2019年数学高考真题卷--江苏卷文数（含答案解析）.pdf

2019年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数 学本试卷均为非选择题（第1题 第20题，共20题）.本卷满分为16 0分，考试时间为120分钟.参考公式：1n 1n样本数据X g,用的方差.V2=-三（即-7）2淇中元=_ 2 Xi.ni=l ni=l柱体的体积V=S,其中S是柱体的底面积，是柱体的高.锥体的体积VSA,其中S是锥体的底面积/是锥体的高.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分，共计7 0分.I.已知集合 A=-l,0,l,6 ,B=x l x 0/W R j 4 n B=.2.已知复数（a+2i）（l+i）的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是.3.如图是一个算法流程图，则输出的S的值是.4.函数y=U 7 +6 x-x 2的定义域是.5.已知一组数据6,7,8,8,9,10,则 该 组 数 据 的 方 差 是.6.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名 女 同 学 的 概 率 是.（第3题）7 .在平面直角坐标系屹y中，若双曲线F 5=1 3 0）经过点（3,4）,则该双曲线的渐近线方程是.8.已知数列 “（C N*）是等差数列,S,是其前n项和.若a2a5+48=0,5 9=27,则5 8的值是.9.如图，长方体ABCD-ABCD的体积是120,E为C G的中点，则三棱锥E-BCD的体积是.（第9题）10 .在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+如0）上的一个动点，则点P到直线x+），=0的距离的最小值是.11.在平面直角坐标系x。），中，点力在曲线y=ln x上,且该曲线在点A处的切线经过点（-e,-l）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是.12.如图，在 ABC中，。是 BC的中点,E 在边A8上,力与CE交于点O.AB AC=6 AO-E C,则黎的值是.13 已 知 靛 rl，则 sin(2a+的值是.(第 12题)14.设y(x),g(x)是定义在R 上的两个周期函数v)的周期为4,g(x)的周期为2,且4 0 是奇函数.当x e(0,2_(k(x+2),0 x 1,时Jx)=Jl(x-l)2,g(x)=j_=0若在区间(,9上，关于x 的方程Xx)=g(x)有 8 个不同的实数根，则k的 取 值 范 围 是.二、解答题:本大题共6 小题，共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)在A A B C中，角A,B,C的对边分别为ahc.若 a=3 c,b=V2,cos B=|,求 c 的值；(2)若 等=嘿，求 sin(B+的值.16.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC-ABC中Q,E 分别为8 c A e 的中点4B=8C.求证:(l)4 8 i平面 DECi；Q)BE 上 CiE.（第16题）17.（本小题满分14分）2 2如图，在平面直角坐标系x O y中，椭圆C:京+宗=1（a6 0）的焦点为尸（1,0）,尸2（1,0）.过B作X轴的垂线/,在x轴的上方，/与圆/2：。-1）2+产=4那交于点A,与椭圆C交于点D连接AQ并 延 长 交 圆 于 点B,连接86交椭圆C于点瓦连接O F i.已知DFi=|.（1）求椭圆C的标准方程;（2）求点E的坐标.（第1 7题）1 8.（本小题满分1 6分）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路/,湖上有桥ARAB是圆0的直径）.规划在公路/上选两个点P,。,并修建两段直线型道路P B,QA,规划要求:线段PB,QA上的所有点到点。的距离均不小于圆0的半径.