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高考数学压轴题精编精解精选100题，精心解答 完整版1.设函数/(x)=1 1X2,g(x)=/(x)-方 1,3,其中“e A ,记函数g(x)的最大值与最小值的差为(“)。(D求函数力(。)的解析式；(H)画出函数y =(x)的图象并。1 2 3 4指出(x)的最小值。1.解：(I)g(x)=1 ax,1 x 2 x 3(1)当 a 1 时,函 数g(x)是 1,3 减函数，此 时,g(x)m j n=g(3)=2-3 a,g(x)m a x=g(l)=l%所以(a)=2 a 1;4 分(3)当O W a W l 时，若 xe l,2,则 g(x)=l-o r,g(2)g(x)g(l)；若 xe 2,3,则 g(x)=(l -a)x-l,有 g(2)K g(x)4 g(3)；因此，g(x)1n h i=g(2)=l-2 a ,-6 分而 g(3)-g。)=(2-3 a)-(l-a)=l-2 a ,故当O Waw g时，g(x)m z=g(3)=2 3 a ,有(a)=l a；当;a W l 时，g(x)m x=g(l)=l-7 ,有(a)=a；-8 分-2a,a 0综上所述:1 -a,0 a (a)=一a,a 110分1(I I)画出y =/?(x)的图象，如右图。12分数形结合,可得力(A n14分2 .已知函数/(x)=x l n(l +x),数列 q满足0 q 1,n+i=/()；数列 4满足4 =g,+1?；(+1)4，e N*.求证：2p y(I)0 an+l an 1;(I I)%+I 凡加.3 .已知定义在R上的函数/1(*)同时满足：(1)/(Xj +x2)4-/(Xj -x2)=2/(xt)COS2X2+4as i n2 x2(xl9x2 G R,a 为 常 数)；(2)/(0)=/耳)=1；当xe O亨 时，|/(x)|W 2.求：(I )函数/(x)的解析式；(I I)常数a的取值范围.4 .设 A xx,yx),B(X2,y2)是 椭 圆 二 +0=1(。b 0)上的两点，x h满足(字,匹)(且,2 2)=0,椭圆的离心率e =2 3,短轴长为2,0为坐标原点.ba b a 2(1)求椭圆的方程；(2)若直线A B过椭圆的焦点F(0,c),(c为半焦距)，求直线A B的斜率k的值;(3)试问：A A OB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.5 .已知数列 q中各项为：12、112 2、1112 2 2,、111 2 2 2个 个 n n(1)证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积.(2)求这个数列前n项之和和.6、设 耳、鸟分别是椭圆二+3=1的左、右焦点.(I)若P是该椭圆上的个动点，求 P F-P F 2的最大值和最小值；(H)是否存在过点A (5,0)的直线/与椭圆交于不同的两点C、D,使得|F2 c|=向口|?若存在,求直线/的方程；若不存在，请说明理山.7、已知动圆过定点P(1,0),且与定直线L:x=-1相切，点C在/上.(1)求动圆圆心的轨迹M的方程；(2)设过点P,且斜率为-V3的直线与曲线M相交于A,B两点.2(i)问：AABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由(i i)当a A B C 为钝角三角形时，求这种点C 的纵坐标的取值范围.8、定义在R上的函数产f(x),f(0)#0,当 x0时，f(x)l,且对任意的a、b R,有 f(a+b)=f(a)f(b),(1)求证：f(O)=l；(2)求证：对任意的x G R,恒有f(x)X)；(3)证明：fi x)是 R上的增函数；(4)若 f(x)f(2x-x2)l,求 x 的取值范围。9、已知二次函数/(x)=x2+2b x+c(b,c e R)满足/=0,且关于x 的方程/(x)+x+6=0 的两实数根分别在区间(-3,-2),(0,1)内。(1)求实数力的取值范围；(2)若函数R(x)=lo g b/(x)在 区 间(-1-c,1-c)上具有单调性，求实数C的取值范围10、已知函数/(x)在 上 有 意 义,/(；)=-1,且任意的乂、蚱(-1,1)都有/(X)+f(y)=/(上)若 数 列 猫 满 足 可=1,xn+l=3(H e N*),求 +/(-)+/(an；求 证：-+7 -+T7-2(22,WN*)1 3.