高中数学解题思维策略.pdf

一、高中数学解题的思维策略导 读数学教学的目的在于培养学生的思维能力，培养良好思维品质的途径，是进行有效的训练，本策略结合数学教学的实际情况，从以下四个方面迸行讲解：一、数学思维的变通性根据题设的相关知识，提出灵活设想和解题方案二、数学思维的反思性提出独特见解，检查思维过程，不盲从、不轻信。三、数学思维的严密性考察问题严格、准确，运算和推理精确无误。四、数学思维的开拓性对一个问题从多方面考虑、对一个对象从多种角度观察、对一个题目运用多种不同的解法。什么”转变，从而培养他们的思维能力。策略的即时性、针对性、实用性，已在教学实践中得到了全面验证。第一讲数学思维的变通性一、概念数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须具有思维的变通性一一善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。根据数学思维变通性的主要体现，本讲将着重进行以下几个方面的训练：(1)善于观察心理学告诉我们：感觉和知觉是认识事物的最初级形式，而观察则是知觉的高级状态，是一种有目的、有计划、比较持久的知觉。观察是认识事物最基本的途径，它是了解问题、发现问题和解决问题的前提。任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。彳 列 4 口，-1-1-p .+1-2 2-3 3-41+1)这些分数相加，通分很困难，但每项都是两相邻自然数的积的倒数，且1=-,因 止 匕，原式等于1 一+一!+一=1一 一 问 题 彳 艮n(n+1)n n+1 2 2 3 n n+n+快就解决了。(2)善于联想联想是问题转化的桥梁。稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显的、间接的、复杂的。因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，做出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入。JQ I y -2一.孙=-3这个方程指明两个数的和为2,这两个数的积为-3。由此联想到韦达定理，X、y是一元二次方程 -3=0的两个根，Y =_1 V=3所以1 或I.可见，联想可使问题变得简单。y=3 y=-l(3)善于将问题进行转化数学家G .波利亚在 怎样解题中说过：数学解题是命题的连续变换。可见，解题过程是通过问题的转化才能完成的。转化是解数学题的一种十分重要的思维方法。那么怎样转化呢？概括地讲，就是把复杂问题转化成简单问题，把抽象问题转化成具体问题，把未知问题转化成已知问题。在解题时，观察具体特征,联想有关问题之后，就要寻求转化关系。例 或 口，已 入 口 +一 +=5 ,(abc 0,a+b+c O),a b c Q+力+c求证a、b,c三数中必有两个互为相反数。恰 当 的 转 化 使 问 题 变 得 熟 悉、简 单。要 证 的 结 论，可 以 转 化 为：(a+b)(b+c)(c+a)=0思维变通性的对立面是思维的保守性，即思维定势。思维定势是指一个人用同一种思维方法解决若干问题以后，往往会用同样的思维方法解决以后的问题。它表现就是记类型、记方法、套公式，使思维受到限制，它是提高思维变通性的极大的障碍，必须加以克服。综上所述，善于观察、善于联想、善于进行问题转化，是数学思维变通性的具体体现。要想提高思维变通性，必须作相应的思维训练。二、思维训练实例(1)观察能力的训练虽然观察看起来是一种表面现象，但它是认识事物内部规律的基础。所以，必须重视观察能力的训练，使学生不但能用常规方法解题，而且能根据题目的具体特征，采用特殊方法来解题。例 1 已知a 也 c,d 都是实数，求证“2 +2 +2 +4 2 J(q _ c)2 +s d)2思路分析 从题目的外表形式观察到，要证的结论的右端与平面上两点间的距离公式很相似，而左端可看作是点到原点的距离公式。根据其特点，4可采用下面巧妙而简捷的证法，这正是思维变通的体现。1证明 不妨设A(a,b),B(c,d)如 图 1-2-1 所示，/则=1(了+出一斤.0A=Ja2+b2,OB=c2+d2,小 图 I在 A O A B 中，由三角形三边之间的关系知：OA+OBAB当且仅当0在 A B 上时,等号成立。因 北 匕，!a2+b2+7 c2+d2 -J(a-c)2+(b-d)2.