高考数学平面解析几何解答题专题训练70题含答案.pdf

高考数学平面解析几何解答题专题训练70题含答案学校:姓名：班级：考号：一、解答题1 .在直角坐标系闻中，已知定点可1,定直线|7 ，动点M到直线/的距离比动点M到点尸的距离大2.记动点M 的轨迹为曲线C.求 C的方程，并说明C是什么曲线？(2)设 a 在 C上，不过点P的动直线(J与 C交于A,B 两点，若|E .|,证明:直线 J恒过定点.2 .已知椭圆仔 一|过点向成离 心 率 为 同，直线F 彳 -1 与椭圆 学 于 耳 I 两点,过点区作三 厂 I，垂足为C点，直线A C与椭圆。勺另一个交点为R(1)求椭 圆 单 方 程：(2)试问 是否为定值?若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由.3 .楠圆|冈 经过点|冈 邛 I 离心率为囚,直线口与椭圆跳于A,即 点，且以耳为直径的圆过原点.(1)求椭 圆 国 方 程;(2)若过原点的直线口与椭圆日队于|冈 I 两 点,且 同，求四边形臼 I 面积的最大值.4 .已知双曲线司.，口 国产别是它的左、右焦点，国 二 I 是其左顶点，且双曲线的离心率为可.设过右焦点1 3 a 直线及双曲线中右支交于司俩 点,其中点日立于第一象限内.(1)求双曲线的方程；(2)若直线|冈|分别与直线|冈 卜于与两点,证明|冈|为定值:(3)是否存在常数已使得|国 恒 成立?若存在，求出口的值，若不存在,请说明理由.5.已知直线h：ykixA h：与抛物线f=2 p x (p 0)分别相交于A,B 两点(异于原点0)与直线/：y=2 x+p分别相交于P,。两点，目|目 求线段AB的中点M 的轨迹方程;(2)求4 P0Q面积的最小值.6.已知椭圆C：产1 (与 二 I)的短轴长为2,序 国 别 为 椭 圆 C 的左、右焦点，8 为椭圆的上顶点，|冈 二(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设 P 为桶圆C 的右顶点，直线/与椭圆C相交于M,N 两 点(M,N 两点异于尸点)，且 五 ,证明：直线/恒过定点.7.在平面直角坐标系X。)，中，已知点|冈 十，|冈 I，点 满足|团 记的 轨 迹 为 C.(1)求 C 的方程；(2)设点尸为x 轴上的动点，经过即不垂直于坐标轴的直线/与C交于A,8 两点，且二，证明：为定值.8.已知椭圆：回 焦 距 为 瓦|，过 点 尸K，斜率为。的直线氐与椭圆有两个不同的交点4已 求椭圆q的方程；(2)若 耳，回 的 最 大 值；(3)设响 卜 直 线 与 与 椭 圆 目 1 勺另一个交点为已直线与椭圆胸另一个交点_ I I.I _为 巳 若 五 国 和 点 回 共线，求实数日的值.试卷第2页，共 17页9.已知点 网1 1分别为椭圆a 的左、右焦点，直线置 与椭圆目言且仅有一个公共点，宜线|/乖足分别为点与二3 求证：冈(2)求证：|冈|为定值,并求出该定值;求g 一 的最大值.1 0.如图，已知点D分 别是椭圆xl 的左、右焦点，A,8是椭圆C上不同的两点，且 因,连接 当 卤/时,求点B的横坐标;(1)求 中 方 程;,离 心 率 为 刊,国内坐标原点.(2)设 导 口0别为口的左、右顶点，单 臼 出 一 点(不在坐标轴上)，直 线 回 交 期 于点2口为直线与 上一点，且且求证：日？国 口 三 点 共 线 1 2.已知直线|冈|与抛物线|反 1交于A,B两点，过A,8两点且与抛物线C相切的两条直线相交于点。，当 直 线 耳 朋 时，I 囚(1)求抛物线c 的标准方程;求 耳 的最小值1 3.抛物线|国|的焦点为巳准线为日&为C上的一点，已知以口为圆心,耳 为 半 径 的 圆 手 吁 同 两 点,若|底|的面积为|,求 印 勺值及圆口f i 勺方程(2)若直线与二 与抛物线C交于P,。两点，目 J F I，准 线 尊 y 轴交于点S,点 S 关于直线P Q的对称点为T,求可|的取值范围.1 4.已知椭圆冈 的短轴长为2,离心率为冈；下顶点为A,右顶点为B.(1)求椭圆C的方程；(2)经过点|回的直线|垣 1 交椭圆C于 P。两点(点尸在点。下方)，过点尸作 x 轴的垂线交直线A 3 于点。，交直线BQ 于点E,求证：弧 为定值.1 5.吐旧港椭圆口冈.的左、右顶点，邯 椭 圆 单 位 于 卵 上方的动点，直 线 与 五与 直 线 在 不 分 别 交 于 口 口 两 点，当心点的坐标为冈时,|冈 叫求椭圆日的方程；记 耳 二 和 与 二|的面积分别为国口口求 乒 的取值范围.1 6.