(本小题满分14分)已知数列 凡 满足q=1,。“+=2%+1(N*)(1 )求数列 凡 的通项公式；(I I)若数列也 满足44T 4与T4T4 =(a“+l)4,证 明:.是等差数列;3I i 2(III)证明：-1-1 d-一(Y I E.N)%4%313(本小题满分 14 分)解:(1),/an+l=2an+l,an+l+1 =2(an+1).2 分故数列/+1 是首项为2,公比为2 的等比数列。3 分.%+1=2,=2-14 分(2)必-甲-4 犷 a +1卢，；.4出+2 +b,F =2曲.5 分2(仇 +&H +bn)-2 n =nbn 2屹+b2+-+bn+仇川)一 2(+1)=(+1)%TD 得 26用-2=(+1)%-也,即 也-2=(-1)矶.8 分.(+1)勿+1 2=勿+2 一 得2“用=nb +%,即2b z=3 +b“_ i.9 分 所以数列 b,是等差数列o设 S =-1-1-1-F H-1-，贝n lli lS o -1-1 1 (z-1 -1-1 -F +1、)=-1-1 1 (S-1-)、a2 ai 4+i a2 2 a2/an a2 2 an+i.13分a2 4+i 3 4+|31 4.已知函数 g(x)=+cx(a H 0),(I)当a =l 时，若函数g(x)在 区 间 上 是 增 函 数，求实数c 的取值范围;1 q(I I)当。2 万时，(1)求证：对任意的xe 0,l,g(X)l 的充要条件是cW；：若关于x 的实系数方程g (x)=0 有两个实根。,夕，求证：同 工1,且 14 1 的充要条件是12 c 24分 1。去即 7 （0,1.当 A *时，1仆）2 =/（2）=|7-充分件：；4*1 0,时,/（工）+W 1.4必 要 性：z C C o.i：）时 （了）4 1,而e（o.i i.二 /（看）=，；十。十.（2）二次函数 的图象开口向下,而称轴方程为11 .2av a T：5 J 0,1 二会-1，1 F 20f l a K l,严 T 2 0.*5 I-.u/（T）=0 的两根 a，P 在 _ ,1 内=，./（1 ）（o,0i i m si/（i ）0./（-I）o/（-1 X 0L w a-a 尸丸-a.I 4 a M IW 1且 4 1的充要条件是一:0,二第)=1 3分V f(2)=f(l x 2)=f(l)2=4,又 f(x)0 .*.f(l)=2,f(-l)=f(l)=2 3 分kx+2 2 /2&+4 J7又当xN O时，其导函数/(x)0 恒成立，.y =/(x)在区间 0,+8)上为单调递增函数.|产+2|?0向+2|2 VX2+4 OVX2+4(左 2-1*+4 代 N O当=0 时，x e 0 ；(4k、4k 4 当一 1 女 0 时，XX-7 0 =-7X0，*,.X G-,0I-k2)-k2 U-左.，4“、4”4”当0女 2一又 一 四=乙，同理，b,c ,6 6 3 3a,h,c e(,)s in a,s in/?,s in ce(-,1 -s in +s in f t +=1.s in c .3 6 2 2 2同理可证其余两式.s in a,s in b,s in e可作为某个三角形的三边长.(2)a+b +c v 27r此时，+-c,所以，0 一 -W .2 2 2 2 2由sin x在(0,色 上的单调性可得0 sin 一时，0 一 乃-,2 2 2 2 2同样，由sin x在(0,?)上的单调性可得0 s in|si n 1 ；工a 八 .c总之，0 sin sin-S I.2 2又由卜-4 c cos cos 0,2 2 2 12.c a+b a-b.s in+s in/?=2sin-cos-2 2、G2 si，n0 cos C=s.inc.2 2同理可证其余两式，所以sinq,sin6,sine也是某个三角形的三边长.故/时，/（x）是“保三6角形函数综上，力的最大值为？.618、已知数列 为 的前n项和S“满足：，=一，（4-1）（a为常数，且O/OM HI）.a-2s（I）求 （的通项公式；（II）设为=+1,若数列 2 为等比数列，求a的值;(III)在满足条件(II)的情形下，设%=+,数列 g 的前n项和为T n.1 +q I-%求证：7；2n-1.18、解：(I)V St=a(ax-1),ax=a,a当 2 2 时，an-Sn-.an-a 1 a 12=。