2019年数学高考真题卷--北京卷文数（含答案解析）.pdf

2019年普通高等学校招生全国统一考试北京卷数学(文)本试卷满分150分.考试时长120分钟.第一部分(选择题 共 40分)一、选择题共8 小题,每小题5 分，共 40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.(1)已知集合 A=x|-lxl,则 AUB=(A)(-l,l)(B)(l,2)(C)(-l,+oo)(D)(l,+oo)(2)已知复数z=2+i,则 z-z=(A)V3(B)V5(C)3(D)5(3)下列函数中,在区间(0,+8)上单调递增的是(A)y=X2(B)y=2x(C)尸 logix(D)产 i2X(4)执行如图所示的程序框图,输出的s 值为(A)l(B)2(C)3(D)4 已 知 双 曲 线%2=1 3 0)的离心率是遍，则a=(A)V6(B)4(C)2(D)|结束)(6)设函数段)=cos x+fesin x(b为常数)，则*=0是 况x)为偶函数”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(7)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足加如其中星等为2 E2恤的星的亮度为日(&=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为(A)IO10-1(B)10.1(C)lg 10.1(D)1010 J(8)如图4,8是半径为2的圆周上的定点，尸为圆周上的动点,/4 P B是锐角，大小为“图中阴影区域的面积的最大值为(A)第+4cosQ/(B)4+4sin(C)2万+2cos 夕 J(D)2/y+2sin i K第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共6小题,每小题5分，共30分.(9)已知向量。=(-4,3)/=(6,;),且 a_L6，则 m=.X -1,则y-x的最小值为，最大值为.4x-3y+1 0,(11)设抛物线V=4 x的焦点为F,准线为/.则以尸为圆心，且与/相切的圆的方程为.(12)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1,那 么 该 几 何 体 的 体 积 为.(13)已知l,m是平面a外的两条不同直线.给出下列三个论断：机 a;/_La.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题:.(14)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元，每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元；在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为.三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.(15)(本小题13分)在 ABC 中,a=3,b-c=2,cos B=-*(I)求b,c的值；(H)求 sin(B+C)的值.(16)(本小题13分)设 小 是等差数列M=-10,且 42+10,6+8,4+6成等比数列.(1)求%的通项公式；(II)记 为 的前项和为S“，求S,的最小值.(17)(本小题12分)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校所有的1 000名学生中随机抽取了 100人，发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5 人,样本中仅使用A 和仅使用 B 的学生的支付金额分布情况如下：支付方式1支付金额不大于2000元大于2 000元(I)估计该校仅使用A27人3 人学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数;(II)从样本仅仅使用B24人1人使 用 B 的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率；(ni)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2 000元.结合(n)的结果，能否认为样本仅使用B 的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化?说明理由.(18)(本小题14分)如图，在四棱锥P-ABCD中,PAL平面ABCC,底面A B C D为菱形,E 为C D的中点.(I)求 证:平 面PAC;(H)若/ABC=60。,求证:平面 平面 PAE;(III)棱 P 8 上是否存在点F,使得C/平面P4E?说明理由.CB(1 9)体 小 题 1 4 分)已知椭圆C：W+1=1 的右焦点为(1,0),且经过点4(0,1).(I )求椭圆C的方程；(I I)设 O为原点，直线/:产 fc v+f(M i D 与椭圆C交于两个不同点尸,。,直线A P 与 X 轴交于点M 直线AQ与 X 轴交于点M若|O M I O N=2,求证:直线/经过定点.