高考易错题答案.pdf

学生姓名 辅导日期 辅导次数 家长签字2012高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析高三教学精心挑选学生在考试中常见的66个易错、易混、易忘典型题目，这些问题也是高考中的热点和重点，做到力避偏、怪、难，进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为相应练习，一方面让你明确这样的问题在高考中确实存在，另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者精心设计的陷阱，以达到授人以渔的目的，助你在高考中乘风破浪，实现自已的理想报负。【易错点1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。例1、设4 =卜1/一8%+15=0 ,B =x lax l=0 ,若4口8=8，求实数a组成的集合的子集有多少个？【易错点分析】此题由条件4口8=8易知B =A，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的a值产生漏解现象。解 析：集合A化简得A=3,5，由A n B=B知B =A故(I)当8=时，即方程如一1 =0无 解，此时a=0符合已知条件(I I )当8 W。时，即方程以一1 =0的解为3或5代入得a=g或(。综上满足条件的a组 成 的 集 合 为-故其子集共有23=8个。【知识点归类点拔】(1 )在应用条件AuB=B =A n B =A=A B时，要树立起分类讨论的数学思想，将集合A是；空集的情况优先进行讨论.：(2)在解答集合问题时，要注意集合的性质“确定性、无序性、互异性”特别是互异性对集合元素的限制。有时需要进；行检验求解的结果是满足集合中元素的这个性质，此 外，解题过程中要注意集合语言(数学语言)和自然语言之间的;转 化 如：A=(x,y)lx?+V=4 ,8=(x,y)l(x-3)2+(y-4)2=/,其中尸 0,若 求 r 的取值范围。i将集合所表达的数学语言向自然语言进行转化就是：集合A表示以原点为圆心以2的半径的圆，集合B表示以(3,4)为圆心，以r为半径的圆，当两圆无公共点即两圆相离或内含时七关系来解答。此外如不等式的解集等也要注意集合语言的应用。L.一.【练1】已知集合4 =卜|/+4 x =o、B =x l/+2(a+是。答 案：4 =1或Q K-1。，求半径r的取值范围。思维马上就可利用两圆的位置l)x +a2-1=0，若B =4 ,则 实 数a的取值范围【易错点2求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则。例 2、已知（X+2/+?=l,求/+y2 的取值范围。【易错点分析】此题学生很容易只是利用消元的思路将问题转化为关于x的函数最值求解，但极易忽略x、y满足（x +2 y+=l这个条件中的两个变量的约束关系而造成定义域范围的扩大。2 2解 析:由于（x +2）+?=1 得（x+2）2=1-?,/-3x-1 从而 x2+y2=-3x2-16x-12=9Q Q OQ OQ十三因此当x=-1时 x 2+y 2有最小值1,当乂二-三时，x 2+y 2有 最 大 值 三。故 x 2+y 2的取值范围是 1,2I【知识点归类点拔】事实上我们可以从解析几何的角度来理解条件（X+2）2+2-=1对 X、y的限制，显然方程表示以I4I（-2,0）为中心的椭圆，则易知-34 x 4-1,-2 y 2 o此外本题还可通过三角换元转化为三角最值求解。2 2【练 2 （0 5 高考重庆卷）若动点（x,y ）在 曲 线 亍+乐=1伍 0）上变化，则 x2+2 y的最大值为（）+4(0&4)4 7(B )2b(b N 4)(A)+4(0&2)/4 I,(C)+4 (D)2b42b(b N 2)答 案：A【易错点3求解函数的反函数易漏掉确定原函数的值域即反函数的定义域。例3、是R 上的奇函数，（1）求 2 的 值，（2）求的反函数/T（X）【易错点分析】求解已知函数的反函数时，易忽略求解反函数的定义域即原函数的值域而出错。解 析：（1）利用 x）+/（无）=0 （或 0）=0）求得 a=1.x1+y（2）由a=l即=,设 y =/（x）,则 2*（l y）=l+y 由 于 1 故 2=产,x=l o g ,而2*_ I 2/（X）=7 1 =1-F Tie（T）所 以 尸（X）=1 吗 1 （T X 1）【知识点归类点拔】(1)在求解函数的反函数时，一定要通过确定原函数的值域即反函数的定义域在反函数的解析式2*后表明(若反函数的定义域为R可省略卜(2)应用/t(份=。