点 P 为曲线C上任意一点，直线/：x=-4,过点尸作尸。与直线/垂直，垂足为Q,试卷第4 页，共 1 7页点画且I囚(1)求曲线C的方程;(2)过曲线C上的点冈 一 作 圆 区 的两条切线,切线与y轴交于A,B,求AMAB面积的取值范围.17.在平面直角坐标系xOy中，已知点|冈 ,|冈J,设 耳 二 的内切圆与AC相切于点。，且|目:H，记动点C的轨迹为曲线T.求T的方程；设 过 点 留 的直线/与T交于M,N两点，已知动点P满足|冈 且因,若底|,且 动 点Q在T上，求同的最小值.18.设 椭 圆 区 的左右焦点分别为|.|是该椭圆C的右顶点和上顶点，目|冈 卜 若该椭圆的离心率为国(1)求椭圆C的标准方程；(2)直线/与椭圆C交于 面|两点,且与x轴交于点|扇|若直线向 与 直 线 同 的倾斜角互补，求|7|的面积的最大值.19.已知Fi(一 国，0),F2(目，0)为双曲线C的焦点，点P(2,-1)在C上.(1)求C的方程;(2)点A,8在C上，直线B4,PB与y轴分别相交于M,N两点，点。在直线AB上,若同+1反I，|牡”卜0,证明：存在定点7,使得1。71为定值20.已知双 曲 线 回 一 .过点悯且中)渐近线方程为(1)求 中 方 程；(2)如图，过原点日作互相垂直的直线 J件)别交双曲线于三中点和口口两点,马即项1 同侧.求四边形 目 二 I面积的取值范围；设 直 线 目 与 两 渐 近 线 分 别 交 于 ,耶 点，是否存在直线与使,1 3 a 线段目:的三等分点，若存在，求出直线与的方程；若不存在，请说明理由.2 1.己知椭圆0的 离 心 率 为,且椭圆过点(1)求椭圆日的标准方程；(2)过右焦点中勺直线口音椭圆字于国二 两点，线段国的垂直平分线交直线口于点口交 直 归 于 点 口 求 回的最小值.2 2 .已知抛物线|后 一 .|的顶点为。，点 P是第一象限内C上的一点，Q 是 y轴上一点，目为抛物线的切线，且|因 泮(1)若叵 J求抛物线的方程；(2)若圆|厚 抑 与直线目相切于点尸,且都与y 轴相切，求两圆面积之和的最小值.2 3 .已知椭圆C：冈 的左右顶点分别为A,B,坐标原点。与 A 点关于直线/：耳 对称，/与椭圆第二象限的交点为C 且|冈 .(1)求椭圆C的标准方程；过 4。两点的圆。与/交于M,N两点，直线BM,BN分别交椭圆C于异于B的E,F两点.求证：直线E 恒过定点.2 4 .已知椭圆冈 的长轴长是短轴长的2 倍，焦距为 司.求椭圆E的方程；(2)设过点可 口 的动直线/与椭圆E交于C,。两点，是否存在定实数f,使得回.为定值？若存在，求出，的值：若不存在，请说明理由.2 5 .已知抛物线后 飞 的焦点为巳直线|囚|与抛 物 线 芈 于 点 巳 且II.a(1)求抛物线回J方程；(2)过点即抛物线口的两条互相垂直的弦与，与，设 弦 与，目 的中点分别为巴Q,求同的最小值.试卷第6页，共 1 7 页2 6.已知椭圆冈，椭圆 冈 与 由 湘 同 的 离 心 率，且短 轴 的 一 个 端 点 坐 标 为 直。是坐标原点.(1)求同西方程；(2)若直线/与国有且仅有一个公共点，与 比 于 A,B两点，试 问 国 二|的面积是否为定值？若是，求Qj l 的面积;若不是，请说明理由.2 7 .在平面直角坐标系中，E 3 为坐标原点，向量|区 绕原点逆时针旋转 串 到区”则有旋转变换公式冈.已知曲线|习 1绕原点逆时针 旋 转 用导到曲线目 求曲线国勺方程；|冈|冈|为曲线同右支上任意两点,且直线与过曲线口的右焦点国点|冈 I，延长|上|分 别 与 曲 线 辟 于|冈|两 点.设 直 线 臼 1 和同的斜率都存在，分 别 为 学 序 问 是 否 存 在 实 数 日 使 得|千 旦 成立?2 8 .已知抛物线后 的焦点为巳口为抛物线单的动点，学 中 动 直线|冈 上的投影,当|冈.I 为等边三角形时,其面积为国(1)求抛物线口的方程；设 学 原 点，过 点 即 直 线 单 朝 目 切，且 与 椭 圆 M 户 于 A,卵 点，直 线 目与线段目交于点与，试问：是否存在5 使 得 国 二 I和 国 二 I 的面积相等恒成立？若存在，求口的值；若不存在，请说明理由.2 9.已知椭圆的一个顶点为囚1，一个焦点为1 臼*(1)求椭圆C的方程和离心率；(2)已知点目 口，过原点0的直线交椭圆C于 M,N两点，直 线 用 与 椭 圆 C的另一个交点为Q.若|囚|的面积等于冈，求直线用的斜率.3 0.