思维障碍 很多学生看到这个不等式证明题，马上想到采用分析法、综合法等，而此题利用这些方法证明很繁。学生没能从外表形式上观察到它与平面上两点间距离公式相似的原因，是对这个公式不熟，进一步讲是对基础知识的掌握不牢 固.因此，平时应多注意数学公式、定理的运用练习。例2已知3/+2/=6 x ,试求/+/2的最大值。解 由 3%2+2 y2=6 x 得y2=-x2+3x.2,3 ,y 0,x+3 x 2 0,0 K x 4 2.2又工2 +y 2=%2 _|工2 +3x=_；(%_ 3)2 +g,1O.当x =2时，/+y 2有最大值，最大值为一,(2 3)2+Q=4.思路分析 要求/+V 的最大值，由已知条件很快将X2+y2 变为一元二次函数/(用=-妨-3)2+3 然后求极值点的犬值，联系到/N O,这一条件，既快又准地求出最大值。上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的变通性。思维障碍 大部分学生的作法如下：由 3x2+2y2-6 x y 2=_ x2+3x,+y2=*2+3 x =_g(x _3)2 +g,g.,.当X =3 时，/+y 2取最大值，最大值为5这种解法由于忽略了 y2 2 0 这一条件，致使计算结果出现错误。因此，要注意审题，不仅能从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，既要注意主要的已知条件，又要注意次要条件，这样，才能正确地解题，提高思维的变通性。有些问题的观察要从相应的图像着手。例3 已知二次函数/(x)=o x?+0 x +c =0(0),满足关系/(2 +x)=/(2 -x),试比较/(0.5)与/(4)的大小。思路分析 由已知条件/(2 +x)=/(2-x)可知，在与x =2 左右等距离的点的函数值相等，说明该函数的图像关于直线x =2 对称，又由已知条件知它的开口向上，所以，可根据该函数的大致 y f,图像简捷地解出此题。：,解(如 图 1-2-2)由/(2 +x)=/(2 -x),I ：/知f(x)是以直线犬=2为对称轴，开口向上的抛物线 一7它与x =2 距离越近的点，函数值越小。图 1 2.|2-0.5|2-|.-./(0.5)/()思维障碍 有些同学对比较/(0.5)与/()的大小，只想到求出它们的值。而此题函数/(x)的表达式不确定无法代值，所以无法比较。出现这种情况的原因，是没有充分挖掘已知条件的含义，因而思维受到阻碍，做题时要全面看问题，对每一个已知条件都要仔细推敲，找出它的真正含义，这样才能顺利解题。提高思维的变通性。(2)联想能力的训练例4 在A 4 B C 中，若 NC 为钝角，则火4 次8的值(A)等 于 1 (B)小 于 1 (C)大于1 (D)不能确定思路分析 此题是在A 4 B C 中确定三角函数图4吆8的值。因此，联想到三角函数正切的两角和公式tg(A+B)=3+%可得下面解法。1-tgA-tgB解 为钝角，.吆(7 0.在小48。中4+5 +。=)，。=7一(4+8)且 A、B均为锐角，:.tgC =t -(A +B)=-tg(A+B)=-O,tgB 0,：A-tgA-tgB 0.即 f g A tgB 1.故应选择(B)思维障碍 有的学生可能觉得此题条件太少，难以下手，原因是对三角函数的基本公式掌握得不牢固，不能准确把握公式的特征，因而不能很快联想到运用基本公式。例5 若(z -)2 -4*一 y)(y-z)=0,证明：2 y =x +z.思路分析 此题一般是通过因式分解来证。但是，如果注意观察已知条件的特点，不难发现它与一元二次方程的判别式相似。于是，我们联想到借助一元二次方程的知识来证题。证明 当 时，等 式(z-x)?-4(x-y)(y-z)=0可看作是关于f 的一元二次方程(x -y)f 2 +(z -x)f +(y -z)=0 有等根的条件，在进一步观察这个方程，它的两个相等实根是1,根据韦达定理就有：-=1 即 2 y =x +zx-y若x-y =0,由已知条件易得z -x =0,即尤=y =z ,显然也有2 y =x +z .例6 已知a、b、c 均为正实数，满足关系式/+=0 2,又”为不小于3 的自然数，求证：a +t c .思路分析 由条件/=。2 联想到勾股定理，、b、c 可构成直角三角形的三边，进一步联想到三角函数的定义可得如下证法。证明 设a、b、C所对的角分别为4、B、C.