高考数学考试卷及答案.pdf

高考模拟测试数学试题（满分：150分 考试时间：120分钟）一、选择题（本大题共12小题，每题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合4 =2,1,1,2,3=卜|%2%一2.（）,则 AC B=（）A.-1,1,2 B.-2,-1,2C.-2,1,2 D.-2,-1,1!2.设 A,8 是两个事件，且 B 发生A 必定发生，0尸（A）1,O P（B）1,给出下列各式，其中正确的是（）A.P(A+B)=P(B)B.P(B A)=P(A)雨C.P（A|B）=1 D,尸（A 8）=P（A）3.i 为虚数单位，复数z =W,复数z 的 共 辗 复 数 为 则 4 的虚部为（）l-2iA.i B.-i C.-1 D.14.某网店对今年11月 11日9 时 到 15时 销售情况进行统计，销售额频率分步直方图如图所示，已知11时 到 13时的销售为5 万元.则9 时 到 11时的销售额为（）5.AABC中，Z A =y,AC =2,B C =6，则 而 在 正方向上的投影为（）A.B.-C.D.-222x-3 y+2 唱 唱 传）D.静用TO二、填空题（共 4 小题，每小题5 分，共 20分）13 .（元-原Y的展开式中x的系数为.14 .已知AB C的面积是3,丽 衣=66，则 丽 与/的 夹 角。=.15 .已知椭圆 +5 =1（。60）的两个焦点分别为月，F 2,离心率e =孝，点P在椭圆上，所 电 二0，且4尸耳弱的面积为1,则右焦点F?的坐标为.16 .关于函数f（x）=cos（v x-）-7 3 s in（t y x+）（0）有如下四个命题：若/（%）的最小正周期为6 6则0 =2；若。=2,则A x）在区间 里,乂 上单调递增；当x =空空（左eZ）时，/（x）取2 6 6 2 coJI 3得极大值；若/（X）在区间（大，乃）上恰有一个极值点和一个零点，则=0 0,证明：abf(x 4-一 .b a答案与解析一、选择题(本大题共12小题，每题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合4=-2,-1,1,2,8 =%|%2一%一2.0 ,则AC 8=()A.-1,1,2 B.-2,-1,2)C.-2,1,2 D.-2,-1,1I答案IB 解析 分析 利用一元二次不等式的解法，结合集合交集的运算求解.详解 因为集合 A =-2,-1,1,2,8 =乂 x2-x-2.()|=(-o o,-l u 2,+c o),则 4口8=-2,-1,2,故选：B.2.设A,B是两个事件，且B发生4必定发生，O P(A)1,O P(B)x=7,y=3,画出图象如下图所示,平移基准直线-2 y =0 到可行域边界（7,3）,可得z =x-2y的最大值为7-2 x 3 =L故选：B7.据统计，第 x 年某湿地公园越冬 白鹭数量），（只）近似满足y =k og 3（x +l）,观测发现第2 年有越冬白鹭 1 0 0 0 只，估计第5 年有越冬白鹭（In 2 H o.7,l n 3 v l.l）（）A.1 5 3 0 只B.1 6 3 0 只C.1 8 3 0 只D.1 9 3 0 只 答案B 解析 分析 根据已知条件，结合对数函数公式，即可求解.详解 解：.第X年某湿地公园越冬的白鹭数量），（只）近似满足了=入。83（%+1），又；x=2,y=1000,A 1000=Z:log33,解得左=1000,，当 x=5 时，y=10001og36=1000 x（log33+log32）=1000 x（1 +1630.故选：B.8.已知双曲线C:-=1的离心率e=空，过其焦点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为M，4 厅 3直线M b交另一条渐近线于N,则|M7V|=（）A.3 B.272 C.垂）答案D 解析 分析 利用双曲线的离心率求解从,推 出/的 坐 标，然后求解渐近线方程,出|M N|.