(2 0)体 小 题 1 4 分)已知函数危)=，3-3 2+乂(I )求曲线y/x)的斜率为1 的切线方程；(I I)当 x G -2,4 时，求证:x-6#x)力；(I I I)设 F(x)=|/W-(x+a)|(a W R),记 尸(x)在区间-2,4 上的最大值为M(a).当 M(a)最小时，求a的值.1 2C D3 4A B5 6 7 8D C A B9810-3 111（X l）2+/412 1340/14130 15(D C【考查目标】本题主要考查集合的并运算，考查考生对基础知识的掌握情况.【解析】由题意得A U 8=xx-，即A U 8=(-1,+8),故选C.(2)D【考查目标】本题主要考查共规复数的概念和复数的代数运算，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.【解析】通解 因为 z=2+i,所以z=2-i,所以 z z=(2+i)(2-i)=4-2i+2i-i2=4-(-l)=5,故选 D.优解 z,z=|zF=2?+12=5,故选 D.(3)A【考查目标】本题主要考查基函数、指数函数和对数函数的单调性,考查考生的化归与转化能力，考查的核心素养是逻辑推理.【解析】对于幕函数)=格当a 0时在(0,+8)上单调递增，当 a 0,旦 W1),当 0时,)=优 在(-8,+8)上单调递增,而选 项 B 中的函数)，=2可转化为 =(力；因此函数)，=2，在(0,+8)上单调递减,故选项B 不符合题意;对于对数函数y=logM(0,且 存 1),当 0 时,y=logqx在(0,+8)上单调递增，因此选项C 中的函数)=lo g y 在(0,+oo)上单调递减,故选项C 不符合题意.故选A.2(4)B【考查目标】本题主要考查循环结构的程序框图，考查考生的运算求解能力和识图能力，考查的核心素养是数学运算.【解析】执行程序框图,s=2次=2;s=2次=3;s=2,结束循环.输出的s 值为2,故选B.(5)D【考查目标】本题主要考查双曲线的标准方程和离心率，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.【解析】通解 由双曲线方程可知=1,所以c=荷中所以6=且=近,解得“W，故选D.a a 2优 解 由e-圾=1+1力 2=1,得 5=1+三,得4=；,故选D.(6)C【考查目标】本题主要考查充分必要条件的判断，考查考生的逻辑推理能力，考查的核心素养是逻辑推理.【解析】人=0时段)=cosx,显然上)是偶函数，故“=0是，用)是偶函数”的充分条件於)是偶函数，则有X-x)d*)，即 cos(-x)+bsin(-x)=cos x+bsin x,又 cos(-x)=cos x,sin(-x)=-sin x,所以 cos x-ftsin x=cos x+bsin x,则 2bsin尤=0对任意xG R恒成立，得 b=0,因此“b=0”是%x)是偶函数”的必要条件.因此*=0是/x)是偶函数”的充分必要条件，故选C.(7)A【考查目标】本题主要考查指数与对数的运算，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学抽象和数学运算.【解析】根据题意,设太阳的星等与亮度分别为如与后，天狼星的星等与亮度分别为72与田,则由已知条件可知，馆=-26.7,q=-1.45,根据两颗星的星等与亮度满足山今g自，把m与mi的值分别代入上式得，-2 D21.45-(-26.7)=|噜 得 lg|=10.1,所以|=101叫故选 A.【解题关键】解决本题的关键是读懂“其中星等为恤 的星的亮度为&/=1,2)”,其含义为“星等为孙 的星的亮度为E i,星等为，*2 的星的亮度为反”.(8)B【考查目标】本题主要考查三角形面积、扇形面积公式，考查考生的化归与转化能力、数形结合能力和运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象和数学运算.【解析】如图，设点0为圆心，连接P 0,0 A,0 8,A B,在劣弧卷上取一点C,则阴影部分面积为A A B P 和弓形A C B的面积和.因为A,B是圆周上的定点，所以弓形A C B 的面积为定值，故当 A B P的面积最大时，阴影部分面积最大.又A B的长为定值,故当点P为优弧Q 的中点时，点P到弦A B的距离最大，此时 A B P面积最大，即当尸为优弧卷的中点时，阴影部分面积最大.下面计算当尸为优弧的中点时阴影部分的面积.因为N A P B 为锐角，且4P8=,所以N A O 8=2/?,/A O P=/B O P=1 8 0。/,则阴影部分的面积4 s in 夕，故选B.【举一反三】从本题的解析可以得到，无论N A P B 是锐角，还是直角或钝角,都是当P为优弧蓝的中点时，阴影部分面积最大.(9)8【考查目标】本题主要考查向量垂直和向量的数量积，考查考生的化归与转化能力和运算求解能力,考查的核心素养是数学运算.【解析】因 为 所 以。力=-4 x 6+3/=0,解得/n=8.(1 0)-3 1【考查目标】本题主要考查线性规划,考查考生的数形结合能力和运算求解能力，考查的核心素养是直观想象和数学运算.解析作出可行域，如图中阴影部分所示，令 z=y%作出直线y-x=0,并平移，当平移后的直线过点A(2,3)时,Z 取最大值,0，-唠皿=1；当平移后的直线过点C(2,-l)时,Z 取最小值,(y-x)m in=-3.(l l)(x-l)2+/=4【考查目标】本题主要考查抛物线的几何性质和圆的标准方程，考查考生的数形结合能力和运算求解能力,考查的核心素养是直观想象和数学运算.