在平面直角坐标系x Oy 中，已知抛物线C：/=4 y,直线/与抛物线C交于A,B两点，过 A,B分别作抛物线的切线，两切线的交点尸在直线y=x 5上.若点A的坐标为冈，求 A P的长；若 4 5=2 A P,求点P的坐标.3 1 .己知椭圆C：S 过点|曰过 其 右 焦 点 岸 垂 直 于 x 轴的直线交椭圆C于 A,8两点，且 冈 .(1)求椭圆C的方程；(2)若直线/：回 与椭圆C交于E,F两点，线段E F 的中点为Q,在 y 轴上是否存在定点P,使得N E 0 P=2 N E F P 恒成立？若存在，求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.3 2 .已知椭圆冈(1)定义：若某直线与椭圆有且仅有一个公共点，则称该直线与椭圆相切，该公共点为切点.若点回在椭圆c 上，证明，直线闪.与椭圆C相切；(2)设曲线|冈|的切线/与椭圆C交于A 8两点，且以A,8为切点的椭圆 C的切线交于M 点,求 R|面积的取值范围.3 3 .椭 圆 冈 的左、右 焦 点 分 别 是 仲 国 离 心 率 八 引，过 国 垂 直于 x 轴的直线被椭圆截得的线段长为1.(1)求椭圆的方程；(2)若与坐标轴不垂直且不过原点的直线生椭圆相交于不同的两点A,B,过 AB的中点到直线 捌 距 离 为d,求 冈的最大值.M作 垂 直 于 耶 直 线 代 设 掐椭圆相交于不同的两点C,。，且Sr 1 .设原点。3 4 .在圆日 三|上 取 一 动 点 中 椭 圆 巳 冈 的两条切线，切点分别记为 与，鼻(耳 与 目 的 斜 率 均 存 在)，直 线 同,国 分 别 与 圆。相交于异于点尸的4、B 两点.求 证:|冈 ；(2)求 e:血积的取值范围.3 5 .在平面直角坐标系中同，椭 圆 冈 的离心率为在椭圆C上.求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A,B,点、P,。为椭圆上异于A,8的两动点，记直试卷第8页，共 1 7 页线 与 的斜率为日直线厂司的斜率为日 已知|也 L求证：直线回恒过X 轴上一定点；设囚 j 和囚m 的面积分别为 囚 ,求 冈 的最大值.3 6.已知动直线/过抛物线0 7 刁的焦点厂,且与抛物线C交 于 向 三 两点，且点M在 x 轴上方，O 为坐标原点，线段 可的中点为G.(1)若直线目的斜率为目求直线/的方程；(2)设 点 面 若 与 m恒为锐角，求1 3 的取值范围.3 7.设椭圆0的 右 焦 点 为 离 心 率 为 圆 三：的圆心.(1)求椭圆的方程；(2)已知过椭圆左焦点事直线比(斜率存在且不为0)交 椭 圆 于 显 中 点，过心且与氐垂直的直线0方 圆 寻 于 及 耶 点，求 四 边 形 目 二|面积的取值范围.3 8 .已 知 椭 圆 C：W 经过点叵，且 离心率为冈；(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在。：|臼 J 使得。的任意切线/与椭圆交于A,B两点，都有司 I；若存在，求出 的值，并求此时AAO B的面积S的取值范围；若不存在，请说明理由.3 9.在平面直角坐标系耳中，抛物线|Q|的焦点为旧;过点中勺直线氐与相交于不同的I.I两点,且I 囚 一-(1)求。的方程；若线段目的垂直平分线口与日相交于同 口 两点.且I 冈 I.求直线F H的方程.4 0 .已知椭圆冈 的 离 心 率 为 隹 I 叼-I 是口的左焦点,直线I F 一 与臼弗交于显目海点，直线与I与殳勺另一交点为与，直线与与团的另一交点为臼|当 耳|时，与 二 的面积为3.(1)求中)方程；I f-1:;:守(2)证明：直 线 耳 经 过 定 点 冈4 1 .已知动点Q到直线与口的距离比到定点耳 的距离大I.(1)写出动点Q的轨迹C的方程；(2)设|习,I为过可作曲线C的任一条弦A B所 在 直 线 方 程,弦 的 中 点 为。，过D点作直线O P与 直 线 耳 口交于点P,与x 轴交于点M,且使作父J,求丘L的正弦值(其中尸为定点耳).4 2 .如图，设抛物线|冈.|的焦点为F,圆回 -L与 y 轴的正半轴的交点为A,与 二 1 为等边三角形.(1)求抛物线C 的方程；(2)设抛物线C 上 的 点 区 处的切线与圆E交于M,N两点，问在圆E上是否存在点Q，使 得 直 线 同，向 均 为 抛 物 线 C 的切线，若存在，求 Q点坐标；若不存在，请说明理由.4 3 .