2019年数学高考真题卷--全国Ⅰ卷理数（含答案解析）.pdf

2019年普通高等学校招生全国统一考试全国I 卷理科数学一、选择题:本题共12 小题,每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合心 x|Ya 2 ,*x|V-60,则 M l 2A.x-4 x 2 B.1-4r-2 C.UI -2 x 2 D.x2 x 32.设复数z满足|z-i 1 =1,z 在复平面内对应的点为(x,y),则A.(户1尸+/=1 B.(x-l)2+y =1C.x+(y-l)2 D.x+(j+l)M3.己知 a-l o g20.2,6=2 ：c R.20-3,贝 UA.a b c B.a c bC.c ab D.b c a4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是合（亨 Q 0.618,称为黄金分割比例）,著 名 的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是写.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 c m,头顶至脖子下端的长度为2 6 c m,则其身高可能是A.165 c mB.175 c mC.185 c m D.190 c m5函数*x）若 言 在 一 汨 的图象大致为CD6.我国古代典籍 周易用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6 个爻组成,爻分为阳爻“”和阴爻 _ _ _ _ _”如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3 个阳爻的概率是一 一7.已知非零向量a 6 满足|切 引，且(5)b,则a与b的夹角为A.-B.-C.D.6 3 3 68.如图是求 丁的程序框图，图中空白框中应填入2+1BfD.4=1 2A9.记 9 为等差数列 a 的前项和.己知9 小念书,则A.an=2n-5 B.书 TOC.Sf l=2n -8n D.Snn 2n210.已知椭圆。的焦点为(T,0),K(l,0),过 K的直线与。交于4 8 两点.若&/之出8/,/=/防/,则。的方程为A.+/B.土+匕口2 3 2y2 v2 x2 v2C.一 十 1 D.+14 3 5 41 1 .关于函数f(x)F i n|x|*|s i n 不|有下述四个结论：f(x)是偶函数f(x)在区间(3兀)单调递增F(x)在-n,n 有 4个零点/(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是A.B.C.D.1 2 .已知三棱锥?力外的四个顶点在球。的球面上,PA=PB=PC,是边长为2的正三角形,E,尸分别是必，然的中点，/如 却 0 ,则球。的体积为A.8y6 n B.4 6 n C.2y/6 n D.V 6 ”二、填空题:本题共4小题,每小题5分，共 2 0 分.1 3 .曲线y W (f+x)e 在点(0,0)处 的 切 线 方 程 为.1 4 .记 S,为等比数列 a j 的前n项 和.若al =3,则=.1 5 .甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4：1获 胜 的 概 率 是.1 6 .已知双曲线(a X,A X)的左、右焦点分别为凡尻过的直线与。的两条渐近线分别交于A,Ba2 b2两点.若耳7刍瓦踮布 士 则。的离心率为.三、解答题:共7 0 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1 7 2 1 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2 2、2 3 题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共6 0分.1 7 .(1 2 分)4 5 C 的内角 A,B,。的对边分别为 a,b,c,设(s i n 5-s i n C)2=sin A-s i n 8 s i n C.求心(2)若求 s i n C.1 8 .(1 2 分)如图,直四棱柱A BCD-A BCD的底面是菱形,徐 工 A 8 2 NBA DW 0 ,E,M,N分别是BC,BB“4的中点.证 明：物 V 平面GDE;(2)求二面角/T4田的正弦值.19.(12 分)已知抛物线C-.x的焦点为E斜率为|的直线1与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.若 助 为,求/的 方 程;若 族=3而，求20.(12 分)已知函数/V)rin xTn(l+x),f (x)为F(x)的导数，证明:(DF (*)在区间(T,；)存在唯一极大值点；(2)f(x)有且仅有2个零点.21 .