则C 是直角，A为锐角，于是s i n A=,c o s A =,_ E L0 s i n A 1,0 c o s A 1,c c当“2 3 时，有 s i n A s i n?A,c o sr t A c o s2 A于是有 s i n A+c o s A s i n2 A+c o s2 A=1即(-)n+(-)1,c c从而就有 a+b 0;椭圆E 的中心为。，(2+,0),焦点在X 轴上，长半轴为2,短半轴为1,它的一个顶点为A(称,0),问p 在什么范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，它们中的每一点到点A 的距离等于该点到直线L 的距离。思路分析从题目的要求及解析几何的知识可知，四个不同的点应在抛物线y2=2 px(1)是，又从已知条件可得椭圆E 的方程为口-(2+?)+/=1(2)4因此，问题转化为当方程组(1)、(2)有四个不同的实数解时，求p的取值范围。将(2)代 入(1)得：2x2+(7/7-4)x+勺 +2p=0.(3)确定p的范围，实际上就是求(3)有两个不等正根的充要条件，解不等式组：(7 p-4)2-2+2 p 04吟+2 p)07P 4 0的条件下，得0 p 1 3.本题在解题过程中，不断地把问题化归为标准问题：解方程组和不等式组的问题。2)逆向思维的训练逆向思维不是按习惯思维方向进行思考，而是从其反方向进行思考的一种思维方式。当问题的正面考虑有阻碍时，应考虑问题的反面，从反面入手，使问题得到解决。例1 3已知函数/(x)=2/+m x +，求 证/卜|/(2)卜|/(3)|中至少有一个不小于1.思 路 分 析 反 证 法 被 誉 为“数学家最精良的武器之一”，它也是中学数学常用的解题方法。当要证结论中有“至少”等字样，或以否定形式给出时，一般可考虑采用反证法。证明(反证法)假设原命题不成立，即/|、|/(2)|.|7(3)|都小于1。|/(2)|1.|/(3)|1则-1 2 +机 +1 -3 m+n -1 8+2m+n 一 9 2m+及 -7-1 18+3/7:+n 1 -19 3m+n -17+得-1 1 2 m+一9,与矛盾，所以假设不成立，即|、|/(2)|,|一(3)|中至少有一个不小于1。6 一题多解训练由于每个学生在观察时抓住问题的特点不同、运用的知识不同，因而，同一问题可能得到几种不同的解法，这 就 是“一题多解”。通过一题多解训练，可使学生认真观察、多方联想、恰当转化，提高数学思维的变通性。例 1 4 已知复数z 的模为2,求 的 最 大 值。解 法 一（代数法）设 z=x+yi（x、y G R）,贝 卜 2 +y2=4.|z-z|=yx2+（y-l）2=j5-2 y.|y|2,当 y=2 时,|z，Lax=3.解 法 二(三 角 法)设 z=2(cos6+isin。),则 z-z|=J 4 c o s 2 6+（2 s i n，-l）2 =J 5-4 s i n 6.当 sin6=-l时1ra*=3.解 法 三(几何法).忖=2,；.点2是圆/+;/=4上的点，|z-i|表示z与，所对应的点之间的距离。如 图 1-2-3 所示，可知当z=-2，时，解法四(运用模的性质)v|z-z|z|+|-z|=2+l=3而当 z=-2,时，|z-/|-3.|z-|max-3.解 法 五(运用模的性质)v|z-|2=(z-z)(z-0=ZZ+(Z-ZX+1=5+2/(z),(/(z)表 z 的虚部).图 1-2 -3又 v|/(z)|2,.|z-k=9,二.|z 一 必=3.第二讲数学思维的反思性一、概述数学思维的反思性表现在思维活动中善于提出独立见解，精细地检查思维过程,不盲从、不轻信。在解决问题时能不断地验证所拟定的假设，获得独特的解决问题的方法，它和创造性思维存在着高度相关。本讲重点加强学生思维的严密性的训练，培养他们的创造性思维。二、思维训练实例(1)检查思路是否正确，注意发现其中的错误。例 1 已知/(x)=a x +士，若一3/W0,3 4/(2)46,求/的 范 围。h错误解法由条件得-3 2 +/?0，b /3 0 2。+61 2 X 2-得 6 a 1 5 X 2 _ 得 _ 4纥 二3 3 3+得-3 a +-,M P /(3),3 3 3 3 3错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数/(x)=ax+,其值是同时受a 和/?制约的。