，即 q 是 等 比 数 列.a“二a.a”二 /；.4分an-2(/T)“(H)由(I)知，Z=-+Ja-,若 4 为等比数歹 ij,a a(a-V)则有a?=4 4,而4=3,43a+2,-也二a3a2 +2。+28故（应与=3.a3Q+2c l+2,解得J37 分再将T代 入 得 一”成立,所以。（I I I）证明：由（H）知q=（；）,所以=一1.3 _1 +(3)/1-8 分13 3+,(旷 I1-1-;-3+1 3M+l-1巴匕V J+L i_L_3+1 3,+|-1 3+1+1 +11），9分由,-1 -1 4导Z H3+1 3 3+|-1 3,+|13M+,-13+1=2-(-所以 C=2 （木一看）2-（一 击）1 2 分从而7；=q +c2+-+2-(；好)+2_(最 _*)+2-(一击)=c2 M-r(/1-1)、+/(1 -1)、+-+(Z 1-1 V),=2C -(Z1-1)、c2 -1-.B P 7；,2-1.1 4 分1 9 数列。中，q=2,an+l=an+c n（c 是常数，=L2 3 ），且 q,a?小成公比不为1的等比数列。（I）求c的值；（I I）求 q 的通项公式。（I I I）由数列%中的第1、3、9、27.项构成一个新的数列 b.,求 痴 触 1的值。-bn1 9 解：（I）q =2,%=2 +。，%=2+3C,因为 4,a2,生 成等比数列，所以（2+c =2（2+3。），解得。=0或C =2.当c =0时，ax=a2=a3,不符合题意舍去，故c =2.4分（文 6分）（I I）当 N2 时，由于。a3-a2=2 c 9.Un =（7 7 1）C ,所以 4 一 q =1 +2+F （-l）c =-C o又。1=2,c =2,故=2+（/7-1）=2-+2（=2,3广）.当 n=l 时，上式也成立，所以an=n2 +2（=1,2,）.8 分9(Ill)bn=32n2-3n+2,/.lim=9.12 分bn20、已知圆加：正+正 产+尸=36,定点%(6,0),点尸为圆上的动点，点 Q 在 NP上，点 G在 MP上，且满足NP=2NQ,GQ-NP=0.(I)求点G 的轨迹C 的方程；(I I)过 点(2,0)作直线/,与曲线C 交于A、B 两点，O 是坐标原点，设 丞=a+5 反 是否存在这样的直线/,使四边形OAS B的对角线相等(即QS|=|AB|)?若存在，求出直线/的方程；若不存在，试说明理山.N P=2N Q20、解：(1)_ _,bn Q 为 PN的中点且GQLPNG Q P N =0nG Q 为 PN 的中垂线二|PG|=|GN|.|GN|+|GM|=|MP|=6,故 G 点的轨迹是以M、N 为焦点的椭圆，其长半轴长。=3,半焦距。=正，.短半轴长b=2,.点G 的 轨 迹 方 程 是 兰+片=1.5 分9 4(2)因为OS =Q4+O 6,所以四边形OAS B为平行四边形若存在/使得|OS|=|4B|,则四边形OAS B为矩形=0若/的斜率不存在，直线/的方程为=2,0 4 0 8=、0,与0 4 0 8 =0 矛盾，故/的 斜 率 存 在.7 分9设/的方程为 =k(x-2),),5(X2,y2)由 y-k x-2)x2 y2 +=19 4n (9左 2 +4)x2-36左 2+36(A:2-1)=036k2 36(左 2 一 1)J.X.+x,=；-,x.x2=-2 9k2+4 2 9k2+4必必=区(再一 2)伉(-2)、202=二 口/2 _2(范+/)+4=_9 r +4 .9 分,3把、代入再工2 +必 必=。得k=-存在直线/:3x 2y-6=0或3x+2y 6=0使得四边形OAS B的对角线相等.102 1.飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排三个救援中心（记为A,B,C）,B在 A的正东方向，相距6 k m,C在 B的北偏东30,相 距 4 k m,P为航天员着陆点，某一时刻A接到P的求救信号，由于B、C两地比A 距 P 远，因此4 s 后，B、C两个救援中心才同时接收到这一信号，已知该信号的传播速度为lk m/s.（1）求 A、C两个救援中心的距离：（2）求在A处发现P 的方向角；（3）若信号从P 点的正上方Q点处发出，则 A、B收到信号的时间差变大还是变小，并证明你的结论./C2 1、解：（1）以A B 中点为坐标原点，A B 所在直线为秘建立平面直角坐标底,则Ai BN（-3,0）,6（3,0）,C（5,2网则|4C|=（5+3）2+（2码一=2向 加即 A、C两个救援中心的距离为（2）PC=PB,所以P 在 B C 线段的垂直平分线上又尸 8Hp z|=4,所以P 在以A、B为焦点的双曲线的左支上，且|”|=6.