如图，在平面直角坐标系x O y中，已知椭圆C：1 1 (a 6 0)的离心率同;左 顶 点 为 A (-4,0),过点A作斜率为(原0)的直线/交椭圆C 于点。，交y 轴于点E.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知尸为AO的中点，是否存在定点。，对于任意的A (原0)都有O P J _E。，若存在,求出点Q的坐标；若不存在说明理由；若 过 O点作直线/的平行线交椭圆C 于点求 因 j 的最小值.试卷第10 页，共 17 页4 4.己知椭圆囚的右焦点可，且 满 足 囱(1)求椭圆E的标准方程；若 E上存在M,N两点关于直线区 对称，且满足|冈 1(。为坐标原点)，求/的方程.4 5 .已知圆C 的圆心坐标为国二,且该圆经过点国二.(1)求圆C 的标准方程；(2)直线交圆C 于 M,N 两点、,若直线A M,AN的斜率之积为2,求证：直线“过一个定点，并求出该定点坐标.(3)直线相交圆C 于 M,N两点，若直线A M,AN的斜率之和为0,求证：直线机的斜率是定值，并求出该定值.4 6 .已知椭圆冈.，若下列四点 中恰有三点在椭圆C 上.冈 ；a(1)从中任选一个条件补充在上面的问题中，并求出椭圆c的标准方程；(2)在(1)的条件下，设直线/不经过点星且与椭圆C 相交于4,B两点，直 线 同 与 直线 目 的 斜 率 之 和 为 1，过坐标原点。作，卜 垂足为。(若直线/过原点O,则垂足力视作与原点。重合)，证明：存在定点。，使 得 耳|为定值.4 7.已知椭C：的一个焦点为尸(2,0),离心率为冈.过焦点F的直线/与椭圆C 交于A,B两点，线 段 中 点 为。，O为坐标原点，过。，。的直线交椭圆于M,N两点.(1)求椭圆C 的方程；(2)求四边形A M B N 面积的最大值.4 8.已知椭圆冈，其 右 焦 点 为 百 三 ,点 M在 圆 国 三 三)上但不在日釉上，过点目乍圆的切线交椭圆于母 身 点，当 点 邯 端 由 上 时，|臼.(1)求 椭 圆 甲J标准方程；(2)当 点 卵 圆 上 运 动 时，试探究闫 一|周长的取值范围.4 9.已知椭 圆 冈 的左、右焦点分别为国二点P为 C 上任意一点.当P位于短轴端点时，|7 1|为等边三角形且面积为国.(1)求 C 的标准方程;(2)当 P在 x 轴 上 方 且 向 二 轴 时，过 P做倾斜角互补的两条直线分别交C 于不同的两点 M,N,求直线同的斜率.5 0 .已知圆|即|，点国是圆过上的动点，过点吐乍网的垂线，垂足为驻已知直线+I f -I与圆|口|相切,求直线口的方程;若点口满足|冈 求点斗勺轨迹方程；(3)若 过 点 目 口且斜 率 分别为目的两条直线与(2)中 国 I勺轨迹分别交于点口口曰 并满足I 冈.I，求I 应I 的值.5 1.已知椭 圆 冈 的上顶点为8,左焦点为F,P为椭圆C 上一点,冈，且|冈 1；”-I.(1)求椭圆C 的方程.(2)若直线|冈 卜 与椭圆C 相 切,过 4作/的垂线，垂足为。，试问|号|是否为定值？若是定值，求 同 T的值;若不是，请说明理由.5 2 .已知椭圆冈.，四点 冈 冈,中，恰 有 三 点 在 椭 圆 匕求椭圆印勺方程；(2)设 直 线 邸 经 过 争、，且与椭圆日相交于不同的两点同；若 直 线 国 与 直 线 目 的斜 率 之 和 为 回，证明：直线取一定点，并求此定点坐标.5 3 .已知椭圆：|冈,过椭圆左顶点中直线丘依抛物线|冈 于同两点，且.I，经过点m的直线口苜椭圆交于耳 两点，且 .试卷第12 页，共 17 页(1)求点(3 的横坐标；(2)求四边形 与 二 I 的面积最大值.5 4 .点P与定点|母 的距离和它到定直线I 川 发 的距离之比为可.(1)求点户的轨迹方程；(2)记点尸的轨迹为曲线C,直线/与x 轴的交点M,直线尸F 与曲线C的另一个交点为Q.求四边形。PMQ面积的最大值.(0 为坐标原点)55.已知圆|列,|与x 轴交于4 8 两点，动点P满足直线与与直线三)的斜率之乘 积 为 回：1(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)过 点 巨|的直线/与曲线E交于M,N两点,则在x 轴上是否存在定点Q,使得 立的值为定值？若存在，求出点。的坐标和该定值；若不存在，请说明理由.56 .己知椭圆日 囚(旧 I)的离心率为冈；点|冈 卜 椭 圆 里.求椭圆国勺方程；(2)设|冈,|是椭圆中第一象限内的点，直线口过点即与椭圆即且仅有一个公共点.