(1 2 分)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1 分，乙药得-1 分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1 分，甲药得T 分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为。和,一轮试验中甲药的得分记为X(1)求/的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,8)表 示“甲药的累计得分为，时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则 6=0,Pi-ap i-+b p i+cp(J-1,2,7),其中 a=PX=-),b=PX=Q),c=PX=).假设 a-0.5,-0.8.(i)证明：(h 0,1,2,7)为等比数列；(i i)求,并根据 的值解释这种试验方案的合理性.(二)选考题:共1 0 分.请考生在第22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.选修4 Y:坐标系与参数方程(1 0 分)_ 1 一 斤 为 参 数).以 坐 标 原 点。为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为20 c o s 0 P s i n 0+1 1=0.(1)求。和/的直角坐标方程；求。上的点到/距离的最小值.23 .选修4 T:不等式选讲(1 0 分)己知a,b,c为正数,且满足a 6 c=l .证明：*Z?3*c2;a b c(2)(a%)+(6+c)+(c+a)224.1234567891 01 11 21 31 41 51 6CCBBDABAABCDy=Zx1 210.1 821 .C【考查目标】本题主要考查集合的交运算、解一元二次不等式等，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力,考查的核心素养是数学运算.【解析】通解：g 才|-2 口 3 ,心 川 4 2 ,.：如 =3-2 2 ,故选(：.优解 由题可得AH*|-2 G 3 .：一 3 觌.：-3 由箱应排除A,B;：2 5 钠 ,2.5 切 C可 排除D.故选C.【解题关键】求解此类题的关键:一是化简集合,如本题通过解一元二次不等式,达到化简集合的目的;二是借形解题,有关集合之间的补集、交集、并集问题,需对集合的相关概念有深刻的理解,善于抓住代表元素,通过观察集合之间的关系，借助数轴寻求元素之间的关系，使问题直观准确地得到解决.2 .C【考查目标】本题主要考查复数的模的概念和复数的几何意义，考查考生的化归与转化能力、数形结合能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解析】通 解 在 复 平 面 内 对 应 的 点 为(x,y),.：z 口+y i(x,y e R).：，/z-i/=l,.：/+(尸.：x+(y-l)2=l.故选 C.优解一：/z-i/=l 表示复数z 在复平面内对应的点(x,y)到点(0,1)的距离为1,二步+3-1)2=1.故选(：.优解二 在复平面内，点(1,1)所对应的复数z=l +i 满足/z-i /=1,但点(1,1)不在选项A,D的圆上，.:排除A,D;在复平面内，点(0,2)所对应的复数z 之i 满足在T/=l,但点(0,2)不在选项B 的圆上，.排除B.故选C.3.B【考查目标】本题主要考查对数函数与指数函数的单调性，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解析】：a l o g20.2,c-O.2 -3e (0,1),；.a c c o s 1,乂，.：排除B.故选D.【方法总结】已知函数的解析式判断函数图象的技巧:一是灵活运用函数的性质，常利用函数的单调性、奇偶性来排除错误选项;二是取特殊点,根据函数的解析式,选择特殊点，即可快速排除错误选项,从而得出正确的选项.6.A【考查目标】本题主要考查古典概型、计数原理等知识，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解析】由 6 个爻组成的重卦种数为2 M 4,在所有重卦中随机取一重卦,该重卦恰有3 个阳爻的种数为髭燮2 0.根据古典概型的概率计算公式得,所求概率吟亮.故选A.0 664 16【解题关键】破解此题的关键:一是会利用分步乘法计数原理求样本空间所含的基本事件总数;二是会利用组合数求事件发生所含的基本事件数;三是会利用古典概型的概率计算公式求事件发生的概率.7.B【考查目标】本题主要考查平面向量的垂直、平面向量的夹角，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解析】设 a 与 I的夹角为a,J _ 6,加0,加 .:旬。历/cos又l al b l,.：c o s a,a e （0,灭），.：a 故选 B.