双 曲 线 方 程 为 二-匕4 5=1(x Jx2-2x+2+t,y=l(x +)(x 0)的最小值恰好是方程2 xd+办2+6x+c=0 的三个根，其中0 czJ 1 t+J1+1=(67+1),J l-/-J 1 +1=4+6+1.4 分(Vi 二7+拒7)2=(4+1)2,即 2+2(a +6+l)=(a +l)2/.a2=2b +3.5 分o j(I I)依题意,X2是方程/(x)=3/+2 如+6=0 的根，故有玉+马=一 半，xxx2=,且=(2 4 2-1 2 6 0,得b 3.r ,-2d$-3 b 2y/3 b r一4玉/=-=-.7 分21 3-b _ 2,2 _-二一；彳 导，b 2,a 2b+3=7.3 3由(I)知VF 7+J1+1 (0,故a +1)=V7 3/(X)=X3-V 7X2+2X+V 7-3.9 分 M-N =/(x j-f(x2)|=|(x：-x；)+a(x-一后)+6(西一X2)|.,、2 /x,2y/3-b .2a、2 b.2a、.=|%)-x21|(X+x2)-X1X2+(%1+x2)+b=-1 (-)-+a-(-)+ft|4-4 9 a2-=:(3 32(或 二(-)2)._.n 分27 27 2由(I)(a +l)2=(V P 7 +&T 7)2=2+2日?,/0/l,/.2(a +1)?4,12又。1,2 Q +1 V 2 ，3 Q V 2 1,3 +2 5/2 a 9 (或 5/2 3 )1 3 分0|A 1-V|?=.4分2.点M 的轨迹为以原点为中心，焦点在x 轴上，长轴长为2 及，短轴长为2的椭圆.5分（I I）如图，由题意知直线/的斜率存在且不为零，设/方程为尸左（2）（%/0）令 a 二 廉 町 则 丸 四S、OBF I B FI,由 此 可 得=X 2 一 2，且0 4 1.13由知(项2)+(马-2)=螳,(x1-2)-(x2-2)=xtx2-2(x,+X2)+4=22标+1A 2k2+1 H”,2 44 1麻=中一5.io分.。7,。上,2(1+4)2 2 2解得 3-2&2 3 +2行.又：0 X 1,3-2 J /l-1);ln2 In3 Inz?2n2-n-1 -+5-+-v-22 32 n2 4(+l)(nGN,22).2 4.(本小题满分14分)解：(I)由题意g(x)=p x-2-21nx,X又g(e)=p e-2,.p e-2 =q e-2,e e e (p q)e+(p-q)-=0,.(p 一 夕)(e+-)=0,e e而e W 0,/.p-q.3分e(II)由(I)知：g(x)=p x-2 n x,gz(x)=p+-=-+jx xx x令力(x尸p f2x+p.要使g(x)在(0,+8)为单调函数，只需h(x)在(0,+8)满足:h(x)20或h(x)W0恒成立.4分2x p=0时,h(x)=-2 x，x 0,/.h(x)0,/.g(x)=7 0时，/z(x)=p?-2x+p图象为开口向上抛物线，14称轴为(0,+8).；.(x)；M=p一工.只需 p一工 NO,即 时(x)0,g(x)0,P P P；.g(x)在(0,+8)单调递增，.p 2 i 适合题意.7 分当p0),1 1 Y设左(x)=ln x-x +1,贝麟(x)=1 =-.x x当工 (0,1)时，(x)0,梅)为单调递增函数；当(1,8)时,左(x)v 0,网 x)为单调递减函数；.*.x=l 为 k(x)的极大值点，.k(x)Wk(D=O.即 Inr-x+IWO,/.Inxx_1.11 分由知 InxWxl,又 x0,Inx x-1 .1 -=1x xxv ne/*,22时,令工=得Inn2YTi _L-1 2 ,n 里 4。-n 2In 2 In 3-y-H-.22 32In/八 1 ,1 ,1、.+-(1 一一7+1一 T +.+1一一-)22 2 22 32 n2=g(“一l)一 (襄+彘+，)2315a 12 5.解：(I)S1=(67,-1),q=0,a当 N 2 时，an=Sn-Sn_=-an-2一(还一尹)，3 1 J 1 3 J从而Tll=ci+c2+-+cn 2-(；-)+2 2-(?-p)=2H-“(1 -1)、+(，1-y1)、+-+(z 1y-1-、)、=.2 wJ-(-1)、2、w-1-.