=/(a)=b可省略求反函数的步骤，直接利用原函数求解但应注意其自变量和函数值要互换。:【练3】(2004全国理)函数X)=G 1 +1(XN 1)的反函数是()A、y=x2-2x +2(x 1)C、y =x2-2x(x 1)答 案：B【易错点4】求反函数与反函数值错位1 _ o v例4、已知函数/(x)=日 亍，函数y =g (x)的图像与y =(x -1)的图象关于直线y =x对 称，则y =g (x)的解析式为()A、g(x)=B、g(x)=W*g(x)=D、g(x)=3【易错点分析】解答本题时易由y =g(x)V y =L(x-l)互为反函数，而认为y =尸(%一1)的反函数是/、1 2(x 1)?=小_1)则 =8()=/(1)=丁吊-=3-2x而错选A。x1 -0 y 1 一 y解 析：由/3=产得尸(X)=产 从 而y =(x -1)=1 I X，I Xl-(x T)2+(-1)1 +工再求y =/-(X 1)的反函数得2 x2 丫g(x)=。正确答案：B/1 +x【知识点分类点拔】函数y =/t(x l)与函数y =/(x-1)并不互为反函数，他只是表示/t(x)中x用x-1替代后的反函数值。这是因为由求反函数的过程来看：设)，=/(x 1)则/T(y)=x 1 ,x =/T(y)+l再将X、y互换即得y =/(x 1)的反函数为y =/T(x)+l ,故y =1)的反函数不是y =/T(x-1),因此在今后求解此题问题时一定要谨慎。【练4 (2004高考福建卷)已知函数y=log 2X的反函数是y=f(x),则函数y=k(1-x)的图象是()答 案：B|【里错点5】判断函数的奇偶性忽视函数具有奇偶性的必要条件:定义域关于原色对称。lg(l-x2)例5、判断函数/(x)=广 )的奇偶性。x-2-2【易错点分析】此题常犯的错误是不考虑定义域，而按如下步骤求解：/(-1)=/耳 从 而 得 出 函 数/(同卜 +-2为非奇非偶函数的错误结论。解 析：由函数的解析式知x满足4l-x2 02卜2即函数的定义域为(-i,o)U(o,i)定义域关于原点对称，在定义域下/(x)=-X易证/(x)=/(X)即函数为奇函数。l g(1 2)【知识点归类点拔】(1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件，因此在判断函数的奇偶：性时一定要先研究函数的定义域。(2)函数/(X)具有奇偶性，贝 I /(x)=/(x)或/(x)=/(X)是对定义域内x的恒等式。常常利用这一点求解函数中字母参数的值。【练 5 1 判断下列函数的奇偶性：/(x)=A/4-X2+Vx2-4 /(x)=(x /(x)=:+smx+csxV 1 -x 1 +sin x-cos x答 案：既是奇函数又是偶函数非奇非偶函数非奇非偶函数【易错点6】易忘原函数和反函数的单调性和奇偶性的关系。从而导致解题过程繁锁。例6、函数,/1()=10822*+一或5的反函数为/-(X)，证明/T(x)是奇函数且在其定义域上是增函数。【思维分析】可求广|（无）的表达式，再证明。若注意到广l（x）与“X）具有相同的单调性和奇偶性，只需研究原函数/（X）的单调性和奇偶性即可。-2x-l 2x+2x-l解 析：/（-x）=log2=log2 -log2=-/（x），故 x）为 奇 函 数 从 而/T（x）为 奇 函 数。又令/=|1=1 _ 2 占在和上均为增函数且y =10g；为 增 函 数，故“X）在 1 8,5和（J,+001 上分别为增函数。故/T（X）分别在（0,+8）和（8,0）上分别为增函数。【知识点归类点拔】对于反函数知识有如下重要结论：（1）定义域上的单调函数必有反函数。（2）奇函数的反函数也;是奇函数且原函数和反函数具有相同的单调性。（3）定义域为非单元素的偶函数不存在反函数。（4）周期函数不存在：反函数（5）原函数的定义域和值域和反函数的定义域和值域到换。即f-（b）=a =f（a）=b。X-x【练 6】（1）（9 9 全国高考题）已知/（x）=上 亍 一，则如下结论正确的是（）A、/（x）是奇函数且为增函数 B、/（x）是奇函数且为减函数C、“X）是偶函数且为增函数 D、“X）是偶函数且为减函数答 案：A（2）（2 0 0 5 天津卷）设 尸（x）是函数（01）的反函数，则 使 广（x）l 成立的x 的取值范围为（）A、（-,+oo）B、（-co,-）C、（-,1时，单调增函数，所以尸（力 1 0 （尸（x）i）ox i）=嚓.）