【解析】因为抛物线的标准方程为y 2=4 x,所以焦点尸(1,0),准线/的方程为x=-l,所求的圆以F为圆心，且与准线/相切，故圆的半径r=2,所以圆的方程为(X-1)2+)2=4.(1 2)4 0【考查目标】本题主要考查几何体的三视图和体积,考查考生的空间想象能力和运算求解能力，考查的核心素养是直观想象和数学运算.【解题思路】因为此几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，所以先画出一个棱长为4的正方体，再根据三视图得出几何体的直观图，最后利用正方体的体积减去四棱柱的体积得几何体的体积.GDA【解析】如图,由三视图可知，该几何体为正方体A 3 C Q-A囚GDi去掉四棱柱B i G GF-AQH E所得，其中正方体A B C D-A出 的 体 积 为 64,%IGGFX M H E=(4+2)X2X：X4=24,所以该几何体的体积为6 4-2 4=4 0.(1 3)若/_ L 7 _L a,则次a(或若加火/_1 _火则/L”,答案不唯一)【考查目标】本题主要考查空间中线面的位置关系，考查考生的逻辑推理能力，考查的核心素养是逻辑推理.【解析】其中两个论断作为条件，一个论断作为结论，可组成3个命题.命题(1):若/_!_m,z a,则/J_ a,此命题不成立，可以举一个反例，例如在正方体A B C D-A i B C Q i中,设平面A B C D为平面火4 2和A出分别为/和团,满足条件，但结论不成立.命题(2):若/_!_ 肛/_ L a,则加a,此命题正确.证明:作直线加i肛且与/相交，故/与，川确定一个平面夕,且L L 力,因为/J_ a，所以平面a与平面p相交，设如=,贝1!/_!_，又 相 所 以m/，又m 皿所以m/n,又加在平面 a 外,UQ,故 m/a.命题:若m a,/_ L a,则 此 命 题 正 确.证 明:过 直 线m作一平面，且与平面a相交,交线为，因为小a,所以m/。,因为/JL a,a u a,所以l_La,又 m/。，所以/J 机(1 4)1 3 0 1 5【考查目标】本题主要考查不等式问题、参数的取值范围，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学抽象和数学运算.【解析】顾客一次购买草莓和西瓜各1盒共需6 0+80=14 0(元)，总价达至IJ 12 0元，又 尸10,即顾客少付10元,所以需要支付130元.设顾客买水果的总价为a元，当0%12 0时，则0.8(4-x)K).7 a恒成立，即良恒成立内(1)mi n,又 生12 0,所以(1)mi n=15,所以烂15.综上O O O可知,0W烂15,所以尤的最大值为15.(15)【考查目标】本题主要考查利用正、余弦定理解三角形，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力,考查的核心素养是逻辑推理和数学运算.【解题思路】(I )根据已知条件及余弦定理得到关于c的方程，解出c的值，进而得到匕的值;(I I)根据同角三角函数的基本关系得到s i n 8的值,再根据正弦定理解出s i n A,进而得到s i n(8+0的值.解:(I )由余弦定理ba+-laccos B,得Z 2=32+C2-2X3XCX(-1).因为b-c+2,所以(。+2)2=32+/-2*3、C*(-解得c-5.所以6=7.(I I)由 c o s 得 s i n 8=当由正弦定理得s i n A争n 5考在 ABC 中,5+C=TI-A所以 s i n(B+0=s i nA=苦.(16)【考查目标】本题主要考查等差数列的通项公式和前项和公式及等比数列的性质，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.【解题思路】(I )设等差数列 斯 的公差为a根据等差数列的通项公式把“2,4 3处表示出来,然后利用等比数列的性质得到关于d的方程，解出土进而得到等差数列 斯 的通项公式;(H)易知当=6时5取得最小值，然后利用等差数列的前项和公式即可求解.解：(I )设 斯 的公差为”.因为 ai=-10,所以 a2=-10+d,a3=-10+2 d,O 4=-10+34.因为4 2+10,4 3+8,4 4+6成等比数列，所以(03+8)2=(4 2+10)(04+6).所以(-2+班=成一4+3.解得d=2.所以 an=a+(n-1 )d=2n-12.(H)由(I )知,小=2 -12.所以，当“N 7时,知0;当 W 6时,。胫0.所以,S”的最小值为S 6=-30.(17)【考查目标】本题主要考查用样本估计总体等统计思想及古典概型的知识，考查考生的运算求解能力和阅读理解能力,考查的核心素养是数学建模和数据分析.【解题思路】(I )由题意得调查样本中的学生有 三 类 两种支付方式都不使用的;两种支付方式都使用的;仅使用其中一种支付方式的.结合图表可求解.(I I)从图表可知,在样本中仅使用B支付方式的有2 5人，支付金额大于2 000元的有1人，根据古典概型的概率计算公式即可求解.(I I I)根据小概率事件发生的原理进行决策.解:(I )由题知，样本中仅使用A的学生有2 7+3=3 0人，仅使用B的学生有2 4+1=2 5人，A.B两种支付方式都不使用的学生有5人.故样本中A,B两种支付方式都使用的学生有1 0 0-3 0-2 5-5=4 0人.估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数为盘x l 0 0 0=4 0 0.