【易错警示】本题易错点有两处:一是两向量的夹角公式记错,导致结果错误;二是由三角函数值求角时,把正弦的函数值与余弦的函数值搞混,导致结果错误,从而误选A.8.A【考查目标】本题主要考查含有当型循环结构的程序框图，考查考生的推理论证能力，考查的核心素养是逻辑推理.【解析】/三 ，1 W 2 成立,执行循环体;1 二1 公2,2 W 2 成 立,执 行 循 环 体;kA 3 a,即 2 a=c,所以双曲线的离心率e 至Na 1-(-)2 a优解 因为”窃 4),所以在朋中，/神片/织/,所 以/娴=/诙 8又 互 所 以 力为 A6的中点，所以如笈6,所 以 曲 笈 又/力 二/仇 2&所 以 。的为等边三角形.由K(c,0)可得8(：,因为点6 在直线y x上,所以咚c 上,所以2=V ,所 以 e=+4幺2 2 a 2 a 2 a yl1 7.【考查目标】本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力,考查的核心素养是数学运算.【解题思路】（1）利用正弦定理进行边角互化,再利用余弦定理,即可求出c o s A的值,从而求得A的大小；（2）利用正弦定理，将边化为角，再利用（1）的结论以及两角差的正弦公式与辅助角公式,即可求出s i n C的值.解：（1）由已知得 s i n E*s i n,C-s i/l Fi n&i n C,故由正弦定理得+c-a=b c.由余弦定理得c o s2bc 2因为0。1 8 0,所以月400.（2）由 知 4=1 2 0 由题设及正弦定理得&sin力 A i n（1 2 0-。力s i n C即日，c o s。号s i n C=2 s i n C、可得 c o s （。气0 ）=-由于0 T 1 2 0。，所 以 s i n。）喙 故s i n C s i n（6%0 -6 0 ）r i n （e6 0 ）c o s 6 0 -c o s （G W ）s i n 6 0 _y6-V24【方法总结】求解此类问题的突破口：一是正确分析已知等式中的边角关系,合理地设计“边往角化”还是“角往边化”，活用正弦定理、余弦定理;二是求角的值时应注意三角形对角的取值范围的限制;三是熟记两角和、差的三角公式.1 8.【考查目标】本题主要考查空间直线与平面的平行关系，二面角的正弦值的求解,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.【解题思路】（1）欲 证 平 面CDE,只需在平面G 龙内寻找一条直线与直线W V 平行；（2）建立空间直角坐标系,分别求出平面4 与平面,的法向量,再求出两法向量的夹角的余弦值,最后利用同角三角函数的基本关系，即可求出二面角/HJ4的正弦值.解：连 接RC,M E.因为M,分别为BB“比的中点,所以修台C且叫B C又因为N 为4的中点,所以NDA yD.2由题设知A B U DC,可得BC&4故M E H ND,因此四边形网的为平行四边形，妙9 又 J做 平 面EDG,所以腑平面KDE.由已知可得DEL DA.以为坐标原点，耐的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则4(2,0,0),4 (2,0,4),M l,V 3,2),M l,0,2),中二(0,0,-4),病=(T,V 3,-2),指=(T,0,孙丽=(0,-V 3,0).设m=（x,y,z）为平面A M A的法向量，则m,41 M =0,m,ArA=0.所 以 卜+8 y-2z =0,可 取%（向i,o）.t-4z =0.设n=（p,q,r）为平面几脚的法向量,则伙 丽=0,（n ,A N=0.所以f 吗 q =?可取42,0,_ ）.l-p-2r =0.于是C O S 凡加是:2哼所以二面角力-也/V 的正弦值为粤【易错警示】本题的易错点:一是求平面的法向量出错，应注意点坐标的求解的准确性;二是公式用错，导致结果出错;三是审题不认真,导致失分.1 9.【考查目标】本题主要考查抛物线的标准方程及简单的几何性质、直线与抛物线的位置关系、平面向量共线等知识,考查逻辑推理能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想等,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.【解题思路】（1）设 直 线 上 片 结 合 抛 物 线 的 定 义 得 为+及 将直线/与抛物线。的方程联立,利用根与系数的关系，可得关于 的方程，解方程，求 出，的值,即可得/的方程；（2）利用向量共线，得点4,6 的纵坐标之间的关系,将直线/与抛物线C 的方程联立,利用根与系数的关系得到弘法 2,从而求出点4 8的纵坐标,进而得点A,5的横坐标,最后利用两点间的距离公式求出分.解:设直线/:片1 户心力(汨,y i),8(岛刑).(1)由题设得F(|,0),故 JA F+BFI=x+x?q由题设可得汨+及y 2x +与 可得 9x+1 2(r-l)M r=0,则 X产 及y2=3x 9从 而 士 罗 得 t彳.所 以1的方程为避此.Z o(2)由方书而 可得 二-3%.(3一 +可得/-2y+2 i=0.y2=3%所以4r2.