【易错点7】证明或判断函数的单调性要从定义出发，注意步骤的规范性及树立定义域优先的原则。h例 7、试判断函数 x）=ax +2（a 0,b 0）的单调性并给出证明。【易 错 点 分 析】在 解 答 题 中 证 明 或 判 断 函 数 的 单 调 性 必 须 依 据 函 数 的 性 质 解 答。特 别 注 意 定 义X le D,x2e D/&）/（3）（/（斗）x2 0,/(玉)一/(2)=(王一2)丝1上一-由 于%1-%2 0 故 当 占,2XX2%+8、时7/(x,)-/(x2)0，此时函数/(x)在b一,+ooa)上增函数，同理可证函数/（X）在0,J e上为减函数。又由于函数 为 奇 函 数，故 函 数 在-J-,0为 减 函 数，在I）-0 0,-也 为 增 函 数。综 上 所 述：函 数/（X）在和旦+8 上分别为增函数，在 0,ba和上分别为减函数.a【知识归类点拔】（1 ）函数的单调性广泛应用于比较大小、解不等式、求参数的范围、最值等问题中，应引起足够重I视。（2）单调性的定义等价于如下形式：“X）在忖,可上是增函数o王）一/（）0,“X）在 a,可上是减函数=C 0,b 0）是一种重要的函数模型，要引起重视并注意应用。但 注 意 本 题 中 不 能 说 在-0 0,-bU R +8上为增函数，在（J,上为减函数，在叙述函数的单调区间时不能在多个单aU调区间之间添加符号“u”和“或”,【练7】（1 ）/（x）=ax +（a 0）（1 ）用单调性的定义判断函数“X）在（0,+8）上的单调性。（2）设/（了）在0 l)aaa(0 a 1)1a（2）（2001天 津）设0且/（x）=?+二 为R上的偶函数。（1 ）求a的 值（2）试判断函数在（0,+8）上的单调性并给出证明。答 案：（1 ）a=l （2）函数在（0,+8）上为增函数（证明略）【易错点8】在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用，导致错误结论。例8、(2004全国高考卷)已知函数/()=。/+3/-+1上是减函数，求a的取值范围。【易错点分析】/(x)0(x e(aM)是/(x)在(。,匕)内单调递减的充分不必要条件，在解题过程中易误作是充要条件，如/(x)=-%3在R上递减，但 尸(x)=-3x2 0 o解 析：求函数的导数/(x)=3a/+6x l(1 )当/(x)0 时，/(x)是减函数，贝i J/(x)=3ax2+6x l0(x eR)故解得a 3。(2)当a=3时，x)=3/+3/x +1 =-3仆 口 +号易知此时函数也在R上是减A 3时，在R上存在一个区间在其上有/(x)0，所以当a 3时，函数x)不是减函数，综 上，所求a的取值范围是(-8,-3。【知识归类点拔】若函数/(x)可 导，其导数与函数的单调性的关系现以增函数为例来说明：/(x)0与/(x)为:i增函数的关系：/(X)0能推出/(X)为 增 函 数，但反之不一定。如函数/(X)=/在(8,+8)上 单 调 递 增，但：/)0 ,.J(x)0是/(X)为增函数的充分不必要条件。/(x)w O时，:(x)0与/(X)为增函数的关系:若；将r(x)=0的根作为分界点，因为规定/(x)w 0,即抠去了分界点，此时/(x)为增函数，就一定有/(x)0。1当;(x)*0时，/(x)0是/(x)为增函数的充分必要条件。/(x)2 0与/)为增函数的关系:/(x)为增函数，:一定可以推出/(x)N 0，但反之不一定，因为/(x)NO，即为/(x)0或/(x)=0。当函数在某个区间内恒有；/(x)=0,则/(x)为 常 数，函数不具有单调性。，/(x)2 0是/1)为增函数的必要不充分条件。函数的单调性是；函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此:新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应；i用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。因此本题在第一步后再对a=-3和a-3进行了讨论，确保其充要性。在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充；分与不必要条件误作充要条件使用而导致的错误还很多，这需要同学们在学习过程中注意思维的严密性。I【练8】(1 )(2003新课程)函数=/+法+。卜(0,+8)是是单调函数的充要条件是()A、b 0 B、Z?0 D、b 0,b0,a+b=1,求(a+L)2+(b+)2的最小值。