即 7；2 一；.14 分26、对于函数/(x),若存在x w R,使/(x0)=Xo成立，则称/为/(x)的不动点.如果函数/。)=产0 3,%*)有且仅有两个不动点0、2,且/X 2)b x-c 2(I)试求函数/(x)的单调区间；(II)已知各项不为零的数列 4 满足4S“/()=1,求证：一ln;%a“+i%(III)设“=2，7；为数列低 的前项和，求 证:7008-lln2008(1 b)x2 4-ex+(7=0(/?1)bx-c162+0=-h2 x 0 =二a=0I 1-b由/(-2)=三1 +c又,:b,ce N*x2A /(%)=2(x-l)=-1 c 2(x-1)-、2 _ x 2x-4(x-l)2-2(x-l)2由 fx)0 得尤 2；由 /(x)0 得 0 x l 或 l x 2故函数/(x)的单调递增区间为(-o o,0)和(2,+8),单调减区间为(0,1)和(1,2).4分(H)由已知可得2 5“=。”一。/，当22时，2 5,1=。,-%/两式相减得(a”+%+1)=0*-a,=一。“_1 或。“一。,1 =一1当=1时，2 q=6-a：=q =-1 ,若。，广一。”则=1这与4。1矛盾：,an-%=T 二 =一 .6 分于是，待证不等式即为 一 l n出.+1 n n为此，我们考虑证明不等式一 i n H l 0 x +1 X X令1 +4=乙%0,贝,x=-xt 1再令g(7)=/TTn/,g (/)=l-；由(1,+8)知g 1/)0.当/e(l,+8)时，g(/)单调递增 A g(t)g(l)=0 于是/-1 r 4-1即一 l n ,x 0 令 A(f)=l n l +；,/(/)=；=?由 f e(l,+8)知/(/)0二当/w(l,+8)时，恤)单调递增 竹)/?=0 于是t即1 1 1土X +2 1/0 X X +1由、可知-lnW 0 .1 0分X +l X XL L,、I 1 .7 7 +1 1 口-1 1 +1 1 一八所以，-In-9 即 1-In-.1 1 分/7 +1 n n an n an17(III)由(H)可知 6”=贝(I 4,=1H-1-F ,H n 2 3 n.1 i+1在-ln-+11 1I-F +2 3n1 L中令=1,2,3,2 0 0 7,并将各式相加得n 2 3 2008 In F In-I-+In-2008 1 220071+U2 312007即心。8 T 0.(I)判断/X x)奇偶性；(II)证明了(x)为周期函数：(IH)求/(x)在 2a,3a上的最小值和最大值.27、解：(1).定义域 x|x rh r,G Z 关于原点对称,又f X(a-x)-力 /(o)-/(a-x)-f(a-x)“a)y(x)+l/(1)一/()/-/()1+AiZWx)-1 =2O)/(x)-l=-/(x),对于定义域内的每个x值都成立/(x)为奇函数(2)易证：f(x+4a)=f(x),周期为4a.(4分)(8分)(3)f(2a)-f(a+a)=/a-(-a)=/W(q)+i 1 /论)=0,f(3a)-f(2a+a)=f2.a-(-a)=/(2。)：/(一。)+1 1/(一。)一/(2。)_ f(a)=1.先证典f(x)在 2a,3可上单调递减为此，必须证明xG C2a,3“)时，/(x)0,设2v x v 3 a,贝ij0 x 2。，/。(10 分)设2a X X2 3a,则0 X2-X|v a,f(%i)0/(X2)0,.,z s,z x/(X l)/(X2)+1(X2)=/(X 2_X 1)0,/.f(X|)f(X2),f(x)在 2q,30上单调递减-A f(x)在 2a,3a上的最大值为3(2a=0,最小值为/(3 a)=-1(12 分)28、已知点R(3,0),点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在 直 线PQ上，且满足2P M+3 MQ =Q ,而 两=0.(I)当 点P在y轴上移动时，求 点M的轨迹C的方程；18(11)设工(再,必)、%)为轨迹C 上两点，且芭 1,必 0,N(1,0),求实数/I,使 荏=)后,且 I 月 8 1=g2 8、解：(I )设点 M(x,y),由 2 而+3 丽=6 得 P(0,-介 Q(1,0).由废.用？