已知点A,B到直线I的距离分别为AC和BD(C,D为垂足)，测得4B=10,AC=6,80=12(单位:百米(1)若道路P B与桥A B垂直,求道路P B的长;(2)在规划要求下,和Q中能否有一个点选在。处?并说明理由;(3)在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为“(单位:百米)，求当d最小时,P,Q两点间的距离.D C I(第18题)19.(本小题满分16分)设函数 J(x)=(x-a)(x-b)(x-c),a9b,c W R/。)为 x)的导函数.(1)若=。7(4)=8,求 a 的值；若。孙，氏c,且危)和尸(x)的零点均在集合-3,1,3中，求#x)的极小值;(3)若。=0,0 后l,c=l,且 r)的极大值为M求证:M 0)经过点(3,4),所以9嗜=1,得 后 四，所以该双曲线的渐近线方程是y=hx=2 x.8.1 6【考查目标】本题主要考查等差数列的通项公式与前项和公式，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.【解析】通解 设等差数列 如 的公差为&则。25+。8=(1 +d)(i+4J)+i+7d=a：+46?2+5id+Qi+7d=0,S 9=9 I+36d=27,解 得=-5,d=2,则 Ss=ci+28d=40+56=16.优解 设等差数列 小 的公差为仇9=9 4；%)=9的=27,%=3,又3/5+48=0厕3(3-34/)+3+34=0,得”2,则5 8=出 答=4(4 4+的)=4(1+3)=16.【拓展结论】在等差数列 中，若m+=p+%w,p,qN*,5JlJ即+。,尸即+劭.9.10【考查目标】本题主要考查空间几何体的体积,考查考生的空间想象能力和运算求解能力，考查的核心素养是直观想象、数学运算.【解析】因为长方体的体积是1 2 0,所 以CGS飒f M 8c。=1 2 0,又E是CG的中点，所以三棱锥 E-BCD 的体积 VE-BCD E C SH BCO=：X：CC|X为 四 边 彩 A B C D-X 1 2 0=1 0.【解题关键】求空间几何体的体积的关键是确定几何体的结构，再利用相应的体积公式求解.10.4【考查目标】本题主要考查点到直线的距离公式、基本不等式的应用,考查考生分析问题与解决问题的能力、化归与转化能力，考查的核心素养是数学运算.【解析】通解 设P(x u+3)/0,则点P至I直线x+)，=0的距离=生掌=曜隼=4,当且仅当2 x=,即=加时取等号，故点P到直线x+y=0的距离的最小值是4.优 解 由)，=x+：(x 0)得了=1$令4=-1，得尸鱼,则当点P的坐标为(迎,3伪 时，点P到直线x+y=0的距离最小，最 小 值 为 比 笋=4.【方法总结】求曲线上一点到直线的距离的最小值时，一般解法是设出曲线上点的坐标，利用点到直线的距离公式建立目标函数，再由基本不等式或导数求解最值，也可平移直线，使平移后的直线与曲线相切,此时切点到原直线的距离最小.H.(e,D【考查目标】本题主要考查考生对导数的几何意义的理解和应用，考查的核心素养是数学运算.解析】设A(x o,ln x o),又y =1则曲线y=ln x在点A处的切线方程为y-ln w=L(x-x o),将(-e,-l)代入得,-1-lnxXQx o二 工(e x o),化简得I n的二三解得x o=e,则点A的坐标是(e).XQ XQ12.V3【考查目标】本题主要考查向量的线性运算、数量积，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算.【解析】解 法 一 以点。为坐标原点,BC所在的直线为x轴,8 c的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,不妨设仇-a,0),C m,。),/?,。,a 0,c 0,由 BE-2 E A 得 表 则直线 O A:y=%,直线 C E:(6-2 a)y=c(x-q),联立可得0(*|),则 超 前=(-a -c (a -c)=b 2+c 2-a 2,而而=(尚,一|).(嘤，争=丝?空 由 超 元=6而 正 得+0 2-。2=2(6+4 2 ),化简得4 a b+廿+研,贝嘿解法二 由A,。,。