2020-2021学年河北省保定高一（下）月考数学试卷（5月份）（附答案详解）.pdf

2020-2021学年河北省保定二十八中高一（下）月考数学试 卷（5 月份）一、单 选 题（本大题共8小题，共40.0分）1.设复数z满足z（3 2i）=13i,则3=（）A.-2-3i B.-2+3i C.2-3i D.2+3i2.已知空间向量W =（-1,0,3）,b =（3,-2,x）.若五则实数%的值是（）A.-1 B.0 C.1 D.23.某中学春季运动会上，12位参加跳高半决赛同学的成绩各不相同，按成绩从高到低取前6位进入决赛.如果小明知道了自己的成绩后，则他可根据其他11位同学成绩的哪个数据判断自己能否进入决赛（）A.中位数 B.平均数 C.极差 D.方差4.从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A.至少有一个黑球与都是黑球 B.至少有一个黑球与至少一个红球C.至少有一个黑球与都是红球 D.恰好有一个黑球与都是红球5 .唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度）如图2所示，设酒杯上部分（圆柱）的体积为匕，下部分（半球）的 体 积 为%,若 匕=2彩，则半球的半径与圆柱的高之比为（）A.4：3 B.3：4 C.1：2 D.5：36 .已知而、而 是非零向量且满足（荏一 2万）1荏，（前一 2荏）1左，贝I J A 4B C的形状是（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形7 .如图，平行六面体4B C 0 占/好/中，A C与B D交于点M,设Z B =下,则=（）RA.-a-b-c2 2B.-a +-h c2 2C.-a-b-c2 2D.-a +-b-c2 28.平面a 截一个三棱锥，如果截面是梯形，那么平面a 必定和这个三棱锥的（）A.一个侧面平行 B.底面平行C.仅一条侧棱平行 D.某两条相对的棱都平行二、多 选 题（本大题共4 小题，共 20.0分）9.为了普及环保知识，增强环保意识，某学校分别从两个班各抽取7位同学分成甲、A.甲、乙两组成绩的平均分相等 B.甲、乙两组成绩的中位数相等C.甲、乙两组成绩的极差相等 D.甲组成绩的方差小于乙组成绩的方差10.已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1,2,3,4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1,2,3,4,5.现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件4=抽取的两个小球标号之和大于5 ，事件B=抽取的两个小球标号之积大于8”，则()A.从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为巳B.事件4 发生的概率为3C.事件An B发生的概率为|D.事件4 UB发生的概率为1 1.某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了 100名学生，他们的身高都处在A，B,C,D,E五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则下面叙述正确的是（）第2页，共18页女生身高情况直方图男生身高情况扇形图频 数 从A.样本中女生人数多于男生人数B.样本中B层人数最多C.样本中E层次男生人数为6人D.样本中。层次男生人数多于女生人数12.如图，在正方体ABC。-AIBIG A 中，点E是棱CG上的一个动点，给出以下结论，其中正确的有（）A.4。与BO】所成的角为45B.4历平面8CQC.平面ACD1 _L 平面当。山D.对于任意的点E,三棱锥&-BED1的体积均不变三、填 空 题（本大题共4 小题，共 20.0分）13.已知复数z=（m+4）+（m-2）i在复平面内对应的点在第三象限，则实数m 的取值范围是.14.某健康协会从某地区睡前看手机的居民中随机选取了270人进行调查，得到如右图所示的频率分布直方图，则可以估计睡前看手机在40 50分 钟 的 人 数 为.15.甲、乙两队进行篮球决赛，采取三场二胜制（当一队赢得二场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立，则甲队以2：1获 胜 的 概 率 是.1 6 .在三棱柱A B C-4 1 8 1 c l 中，。