=0,得(3,-)(x,曰)=0,即 V=4x又 点 Q在 x 轴的正半轴上，x 0故 点 M 的轨迹C的方程是/=4 x(x 0).6分(H)解法一：由题意可知N为抛物线C:y2=4 x的焦点，且 A、B为过焦点N的直线与抛物 线 C的两个交点。当直线AB斜率不存在时，得 A(1,2),B(1,-2),|A B|=41,所以=3 汽=；,由 荏=4 旃，得 4 =士%=3=1.xN x(3 1 3解法二：由题设条件得才=4 芭 (1)货=4%(2)x2-X =2(1-X )(3)%-必=一 例 (4)(八一二)2 +(%一必 了 =9(5)1 3 分由(3)、得 2+?1-再)1乃=(1-幻必代 入(2)得=4 X 1+4 l-xJ再把代入上式并化简得M-l)x,=1(6)9 分同样把(3)、(4)代 入(5)并 结 合(D化简后可得(l+X,)/i=y (7)11分 _4 仅=4 /由(6)、(7)解得 3或1,故4 =一.x=3 X,-3 3192 9、已知椭圆W的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，两条准线间的距离为6.椭 圆W的3左焦点为F,过左准线与x轴的交点M任作一条斜率不为零的直线/与椭圆W交于不同的两点A、8,点N关于x轴的对称点为C.（I）求椭圆W的方程；（H）求证：酝=4而（4 e R）；（HD求面积S的最大值.2 22 9、解：（I ）设椭圆W的方程为=+g=1,由题意可知a ha ,/+c 解得，c =2,b =y/2,22=6,、c所以椭圆w的方程为 +=1.4分（I I）解 法I：因为左准线方程为x=幺=-3,所以点M坐标为（-3,0）.于是可设直线/的方程c为 y=x +3).y=A(x+3),0,解得左？设点Z,8的坐标分别为（项,凹），（%,），.18A 2 7左 一6 ,.则X|+2 =+3/，+3/乂=左(玉+3),y2=Z:(X2+3).因 为/(2,0),C(x，-弘)，所以 F C =(X+2,乂)，FB=(x2+2,y2).又因为&+2)y2(x2+2)(乂)=(须 +2)k(X+3)+(x2+2)左(x1+3)=k lxxx2+5(+x2)+12 =k5 4公 一 12 -9 0”21 +3-+1+3公+12 20J 5 4 J 2-90-2+3 6 1）=0,所以而一丽.分1 +3-2解法2：因为左准线方程为8=-人=-3,所以点坐标为（-3,0）.c于是可设直线/的方程为歹=左。+3）,点力，8 的坐标分别为a，乂），（%,%）,则点C的坐标为（和-必）,必=人（芭+3）,y2-k（x2+3）.山椭圆的第二定义可得 F B _ x2+3J y2 fC 玉+3|%|,所以B ,F ,。三点共线，即 百：=4万.1 0 分（H I）由题意知S=M F yi+MF y2=M F -yl+y2=k（x+x2）+6k=J_h=_ 3 A；当且仅当左2=！忖“=”成立，1 +3 公，+3 用 2K 2 3用所以M B C面积S的最大值为坐.3 0、已知抛物线C:y =依 2,点 P（1,-1）在抛物线C上，过点尸作斜率为左、后的两条直线,分别交抛物线C于异于点P 的两点N（xi，力），B（X 2,y2）.且满足吊+左 2=0.（I）求抛物线C的焦点坐标；（I I）若点M 满 足 嬴=而，求点M 的轨迹方程.3 0、解：（I）将 尸（1,-1）代入抛物线C的方程y=/得 折一1,抛物线C的方程为y=Y,即/=_,.焦点坐标为尸（0,.4分4（I I）设直线P 4的方程为y+l =K（x l）,y+l =%（x-l）,联立方程厂 2 消去y 得/+左/占一 1 =0,y=-x .贝 ij 1 X =kt 1,即 X =|1.由 A =奸 _ 4（匕 _ 1）=（匕 +2 0,得匕 H 2.7 分21同理直线PB的方程为y+1 =七（X 1）,联立方程 歹+1=,2 a-1）,消去y 得 一+鼠x _ 七 _ =o,U=-x .则1 g =一质一 L即工2 二 一质1 .且%2 0一2.X v k+k2=0,/.k W 2.9 分设点M 的坐标 为(x,y),由 丽=忘，贝 卜=土 芳.一 人 一 一 后 2-1 2(左 +-2)X -2-2.又,:左 +攵2 =0,二 X 二 一1 .1 1 分_ 乂+%_ _ X；_ X；_ _(/I)?一(一勺一)2 _ _ i f T 上 一1)?一 -2-2-2-T=-(奸+1)4-1,又左丰 2,/.y 5.所求M 的轨迹方程为：x=-l(y-1 5.j；-5).3 1.