求直线口的方程(用口 目 表示；设 学 坐 标 原 点，直线口分别与口由，臼物相交于点与，目 试 探 究 I f I 的面积是否存在最小值.若存在，求出最小值及相应的点口的坐标；若不存在，请说明理由.57 .设椭圆E：冈 的右焦点为F,点 A,B,尸在椭圆E上，点“是线段AB的中点，点 F 是线段MP中点(1)若 M为坐标原点，且A ABP的面积为3,求直线48 的方程;(2)求A A B P 面积的最大值.58.已知点|问 ,|冈 临 抛物线回|上,口 跟 别 为 过 点 4 B且与抛物线E相切的直线，J 中 B 交于点可 .条件：点 M在抛物线E的准线上；条件：巨 工条件：直线A B经过抛物线的焦点F.(1)在上述三个条件中任选一个作为已知条件，另外两个作为结论，构成命题，并证明该命题成立；(2)若|冈J,直线|因 I 与抛物线E交于C、。两点，试问：在 x 轴正半轴上是否存在一点N,使得三 二)的外心在抛物线E上？若存在，求 N的坐标；若不存在，请说明理由59.椭圆耳 冈 一 的两焦点分别为昌；回 椭 圆 与 单 正 半 轴 交 于 点|x|?I|x|(1)求曲线口|勺方程；(2)过椭圆已上一动点0不在申上)作圆|口，|的两条切线目二，切点分别为 五 J，直 线 同 与 椭 圆 口 交 于 两点日为坐标原点，求三 厂)的面积谶取值范围.6 0.在平面直角坐标系国 中,冈|冈 冈 冈-“,点尸是平面内的动点.若以耳为直径的圆O与 以 与 为直径的圆T内切.(1)证明：|冈|为定值,并求点P的轨迹E的方程；(2)设斜率为由直 线/与 曲 线 E相交于C、D两点，问在E上是否存在一点Q,使直线同、国 与 y 轴所围成的三角形是底边在y 轴上的等腰三角形？若存在，求出点。的横坐标；若不存在，说明理由.6 1.已知平面内两点|阿 I，|冈 咻 动点P满 足 冈.(1)求动点P的轨迹方程；(2)过定点 7 的直线/交动点尸的轨迹于不同的两点M,N,点 M关于)，轴对称点为与，求证直线可过定点,并求出定点坐标.6 2 .过抛物线响|焦点箕的直线/交抛物线于点于B,弦耳长的最小试卷第14 页，共 17 页值为4,直线r j I 分别交直线II于点c,D(。为原 点)(1)求抛物线E的方程：(2)圆 M过点C、D,交 x 轴于点|网.,证明：若，为定值时，也为定值.并求丘 7 1 时 万 一 1 面积S的最小值6 3 .己 知 椭 圆 肚|区 的右焦点|囚|在直线|万|上,且离心率为在 求椭圆M的方程；(2)设|冈|冈过点A的直线与椭圆日交于另一点呸异于点式，与直线 寻.交于一点 与，导 二 的 角 平 分 线 与 直 线 寻 交 于 点 回 是 否 存 在 常 数 已 使 得回?若存在，求出口的值；若不存在，请说明理由.6 4 .已知抛物线C：|?|的焦点为F,过点尸的直线/与抛物线C交于P,A两点，且 向 三 三；(1)若 2=1,求直线/的方程；(2)设点ES,0),直线P E 与抛物线C的另一个交点为8,用/若 4=4 ,求a的值.6 5.已知椭圆旧的两个顶点分别为南 J|冈 焦 点 在 甲 上，离心率为囚.求椭圆目的方程；(2)若直线|冈|与 曾 由 交 于 点 星 与 椭 圆 学 于 与，邪 点，线段耳|的垂 直 平 分 线 与 卵 交 于 口 求 月 干?取值范围.6 6 .定义平面曲线的法线如下：经过平面曲线单一点且与曲线目衽点目处的切线垂直的直线称为曲线学点处的法线.设点局 为抛物线上一点.(1)求 抛 物 线 学 点 邯 的 切 线 的 方 程(结 果 不 含 及；(2)求抛物线I I在点印的法线被抛物线13截得的弦长币的最小值,并求此时点与的坐标.6 7.已知椭圆闪的左、右 焦 点 分 别 为 昌 国 离 心 率 引为椭圆上一动点，面积的最大值为2(1)求椭圆后的方程；(2)若C,。分别是椭圆E长轴的左、右端点，动点M满足后 也 连结CM交椭圆于点N,。为坐标原点.证明：|q I为定值;(3)平面内到两定点距离之比是常数 7|的点的轨迹是圆.椭圆E的短轴上端点为A点Q在 圆 巨 三 上，求I冈|的最小值.68.已知椭圆C：回.的左右焦点分别为昌 昌 点P是椭圆C上位于第二象限的任一点，直线:是|田|的外角平分线,过左焦点口作/的垂线，垂足为N,延 长 囱 交 直 线 扃|于点M,|冈|(其中。为坐标原点),桶圆C的离心率为艮(1)求椭圆C的标准方程；(2)过右焦点由直 线 交 椭 圆C于A,B两点，点7在线段A 8上，且|点8关于原点的对称点为R,求耳口面积的取值范围.69.