三点共 线,可 设 而 则 同=3荏+而)，由E,O,C三点共线可设前=元,则同-_,_(_(_(_(_(_,_,荏=(前-荏)，则 而=(1-)荏+前=/1 而+正，由平面向量基本定理可得3 A 2解得号2=点则AO=-(AB+AC)E C=AC-AE =AC-四，则 6 A0-E C=6x i(A B +AC)-(AC-A B)=-(-AB-AC+AC2-AB2)=屈.尼，化4 3 4 3 2 3 3简得 3 AC2=AB2MI=V3.1 3.【考查目标】本题主要考查同角三角函数的基本关系、三角恒等变换，考查考生分析问题、解决问题的能力以及运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.【解析】通解=t a：(=一|,解 得 t a n a=2 或 t a n a=1,当 t a n a=2 时,s i n-tana+1 3 3l-tanar2 a=2si-n-a-c-os-a=2；t-a-n-a=-4,c o s cos2-a-si-n-2-a=l-ta；n-2a-=-一3，,此1n小J .s ien 2 a+c o s o2 a=-1 Jr可a 埋者M，Xt a n a=-lr j,s i n 2。a=-sin2a+cosza tanza+l 5 smza+cos2a tanza+l 5 5 3I，c o s 2aq此时 s i n 2 a+c o s 2 a=*所以 s i n(2 a+)=y(s i n 2 a+c o s 2 a)=y|.优解 7“二史 却 8,+/=_ 2 则 5 亩 c(c o s(a+-)=-c o s O 5 z z?(a+-),X=s i n (a+-)-a =s i n(a+-)c o s a-tan(a+-)cosasin(a+-)3 4 3 4 2 4 4c o s(a+：)s i n a=|s i n(a+)c o s a,则 s i n(a+：)c o s =辞，则 s i n(2 a+)=s i n (a+a +s i n(a+：)c o s a+c o s(a+)s i na=i s i n(+5 c o s a=|x =|.1 4 .|，v)【考查目标】本题主要考查函数的性质以及直线与圆的位置关系,考查考生的数形结合能力以及运算求解能力，考查的核心素养是直观想象、数学运算.【解析】当xe(0,2 时，令产则(X-l)2+y 2=l,y K),即於)的图象是以(1,0)为圆心、1为半径的半圆，利用y(x)是奇函数，且周期为4,画出函数y(x)在(0,9 上的图象,再在同一坐标系中作出函数g(x)(xe(0,9 )的图象，如图，关于x 的方程抬尸g(x)在(0,9 上有8 个不同的实数根,即两个函数的图象有8 个不同的交点，数形结合知g(x)(xe(0,l)与火x)(xe(0,l)的图象有2个不同的交点时满足题意，当直线产总+2)经过点(1,1)时,k=,当直线y=Z(x+2)与半圆(x-l)2+y 2=i 2 0而 切 吐：=1 火=或&=(舍去)，所以k的取值范围是【方法总结】已知方程的实根个数求参数的取值范围问题的一般解法是将根的个数转化为两个函数图象的交点个数，借助函数图象直观求解.15.【考查目标】本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.【解题思路】(1)利用余弦定理建立方程求解;(2)利用正弦定理、同角三角函数的基本关系和诱导公式求解.解:因为a=3 c 力=&,c os 8=|,由余弦定理8,2=贮 萨:2 _(3C)2+C2-(V2)22x3cxc:，即/三.所以c 咚(2)因 为 誓=哭由 正 弦 定 理 就=扁，得 翳=等，所以c os B=2 s i n B.从而 c os2B=(2 s i n 8尸,即 c os 2 B=4(l-c os 2 B),故 c os 2 B=g.因为 s i n 8 0,所以 c os B=2 s i n 8 0,从而 c os B=-.因此 s i n(B+)=c os 8=g.16.【考查目标】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系等，考查空间想象能力和推理论证能力.