设函数/（口=；如3 +取 2+（4 6）,其图象在点41,1）,8（%/（加）处的切线的斜率分别为0,-a.（I）求证：O W 1；（H）若函数/（x）的递增区间为s,7,求|s-，|的取值范围；（IID 若当X左时（发是与。，包c 无关的常数），恒有/T（X）+“0,试求力的最小值3 1.解：（I）f x）ax2+2b x +c,由题意及导数的儿何意义得f )=a+2b +c =0,(1)=anr+2b m +c =-a,(2).2 分又 a b c ,可得4。：4+2/)+(?40,即 4 0 4 c,故a 0,.3 分由(1)得c=Q-26,代入a b c ,再由4 0,得-1,(3).4 分3 a将 c=-i-2 b 代 入(2)得 a 加2+26加-26=0,即方程a x?+2/-26=0 有实根.22故其判别式 =4b 2 +8ab2 0得-2,或(4).5 分a a由(3)，(4)得O W 0 ,知方程f x)-ax1+2/?x+c=0(*)有两个不等实根，设 为 西,，又 由/=o +2 b+c=0知，玉=1为 方 程(*)的一个实根，则有根与系数的关系得2b 2 b一.八 八X +/=-$X?=-1 0 .9 分a a当 x v 9 或%芭时/(%)0，当兀2%0，故函数/(X)的递增区间为/,X/，由题设知力，引=6 小因此|s/|=区一马|=2 +生，由(I )知0忘2 1得|s -|的取值范围为 2,4)：1 2分a a(I I I)由/“(工)+4 0,E|J ax2+2b x+a+c 0 ,即 ar2+2 bx-2 b 0 ,因为a 0,整理得(2 x-2)2 +f 0,a a a设g d)=(2 x-2)&X2,可以看作是关于2的一次函数，a a a由题意g&o对于o 2 0,x20,山题意，A：,+o)c(o ,/3 1 U V 3 1,+),故人G-l,因此左的最小值为6-1.1 6分3 2.如图，转盘游戏.转盘被分成8个均匀的扇形区域.游戏规则：用力旋转转盘，转盘停止时箭头A所指区域的数字就是游戏所得的点数(转盘停留的位置是随机的).假设箭头指到区域分界线的概率为0.1,同时规定所得点数为0.某同学进行了一次游戏，记 所 得 点 数 为 求J的分布列及数学期望.(数学期望结果保留两位有效数字)32.(本小题满分1 2分)解：(1)依题意，随机变量自的取值是0,1,6,8.3 3 2P(&=0尸0.1,P(9 1尸一x0.9,P(&=6尸-x0.9,P =8)=-x0.9 .23得4分布列:6分0168/(2)P.0.13-x0.983-x0.98-x0.98 6/87厂 匕 x 0.9 x 0.9 x 0.9=0 x0.1+8 x 1 +8 x 6+8 义8=4.2.“分2 23 3.设 大，6分别是椭圆C：二+，=1 （机0）的左，右焦点.6m 2m（1）当尸 C,且 丽 而2=0,6 1=8时，求椭圆C的左，右焦点与、F2.（2）F工 是（1）中的椭圆的左，右焦点,QM,使得|。6|=啦|。|是切点），3 3.（本小题满分14分）解：（1）,c a-b ，c 4 m.2分分=（2 c/=16疗.5分由椭圆定义可知|川+|环|=24=2 n加，（|/；已知 工的半径是1,过动点。的作 尸2切线如下图.求动点0的轨迹方程.y.xO（x,又 子 所 如 空 岂，叫，.3|+|尸居I=16m2+8=24M，6 分从而将根1，c 4m 4，c 2.丹(2,0)、外。,。).,(2)VFi(-2,0),F2(2,0),由已知：依？|二拒|0叫，即|。死 二2|0加，所以有：用2二y),9 分 贝IJ(X+2)+y2=2(x 2)+y2,12 分B|J(X-6)2+/=3 2(或X2+J?1 2X+4 =0)综上所述，所求轨迹方程为：(x-6)2+V=32.14分.7分2(|。闾 2-1)，设 P(X,t y.p(x,243 4.3知数列 a“满足q =5 ,a2=5 ,an+=an+6an_1(n 2).(1)求证：。,用+2%是等比数列；(2)求数列 4 的通项公式；(3)设3“=(3 -%),且 闻+向|+可 2)a 1=5,&2 5 a 2+2a 1=15故数歹U a n+1+2a n是 以15为首项，3为公比的等比数列.5分(2)由(1)得aa+2ali=5,3n由待定系数法可得区+1 3田)=一2包 3)即 a n-3n=2(27 故 a n=3n+2(-2)n T=3n(-2)n.9 分2(3)山 3nbn=n(3n-a n)=n3n-3n+(-2)n=ri(-2)n,b n =n(一1)n2 2 2?