为侧棱CCi 的中点，从该三棱柱的九条棱中随机选取两条，则 这 两 条 棱 所 在 直 线 至 少 有 一 条 与 直 线 异 面 的 概 率 是.四、解答题(本大题共6小题，共 7 0.()分)1 7 .在棱长是2 的正方体4 B C O-4当 口/中，E,F,G 分别为4 8,4 C,C。的中点.应用空间向量方法求解下列问题.(1)求E F 的长.(2)求异面直线E F 与G Ci 所成角的余弦值.1 8 .为了 了解我市参加2 0 1 8 年全国高中数学联赛的学生考试结果情况，从中选取6 0 名同学将其成绩(百分制，均为正数)分成 4 0,5 0),5 0,6 0),6 0,7 0),7 0,8 0),8 0,9 0),9 0,1 0 0)六组后，得到部分频率分布直方图(如图)，观察图形，回答下列问题：(1)求分数在 7 0,8 0)内的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的众数、均值；(3)根据评奖规则，排名靠前1 0%的同学可以获奖，请你估计获奖的同学至少需要所少分？1 9 .在炉+y2ac=a2+c2 则-1 x 3+0 x(-2)+3x=0,解得x=1.故选：C.根据日1 方时，五石=0,列方程求出x 的值.本题考查了空间向量的坐标运算与垂直应用问题，是基础题.3.【答案】A【解析】解：12位同学参赛，按成绩从高到低取前6位进入决赛，正好一半，因此可根据中位数判断小明是否能进入决赛.故选：A.把已知12个数据从小到大依次排列，由此能求出数据的中位数即可.本题考查中位数、众数、平均数的应用，属于基础题.4.【答案】D【解析】解：对于选项4事件”至少有一个 黑 球“包含事件”都是黑球“，故错误;对于选项8,事件”至少有一个黑球“与事件”至少一个红球“都有事件”红球、黑球各一个“，故错误；对于选项C,事件”至少有一个黑球”与事件”都是红球“是对立事件，故错误；对于选项。，事件”恰好有一个黑球”与事件”都是红球“是互斥而不对立的事件，故正确；故选：D.由题意对事件依次判断关系即可.本题考查了互斥事件与对立事件的定义，属于基础题.5.【答案】B【解析】解：设圆柱的高为无，半径为r,则圆柱的体积为匕=兀一九，而半球的体积为%=x l=,4323因为匕=2%，所以兀/无=竽，所以=.故选：B.设圆柱的高为八，半径为r,分别求出圆柱和半球的体积，即可得到答案.本题考查了圆柱和半球的体积计算，属于基础题.6.【答案】C【解析】解：.,南、就是非零向量且满足（荏-2正）1而，（AC-2 A B）1ACr （AB-2AC）-AB=（AC-2AB）-AC=0：.AB 2=AC 2=2AB AC|cos48AC，|四|=|旅 I，BAC=60.ABC是等边三角形，故选：C.由 荏、而是非零向量且满足（荏-2前）1.荏，（AC-2 A B）L A C，利用向量垂直与数量积的关系可得（而一 2亚）荏=（AC-2 A B）-AC=0,进而得到|四 产=|2=2|AB|AC|coszfi/4C.即可得出.本题考查了向量垂直与数量积的关系、等边三角形的判定方法，属于基础题.7.【答案】D【解析】【分析】本题考查了空间向量的线性运算，考查了计算能力，属于基础题.由于瓦羽=瓦 豆+丽，丽=（前,前=瓦？+近，即可得出结果.第8页，共18页【解 答】解：瓦77=瓦方+的,询=丽，丽=瓦?+正，1 _ =-AA+-A B +AD=c-a+-b.2 2故 选D.8.【答 案】C【解 析】解：如 图，平面截一个三棱锥，得到的截面是梯形，由图形知平面a必定和这个三棱锥的一条棱平行，且只能和一条棱平行.故 选：C.利用空间中线线、线 面、面面间的位置关系求解.本题考查命题真假的判断，是基础题,9.【答 案】BCD【解 析】【分 析】本题考查统计知识的应用，主要考查平均数、中位数、极差以及方差的理解和应用，解题的关键是正确读取统计图中的数据信息、，属于基础题.利用统计图中的数据信息，分别求解甲、乙两组成绩的平均分、中位数、极差等，即可判断各选项的正误.【解 答】解：因为x j=-x (4 4-5+6+6+7+7+8)=,14R,x乙=,x(5 +5+5+6+7+8+9)=,则%用 V x乙,所以甲组成绩的平均分小于乙组成绩的平均分，故 4 错误;甲、乙两组成绩的中位数均为6,故B正确；甲、乙两组成绩的极差均为4,故C正确；甲组的成绩比乙组的更加稳定，所以甲组成绩的方差小于乙组成绩的方程，故。正确.故选：BCD.1 0.