a b错 解:(a+-)2+(b+)2=a2+b2+42ab+44+4=8二.(a+-)2+(b+1 产的最小值是 8a h a b a h v c ih a b【易错点分析】上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b222ab,第一次等号成立的条件是a=b=L,第二次等号成2立的条件ab=-1-,显 然，这两个条件是不能同时成立的。因 此，8 不是最小值。a h解析:原式=a2+b2+-1r+-*r+4=(a2+b2)+-)+4=(a+b)2-2ab+(L+!)2-2+4 =(1-2ab)(1+-)+4 由a b-a b a b a h a b abv(“1 6)2得：1-2ab2l=,且,1 +*17+4=(当且仅当 a=b=，时，2 4 2 2 a 2 b 2 a2b2 2 2 2等号成立):.(a+上1 产+伽+上产的最小值是?二5。a b 2【知识归类点拔】在应用重要不等式求解最值时，要注意它的三个前提条件缺一不可即“一正、二定、三相等，在解题y中容易忽略验证取提最值时的使等号成立的变量的值是否在其定义域限制范围内。|_1【练 91(97全国卷文22理 22)甲、乙两地相距s km,汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km/h，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(km/h)的平方成正比，比例系数为b;固定部分为a 元。(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(km/h)的函数，并指出这个函数的定义域;(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？答案为：(1 )y=-(&v2+a)(0 v c 时，行驶速度V=Co【易错点10】在涉及指对型函数的单调性有关问题时，没有根据性质进行分类讨论的意识和易忽略对数函数的真数的限制条件。例10、是否存在实数a使函数.f(x)=10g严 T在 2,4 上是增函数？若存在求出a的 值，若不存在，说明理由。【易错点分析】本题主要考查对数函数的单调性及复合函数的单调性判断方法，在解题过程中易忽略对数函数的真数大于零这个限制条件而导致a的范围扩大。解 析：函数“X)是由协(x)=o?x和y =k)g产)复合而成的，根据复合函数的单调性的判断方法(1 )当21时，0解得a1。(2)当a 421使得函数/(x)=log/在 2,4 上是增函数0(4)=16a-4 0:【知识归类点拔】要熟练掌握常用初等函数的单调性如：一次函数的单调性取决于一次项系数的符号，二次函数的单；i调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置，指数函数、对数函数的单调性决定于其底数的范围(大 于1还是小于：j 1 )，特别在解决涉及指、对复合函数的单调性问题时要树立分类讨论的数学思想(对数型函数还要注意定义域的限制b I【练10(1)(黄岗三月分统考变式题)设a 0,且a w l试求函数y =log 4 +3x V的的单调区间。答 案：当0。1函数在1-1,|上单调递增在|,4)上单调递减。(2)(2005高考天津)若函数/(x)=log“(x 3 ax)(a0,“Hl)在区间(-；,0)内单调递增，则a的取值范围是()A、1 3 9 9-,D B,f-,1)C,(-,+a)D,(1,-)答 案：B.(记g(x)=x 3-ax ,贝U g，(x)=3x 2-a当”1时，要使得x)是增函数，则需有g 0恒 成 立，所以.矛 盾.排 除C、D当。时，要使/(x)是函数，则需有g(x)3,=去排除A)【易错点11】用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性.例11、已知si nx +si ny =；求$也y-cos?x的最大值【易错点分析】此题学生都能通过条件si nx +si ny =；将问题转化为关于si nx的 函 数，进而利用换元的思想令t=sinx将问题变为关于t的二次函数最值求解。但极易忽略换元前后变量的等价性而造成错解，I 2解 析：由已知条件有 sin y=-s in x 且 sin y=-s in x e-1,1(结合 sinx e-1,1)得 W sinx W 1 ,而sin y-cos2 x=sinx-cos2 x=sin2 x-s in x 令 f=s in x r 1|则原式 Z 0,000求f(x)=2a(sinx+cosx)-sinx cosx-2a2的最大值和最小值。