如图，已知点|“是焦点为尸的抛物线|冈.|上一点,4,B是抛物线C上异于P的两点，且直线小,P 8的倾斜角互补，若直线融 的斜率为|冈.(1)求抛物线方程;(2)证明：直线AB的斜率为定值并求出此定值;(3)令焦点F到直线A B的距离d,求的最大值.试卷第16页，共17页7 0.已知椭圆C 冈 的左，右顶点分别为A,B,司 冈 椭 圆C过 点 回(1)求椭圆C的标准方程；(2)斜率不为0的直线/与C交于M,N 两点,若直线B M的斜率是直线AN斜率的两倍，探究直线/是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.参考答案：1.(1)1 U ,C是顶点为原点开口向上的抛物线(2)见解析.【解析】【分析】(1)根据抛物线的定义可知C是顶点为原点开口向上的抛物线，求其标准方程即可；(2)设直线A B的方程以及A、B的坐标，将直线与抛物线方程联立，运用设而不求得思想找到人与b的关系即可.(1)因为动点M到直线/的距离比到F的距离大2,故 M到F的距离与M到直线|冈 的距离相等,所以M的轨迹C是以F 为焦点，为准线的抛物线，因此 7|,C是顶点为原点开口向上的抛物线.(2)因为P在 C上 故 国 二设 区 一 联立方程回，可得|叼 I,所以直线方程为：|冈|或冈直线分别过定点巨m 或 巨 I，又 冈所以直线口恒过定点向【点睛】(1)运用定义法求标准方程；(2)解决问题的关键是运用设而不求的思想发现k 与 6的关系.答案第1 页，共 1 1 1 页2.(1)|B I(2 与 二 为定值甘【解析】【分析】(1)利用离心率找出“，c 关系即可；设|冈|，再 用 巨 分别表示出显 Q 弟 坐 标，然后计算出直线目的斜率目与斜率自的关系即可.由已知，不妨设|冈则|冈 国所 以0.，即 区所以，即 向 三 ,即I 与 I,也 即 与 二 为定值件【点睛】在求圆锥曲线的定角时，常常需要优先考虑特殊角件 这样可以直接通过斜率来验证我们的猜想，若满足斜率之积为导 则正确，否则，再寻其他方法处理问题.I.3.冈(2 同答案第2页，共 1 1 1 页【解析】【分析】(1)根据椭圆过的点以及椭圆的离心率，可列出等式，求 得 即 得 答 案；(2)分类讨论直线A 8的斜率不存在和存在两种情况，斜率存在时，设 直 线 方 程，联立椭圆方程，得到根与系数的关系式，根据条件求出参数之间的关系式，进而表示出四边形三 二1的面积,进行化简，可求得答案.(1)椭 圆 司.经过点|冈 咻叵:：椭圆的离心率为a；则冈，|,即 冈可 囚解得 ,所以椭圆国的方程为xl(2)当直线耳斜率不存在时，设以A B为直径的圆的圆心为国，则|正.，则不妨取I二 二I,故“，解得I刁1，故I申I方程为I刁I,直 线 与1过 与 中 点，即 为 卵，得I囚 1 I冈(故s.；直 线 与1斜率存在时，设其方程为与 I,以 I而|,联 立I ,可 得 目.,则 区 -!I .I.:.一 ：.-国，冈,以国为直径的圆过原点即I冈 化简可得斤 工”.将两式代入，整理得I叫 i-|,答案第3页，共1 1 1页即 国 _，将式代入式，得|冈 )|H成立,则I而 ，设线段与 中点为与，由 回.|，则2综上，四边形后 口 面积的最大值为叵【点睛】本题考查了椭圆方程的求法以及直线和椭圆相交时的四边形的面积的最大值问题，综合性强,计算量大，解答的关键是表示出四边形ACBQ的面积，并能进行正确的化简，求得最值.I .4.(1)S(2)证明见解析(3)存在，2【解析】【分析】(1)根据题意可得可,冈 ,即可求解困的值，进而得到双曲线方程；(2)设直线口的方程及点国的坐标，直线0方程与双曲线日的方程联立，得到|回的值，进而得到点|冈J的坐标,计算|百 的值即可;(3)在直线斜率不存在的特殊情况下易得五J,再证明|且.|对直线游在斜率的情形也成立，将角度问题转化为斜率问题，即 囚 ，臼.即可求解目.答案第4页，共111页解：由题可知:V H ,c=2双曲线C 的方程为：同证明：设直线口剪方程为：|/T，另设：且 _ _，冈 .S-fs.，又直线与的方程为冈，代 入 I,m I x I同理，直 线 目 的 方 程 为 冈，代 入 I .S，.冈S故I 网 I为定值.(3)解：当直线口的方程为国时，解 得 国 二 ,易知此时|回为等腰直角三角形,其中冈B|J|.1,也即：用，下证：|臼 一|对直线口 存在斜率的情形也成立,答案第5 页，共 111页0 fxl 1,.