投影还不一定能直接判断它们是否相交还不一定能直接判断它们是否相交d b a abcdc 1(2 )3(4)交叉两直线交叉两直线123 4 情况情况2 情况情况1 d c abcda b 投影特性投影特性 同名投影可能相交，但同名投影可能相交，但“交点交点”不符合点的投影特性不符合点的投影特性 “交点交点”是两直线上的一是两直线上的一 对重影点的投影对重影点的投影,可帮助判断可帮助判断两直线的空间位置。两直线的空间位置。例例4：试作一直线：试作一直线GH与已知直线与已知直线AB、CD相交，同时与相交，同时与EF平行（平行（G在在AB上，上，H在在CD上）上）abf d e ef c cda(b)分析：分析：AB有积聚性有积聚性1、直接确定、直接确定g g 2、利用、利用GHEF,过过g 作作e f 的平行线交的平行线交c d 于于h h 3、利用、利用H在在CD上，有上，有h 求求hh4、利用、利用GHEF,过过h作作ef的平的平行线，交点为行线，交点为gg 垂直两直线的投影通常不能反映其夹角的实形，垂直两直线的投影通常不能反映其夹角的实形，但在一些特殊条件下，也能反映其真实直角，这种但在一些特殊条件下，也能反映其真实直角，这种投影特性称为直角投影定理。投影特性称为直角投影定理。四、直角投影定理（垂直两直线）四、直角投影定理（垂直两直线）直角投影定理的逆定理仍成立直角投影定理的逆定理仍成立设设 直角边直角边BC/H面面因因 BCAB,同时同时BCBb故故 BCABba平面平面直线在直线在H面上的面上的投影互相垂直投影互相垂直即即 abc为直角为直角故故 bcab故故 bc ABba平面平面又又 BCbcABCabcHa c b abc.证明：证明：定理一：空间两直线垂直（相交或交叉），如果其定理一：空间两直线垂直（相交或交叉），如果其中一条直线是某一投影面的平行线时，则这两直线中一条直线是某一投影面的平行线时，则这两直线在该投影面上的投影相互垂直。在该投影面上的投影相互垂直。定理二：如果两直线的某一投影垂直，其中有一直定理二：如果两直线的某一投影垂直，其中有一直线是该投影面的平行线，那么该空间的两直线垂直线是该投影面的平行线，那么该空间的两直线垂直d abca b c d例例5：过：过C点作直线与点作直线与AB垂直相交。垂直相交。投影投影cd反映反映CD的真长吗？的真长吗？.例例6：过两直线：过两直线AB、CD之间的最短距离。之间的最短距离。c(d)abbacd分析：分析：假设求两直线之间的最短距离，假设求两直线之间的最短距离，必须求出两直线的公垂线（假设必须求出两直线的公垂线（假设公垂线公垂线EF交交CD于于E，交，交AB于于F）水平线与铅垂线垂直，水平线与铅垂线垂直，即为其公垂线即为其公垂线EFAabc(d)DC(e)fEBFffe(e)距离距离直角定理一，作出直角定理一，作出EF的的水平投影水平投影水平线的投影特性水平线的投影特性找出找出e小小 结结直线的投影特性，尤其特殊位置的直线直线的投影特性，尤其特殊位置的直线点与直线、两直线的相对位置的判断方法及投影特性点与直线、两直线的相对位置的判断方法及投影特性定比定理定比定理直角定理直角定理重点掌握：重点掌握：作业：作业：P7预习：平面的投影预习：平面的投影谢谢观看/欢送下载BY FAITH I MEAN A VISION OF GOOD ONE CHERISHES AND THE ENTHUSIASM THAT PUSHES ONE TO SEEK ITS FULFILLMENT REGARDLESS OF OBSTACLES.BY FAITH I BY FAITH