【答案】BD【解析】解：对于4甲罐中有四个相同的小球，标号为1,2,3,4,从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为P=；,故A错误；对于B,从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，共有20个基本事件，分别为：11,12,13,14,15,21,22,23,24,25,31,32,33,34,35,41,42,43,44,45,事件4=抽取的两个小球标号之和大于5”，则事件4包含的基本事件有10个，分别为15,24,25,33,34,35,42,44,45,P(4)=即=%故B正确；对于C，事件8=抽取的两个小球标号之积大于8”，事件4 n B包含的基本事件有：25,33,34,35,43,44,4 5,共7个，二 P Q 4 n B)=*故 C错误；对于0,事件4 U B包含的基本事件有：15,24,25,33,34,35,42,43,44,45,共10个，P Q 4 u B)=芫=a 故。正确.故选：BD.列出所有的基本事件，能求出所求事件的概率.本题考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.11.【答案】ABC【解析】解：由女生频数直方图可知女生人数为：9+24+15+9+3=6 0,则男生人数为100-6 0 =4 0,则A对;由图可知：女生人数中8层的人最多，男生人数中B层的人最多，则总人数中B层的人最多，B对；可求出E层为(1-0.1-0.3-0.25-0.2)x 40=6人，C对；第 10页，共 18页样本中。层次男生人数为4 0 x 2 0%=8,样本中。层次女生人数为9,D 错,故选：ABC.根据频率直方图，扇形图求出选项中的数，进行比较.本题考查频率直方图，扇形图，考查学生对图表的整合能力，属于基础题.1 2.【答案】BCD【解析】解：(1)连接.-AD/A1D1,二4 B D 出 为 与 B O 1 所成角，设正方体棱长为1,贝 i J t an/B C M i =黑=企，N B D 1 4 片 4 5,故 A 错误；(2).平面4。遇1 平面B C G B i，AD u 平面4 0。送1，二4。平面BCG%,即4 0 平面BCG，故 B正确；(3)连接BC,则A C 1 B D,叫 1 平面力B C D,二 DDi 1 AC,又BD D DD1=D,AC _ L 平面8 叫，又A C u 平面4 C 0 二平面A C D i _ L 平面当么。，故 C正确；(4)设正方体棱长为 1,则VB LBE。！=D-i-BBiE=SABBIE-G=三*5*1*1*1=/故三棱锥B l -B E D 1 的体积均不变，故 D正确.故选：BCD.计算N B D/i 即可判断4根据平面4。送1 平面B C G B i 即可判断B,根据A C 1 平面当外。即可判断C,计算三棱锥勺-BE%的体积即可判断D.本题考查了线面平行，面面垂直的判定和性质，考查异面直线所成的角，属于中档题.1 3.【答案】(-8,-4)【解析】解：.复数Z =(m +4)+(m -2)i 在复平面内对应的点在第三象限,(m 4-4 0I m 2 V o解得?n -4,故实数M的取值范围为(一 8,-4).故答案为：(-8,-4).根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解.本题主要考查复数的几何意义，属于基础题.14.【答案】81【解析】解：根据频率分布直方图知，睡前看手机在4050分钟的频率为1-(0.01+0.037+0.023)x 10=0.3,所以，估计睡前看手机在4050分钟的人数为270 x 0.3=81.故答案为：81.根据频率分布直方图知，利 用 频 率=翟 上 的 关 系，即可算出正确的结果.怦 不 合 里本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的应用问题，是基础题目.15.【答案】0.3【解析】解：甲队的主客场安排依次为“主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立，甲队以2：1获胜的是指甲队前两场比赛中一胜一负，第三场比赛甲胜，则甲队以2：1获胜的概率是：P=0.6 x 0.5 x 0.6+0.4 x 0.5 x 0.6=0.3.故答案为：0.3.甲队以2：1获胜的是指甲队前两场比赛中一胜一负，第三场比赛甲胜，由此能求出甲队以2：1获胜的概率.本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.16.