【解题思路】(1)根据直三棱柱的性质和三角形中位线定理得线线平行，利用线面平行的判定定理即可证明;(2)易得B E_ L AC,G C，B E,然后利用线面垂直的判定定理证得线 面垂直，即可得证.解:因为D,E分别为B C A C的中点，4、-叫所以 EQ AB.X/在直三棱柱中,A8 4 B i,所以 4 8 i E D /又因为 Mu平面DE C5A山5平面DECi,4 7-所以48平面。EG.次9不(2)因为AB=B C,E为A C的中点，所以B EL AC.c因为三棱柱A B C-A B i G是直棱柱，所以CCJ平面AB C.(第16题)又因为B E u平面AB C,所以CiCA.BE.因为 GCu平面 A A CGX Cu平面 Ai AC G,G C r U C=C,所以B E_ L平面Ai AC G.因为GE u平面A RC。,所以BEYCE.【解题关键】熟记空间直线与平面平行的判定定理及直线与平面垂直的判定定理和性质定理是正确证明的关键.17.【考查目标】本题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、分析问题的能力和运算求解能力.解:(1)设椭圆C的焦距为2c.因为姑(-1,0),6(1,0),所以姑尸2=2,C=L又因为 Z)FI=|,AF 2，X轴，所以 DF2=y/DF-F1F因此2 4=。尸|+。尸2=4,从而4=2.由接二./,得 62=3.2 2因此，椭 圆C的标准方程为9+?=1.解 法 一 由 知，椭 圆 岸+*1,。=2.因为4尸2，轴,所以点A的横坐标为1.将x=l代入圆/2的方程(x-l)2+y 2=16,解得y=M因为点4在x轴上方，所以A(l,4).又下|(-1,0),所以直线 AF：y=2x+2.由，装t=1 6,得5-=。,解得X=1或犬=(第 17题)将 =看代入y=2 x+2,得 y=-y.因此 B(-p-y).X 6(1,0),所以直线防2：=*1).由仁 vz 得 7/6-13=0,解得x=-l 或 x=7.信+卜1，7又因为E是 线 段 与 椭 圆 的 交 点，所以x=-L将 x=-l 代入 y=；(x-l),得 y=-|.因 止 匕 (-1,-|).解法二由知，椭圆C:1+t=l.如图，连接E B.因为 8F 2=2 a,E a+E B=2 a,所以 ER=EB,从而 N B R E=N B.因为所以/A=/8.所以=从而 EFt/ZFA.因为轴，所以轴.因为F(l,0),由1炉 z 得 产 专 (第 17题)又因为E是线段8尸 2 与椭圆的交点，所以产卷.因此E(-l,-|).18.【考查 目标】本题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.【解题思路】(1)建立平面直角坐标系，利用两直线垂直的条件得直线B P的方程，求解点P的坐标，再由两点间距离公式即可求解P B的长;(2)判断线段AD 与圆O的位置关系即可求解;(3)利用两点间距离公式、直线与圆的位置关系即可求解.解:解法一(1)过 4 作 4后，8。,垂足为此由己知条件得，四边形A C 3 E 为矩形，=迎 E 2 +E7 =i o,从而c o s/BA O=空 萼 鬻 f=50,所以/B A D 为锐角.所以线段A。上存在点到点O 的距离小于圆。的半径.因此Q 选在。处也不满足规划要求.综上，尸和。均不能选在。处.(3)先讨论点P的位置.当N OBP 9 0 时，在 P P 山中,P 8P|B=15.由上可知，止 15.再讨论点。的位置.由(2)知,要使得QA N 15,点 Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时,而=任。=3 夜 T.此时，线段Q A上所有点到点O 的距离均不小于圆0的半径.综上，当点。位于点C 右侧，且 CQ=3A/H 时0 最小，此时P,。两点间的距离P Q=P D+CZ)+CQ=17+3 值.因此,d 最小时，尸，。两点间的距离为1 7+3 属(百米).解法二(1)如图，过 O 作 OH _ L/,垂足为H.以 O 为坐标原点，直线O H为 轴，建立平面直角坐标系.因为B D=1 2,4 C=6,所以0 H=9,直线/的方程为)，=9,点A,B的3,-3.