结合正切函数在封 上的图像可知，I 囚【分析】(1)联立方程，求出表达出线段A B的中点M 的坐标，消去参 1 .,T T -冈 I a数，求出轨迹方程；(2)设直求刁I，与 抛 物 线 向 二|联立，求出两根之和,两根之积，表达出弦长，进而表达出面积，换元后，求出最小值.则线段A B的中点M的坐标为冈因为狂答案第6 页，共 1 1 1 页a所以消去I 牌:百所以线段A B 的中点M 的轨迹方程为国同理可得：则 因I I,-1其 中x|,解得：|国一,设直线丘f I，与抛物线比 联 立 得:卫所 以 网点 O 到直线P Q 的距离为囚所以A P O Q 面 积 为 因令I司 1则 司答案第7 页，共 111页冈所以当 与I，即 与J时，尸。面积取得最小值，最小值为【点 睛】抛物线相关的弦长或面积问题，一般设出直线方程，与抛物线联立，得到两根之和，两根之积，根据题干条件得到等量关系，用一个变量表达出弦长或面积，求出最值或取值范围.6.(1)冈(2)证明见解析【解 析】【分 析】(1)求 出 用，利用向量数量积运算得到 冈I，从而求出任 广|,求 出椭圆方程;(2)设出直线方程一(耳)，与椭圆方程联立，写出两根之和，两根之积，根据向量垂直得到等量关系，求出直线所过定点.(1)由题意，I司I，I囚；I，设 焦 距 为 国 则1回 4 I拶I,回解 得：耳I，又 司b所以I叼，.“I,所 以 椭 圆C的标准方程 为 国 .(2)由题意知，直 线I的 斜 率 不 为0,则 不 妨 设 直 线I的方程为由 (F f-l).因为I厚：I,所 以 冈因为I四；|国|冈 得 国答 案 第8页，共1 1 1页代入上式，得 国得 冈，解得：I 冈I或百二(此时M或 N与 P重合，舍去)所以直线/的方程 为 冈 二 则直线/恒过点|冈【点睛】圆锥曲线定值定点问题，通常思路为设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，然后结合题干中条件得到等量关系，求出定值或定点.7.(1)xl(2)证明过程见解析【解析】【分析】(1)利用椭圆定义求轨迹方程；(2)设出直线/为：|冈 耳联立椭圆方程，求出两根之和，两根之积，从而表达出弦长，再求出AB中点，进而表达出A8的垂直平分线，求出尸点坐标，得 到 目 的长，得 到 仔 为定值.(1)由椭圆的定义可知：M的 轨 迹 为 以 直 三|囚|为焦点的椭圆,且目，耳所以I 冈 .I，所以C的 方 程 为XI(2)设直线/为：|冈(r=j-i则联 立 冈 得：g.,设区1,则 同答案第9页，共 1 1 1 页则0A B中点坐标为a所 以A B的垂直平分线为a令I E .得:I Ixl所以，Sa【点 睛】直线与椭圆结合问题，设出直线方程，与椭圆联立，得到两根之和，两根之积，表达出弦长或 面 积，进而求解定值或取值范围等.I:r:.-.8.（1）冈（2月响【解 析】【分 析】（1）待定系数法求解椭圆方程；（2）设出直线方程，联立椭圆方程，求 出两根之和，两根之 积，利用弦 长 公 式 得 到 村.，结合律 取 值 范 围，求出最大值；（3）设出直线方程，表 达 出 口 两 点 坐 标，由 母 国；年 点 共 线 得 到 方 程，化简后得 至!J冈（1）由题意得：焦距为|囚I，得I冈 I，点坐 标 代入椭圆方程 得：可，答 案 第1 0页，共1 1 1页冈，解得：I f I，I/I,所以椭圆目 勺标准方程为I I.S设直线厂工）的方程为I.1,由消去改T得 回则I 冈即I I，设旧则 冈4E”,则 冈易得当I 冈:时,冈,故同的最大值为国.则囚I0,卬,故S ”，S因 为 母 羊 点 共 线，所以 0将点邑日勺坐标代入，通分化简得 习【点睛】,即I IS答案第1 1 页，共 1 1 1 页处理圆锥曲线问题，通常要设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，再利用弦长公式或题干中条件，求出取值范围或得到方程，求出参数.9.(1)证明过程见解析(2)证明过程见解析，定值为1(3)4【解析】【分析】(1)直线与椭圆联立后用根的判别式等于0列出方程，求出|,|；(2)利用点到直线距离公式得到冈,冈，结 合 同 回，求出日-结合第一问的结论证明出巨三 为定值1;(3)利用向量线性运算及 点 近 在直线口的同侧得到回 .，结合第二问得到1 1，再用投影向量的知识得出因，其 中+I 一 的夹角),结合第一问结论得到xl,利用基本不等式求出最值.(1)联立I 叵!I与 囚 得：旧由直线与椭圆有一个公共点可知：|国.