【答案】葛1O【解析】解：先确定从三棱柱的九条棱随机选取两条的取法数为n=Cl=36,如图三棱锥ABC 的九条棱中与异面的直线有AC,AAt,4心，第 12页，共 18页 三棱柱的九条棱中随机取两条，两条棱所在直线至少有一条与直线B。异面的取法数为m=C 4 +C 4 C 5 =2 6,.由 古典概型概率公式可得事件两条棱所在直线至少有一条与直线B D异面的概率为P =m _ 26 _ 13n 36 18,故答案为：W先确定从三棱柱的九条棱随机选取两条的取法数为量，再求出三棱柱的九条棱中随机取两条，两条棱所在直线至少有一条与直线8。异面的取法数为巾=废+盘废,由古典概型概率公式可得事件两条棱所在直线至少有一条与直线B D异面的概率.本题考查古典概型、排列组合、三棱柱结构特征、异面直线的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.1 7.【答案】解：（1）以4为坐标原点，AB,AD,为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则4(0,0,0),E(l,0,0),C(2,2,0),0(0,2,0),G(l,2,0),4式0,0,2),6(1,1,1),G(2,2,2),则 前=(0,1,1)，：.EF=V O2+I2+I2=V 2，EF=V 2.(2)鬲=(1,0,2)，前=(0,1,1)，cos=鬲E f-GC两1=2两=y/T=6 异面直线E F 与G C i 所成角的余弦值为唱.【解析】(1)以4 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求出E F 的长即可.(2)由直线方向向量的夹角余弦，求出异面直线E F 与GQ所成角的余弦值.本题考查了正方体的结构特征，向量法求长度与异面直线所成的角，考查运算求解能力,是基础题.1 8.【答案】解：(1)分数在 7 0,8 0)内的频率为：1 -(0.0 1 0 +0.0 1 5 +0.0 2 0 +0.0 2 5 +(2)根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的众数为：罟=8 0,均值为：4 5 x 0.0 1 X 1 0 +5 5 X 0.0 1 5 X 1 0 +6 5 X 0.0 2 0 X 1 0 +7 5 X 0.0 2 5 X 1 0 +8 5 X0.0 2 5 x 1 0 +9 5 x 0.0 0 5 x 1 0 =7 0.5.(3)根据评奖规则，排名靠前1 0%的同学可以获奖，由 9 0,1 0 0)的频率为0.0 0 5 x 1 0 =0.0 5,8 0,9 0)的频率为0.0 2 5 x 1 0 =0.2 5,.估计获奖的同学至少需要的分数为：9 0 -若 箸 x 1 0 =8 8(分).【解析】本题考查样本频数众数、均值的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题.(1)先求出分数在 7 0,8 0)内的频率，由此能求出结果，并补全频率分布直方图.(2)根据频率分布直方图，能估计本次考试成绩的众数和平均数.(3)根据评奖规则，排名靠前1 0%的同学可以获奖，9 0,1 0 0)的频率为0.0 5,8 0,9 0)的频率为0.2 5,由此能估计获奖的同学至少需要的分数.第 14页，共 18页1 9.【答案】解：(1)若选，由余弦定理得，cosB=旦=乌因为B 6(0,兀)，所以B=/若选，由正弦定理知，啖-7 =2 R,sinB sinC因为QCOSB=bsinA,所以si nA cosB =sinBsinA,又4 e(0,兀)，所以si m 4 0,所以cosB =sinB,又B W (0,7 r),所以t cm B =1,即B=(.若选，由si nB 4-cosB=&得，&si n(B +)=V 2,所以si n(B+=l,又B W(0,7 i),所以乎)，所以B+1 =3 解得8=I4 2 4(2)由正弦定理得，目=，sinA sinB又4 =p /)=V 2,8=3，所以。=智=孝=技C=7 Tf B=*SinB v2 122匕 匚 l、I C .5 7 T /J T *7 T、.T C T C ,Tl.T C加以 s i n C =s i n =s i n(-+一)=s i n-c o s -4-c o s-s i n -=-，12 k4 67 4 6 4 6 4所以SAABC=|absinC=g 义 V3 x V2 x 呼：=三色.