1八 V2答 案：f(x)的最小值为-2 a2-2 V 2 a-1,最大值为,-(0 a a x+的解集是(4,b),贝ija=,b=。2答 案:a=(b=3 6(提示令换元4=r原不等式变为关于t的一元二次不等式的解集为(2,折)【易 错 点12】已知S“求 时，易忽略n=1的情况.例12、(2005高考北京卷)数列 6,前n项和s“且6=1,川=gs“。(1 )求出,如，%的值及数列 的通项公式。【易错点分析】此题在应用s“与%的 关 系 时 误 认 为-对于任意n值 都 成 立，忽略了对n=1的情况的验证。易得出数列%为等比数列的错误结论。解析：易求得 出=；，4 =卷。由=1，%=得。=(2 2)故an+1%=%,-j sn_,=,(2)得(N 2)又4 =1 ,g =g故该数列从第二项开始为等比数列故an1(/1=1)飞成。【知识点归类点拔】对于数列与s“之间有如下关系：an=s,(n=1)I、利用两者之间的关系可以已知%求凡。T(N 2)但注意只有在当q适合%=s.n-1(2)时两者才可以合并否则要写分段函数的形式。【练12 (2004全国理)已知数列 4满足q=l,aq+2a,+3%+.+(2)则数列 q 的通项为1(=1)答 案：(将条件右端视为数列 4的前n-1项和利用公式法解答即可)氏=，加匕(心2)【易错点13】利用函数知识求解数列的最大项及前n项和最大值时易忽略其定义域限制是正整数集或其子集(从1开始)例13、等差数列%的首项 0，前n项 和%，当/用 时，s,”=1。问n为何值时与最大？【易错点分析】等差数列的前n项和是关于n的二次函数，可将问题转化为求解关于n的二次函数的最大值，但易忘记此二次函数的定义域为正整数集这个限制条件。解 析：由题意知5“=/()=叼+当 二1=g 2+4 邑 此函数是以门为变量的二次函数，因为q 0 ,当/#?时，s“,=s/故d 0即此二次函数开口向下，故由/(/)=/(，)得 当 犬=号 时”X)取得最大值，但由于/4-/71n w N*,故若/+加为偶数，当=上3”时，s“最大。/4-771+1当/+加为奇数时，当”=；时S 最大。【知识点归类点拔】数列的通项公式及前n项和公式都可视为定义域为正整数集或其子集(从1开始)上的函数，因:此在解题过程中要树立函数思想及观点应用函数知识解决问题。特别的等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数：且没有常数项，反之满足形如 =。2+加所对应的数列也必然是等差数列的前n项和。此 时 由%=的+6知数列：n：中的点I )是同一直线上，这也是一个很重要的结论。此外形如前n项和s“=。屋-c所对应的数列必为一等比数列的前n项和。【练13（2001全国高考题）设 4是等差数列，s“是前n项 和，且S5$8，则下列结论错误的是（）A、d s5 D、S6和冉均为s”的最大值。答 案：C（提示利用二次函数的知识得等差数列前n项和关于n的二次函数的对称轴再结合单调性解答）【易错点14 解答数列问题时没有结合等差、等比数列的性质解答使解题思维受阻或解答过程繁琐。例14、已知关于的方程X2一3了 +4 =0和3x +/?=0的四个根组成首项为二的等差数列，求a+匕的值。4【思维分析】注意到两方程的两根之和相等这个隐含条件，结合等差数列的性质明确等差数列中的项是如何排列的。解 析：不妨设二是方程x 2-3x +a=0的 根，由于两方程的两根之和相等故由等差数列的性质知方程3x +a=04的另一根是此等差数列的第四项，而方程x 2-3x +b=0的两根是等差数列的中间两项，根据等差数列知识易知此等差数列为：3,53 7,29 故4=2上7）=335 从而。+8=3214 4,4 4 16 16 8【知识点归类点拔】等差数列和等比数列的性质是数列知识的一个重要方面，有解题中充分运用数列的性质往往起到事半功倍的效果。例如对于等差数列%，若+m=p+q，则%+册=4+4；对于等比数列%,若 +/”=+u厕an-am=au%;若数列 “是等比数列，Sn是其前n项的和，k e N”,那么Sk,S2k-Sk,S3 lc-S2k成等上匕数列；若数列 a“是等差数列，S是其前n项的和，女e N*,那么S*,S2 k-Sk,S3*S?”成等差数列等性质要熟练和灵活应用。【练14（2003全国理天津理）已知方程犬2x +m=0和 公 2x +=0的四个根组成一个首项为-的等差数列，43 1 3则|?