当a 取最大.(小)值 时，b不一定取b最 大(小)值，因而整个解题思路是错误的。正确解法由题意有f(V)=a+bh/(2)=2a +-1 2解得：a =-2/(2)-/(I),。=2/-2),/(3)=3a +|=y/(2)-|/(l).把/和/(2)的范围代入得 y /(3)0).=0因为有两个公共点，所以方程有两个相等正根，得 2 0-L 02a2-l 0.1 7解之，得a=L8错 误 分 析(如 图2-2-1;2-2-2)显然，当a=0时，圆与抛物线有两个公共点。要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程有一正根、一负根；或有两个相等正根。当方程有一正根、一负根时，得产,。解之，得a2-l0.171因此，当。=一 或一 1。1时，圆/+y 2 _ 2ax+a2-=0与抛物线y2=x有8 2两个公共点。思考题：实数a为何值时，圆/+y2 _2欧+“2 _ =0与抛物线),2=,(1)有一个公共点；(2)有三个公共点；(3)有四个公共点；(4)没有公共点。养成验算的习惯，可以有效地增强思维反思性。如：在解无理方程、无理不等式；对数方程、对数不等式时，由于变形后方程或不等式两端代数式的定义域可能会发生变化，这样就有可能产生增根或失根，因此必须进行检脸，舍弃增根，找回失根。(3)独立思考，敢于发表不同见解受思维定势或别人提示的影响，解题时盲目附和，不能提出自己的看法，这不利于增强思维的反思性。因此，在解决问题时，应积极地独立思考，敢于对题目解法发表自己的见解，这样才能增强思维的反思性，从而培养创造性思维。例5 30支足球队进行淘汰赛，决出一个冠军，问需要安排多少场比赛？解 因为每场要淘汰1个队，30个队要淘汰29个队才能决出一个冠军。因此应安排29场比赛。思 路 分 析 传统的思维方法是：30支队比赛，每次出两支队，应 有15+7+4+2+1 =2 9场比赛。而上面这个解法没有盲目附和，考虑到每场比赛淘汰1个队，要淘汰29支队，那么必有29场比赛。例6 解方程一 一 2x+3=cosx.考察方程两端相应的函数y =(x-1)2+2,y=c o s x ,它们的图象无交点。所以此方程无解。例7设/是 方 程-2丘+k +6=0的两个实根，则(a-l A+(/-的最小值是()4 Q(A);(B)8;(C)1 8;(。)不存在4思路分析本例只有一个答案正确，设了 3个陷阱，很容易上当。利用一元二次方程根与系数的关系易得：a +夕=2k,aP=k +6,(a 1)+(0 1)=cc 2a+1 +/3 2/3+1=(a+/3)2a/3 2(a+夕)+2.z,3、2 4 94 4有的学生一看到-竺，常受选择答案(A)的诱惑，盲从附和。这正是思维缺4乏反思性的体现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。.原方程有两个实根a、/3,A =4 2-4(+6)0,k LX解/.X2 1,X：.X 1,或 X 工推导X?1时，没有讨论XX的正、负，理由不充分，所以出错。二、思维训练实例思维的严密性是学好数学的关键之一。训练的有效途径之一是查错。(1)有关概念的训练概念是抽象思维的基础，数学推理离不开概念。“正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提。”中学数学教学大纲(试行草案)例1、不等式 log(i，+2)(3x2-2x-4)10g(?+2)(x2-3 x+2).错误解法 v x2+2 1,.t.3x 2.x 4 x 3x+2,2x+x 6 0,x 一 ),2说明解法错误。原因是没有弄清对数定义。此题忽视了“对数的真数大于零”这一条件造成解法错误，表现出思维的不严密性。正确解法 v x2+2 13X2-2X-4 0 x 3x+2 03x 2x 4 x 3x+2X 匕恒或“三叵3x 2Jcr -223x 2 或x -2.例2、求过点(0,1)的直线，使它与抛物线V =2x仅有一个交点。错误解法 设所求的过点(0,1)的直线为y=h +l,则它与抛物线的交点为y=kx+1 ,.，消去y得：(h +1)2-2%=0.j2 =2 x整理得 k2x2+(2攵-2)x +l =0.直线与抛物线仅有一个交点，；.=0,解得女=；,所求直线为y=；x+1.