所以 A B C 的面积为到I4【解析】本题考查解三角形与三角恒等变换的综合应用，熟练掌握正弦定理、余弦定理、正弦面积公式与正弦的两角和公式是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力,属于中档题.(1)若选，由余弦定理即可得解；若选，利用正弦定理将将a c o s B =b s i n A 中的边化为角，可求得t a n B 的值，从而得解；若选，结合辅助角公式可推出s i n(8+=1,再由B(0,7 r),即可得解；(2)由正弦定理求出a 的值，由正弦的两角和公式求出s i n C,根据S =：a b s 讥C,即可得解.2 0 .【答案】解：(I)由已知，甲、乙、丙三所学校的教师志愿者人数之比为3：2：1由于采用分层抽样的方法从中抽取6 名教师，因此应从甲、乙、丙三所学校的教师志愿者中分别抽取3 人，2 人，1 人.(H)(团)从抽出的6 名教师中随机抽取2 名教师的所有可能结果为:A,B,4 C,4D,A.E,A.F,B.C,B.D,B.E,B.F,C.D,C.E,C,F,D.E,D,尸,E,尸,共1 5 种.(i i)由(I),不妨设抽出的6 名教师中，来自甲学校的是4,B,C,来自乙学校的是D,E,来自丙学校的是F,则从抽出的6 名教师中随机抽取的2 名教师来自同一学校的所有可能结果为 4 B,4 C,B.C,D,E ,共4 种.所以，事件M发生的概率P(M)=【解析】本题考查古典概型及其概率公式，涉及分层抽样方法，注意列举事件的可能结果要做到不重不漏.(I)由已知，甲、乙、丙三所学校的教师志愿者人数之比为3：2：1,进而计算可得相应的人数；(I I)(i)列举随机抽取2 名教师志愿者的所有结果共1 5 种；(i i)随机抽取的2 名教师来自同一学校的所有可能结果为 4,8,A.C,B,C D,E),共4 种，由概率公式可得.2 1 .【答案】证明：如图，设4 C 与B D 的交点为。，连接。凡/0 E u 平面力E C,P B C 平面A E C,济 N/P B 平面 4 E C；(2)证明：P 4 _ L 平面A B C D,二 P 4 J.B D,底面4 B C C 为菱形，BD 1AC,又P 4 n 4 C =A,二 B D _ L 平面P A C,而B D u 平面P B D,.平面P A C _ L 平面P B C；(3)解：:O为4 c 的中点,V PBD A-PBD PA=AB=2,/-ABC=第16页，共18页 VA_PBD=VP_ABD=ix 1 x 2 x 2 x sinl20 x 2=当 三棱锥C 一 PBD的体积为笆.3【解析】(1)设AC与BD的交点为。，连接0 E,由三角形中位线定理可得。EP B,再由直线与平面平行的判定可得PB 平面4EC；(2)由P4 1平面4B C D,得P A 1 B D,再由底面4BC0为菱形，得B C J.4 C,由直线与平面垂直的判定可得BD，平面P A C,进一步得到平面PAC _ L 平面PBD；(3)由。为4C的中点，得VC-PBD=VA-PBD，再由已知结合棱锥体积公式求解.本题考查直线与平面平行的判定，考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题.22.【答案】解：(I)证明：因为P4_L4B,PA 1 BC,而AB C BC=B,可得P4 _ L 平面ABC,又BD u 平面4 B C,所以24 I B。；(II)证明：由BDJLP4又AABC为等腰直角三角形，可得BDJ.4C,而P4n4C=A,所以BDJ平面PAC,而BO u平面P B D,可得平面BOE J_平面P4C；(皿)由24平面8。后，PAu平面PAC,平面PAC n平面DEB=D E,所以P4DE,则 OE=PA=V3,由于PA _ L 平面4 B C,可得DE _ L 平面ABC,所以4E8。为直线EB与平面4BC所成角.因为BD=之4。=1,所以 tan/EBC=V3,BD所以NEBD=60。.即直线EB与平面力BC所成角为60。.【解析】(I)由线面垂直的判定和性质，可得证明；(11)首先推得8。_ 1平面24。，由面面垂直的判定定理，可得证明;(HI)由线面平行的性质定理推得PAD E,可得DE=遮，由线面角的定义可得4EB。为直线E8与平面ABC所成角，计算可得所求值.本题考查空间中线线、线面和面面的位置关系，主要是平行和垂直的判定和性质，以及线面角的求法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题.第1 8页，共18页