详解 解：双曲线C:工 一 工=1的离心率e=2 3，4 b2 3可得 =亚运=迫，解得c=l,a 2 3 3 3所以双曲线的渐近线方程为：y=土与x,双曲线的右焦点F（半，0）,过其焦点/作双曲线C的一条渐近线的垂线不妨为：），=一6。一 竽），f G联立 ，解得 ,即垂足为M（石，1）,=一 园 一 焰 gD.26求解M、N的坐标，即可求y _ _ _ _JQ 7-.联立:3 L，解 得 卜=2，即直线Mb交另一条渐近线于N(2 6,-2),fx.孚所以 I M N|=J(V 3-2 )2+(l +2)2=2 G .故 选:D.9.如图，A是共享单车前轮外边沿上的一点，前轮半径为0.2 5 m,若单车向右行进7.3 3 m时(车轮无滑动),下列描述正确的是(万。3.1 4)()A.点A在前轮的左下位置，距离地面约为0.1 2 5 mB.点A在前轮的右下位置，距离地面约为0.1 2 5 mC.点A在前轮的左上位置，距离地面约为0.3 7 5 mD.点A在前轮的右上位置，距离地面约为0.3 7 5 m 答案D 解析 分析 计算出点A转过的弧度数，结合诱导公式即可得出结论.详解 自行车在向右行进的过程中，点A在前轮上按照顺时针的方向在旋转，7 3 3点A转过的弧度数为 一=-2 9.3 2 1 0万+2.0 8 ,0.2 57T而2.0 8-彳 弧度为第一象限角，故点A在前轮的右上位置，2距离地面约为0.2 5 +0.2 5 si n(2.08=0.2 5-0.2 5 co s2.0 8 0.3 7 5(m).故选：D.1 0.正项等比数列 4,若%=1，则“公比4 =1”是/+%的最小值为2”的()A.充分不必要条件C.充要条件 答案CB.必要不充分条D.既不充分也不必要条件 解析 分析 结合等比数列的通项公式及基本不等式，然后结合充分必要性即可判断.详解 因为正项等比数列 4 ,%=1，C L c 2 2 1 c则公比4 =1 时，/+。7 =-+%乡=q+r =2,q q若 q+%+2 ,当且仅当=-5 且q0,即 q=l 时取等号，q q q-故=1，则“公比4 =1”是%+%的最小值为2”的充要条件.故选：C.1 1 .已知半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的棱长为2,则半球的表面积为()A.1()乃 B.1 2 万 C.15 兀 D.1 8 乃 答案 D 解析 分析 根据题意可知，球心O为正方形ABCD的中心，由正方体的性质与勾股定理算出球的半径，再利用求的表面积公式计算，即可得到该半球的表面积.详解 设正方体A B C D-A B C D 的底面A B C。在半球的底面圆上，则球心O为正方形A 8 C。的中心，连结04，正方体的棱长为 2 ,A O =g A C=x 2-2 =近，:,A,O=-JAA2+A O2=R，即半球的半径为H =C，.半球的表面积为S =；x 4%x(指+T X(灰丫=1 8 万.故选：D1 2 .已知定义在R 上的函数y =/(x)满足下列三个条件：当T W xW O时，x)=2x-e x+e；y =/（x+l）的图象关于y 轴对称；WX GR,都有 x+2）=/（2 x）.则/；）的大小关系是（）B噌 卜 倡 卜 呜）MIHM)。.同川等佃 答案 A 解析 分析 推 导 出 函 数/（x）为 偶 函 数，结 合 已 知 条 件 可 得 出f，利用导数可知函数/（X）在 1,0 上为减函数，由此可得出/寻回、痣）的大小关系.详解 因为函数y =x+l）的图象关于y轴对称，则 l+x）=l x）,故 2_力=/(xl)=/(x 1 +1)=x),/(2+x)=/(l +(x+l)=/(l-(x+l)=/(-%),又因为 V xe R,都有/(x+2)=2 x),所以，/(x)=x),所以噌 卜 小+）小 一 1=/因为当-IWXWO时，x)=2 x e+二,当且仅当x =O E l 寸，等号成立，且/（x）不恒为零，故函数 x）在 上 为 减 函 数,因为则0外0故同 同 0.故选：A.