化简得：|冈 1；(2)答案第1 2页，共 1 1 1 页冈 I为 定 值,该 定 值 为1;a所以,（其 中 中 国 一 口 的夹角）,由此可知:当且仅当二|时，等号成立，所 以 区 一 的 最 大 值 为4.【点 睛】对于圆锥曲线定值问题，要能够利用题干信息用一个变量求解出要求的量，可以是直线的斜率，也可以是点的坐标，然后代入计算得到定点.1 0.噌唱【解 析】【分 析】（1）设 出 点4 8的坐标，利用给定条件列出方程组，求解方程组即可作答.（2）延 长 同 交 椭 圆C于 Q,可得|问 再 结 合 图 形 将 目|用I冈.I的面积及a表 示，设 出 直 线 方 程，与 椭 圆C的方程联立，借 助 韦 达 定 理 求 出 巨 即可求解作答.答 案 第1 3页，共1 1 1页即 有 冈，贝!I团,即|冈,一二由 冈 得 小，所以点B的横坐标为仔(2)因 应 三 三；则I司 F，即有且_记 冈.，T 一则 冈 ，即 后 三I：同 理1*1，皿，而 巨连日并延长交椭圆C于D,连接面,如图，则四边形 叫|为平行四边形，后一有点。在直线同上,由 回 消去x并整理得：|冈.有0答案第1 4页，共1 1 1页于是得，解得冈【点睛】结论点睛：过 定 点 耳 二|的直线/：产fcr+b交圆锥曲线于点|囚 ,|囚 I，则耳二|面积 冈过定点I 叼 !线/：k交圆锥曲线于点 囚 I，I T 1,则I f 血积凶 ”.I；-XS -1 1.冈(2)证明见解析【解析】【分析】(D根据题意列关系式直接求解即可；(2)可通过确定直线可与 司斜率相等来证明口 口 生 点 共 线.(1)又因为I 囚 一I，所以目二|，|T|_1-I.:u,-：/:t r-4故椭圆日的方程为引(2)证明：I 目设I 区，则 因所以直线写的方程为令 耳 1，得点即坐标为答案第1 5页，共 1 1 1 页设|臼 ,由|冈*得 囚 显然 亩,I，直 线 目 的 方 程 为 四.，将修弋入，得 冈 ，即 冈 ，故直线目 的斜率存在，且眄=又因为直线目的斜率冈，所以I 臼：I,即已 马 手 点 共 线.【点睛】解析几何证明三点共线的方法：(1)直接证明其中一点在过另两点的直线上；(2)证明过其中一点和另两点所连两条直线斜率相等：(3)证明过其中一点和另两点所连两个向量共线.1 2.(1)|1心【解析】【分析】(1)由|冈 直接解出国马 即可;(2)设|冈.一 联立直线与抛物线由韦达定理求得田|，设出直线与、导 的 方 程，联立求出品坐标，判 断 出 半 直线I F一 ,I上,即可求解.(1)当 直 线 耳 轴时，与I，代入I 乱 廨 得|冈|，二|冈 一|，得I 冈I，.抛物线c的标准方程为|胃 卜答案第1 6页，共 1 1 1 页设I网联立冈 得 叵直线I囚 一口恒过点同,且与抛物线有两个交点，点同在 抛 物 线 上,可,当直线与 和直线 1斜率存在时，设直线I w 联 立 冈-I.I同理，设直线I区 则 冈 ，联 立 口a由可知 回 ，叵T ,即闫 .点o在直线臼y 河 上.当 直 线 目 或 直 线 斜率不存在时即直线/过原点时，五,过原点的 切 线 方 程 为 国,易知另外一点为五,过点印的切线方程设为r j I,联 立 冈 ，得臼在直线后，.卜 上,，解 得 耳I，即切线方程网.此时交点D的坐标为可,故目的最小值为原点到直线臼 -I的距离,即回【点睛】本题关键点在于联立直线与抛物线由韦达定理求出两根和与积，再设出直线与I、耳 的 方程，联立求出口坐标，进而判断出学直线I f 上,转化为点到直线的距离求解.1 3.(3 mI，圆口的方程为 臼|回答案第17页，共111页【解 析】【分 析】（1）由 焦 半 径 和 圆 的 半 径 得 到!*.,结 合 与 二 面 积 求 出 质3圆 日的方程为|厚 I；（2）表 达 出 囚 关 于 直 线 目 的 对 称 点 的 坐 标，利用垂直关系列出方程，求 出 耳 口，从而利用两点间距离公式表达出0（|）由对称性可知：I I，设旧 卜 由焦半径可得：S .，冈，解 得：国 日 圆 日的方程为：国，则g国卜 解 得:耳E此 时0与P或Q重合，舍 去）或 耳 口，冈a【点 睛】圆锥曲线相关的取值范围问题，一般思路为设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，由题干条件列出方程，求 出变量之间的关系，再表达出弦长或面积等，结合基本不等式，导函数，函数单调性等求出最值或取值范围.I :;=：,:1 4.冈答 案 第1 8页，共1 1 1