一|=（）A、1 B、一 C、一 D、一11 4 2 8答 案：C【易错点15】用等比数列求和公式求和时，易忽略公比q=1的情况例15、数 列 中，=1 ,%=2,数列是公比为q（q0）的等比数列。（I ）求使。/用+。,田%+2%+2。“+3成立的4的取值范围；（）求数列%的前2项的和52“.【易错点分析】对于等比数列的前n项和易忽略公比q=1的特殊情况，造成概念性错误。再者学生没有从定义出发研究 条 件 数 列 是 公 比 为q（40）的等比数列得到数列奇数项和偶数项成等比数列而找不到解题突破口。使思维受阻。解：(I ).数列%+是公比为q 的等比数列，.q+1*+2=/+”，%+2%+3=%+闯2，由anan+”+1%+2 an+2an+3得%+1%怎+2 n l +q/2,即/_ g_ i 0)，解得n1 +V 50 q -.2(I I )由数列%+/是公比为q 的等比数列，得%+必 2=g =巴g=g ,这表明数列%的所有奇数项成等比4%+1 a数 列，所 有 偶 数 项 成 等 比 数 列，且 公 比 都 是 q,又 4=1,%=2 ，当 q*1 时，$2“=%+4 2+。3+4 4 +,+a2 n-+a2 n,、z、/(1一/)。2(1一。)3(1 q )山 ,.(Q +d?+Q 3+Q“)+(%+4 +a 6+,+U，2n)=-1 -,当夕=1时，1-0 (1)求 4的取值范围。答 案:(-l,O)U(O,-H)【易错点16】在数列求和中对求一等差数列与一等比数列的积构成的数列的前n 项和不会采用错项相减法或解答结果不到位。例 16、.(2003北京理)已知数列加“是等差数列，且4 =2,%+4+的 =12(1)求数列 凡 的通项公式(2)令a=4 /?)求 数 列 出 前项和的公式。【思维分析】本题根据条件确定数列 4 的通项公式再由数列也 的通项公式分析可知数列也 是一个等差数列和一个等比数列构成的“差比数列”，可用错项相减的方法求和。解 析：(1 )易求得知=In(2)由(1 )得乩=2nx令=2x+4x2+6x3+.+2nx(I)则 肛，=2x2+4x3+.+2(n-l)xn+2nx+(II)例 17、求 S“=1+一+1 1+2 1+2+3【易错点分析】本题解答时一方面若不从通项入手分析各项的特点就很难找到解题突破口，其次在裂项抵消中间项的过 程 中，对消去哪些项剩余哪些项规律不清而导致解题失误。解：由等差数列的前八项和公式得1 +2+3+=改 土2，:.-J-=-=2(-一),取1 ,2 1 +2+3+九 nn+1)n n+12,3，就分别得到 i，.5=2(1-1)+2(1-1)+2(-!-+2(-)1 1+2 1+2+3 2 2 3 3 4 n n+V=2(1-).n+1 n+1用(I )减 去(II)(注意错过一位再相减)得(1 一x)s“=2x+2 i+2/+.+2xn-2nx+当2-xw ls“=-nx+当 x=1 时s“=2+4+6+2 =+1)1-x 1-x综上可得:2 x 1-x当xw 1 s“=-nx+i 当x=1 时s“=2+4+6+2 =（+1）1 -x l-x【知识点归类点拔】一般情况下对于数列 g 有 =也,其中数列 和 2 分别为等差数列和等比数列，则其前n项和可通过在原数列的每一项的基础上都乘上等比数列的公比再错过一项相减的方法来求解，实际上课本上等比数列的求和公式就是这种情况的特例。【练 16（2005 全国卷一理）已知un=a+an-b+a2b?+.+ab1-+b e N+,a 0,b0）当。=匕 时，求数列 a“的 前n项和s“答 案：Q W 1时5 I-4-当Q =时5(I T(+3)2【易错 点17】不能根据数列的通项的特点寻找相应的求和方法，在应用裂项求和方法时对裂项后抵消项的规律不清,导致多项或少项。1+-I-1 +2+3+【知识归类点拔】“裂项法”有两个特点，一是每个分式的分子相同；二是每项的分母都是两个数(也可三个或更多)相I乘，且这两个数的第一个数是前一项的第二个数，如果不具备这些特点，就要进行转化。同是要明确消项的规律一般情况下剩余项是前后对称的。常见的变形题除本题外，还有其它形式，例 如：求1111119+0+)I2+2 22+4 32+6,1,方法还是抓通项，即n +2n2+2 n n(n+2)2 n n +2+)，问题会很容易1解决。另外还有一些类似“裂项法”的题目，如：*,求其前项和，可通过分母有理化的方法解决。V n+1数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。