二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）的 展 开 式 的 通 项 为=C*7-（-岸）=（一2）3x13.（-贵）7的展开式中x的系数为.答案56 0 解析 分析 求得二项展开式的通项，结合通项求得 的值，代入即可求解.详解 由题意，二项式（x-令r =4,可得（=（一 2）4.C；X=560X,即x的系数为56（）.故答案为：56 0.14 .已知AABC 的面积是3,A B -A C =6 7 3，则 函 与 正 的 夹 角6 =.答案 一 解析 分析 根据三角形的面积及而衣=66,可求得t a n A ,即可求得角A ,从而可得出答案.详解 解：因为SABC=gc sinA =3,所以b c sinA =6,又 A B -A C =|A B|/ic|c os A =be cos A =6 s/3 ,r r iM be sin A A V3所以-=t a nA =，be cos A 3又Ae（O,）,所以A =工，_ 6、4所 以 丽 与 衣 的 夹 角e =?.故答案为：.6BA2X15.已 知 椭 圆+ay2=1（。匕0）的两个焦点分别为耳，尸2,离心率e =，点P在椭圆上,丽.电=0,且 百鸟的面积为1,则 右 焦 点 亮 的 坐 标 为.答案(1,0)解析 分析 根据已知条件求得C,由此求得右焦点的坐标.PFPF=2a 详解小/1产用=1,2 I ,2 9 解得。C =1附+|P 周=4。2C _ V22所以右焦点的坐标为(1,0).故答案为：(1,0)16.关于函数/(%)=cos(x-V3 sin(tyx+)(0)有如下四个命题：若f(x)的最小正周期为6 6则cy=2；若。=2,则f(x)在区间 史,乂 上单调递增；当x=出 史 伙e Z)时，f(x)取2 6 6 2口4 3得极大值；若“X)在区间(,心上恰有一个极值点和一个零点，则5y 详解/(x)=cos(a)x-5/3 sin(cox+)6 6=cos(69x-令+G sin(s-令=2 sin(69X -工 +马=2 sin sT T 2 4 T T若/(X)的最小正周期为一，则 一=一=。=4,错误；2 co 2*7 7 sr若 2xe,则/(x)在区间 上,上单调递增,.6 6 J L 3 3 J 6 6正确；当x=1+1)乃=(4 1+1)万二工+1万 时,f(x)=2)此时/(x)取得最大值也是极大值，正确；2co 2x2 4若xe,因为/(x)在区间(I，如 上恰有一个极值点和一个零点,2则 :,不等式组无解，错误.3万71 C071 1 时，S=2 an_-1 Sn-Sn_=(2 an-1),即 a“=2a“一 2a“_ ，g p an=2z(,所以，数列%是首项为1,公比为2的等比数列,4=2 ，选作条件解答如下：1），二当=1 时，s 1=t,即q =f,又 6 =1r =1Sn=2 1,当时，S“_ 1=2T-1,J),二 a.=2_ 2T =2T,显然当=1 时也满足，a“=2 T；选作条件解答如下：c“2“W2-W /=2 -Tn=2 2 号”1 时，J-=2 2，n2 n：-工=4=2T,即 an=2-1,T(M-l)-(H-l)T 2 T显然当 =1 时也满足上式，a=2小；小问2 详解解：由(1)知：=2T,;.l o g 2 a“=l o g 2 2T =一1,由一(-1)=1,1-1=0,则数列 l o g 24 是首项为0,公差为1的等差数列，所以，数列 l o g 2。,的前项和”“=殁 二is.某数学课题组针对高三学生掌握基本知识点的单位值x和“一诊”基础题目得分值y进行统计分析，所得统计数据如表所示：X355 57 595y2030355 5（1）请根据如表提供的数据，用最小二乘法求出）关于X的线性回归方程y=bx+a-.若则称y为异常值，现有8名学生的成绩，其中有3个异常值，现从8个成绩中逐一抽取,每次抽取后不放回，求至多抽取4次就能将3个异常值全部找出来的概率.X（七一君（K 一 y）Z%/一 nxy（参考公式：归=旦 二-=咛-，a=y-b x.）