从而-3刑上N,故 72-1,y i r S.代 入。的方程得刘=3,在f.故 I A BI 号.20.【考查目标】本题主要考查导数及其应用、函数的单调性、函数的极值与函数零点个数的证明等，考查考生的推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力等，考查化归与转化思想、分类讨论思想、数形结合思想等，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.解：设 g x)=f (x),则 g(x)=co s小士,g(X)=s i n 二 产当 x G (T,J时,屋()单调递减,而g (0)为,屋号)0,可得屋(x)在(T,三)有唯一零点,设为。.则当xW(-1,。)时，晨(才)刈当*C (。，/)时,g(x)0.所以g(x)在(T,。)单调递增,在(%J 单调递减,故g(x)在(T,三)存在唯一极大值点,即F (x)在(T,y)存在唯一极大值点.(2)f(x)的定义域为(T,+8).(i)当xe(-1,0 时，由知,f (力在(-1,0)单调递增,Wf 70)土 所 以 当 x e(-1,0)时,f (x)0,故/1(X)在(-1,0)单调递减.又A 0)=0,从而x=O是 A x)在(T,0 的唯一零点.(ii)当 x e(o,；时，由知,f (X)在(0,。)单调递增，在(。，J 单调递减，而 f (0)=0,f (J e,所以存在 G(a,使 得 f ()=0,且当x G (0,时,/2 当邙乱三时,/*以)6.故/3 在(0,单调递增，在(月,；)单调递减.又 A O)力,f(J =1 T n (1片)X,所以当x G (0,J 时,/X x)为.从而,f(x)在(0,没有零点.(iii)当 呜 时,F (X)。所以/U)在号，)单调递减.而/(；)X ()0,所以/(*)在号，有唯一零点.(iv)当 x W (北，#8)时,ln(x+l)l,所以 f(x)0)=a +(l-a)(1-),产(4=1)=。(1-/3).所以开的分布列为X T 0 1a B+(-P(1-a)0 a(l-)a)(1-/3)(2)(i)由得 a=Q.4,b=O.5,c=Q.1.因此 P/=0.4p i.i X).5P凶.l p”“故 0.1(p m-p)O.4(P3,T),即Pt-p=A.(p,-p,i).又因为p,9所以 p mr,(匚0,1,2,7)为公比为4,首项为n的等比数列.(ii)由(i)可得6=P-Pi+0+p 6+R二6一加+（0一而*+（口小）48-1二 TPl-由于外二1,故口二;,所以40-1P F（PP）+（R R）+（夕口）_44-li2S7”表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8 时,认为甲 药 更 有 效 的 概 率 为 003 9,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验方案合理.22.【考查目标】本题主要考查椭圆的参数方程与直线的极坐标方程、椭圆上的点到直线的距离最小值等知识，考查数形结合思想、化归与转化思想等，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解题思路】（1）利用平方法,可轻松消去参数,从而得曲线C 的直角坐标方程;利用极坐标公式,即可求出直线1的直角坐标方程.（2）设 出 C 的参数方程,再利用点到直线的距离公式与辅助角公式,以及三角函数的有界性,即可求出。上的点到/的距离的最小值.解：（1）因为TWI,且牙。弓）2=（）2与 晨=1,所以 C 的直角坐标方程为f 母=i（xW-i）.l+tz 2 l+cz（l+tz）z 41的直角坐标方程为2xS y+l l-0.由 可 设 C 的参数方程为；Z募*（a 为参数,-n .。上的点到1的距离为|2cosa+2V3sina+ll|_4cos（a）+11V 7 二 m 当 号 时,4 cos（0）+口取得最小值7,故 C 上的点到1距离的最小值为夕.【解题关键】求解本题的关键：（1）会转化,即把椭圆的参数方程化为直角坐标方程,并把直线的极坐标方程转化为直角坐标方程；会设动点,即利用椭圆的参数方程设出动点坐标；（3）会活用三角函数的有界性,利用辅助角公式与三角函数的有界性,求出最值.23 .【考查目标】本题主要考查利用综合法以及基本不等式证明不等式,考查运算求解能力、推理论证能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.解：（1）因为甘+62ab,S +c2b c,c+if 2ac,且 ab c-l,故有a+t）+c=ab+b c+caab c a b c所 以 工 才历2十 犬.a b c 因 为 为&。为正数且a bc A故有(a+6)3+(b+&3+/3 2 3 y(a+b)3(b+c)3(a+c)3 3(a+6)(6+c)(a+c)2 3 X(2临)X(2V bc)X(2V ac)-24.所以(d+b)+(6+c)+(c+a)N 24.