【练 (2。5 济南统考)求和S L 衿+W+W+黑答 案：S=1 +-+1 +-+1 +-+.+1 +1 3 3 5 5 7112-=7 1 H-2 n -1 2 n +1 2n+1【易错点18】易由特殊性代替一般性误将必要条件当做充分条件或充要条件使用，缺乏严谨的逻辑思维。例 18、(2004 年高考数学江苏卷，20)设无穷等差数列 an 的前n 项和为Sn.3(I)若首项4=二，公差”=1,求满足Sj =(S*)2的正整数k；2 k(II)求所有的无穷等差数列 an,使得对于一切正整数k 都有=(s)2成立.【易错点分析】本小题主要考查数列的基本知识，以及运用数学知识分析和解决问题的能力.学生在解第(II)时极易根据条件“对于一切正整数k 都有=(S*)2成立”这句话将k 取两个特殊值确定出等差数列的首项和公差，但没有认识到求解出的等差数列仅是对已知条件成立的必要条件，但不是条件成立的充分条件。还应进一步的由特殊到一般。解：(I )当为=1 时 S“=n a+d =n +1 =n2+n21 2 2 2 2由%=(S*)2,得 幻 2,即 4 3(3_)=0 又 A,w O,所以女=4.(II)设数列 为 的公差为d,则在S“2 =(5)2中分别取k=1 2 得=0)2s4=(s2)2 5即21 1(1),4 x 3,2x 1 八24-c i,4-d=(2 H-d)/c、1 2 2 由(1)得 q =0 或q =1.当=0 时，代入(2)得 =0 或1=6,若4=0,d=0,则%=0,S=0,从 而 果=(既产成立,若为=0,d=6,则%=6(1),由S3=18,了=324,5,=216知.与 0(S?)?,故所得数列不符合题意.当a 1=1 时，代入(2)得 4 +64 =(2+/)?,解得(/=0或 d=2若 =l,d=0,则=1,Sn=，从而S Q=(S*)2 成立;若 4 =l,d =2,则a0 2 n-1,5=1 +3H-F(2”1)=/,从而 S=(5“成立.综 上，共有3 个满足条件的无穷等差数列：a:昕 0，即 0,0,0,；:a*1，即 1,1,1,；a :d=2n-1，即 1,3,5,.,m【知识点归类点拔】事 实 上，“条件中使得对于一切正整数k都有s,2=（s*）2成立.”就等价于关于k的方程的解是一切正i|整数又转化为关于k的方程的各项系数同时为零，于是本题也可采用这程等价转化的思想解答，这样做就能避免因忽E视充分性的检验而犯下的逻辑错误。在上述解法中一定要注意这种特殊与一般的关系。S【练18（1 ）（2000全 国）已知数列 1 ,其 中%=2+3,且数列%+1-p c,为等比数列.求常数p答 案：p=2或p=3（提示可令n=1,2,3根据等比中项的性质建立关于p的 方 程，再说明p值对任意自然数n都 成 立）【易 错 点19】用判别式判定方程解的个数（或交点的个数）时，易忽略讨论二次项的系数是否为0.尤其是直线与圆锥曲线相交时更易忽略.例19、已知双曲线X2-V=4，直线丫=女 一1），讨论直线与双曲线公共点的个数【易错点分析】讨论直线与曲线的位置关系，一般将直线与曲线的方程联立，组成方程组，方程组有几解，则直线与曲线就有几个交点，但在消元后转化为关于x或y的 方 程 后，易忽视对方程的种类进行讨论而主观的误认为方程就是二次方程只利用判别式解答。V =x-1）,、解 析：联 立 方 程 组:消 去y得 到1 左2卜2+2忆2尤一女2一4 =0（1 ）当1%2=0时，即女=1,方程%2 一 y 2=4为关于x的一次方程此时方程组只有解，即直线与双曲线只有一个交点J 2）当 、时 即&=述，A=4（4-3/）=0 3|一2 0方程组只有一解，故直线与双曲线有一个交点（3）当、时，方程组有两个交点此时A=4（4-3i l2）0一 空 女空且k力1。（4）当|1一,、时即左型 或 上 一 拽 时 方 程 组 无 解 此 时 直 线 与 双 曲3 3 A=4（4-3）t2）0 3 3线无交点。综上知当人=1或k=土 空时直线与双曲线只有一个交点，当-也 k也 且 左 力 士1。时直线与双曲线有两个3 3 3交 点，当2叵 或 左-2 5时方程组无解此时直线与双曲线无交点。3 3【知识点归类点拔】判断直线与双曲线的位置关系有两种方法：一种代数方法即判断方程组解的个数对应于直线与双1曲线的交点个数另一种方法借助于渐进线的性质利用数形结合的方法解答，并且这两种方法的对应关系如下上题中：的第一种情况对应于直线与双曲线的渐进线平行，此时叫做直线与双曲线相交但只有一个公共点，通 过 这 一 点 也 说：明直线与双曲线只有一个公共点是直线与双曲线相切的必要但不充分条件。