错误分析此处解法共有三处错误：第一，设所求直线为=丘+1时，没有考虑我=0与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式,所以它的二次项系数不能为零，即k。0,而上述解法没作考虑，表现出思维不严密。正确解法 当所求直线斜率不存在时，即直线垂直x轴，因为过点(0,1),所以x =0,即y轴，它 正 好 与 抛 物 线=2 x相切。当所求直线斜率为零时，直线为y=l,平行x轴，它正好与抛物线/=2x只有一个交点。设所求的过点(0,1)的直线为y=履+1 (%#0)则y=+1 1 0./.m 2A/5,或加 0 0,解得3 W 5.x-1 (x-3)2A0 f错误分析 不等式y 2 8 成立的充分必要条件是：8 2 0或”一,B 0原 不 等 式 的 解 法 只 考 虑 了 一 种 情 况，x-3 2 0 ,而忽视了另一种情况x-l (x-3)2X-1 0 ,所考虑的情况只是原不等式成立的充分条件，而不是充分必要条件,x 3 0 0 或x-1 (x-3)2/.3 x 0 x 3 +y2 =9.设点P(x,y)(x 0)为所求轨迹上任意一点，并且。P与y轴相切于M点，与OC相切于N点。根据已知条件得|C P|=|P M+3,即1(x-3)2 +/=x +3.化简得 y2=1 2 x(x 0).错误分析本题只考虑了所求轨迹的纯粹性(即所求的轨迹上的点都满足条件)，而没有考虑所求轨迹的完备性(即满足条件的点都在所求的轨迹上)。事实上，符合题目条件的点的坐标并不都满足所求的方程。从动圆与已知圆内切，可以发现以x轴正半轴上任一点为圆心，此点到原点的距离为半径(不等于3)的圆也符合条件，所以y=0(3 0且%#3)也是所求的方程。即动圆圆心的轨迹方程是y2=2x(x 0)和y=0(x 0,1.x*3).因此，在求轨迹时，一定要完整的、细致地、周密地分析问题，这样，才能保证所求轨迹的纯粹性和完备性。防止以偏概全的错误以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出思维的不严密性。例 7 设 等 比 数 列 的 全 项 和 为 S ”.若S 3+S 6 =2 S g,求数列的公比4.错 误 解 法$3+5 6=2 5 9，,.(1-油 (/).-H-L -1-q 1 -q -q整理得/(2/_/_D=0由0得方程 21/_ =0 .(2 q 3+1)(/1)=0,q =一 与或 q =l错误分析 在错解中，由皿皿z2=2.皿 -q l-q l-q整 理 得/(2/_/_D=0,时，应有a 尸 0 和 q x l.在等比数列中，是显然的，但公比q完全可能为1,因此，在解题时应先讨论公比q =1 的情况，再在q丰1的情况下，对式子进行整理变形。正确解法 若q =l,则有 S3 =3%,5 6 =6%,$9 =9%.但即得S3+5 6 H 2 Sg,与题设矛盾，故又依题意 S3+S6=2 S9,可得(一/)/(lY)?(1 一消1-q q l-q整理得/(2 q 6 _/_ )=0.即(2/+1)(/_i)=o,因为qwl,所 以 _1H0,所以2/+1 =0.所以V?q=F说明 此 题 为 1 9 9 6 年全国高考文史类数学试题第(2 1)题，不少考生的解法同错误解法，根据评分标准而痛失2 分。避免直观代替论证我们知道直观图形常常为我们解题带来方便。但是，如果完全以图形的直观联系为依据来进行推理，这就会使思维出现不严密现象。例 8（如 图 3-2-2）,具有公共y 轴的两个直角坐标平面a 和夕所成的二面角a-y 轴一户等于60。.已知尸内的曲线C 的方程是y?=2 p （p 0）,求曲线C在a 内的射影的曲线方程。错误解法 依题意，可知曲线C 是抛物线，在月内的焦点坐标是F（g,0）,p 0.因为二面角a-y轴一等于60,且V轴 y轴，x轴 y轴,所以N xo x=60.设焦点F 在a 内的射影是F（x,y）,那么，尸位于x 轴上，从而 y=0,ZFO F=60,ZFTO=90,所以。尸=。尸.3 6 0 =5 =（.所 以 点 唱,0）是所求射影的焦点。依题意，射影是一条抛物线，开口向右，顶点在原点。所以曲线C 在a 内的射影的曲线方程是y2=p x.错 误 分 析 上 述 解 答 错 误 的 主 要 原 因 是，凭 直 观 误 认 为尸是射影（曲线）的焦点，其次，未经证明默认C 在a 内的射影（曲线）是一条抛物线。正确解法 在用内，设点M（x,y）是曲线上任意一点（如 图 3-2-3）过点M 作 MN J.a,垂足为N ,过N 作 M 7_Ly轴，垂足为H.