因为A B为圆O 的直径,AB=1 0,所以圆。的方程为9+丁=2 5.从而4(4,3),8(-4,-3),直线A B的斜率为4因 为 所 以 直 线 P B 的斜率为2，(第 1 8题)直线P B 的 方 程 为 尸,与所以 P(-1 3,9),PB=J(-1 3+4)2 +(9+3 9=1 5.因此道路P B 的长为1 5(百米).若P 在。处,取线段8。上一点E(-4,0),则 EO=4 5,所以尸选在D处不满足规划要求.若。在。处，连接A。,由知。(-4,9),又 4(4,3),所以线段 AQ:y=-：x+6(-4 S 烂4).在线段A O 上取点欣 3 号,因为0 M=小 2+弓)2 3 2 +4 2=5,所以线段A。上存在点到点O 的距离小于圆0 的半径.因此。选在。处也不满足规划要求.综上下和。均不能选在。处.(3)先讨论点P 的位置.当/O8P90。时，在 PPiB 中,PBPiB=15.由上可知，龙 1 5.再讨论点。的位置.由(2)知,要使得Q AN 1 5,点。只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当Q A=1 5时，设Q(a,9),由AQ=J(a-4)2 +(9 3)2 =1 5(a4),得”=4+3值,所 以Q(4+3 V H,9).此时，线段QA上所有点到点。的距离均不小于圆。的半径.综上，当 P(-1 3,9),Q(4+3 V H,9)时,最小，此时 P,Q两点间的距离 PQ=4+3 V H-(-1 3)=1 7+3 V T.因此d最小时,P,Q两点间的距离为11+3百米).1 9.【考查目标】本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力、逻辑推理能力.解:因为 a=b=c,所以丸x)=(x-a)a-b)(x-c)=(x-a)3.因为负4)=8,所以(4-4=8,解得a=2.(2)因为 3=c,所以於r)=(x-a)(x/)2=x3-(a+2 b)x2+b(2 a+b)Lr-H 2,从而/(x)=3(x-)(x-W ).令/。)=0,得 x=h 或因为“力，等 都 在 集 合-3,1,3 中，且a#,所以笥蛆=l,a=3力=-3.此时於)=(x-3)(x+3)2 /(x)=3(x+3)(x-1).令/(X)=0,得x=-3或x=1 .列表如下：X(-8,-3)-3(-3,1)1(1,+8),fM+0-0+於)/极大值极小值/所以加)的 极 小 值 为/)=(1-3)(1+3)2=-3 2.因为 a=0,c=l,所以 jx)-x(x-b)x-1)=P S+1)%2+bx,/V)=3J C2-2 0+1 )x+b.A=4(Z +1)2-1 2 6=(2 6-1 产+3 0,则尸(x)有2个不同的零点，设为X l X 2(X|Jb2-b+l列表如下:_b+l+/b2-b+l3X(-8内)X(汨盟)X2。2,+8),fM+0-0+危)/极大值极小值/所以危)的极大值解法一 M=fixi)=xlb+l)xl+hxi=3资-2 3+1问+句小-等+空=2 6。+1及+雪 迎1+1)327 9 27、7 帅+】)1 2 4-27 27-27因此A/.解法二 因为0 区1,所以为 (0,1 ).当 x e (0,1)时 J(x)-xx-b)(x-1 )2时，由得壮 尸 点 组整理得 bn+bn.=2 bn.所以数列 儿 是首项和公差均为1的等差数列.因此，数列 与 的通项公式为hn=n(n N)由知也因为数列 金 为“M.数列”，设公比为%所以c尸l,q 0.因为以9 W以+1,所 以 小 女 力，其中k=l,2,3,.,m.当女=1时，有 死1;当2=2,3,.时，有竽W i n把詈.设7 U尸等1),则/(用=等.令f (x)=0,得x=e.列表如下:X(l,e)e(e,+8)fx)+0-於)/极大值mM ln2 ln8 ln9 ln3因 为-=-二-，2 6 6 3,所以八k)m a x=4 3)=警.取4=遮 当=1,2,3,4,5时，竽W i n q,即依次经检验知产女也成立.因此所求m的最大值不小于5.若 吟6,分别取=3,6,得3寸,且“5/6,从而4国2 4 3,且g咚2电所以q不存在.因此所求?的最大值小于6.综上，所求修的最大值为5.