（”于）2 戒22=1/=!2.11 3 合某 l（i）y =五1一41 五 解析，11 分析（1）先求出样本中心点的坐标，再利用公式求出方=一，将样本中心点的坐标代入回归方程求得203a=-,从而可得答案；4（2）利用古典概型求出恰好3次就能将3个异常值找出的概率，以及恰好4此就能将3个异常值找出的概率，再求和即可.小 问1详解由题意可得,_ 35 +5 5+7 5+95 公x=-=65 ,4_ 20+30+35+5 5y=-=35 ,44Z(七一亍)(弘一歹)=(35 -65)(20-35)+(5 5-65)(30-35)+(7 5 -65)(35 -35)+/=1(95-65)(5 5-35)=11004Z(X,一X)2=(35 -65)2+(5 5-65)2+(7 5 -65 y +(95-65)2=2000z=ib=/=1_-4 (为 一 可 一1=11100 112000-20Z（王一君（y力所以-机-守（=11100-20001120 11 3则近=,一 位 =35-x 65=,20 4所以y关于x的线性回归方程为11 3一x 20 4 小问2详解A?1恰好3此就能将3个异常值找出的概率为=鼻=丁，4 56恰好4此就能将3个异常值找出的概率为34 56所以，至多抽取4次就能将3个异常值找出的概率为1 3 1 +=-1-=-56 56 147 T19.如图 1 是AABC,AC=2BC=6,Z A C B ,D,E分别是边AC,AB上两点，且BC=3E。，7 7将AAED沿EO折起使得NA0C=,如图2.(2)图2中，求二面角C-A B E的正切值.答案J(l)证明见解析(2)-77 解析 分析(1)、利用线面垂直的判定，及线面垂直的性质即可证明;扁求出两平(2)、建立空间直角坐标系，分别求出平面ABC、平面ABE的法向量，利用卜05(瓦比)|=面所成角的余弦值，进而求出求二面角C-A B-E的正切值.小 问1详解由己知得：D E A D,D E A C,ADrDC D,:.DE-L平面 ADC,又 AC u 平面 ADC AC,ADC 中，AO=2,OC=4,NA0C=q,由余弦定理得：AC=2百，AC2+AD2=DC2-即 AC_LA。，QADcOE=。AC，平面 AED.小问2详解由（1）知：DEI平面A O C,以。为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系,则 A（l,0,G）,B（4,3,0）,C（4,0,0）,D（0,0,0）,E（0,-l,0）,AB=（3,-3,-V3）,fiC=（0,3,0）,BE=（-4,2,0）,设平面ABC的法向量为万=（%，y,Z1）,平面ABE的法向量为玩=力,z2）,则ABn=QBCn=Q与，AB m=QBEm =Q;Jcos 伍，砌=|n-m|_|-2|_ V2同 冏 2x2夜 4观察可知二面角C-AB E为钝二面角，二二面角C A5 E的正切值为一.20.已知抛物线/：/=2外（0 0）,直线丁 =+1交丁于A、B两 点,且当左=1时，|A同=8.(1)求，的值;(2)如图，抛物线7在A、3两点处的切线分别与y轴交于C、。，AC和80交于G,G C +G D +G E =0证明：存在实数2,使得G后=4通.答案(1)P =2；(2)证明见解析.解析 分析(1)将 =x+i代入抛物线的方程，列出韦达定理，利用弦长公式可得出关于，的等式，即可解得正数，的值；(2)将 丁 =履+1代 入 炉=4，列出韦达定理，求出两切线方程，进而可求得点G的坐标，分 =0、k#0两种情况讨论，在=0时，推导出C、。、G重合，可得出2 =0；在 人工()时，求出CO的中点M的坐标，利用斜率关系可得出G M A B,结合平面向量的线性运算可证得结论成立.小问1详解解：将y=x +l代入f=2 p y得-2 p x-2 P =0,设A(%,y)、B(x2,y ,则n d p Z +g p。