连接MH,则MH _L y 轴。所以NMHN是二面角1 一丁轴一月的平面角，依题意，Z.M H N=60.在 R tAM N H P,H N =HM-cos 60=-/.向、2又知;7Mx 轴（或M 与。重合）,“可了轴(或“与。重合)，设 N(x,y),则1 ,x=x2y=yrx=2xy=y-因为点 M(x ,y )在曲线 V=2 p x (p 0)上，所以/=2 p(2 x).即所求射影的方程为 y2=4px(pQ).(3)推理的训练数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系(充分性、必要性、充要性等)，做到思考缜密、推理严密。例 9 设椭圆的中心是坐标原点，长轴x 在轴上，离心率e=手，已知点玖0 4)到这个椭圆上的最远距离是V7,求这个椭圆的方程。2 2错误解法依题意可设椭圆方程为二 +=1(。8 0)b-nl则 /2 =厂=cr tra ab2 3=茄=屋所以 吗=!，即a2 4a=2b.设椭圆上的点(x,y)到点尸的距离为d ,a贝“d2=x2+(y-1)2,y2,9=-(1 _ k)+厂-3 +-=-3(y +；)2 +4/+3.所以当y =-;时，/有最大值，从而“也有最大值。所以 4/+3 =(J 7)2,由此解得：fe2=l,a2=4.于是所求椭圆的方程为直+2 =1.4错解分析 尽管上面解法的最后结果是正确的，但这种解法却是错误的。结果正确只是碰巧而已。由当y=-；时，/有最大值，这步推理是错误的，没有考虑 y 到的取值范围。事实上，由于点(x,y)在椭圆上，所以有-bW yW/?,因此在求小 的最大值时，应分类讨论。即：若则当y=-6 时，力(从而4)有最大值。于是(J7)2=3 +3)2,从而解得匕=6一 3 与6 2V 2+2A/8-1=-1+672.sin x cos xo o错误分析 在解法1 中，y=16的充要条件是=L=V 且|sin2x|=Lsin-x cos x即|fgx|=g且 Isin x l.这是自相矛盾的。：.ym in丰16.在解法2 中，卜=-1 +6五的充要条件是七=sin2x且一=cos2 x,即sin2x=V5,cos?x=2后，这是不可能的。sin x cos x正确解法 1 y=2esc2 +8sec2 x=2(l+c/g2x)+8(l+rg2x)=10+2(c/g，+4%?x)W+2-2ylctg2x-4tg2x=18.其中,当 cfg2%=4fg2x,即cfg2%=2时，y=1 8.ymj n=18.正 确 解 法 2 取正常数出,易得y=(2F&sin 2 x)+(+k cos2 x)-ksin x cos xN 2 疡+2 麻-A=6 叵-k.其中取“=”的充要条件是,X 1-二女 sin2 x且 =Zccos2 x,Wfltg2x=一 且 =18.sin x cos x 2因此，当 次=；时，y=6-y2k-k =18,/.ymin=18.第四讲数学思维的开拓性一、概述数学思维开拓性指的是对一个问题能从多方面考虑；对一个对象能从多种角度观察；对一个题目能想出多种不同的解法，即一题多解。“数学是一个有机的整体，它的各个部分之间存在概念的亲缘关系。我们在学习每一分支时，注意了横向联系，把亲缘关系结成一张网，就可覆盖全部内容,使之融会贯通”，这里所说的横向联系，主要是靠一题多解来完成的。通过用不同的方法解决同一道数学题，既可以开拓解题思路，巩固所学知识；又可激发学习数学的兴趣和积极性，达到开发潜能，发展智力，提高能力的目的。从而培养创新精神和创造能力。在一题多解的训练中，我们要密切注意每种解法的特点，善于发现解题规律,从中发现最有意义的简捷解法。数学思维的开拓性主要体现在：(1)一题的多种解法例如 已知复数z 满足I Z 1=1,求 的 最 大 值。我们可以考虑用下面几种方法来解决：运用复数的代数形式；运用复数的三角形式；运用复数的几何意义；运用复数模的性质(三角不等式)IIz,|-|z21|z,-z2|z,|+|z21；运用复数的模与共朝复数的关系|Z=Z ；(数形结合)运用复数方程表示的几何图形，转化为两圆Iz|=l与|z-i|=r有公共点时，/的最大值。(2)一题的多种解释例如，函数式y=gax2可以有以下几种解释：可以看成自由落体公式s=gg/.可以看成动能公式E=-m v2.2可以看成热量公式Q=；R.又 如“1”这个数字，它可以根据具体情况变成各种形式，使解题变得简捷。