令 Sn=|bi|+|b2|+.+|bn|=+2(/+3(岁 +n(式2 7 2 7 2尹=城+2城+.+(吁1)(式+n铲1 .11分2 2 n得|Sn=|+(|)2+(|)3+附-(|严=更 一pF；严=2口 一(倒 一 痣 严1-32?Sn=6 l-(3)n-3 n(3)n+，6.14分3 5.已知集合。=（工1 ,工2）|玉 0，、2 1 +X2=左 （其中人为正常数）.（1）设=%2，求的取值范围；1 1 k 2（2）求证：当 时 不 等 式（一一X j（X2）（-对任意（须恒成立;v（3）求使不等式（-1 -x,）（1-x,）（-k-2）2对任意a,4）。恒成立的k02的范围.X x2 2 k3 5.（本小题满分14分）x,+x2 2 k-kX|X2 （-）=xt-x2-解：（1）2 4,当且仅当 2时等号成立，2（。，故M的取值范围为 4.5分25（2）解法一（函数法）（,玉-1)(-2)=+x,x2-xyx2x2 x1=Xj X2 H-XxX23=砧 上XxX2xx2+2=-+2 6 分U由 又 k N l,女2 一1 2 0，./()=一4k2-+2在（0,?上是增函数,u7分11,2 ,/2 k2-c /4,2 左、2所 以(工 _ 芭)(_%)=_1+2 了 一 丁+2=W_2 +F =(_ 5)u4即当左2 1时不等式（一七）（-一x2）-玉X2/%2 2份N成立9分解 法 二（不等式证明的作差比较法）z1 xz 1 4 2 2 1 x x.4%2 c r)-弓-%)=+-F-T +2U 52)-(土+工 2)=Xj X2 k 4 x2 xk2-4X1X2 k2-4XX2(X,-x2)2k xxx24X l、2将 2 4X）X2=（否一 x2）2代入得_ X )(j _ _/)_(&_ 2)2(须 /2)(4 .X|X2-4J )乙 K6分(%|%2)2 0,左 21 时 4 左 王、2 4k=4(1 左 女 玉 工2 0，*e(X1-X2)2(4 k?X X2-4k2)4k2xx20,1 -”2 -函数/（）=+上 匕+2在（0,11-8 上递减，在 y l-k2,+8）上递增.即 分U要使函数/（）在（0,?上恒有/（）？/（5）,必 有?w j l,即F+16左2一16 0,解得0人2与4 6-8.14分解 法 二（不等式证明的作差比较法）z 1 、/1 、,k 2、2 （X1工2）2（4 4与x -442）由（2）可知（一 一事）（一一-,X x2 2 k A k xxx2要不等式恒成立，必须4-左2玉-4/N O恒成立，.10分即 x1x2 4一4左 2恒成立,11分1 1 J 2 A 4 2山0 须当J 得上4 二，即左4+16公 16W 0,.13分1 2 4 4 k2解得0 矛4 4百-8.1 1 左 2因此不等式（一一再）（一一）？（彳一7）2恒成立的左2的范围是0 b 0）的 离 心 率 为,过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆a2 b2 3C于Z,8两点，N为 弦 的 中 点。（1）求直线O N （。为坐标原点）的斜率KON；（2）对于椭圆C上任意一点M ,试证：总存在角6（6 C R）使等式：O M =CO5 O A+5/M OB成立。36、解：（1）设椭圆的焦距为2%因为 =壮5,所 以 有 空3=2,故有/=3/。从而椭圆a 3 a2 3C的方程可化为：/+3/=3/.2分易知右焦点F的坐标为（氏 b,0）,据 题 意 有 所 在 的 直 线 方 程 为：y=x-Qb .3分由，有：4x2 642b x +3 b2=027设 4（万 ,必）,8（2）2），弦 Z 8 的中点N（Xo，N o）,山及韦达定理有：项+x2 3 42b/T-,V 2%=-一=一厂汽=/7 2 b=-屋氏所以K N=8=一1，即为所求。.5 分,X。3（2）显然为与为可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量而，有且只有一对实数人，使 得 等 式 而 =4 a+而 成立。设 （xj）,由 1）中各点的坐标有:（兀丁）=4（七,必）+（2，%）,所以 x =A xx+/Jx ,y=彻 +jUy2。.7 分又点在椭圆C 上，所以有（疝 +必 2）2+3（&+0 2）2=3整理为矛（再2+3m 2）+/（/2 +3%2）+2旗（吊