，由韦达定理可得卜*/;2 Jxx2=-2 p则 I A邳=V 2|x(-2 I=&J(X|+电)2 -4中2 二夜,4 P 2+8 =8，解得 =2或p =-4 (舍)，故p =2.小问2详解解：将 丁 =+1代入1 2=4 y中得了2一4 4 =(),a+b=4 kab=-4(2设A a二-4(、B ，丁 ,则 =1 6 4 2+1 6 0，由韦达定理可得，4对y=；/求导得y=；x,则抛物线T在点A处的切线方程为y !=|(x a)，即三，-2 4同理抛物线T在点B处的切线方程为y=1h x-?b2，_a+bX 7 x=2k联立得j /,所以j _ _1，所以G点的坐标为（2 k一1）,当=（）时，即切线AC与6。交于y轴上一点（0,-1），此时c、。、G重合，由Gd+G万+G立=0，则G丘=6,又 通W6，则存在九=0使得6月=x丽 成立;（I当k w O时，切线AC与）轴交于点C 0,-,切线B O与 轴交于点。0,-I 4 J I 4（_ .妇由4广 -+_ 2，得CO的中点M（。，一2公一1）,乙 K 12 8由 觉+G方+屈=。得 话=一（且+3）=2 的即 面 而f,又2士芸心=%,所以 G M A B,所以，G M/A B -又 丽。6，所以存在实数义使得6后=4而成立.综上，命题成立.点睛 方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为（，x）、（赴,%）；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或）,）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理;将所求问题或题中的关系转化为玉+%、玉%2（或X +%、M%）的形式;（5）代入韦达定理求解.2 1.己知函数/（x）=e*-ga r 2-x-l.（1）若/（x）在 0,+8）上单调递增，求a的取值范围;(2)若 x)在(0,+8)上 存 在 极 值 点 证 明：1一 _1 幺 1且/(飞)=0,求得=匕4尤0 0)，再两次“0求导即可得结论.小 问1详解由题得 r(x)=e*a r-1,.。)在0,+8)上为单调递增的函数，.广(戏.0在0,+力)上恒成立，设 g(x)-el-a x-,g x)-QX-a,当4,1 时，由x.0,得e a0，g(x)在 0,+l时，由 g(x)0,得x l n a,g(x)在(0,l n a)上为减函数,;g(0)=0,.,.尤e(0,l n a)时，g(x)g(0),即尸(幻 1不成立，综上：。的取值范围为(9 1.小问2详解证明：由（1）可 知,）在（0,”）存在极值点与，则。1,e 与-1且/（毛）=0 即：e ox01=0,/.a -（x0 0）“o要证。一1包只需证1区2xQ 2即证 e 一万 XQ x0 1 0又由可知x）=e g V-x-l在 0,田）上为增函数，且%0,./（xo）=eb-|xo2-xo-l /（O）=O,二.Q-1 成立.2要 证 区1一，只需证也1-1+小02 a 2 记 一1/0,e与一 1 0.即证：（与一2）e +与+2 0设/z（x）=（%-2）e+x+2（x 0）=（x l）e+1 则（x）=xex,：x 0,.（x）0即（尤）在（0,4w）上为增函数.”（%）“（0）=0在（0,+8）为增函数/.介（40）=（与-2）e与 +%+2 （0）=0 成立.综上，1 0,证明：abf(x +.b a 答案 x|x?O；(2)证明见解析.解析 分析(1)由/(X)0可得出|x-l|x+1|,不等式两边平方化简即可得解；(2)利用绝对值三角不等式结合基本不等式可证得原不等式成立.小问1详解解：由/(x)0可得出所以，(1)2 4(+1)2,解得x 2 0,故不等式“X)0 .小问2详解解：./(力=k一1|一卜+1闫(x -l)-(x +l)|=2,当且仅当xV 1时取等号,所以，/(X)的最大值为2，因 为 曲0,贝I 曲、(x)0,则a幺3 0，及 0,b a所以，+2 2.b ab a2ab当且仅当a =8时等号成立,因此，地“尤)幺+幺 成 立b a