1 可以变换为:loga a,sin2 x+cos2 x,(loga/?)-(log,a),sec2 x-tg2x,等X等。1.思维训练实例伊 1 已 次 口 x2+y2=ax+by +x+)广)-(ax+by)=(5 2 -2ax+x2)+(b2-2by+y2)1 ,=-(a-x)-+(/?-y)-0,所以 ax+hy 1.分 析 2运用分析法，从所需证明的不等式出发，运用已知的条件、定理和性质等，得出正确的结论。从而证明原结论正确。分析法其本质就是寻找命题成立的充分条件。因此，证明过程必须步步可逆，并注意书写规范。证 法 2 要证ax+by 0,即因为即因为最后的不等式成立,所以只需证分 析 3运用综合法（综合运用不等式的有关性质以及重要公式、定 理（主要是平均值不等式）进行推理、运算，从而达到证明需求证的不等式成立的方法）2 2 2 7 2 2 1 2 2a1+X1.,/r +yZ.a+xl b+,证法 3.*ax-.by-:J.ax-by-1-:=1.2 2 2 2即 ax+by 1.分析4三角换元法：由于已知条件为两数平方和等于1 的形式，符合三角函数同角关系中的平方关系条件，具有进行三角代换的可能，从而可以把原不等式中的代数运算关系转化为三角函数运算关系，给证明带来方便。证法 4,/a2+b2=1,X 2+）2=,.可设a=sin a,。=cos a.x=sin,y=cos/?ax+by=sin a sin +cos a cos B=cos(a 4)ax+by K 1.Jo?+b?简评 五种证法都是具有代表性的基本方法，也都是应该掌握的重要方法。除了证法4、证 法 5的方法有适应条件的限制这种局限外，前三种证法都是好方法。可在具体应用过程中，根据题目的变化的需要适当进行选择。例 2 如果(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,求证：x、y、z 成等差数列。分 析 1 要证x、y、z ,必须有X-y =y -z 成立才行。此条件应从已知条件中得出。故此得到直接的想法是展开已知条件去寻找转换。证法 1 :(z-x)2 -4(x-y)(y-z)=o,/.Z2-2xz +x2-4 x y +4xz +4y2-4yz=0,(x +z)2 -2 X 2 y(x +z)+(2 y)2 =o,(x+z-2y)2=0,x+z-2y=0,故 x-y=y-z ,x、y、z 成等差数列。分析2 由于已知条件具有x-y,y-z,Z-x轮换对称特点，此特点的充分利用就是以换元去减少原式中的字母，从而给转换运算带来便利。证法 2 1 殳 x -y =a,y -z =则 x -z =a +/?.于是，已知条件可化为：(a+h)2-4ah=0=(a-h)2=0=a=b n x-y=y-z.所以x、y、z 成等差数列。分 析 3 已知条件呈现二次方程判别式 =/4 a c 的结构特点引人注目，提供了构造一个适合上述条件的二次方程的求解的试探的机会。证 法 3 当 犬 一 y =0 时，由已知条件知z -x =0,;.x =y =z,即x、y、z 成等差数列。当 x-y#0 时，关于 的一元二次方程：(x-y)t2+(z-x)t+(y-z)=0,其判别式A =(z-4(犬-y)。-2)=0,故方程有等根，显然f =1为方程的一个根，从而方程的两根均为1,由韦达定理知-r2=-=1 nx-y=y-z.即 x、y、z 成等差数列。简评：证 法 1 是常用方法，略嫌呆板，但稳妥可靠。证 法 2简单明了，是最好的解法，其换元的技巧有较大的参考价值。证 法 3引入辅助方程的方法，技巧性强，给人以新鲜的感受和启发。例3已知x+y =l,求/+y 2的最小值。分 析1虽然所求函数的结构式具有两个字母X、y,但已知条件恰有x、y的关系式，可用代入法消掉一个字母，从而转换为普通的二次函数求最值问题。解法 1 ,/x+y =l,y =1 -x.设 z =x?+y 2,贝I z =/+(1 -x)2=2 x2-2 x 4-1.二次项系数为2 0,故z有最小值。当尤=-=，时,2x2 2z最 小 值4x2x1 (2)24x22/./+y 2的最小值为;.分 析2 已知的一次式x +y =l两边平方后与所求的二次式/+尸有密切关联，于是所求的最小值可由等式转换成不等式而求得。解法 2 ,/x +y =1,;.(x +=1,即 X?+y?=1-2 x y.,/2xy l-(x2+y2).