第二种情况对应于直线与双曲线相切。通过本题可以加深体会这种数与形的统一。2【练 19（1）（2005重庆卷）已知椭圆和的方程为亍+）2=1,双曲线,?的左右焦点分别为q 的左右顶点，而q 的左右顶点分别是的左右焦点。（1）求双曲线的方程（2）若直线/:y=kx+4 1 与椭圆q 及双曲线c?恒有两个不同-X2 O的交点，且与c、2的两个交点A 和 B 满足/OA O 8 6 ,其中。为原点，求 k 的取值范围。答 案：（1）y2=i131(2)-MTi u 4 4 u r i1532U13（2）已知双曲线C:,过点P（1,1）作直线I,使I与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线I共 有 一 条。答案：4条（可知K 存在时，令I:y-1=k（x-1）代 入/y 241 中整理有(4*2)x2+2k(k-1)x-（1-k2）-4=0,/.当4*2=0即|10-3x250=5.63x101。,而地球和月球间的距离为4*108 tan B、a、6 都是第三象限角，若cosa c o s ，则sin a sin p C,a、/都是第四象限角，若sin a sin 贝！ta n a tan D、a、都是第一象限角，若cos a cos p ,则 sin a sin/7 0【易错点分析】学生在解答此题时易出现如下错误:（1 ）将象限角简单理解为锐角或钝角或270到 360度之间的角。（2）思维转向利用三角函数的单调性，没有应用三角函数线比较两角三角函数值大小的意识而使思维受阻。解 析：A、由三角函数易知此时角a 的正切线的数量比角的正切线的数量要小即tana tanB、同理可知sina sin/?C、知满足条件的角a 的正切线的数量比角的正切线的数量要大即ta n a ta n#。正确。D、同理可知应为sin a sin 。【知识点归类点拔】单位圆的三角函数线将抽象的角的三角函数值同直观的有向线段的数量对应起来，体现了数形结:合 的 数 学 思 想，要注意一点的就是角的三角函数值是有向线段的数量而不是长度。三角函数线在解三角不等式、比:较角的同名函数值的大小、三角关系式的证明都有着广泛的应用并且在这些方面有着一定的优越性。例如利用三角iI 函数线易知a e a sin力，那么下列命题正确的是（）A、若a 0、都是第一象限角，贝 ijcosa cos/7B、若a/3、都是第二象限角，贝 U tana tan B、若a J3、都是第三象限角，贝 llcosa cosD、若a/3、都是第四象限角，则 tana ta n/答 案：D|【易错点23】在利用三角函数的图象变换中的周期变换和相位变换解题时。易将。和。求错。|例 23.要得到函数y=sin 2x?的图象，只需将函数y=sin；x 的图象（）A、先将每个x 值扩大到原来的4 倍，y 值不变，再向右平移。个单位。1JIB、先将每个x值缩小到原来的:倍，y值不变，再向左平移 个单位。TTC、先把每个x值扩大到原来的4倍，y值不变，再向左平移个工单位。61JID、先把每个x值缩小到原来的七倍，y值不变，再向右平移X个单位。4 6【易错点分析】y =si n；x变换成y =si n2x是把每个x值缩小到原来的1倍，有的同学误认为是扩大到原来的倍，这样就误选A或C,再把y =si n2x平移到y =si n 2x 巳 有的同学平移方向错了，=4 311；1，再进行周期变换即由y =Asi nx纵坐标不变，横坐标变为原来的1倍，得到y =Asi n松，再进CD行相位变换即由y-Asi n v v x横坐标向左（右）平 移 个单位，即得y =Asi n =Asi nx向左（右）平移隔个单位，即得到函数y =Asi n（x +。）的图象，再将其横坐标变为原来 的,倍即得y =Asi n（w x +。）。不论哪一种变换都要注意一点就是不论哪一种变c o换都是对纯粹的变量X来说的。【练23】（2005全国卷天津卷）要得到的图象，只需将函数的图象上所有的点的A、横坐标缩短为原来的；倍（纵坐标不变）,再向左平移左个单位长度。B、横坐标缩短为原来的g倍（纵坐标不变）,再向左平移万个单位长度。C、横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移万个单位长度。D、横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移万个单位长度。答 案：C|【易错点24】没有挖掘题目中的确隐含条件，忽视对角的范围的限制而造成增解现象。|