(II)记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于2 0 0 0元”，则P(。或=0.0 4.(III)记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于2 0 0 0元”.假设样本仅使用B的学生中，本月支付金额大于2 0 0 0元的人数没有变化，则由(H )知,P(E)=0.0 4.答案示例1:可以认为有变化.理由如下：P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付金额大于2 0 0 0元的人数发生了变化.所以可以认为有变化.答案示例2:无法确定有没有变化.理由如下：事件E是随机事件,P(E)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的.所以无法确定有没有变化.(1 8)【考查目标】本题主要考查线面垂直的判定定理和性质定理、面面垂直的判定定理、线面平行的判定定理，考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力，考查的核心素养是逻辑推理和直观想象.【解题思路】(I)由平面A B C R得由底面A B C D为菱形，得8。_ L A C,再根据线面垂直的判定定理即可证明B O _ L平面P A C;(H)先由PAL平面A 8C D,可 得 再 根 据 底 面A B C。为菱形,N ABC=60为CD的中点何得最后由线面垂直的判定定理与面面垂直的判定定理即可得证;(III)易知存在点尸使得C F平面P A E,且点F为P B的中点，再进行证明即可.解:(I )因为P 4 _ L平面A BCD,所以PALBD.接 CF,FG,EG.点,D又因为底面A B C。为菱形，所以BDLAC.所以8O _ L平面PAC.（II）因为 P A _ L平面 A B C Q d E u平面 ABCD,所以 PA1,AE.因为底面A B C。为菱形,/A 8 C=6 0。,且E为C。的中点，所以A E _ L C D所以 4 8_ L A E.所以A E J _平 面PAB.所以平面P A B _ L平面PAE.（IH）棱P B上存在点F,使 得C F平面PAE.取尸为尸8的中点，取G为P A的中点，连则 F G A B,且 FG=AB.因为底面A B C D为菱形，且E为CO的中所以 C E A 8,且 CEAB.所以 P G C E,且 FG=CE.L所以四边形C E G F为平行四边形.B所以 CF/EG.因为C F G平面P A E,E G u平面PAE,所以C F平面PAE.（1 9）【考查目标】本题主要考查椭圆的标准方程和直线与椭圆的位置关系，考查考生的化归与转化能力和运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.【解题思路】（I ）根据已知可得=1久=1,再根据椭圆中a力,c的关系求出“2,进而求出椭圆方程;（II）设尸 加）,0（X 2,冲）,写出直线4P的方程，可得M的横坐标,进而得I O M的表达式,同理得|0川的表达式，将直线/的方程与椭圆方程联立，利用根与系数的关系得到1 0 M-|。川=2户|,进而由|O M H O N=2得f=0,即可证得结论.解：（I ）由题意得力2=1,C=1.所以 a2=b2-c1=2.所以椭圆C的方程为?+y 2=l.（H）设 尸（孙y i）,Q（x 2,y 2）,则直线A P的方程为产组r+LX1令 尸0,得点M的横坐标XM=-.yr1又丁1=履1+/,从而|。同|二即|=|工rCXj+t1同理,1。川刁后受力.y=kx+t,x2?.W(1 +2 Z r)x2+4 t o+2/2-2=0.-y +y =1m.i ,4kt 2 t 2-2则M+2 =-哀正/用=而 记/|0A/|107V l 依 z+t；=|2 I 2%2+%(-1)(31+X2)+(t-l)22/-2 I_ 1+2_2_ IN,舟+k g)(7 )+g)2=2|.,1-t1又|0M|0M=2,所以2联 I=2.解得f=o,所以直线/经过定点(0,0).(20)【考查目标】本题主要考查利用导数求曲线的切线方程、不等式的证明、与函数最值有关的问题，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查分类讨论思想，考查的核心素养是数学抽象、数学运算.【解题思路】(I)利用导数的几何意义求切线方程;(H)构造函数，利用导数求最值，从而证明不等式;(in)结合(H)对。进行分类讨论，即可求出最大值M(a)取得最小值时a的值.解：(I 而於尸卜-炉+苫得/q)=|x2-2x+i.令/(x)=1,即N-2X+1 =1,得 x=0 或 x=l，又的)=0后)喙所以曲线)，=加)的斜率为1的切线方程是产x 与即 y=x 与 y=x-.(II)4-g(x)=flx)-x-2,4J.由8 三 日/得 8 5 户!2-2.令 gx)-0 得 x=0 或 x=|.g(x),g(x)的情况如下：X-2(-2,0)0(0,|)83 4)4g(x)+-+g(x)-6/06427/0所以g(x)的最小值为-6,最大值为0.故-6%(x)W0,即 x-6/(x)r.(Ill)由(II)知,当 a3;当 a-3 时,M(。巨F(-2)=|g(-2)-a|=6+a3;当 a-3 时,M(0=3.综上，当/()最小时,=-3.