即/+y?N 当且仅当x =y =g时取等号。,一+y?的最小值为g.分 析3配方法是解决求最值问题的一种常用手段，利用已知条件结合所求式子，配方后得两个实数平方和的形式，从而达到求最值的目的。解 法3设z =x?+y2.x+y =1,z=x2+y2-x-y+-+(y -；)2 +g 2当 工=；时，z最 小=g.即/+y 2的最小值为;.分析4因为已知条件和所求函数式都具有解析几何常见方程的特点，故可得到用解析法求解的启发。解 法4如图4-2-2,x +y =1表示直线/,/+、2表示原点到直线/上的点P(x,y)的距离的平方。显然其中以原点到直线/的距离最短。图 4-2-2此时，d =+”=，即(卜+心)最产、所以x2+y2的最小值为注 如果设/+y?=z,则问题还可转化为直线x +y =1 与圆X?+y 2 =%有交点时，半径V 7的最小值。简评 几种解法都有特点和代表性。解 法 1 是基本方法，解 法 2、3、4都紧紧地抓住题设条件的特点，与相关知识联系起来，所以具有灵巧简捷的优点，特别是解法4,形象直观，值得效仿。例 4 设 z R,J e R.求证：|z|=L1 +z分 析1 由已知条件 为实数这一特点，可提供设实系数二次方程的可能，在该二次方程有两个虚根的条件下，它们是一对共柄虚根，运用韦达定理可以探求证题途径。证 法 1 设=v=a(a e R),当。=0时，可得z =0 与z eR 条件不合。1 +za#0.于是有 az2-z+a=0.J Z e R,该方程有一对共疑虚根，设为Z 1,Z 2，于是Z =3 二 I Z =|Z 2.又由韦达定理知 Z 1 -z2=1,；.Z-Z =Z2-z2=|Z|2=|Z2/=1.二 I z =1.a分 析 2 由于实数的共粗复数仍然是这个实数，利用这一关系可以建立复数方程，注意到4=1 Z/这一重要性质，即可求出|z|的值。证 法 2 设 一J-=a(a w R),当a =0 时，可得z =0 与z 任R 条件不合，二a工0.1 +z则 有 了=_-.-a=a,=1+z2 1 +z2 1 +z2即 z(l +z2)=z(l +z2)/.Z +z(z z)=z +z(z -z).但 z-z =|z|2,z +z-|z|2=z +z-|z I2,(z-z)(l-I z|2)=0.而 z-zR,，|z|2=l.即|z|=l.分 析 3 因为实数的倒数仍为实数，若对原式取倒数，可变换化简为易于进行运算的形式。再运用共机复数的性质，建立复数方程，具有更加简捷的特点。证法 3 尺即 z+L =z+-N e R.1 +z z z z-z从而必有 z.N =L /.|z|=1.简评 设出复数的代数形式或三角形式，代人已知条件化简求证，一般也能够证明，它是解决复数问题的基本方法。但这些方法通常运算量大，较繁。现在的三种证法都应用复数的性质去证，技巧性较强，思路都建立在方程的观点上，这是需要体会的关键之处。证 法 3 利用倒数的变换，十分巧妙是最好的方法。例 5 由圆/+y 2=9外一点P(5,1 2)引圆的割线交圆于A、8两点，求弦A 8的中点M的轨迹方程。分 析 1 (直接法)根据题设条件列出几何等式，运用解析几何基本公式转化为代数等式，从而求出曲线方程。这里考虑在圆中有关弦中点的一些性质，圆心和弦中点的连线垂直于弦，可得下面解法。解 法 1 如图4-2-3,设弦A B的中点M 的坐标为M(x,y),连接O P、0 M ,则0M，4 8 ,在k O M P中，由两点间的距离公式和勾股定理有x2+y2+(x-5)2+(y-1 2)2=1 6 9.整理，得/+/一 5 x 1 2 y=0.其中一 3 K xK 3.分 析 2 (定义法)根据题设条件，判断并确定轨迹的曲线类型，运用待定系数法求出曲线方程。解 法 2 因为”是 A8的中点，所以OM _ L A B,所以点M的轨迹是以|。尸|为直径的圆，圆心为g,6),半 径 为 也 =g,.该圆的方程为：2 2U-|)2+(-6)2 =(y)2化简，得 炉+/一 5%一1 2 丁 =0.其中一 3 4 x4 3.分 析 3 (交轨法)将问题转化为求两直线的交点轨迹问题。因为动点M 可看 作 直 线 与 割 线 PM的交点，而由于它们的垂直关系，从而获得解法。解 法 3 设 过 尸 点 的 割 线 的 斜 率 为 A,则 过P点 的 割 线 方 程 为：y-12=k(x-5).OM，AB且过原点，二 OM的 方 程 为 y=-,乂这两条直线的交点就是M 点 的