2019年数学高考真题卷--北京卷理数（含答案解析）.pdf

2019年普通高等学校招生全国统一考试北京卷数学(理)本试卷满分150分.考试时长120分钟.第一部分(选择题 共 4 0分)一、选择题共8 小题,每小题5 分，共 4 0分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.(1)已知复数z=2+i,则z z-(A)V 3(B)V 5(03(D)5(2)执行如图所示的程序框图,输出的s 值为(A)l(B)2(03(D)4(3)己知直线1的参数方程为匕为参数)，则点(1,0)到一乙十T,L直 线1的距离是(A)|(B)|(英(D)|(4)己 知 椭 圆 心 力0)的离心率为J,则a 匕 2(A)才之炉(B)3a2力4(C)a=2b(D)3aN 6 若 x,y满足|W 1 -y,且 y2-1,则 3肝y的最大值为(A)-7(B)l(C)5(D)7(6)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足加力=|l g款其中星等为阿的星的亮度为EXk=,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是T.4 5,则太阳与天狼星的亮度的比值为(A)I O 01(B)10.1(C)l g 10.1(D)10-,B C n的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(8)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C x O/q+i x)就是其中之一(如图).给出下列三个结论：曲线，恰好经过6 个整点(即横、纵坐标均为整数的点);曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过企；曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是(A)(C)(D)第二部分(非选择题 共 110分)二、填空题共6 小题,每小题5 分，共 30分.(9)函数f(x)=si n22 的 最 小 正 周 期 是.(10)设等差数列&的前n项和为5,.若 a=T,W=T 0,则a,=,S,的最小值为.(11)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1,那 么 该 几 何 体 的 体 积 为.正(主)视 图 ftl(左)视 图俯视图(12)已知/,如是平面。外的两条不同直线.给出下列三个论断：?J_R；加。；a.以 其 中 的 两 个 论 断 作 为 条 件,余 下 的 一 个 论 断 作 为 结 论,写 出 一 个 正 确 的 命 题:.(1 3)设函数A%)为常数).若f(x)为奇函数,则a=;若 f(x)是 R上的增函数,则a的取值范围是-(1 4)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元 借、8 0元 借、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到1 2 0元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的8 0%.当x=1 0时,顾客一次购买草莓和西瓜各1 盒,需要支付 元；在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为.三、解答题共6 小题,共8 0分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.(1 5)(本小题1 3 分)在/8 C 中,a=3,A-c=2,c o s B=(I )求“。的值；(I I)求 s in (6-0 的值.(1 6)(本小题1 4 分)如图,在四棱锥 P-AB C DP,阳，平面 AB C D,ADV C D,AD/B C,PA=AD=C D=2,8 C=3.为阳的中点，点/在 PC .,(I )求证：Q L L 平面PAD-,(I I)求 二 面 角 尸 的 余 弦 值；(I I I)设 点 G 在 阳 上，且 普=|.判断直线1 G 是否在平面的内，说明理由.(1 7)(本小题1 3 分)改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校学生中随机抽取了 100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5 人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：支付方式支付金额(元)(0,1 000(1 000,2000大于2 000仅使用A18人9 人3 人仅使用B10人14人1 人(I)从全校学生中随机抽取1 人，估计该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率；(II)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1 人，以才表示这2 人中上个月支付金额大于1 000元的人数,求X的分布列和数学期望；(III)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3 人,发现他们本月的支付金额都大于2 000元.根据抽查结果,能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化?说明理由.(18)(本小题14分)已知抛物线C:f=-2”经 过 点 -1).(I)求抛物线C的方程及其准线方程；(H)设。为原点,过抛物线。的焦点作斜率不为0 的直线1交抛物线C于两点M,N,直线y=-l分别交直线OM,于 点/和 点B.求证：以 为 直 径 的 圆 经 过 y 轴上的两个定点.(1 9)(本小题1 3 分)已知函数F(x)-X-X+x.4(I)求曲线y=f 的斜率为1 的切线方程；(H)当 -2,4 时,求证：x*6 W f(x)W x;(H D 设厂(x)=|f(x)Q户a)I(a G R),记尺x)在区间-2,4 上的最大值为(a).当 M(a)最小时,求a的值.(2 0)(本小题1 3 分)已知数列&,从中选取第力项、第&项、第。项(水/J,若 七1 n，则称新数列atl,ai2,。除为 a 的长度为m的递增子列.规定：数列 a,J 的任意一项都是 a j 的长度为1 的递增子列(I )写出数列1,8,3,7,5,6,9的一个长度为4的递增子列；(I I)已知数列&的长度为p的递增子列的末项的最小值为(1 咻，长度为q的递增子列的末项的最小值为斯若。q,求证：0 0 a 0；(I I I)设无穷数列&的各项均为正整数,且任意两项均不相等.若 a 的长度为s的递增子列末项的最小值为 2ST,且长度为s末项为2 5-1 的递增子列恰有2 T 个(s=l,2,)，求数列&的通项公式.123456789 1 0 1 11 21 31 41 T0 -若 A L%a,贝 l j m-1 （-1 3 0DBDBCACC2L 4 02 1 0 a.（答案不唯一）8,0 1 5(DD【考查目标】本题主要考查共扼复数、复数的运算，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.【解析】：z-2 也.：z=2-i,z-，=(2+i)(2-i)=5.故选 D.(2)B【考查目标】本题主要考查程序框图,考查考生的运算求解能力以及分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算和逻辑推理.【解析】执行程序框图,k=l,s 亏 好 之;42 54三之;公3,s=竽 丁 2,跳出循环.输出的sN 故选B.3x1-2 3x2-2 3x2-2(3)D【考查目标】本题主要考查直线的参数方程和普通方程的互化、点到直线的距离公式，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.【解析】由题意得,直线1的普通方程为4 x-3 y+2 R,则点(1,0)到直线4 x-3 y+2 R 的距离d 卑 翼 岁?，4n+(-3)4 5故选1).(4)B【考查目标】本题主要考查椭圆的方程与几何性质，考查的核心素养是数学运算.【解析】由 题 意 得,.名又一%笃二府3次故选民a 2 a2 4 a2 4 a 2 4(5)C【考查目标】本题主要考查线性规划问题，考查考生的运算求解能力以及数形结合能力，考查的核心素养是数学运算、直观想象.C i (X l-y,(-X 1 -y,【解析】令 z=3 x+y,画出约束条件闭、即 X 2 0,或 x -1,(y -i (y -1分所示，作出直线片-3 x,并平移,数形结合可知，当平移后的直线过点C(2,-1)时，z=3 x+y 取得最大值,益,=3X2T.故选C.(6)A【考查目标】本题主要考查对数的运算，考查考生的阅读理解能力，考查的核心素养是数学运算.【解析】由题意可设太阳的星等为侬太阳的亮度为民天狼星的星等为如天狼星的亮度为球则由mr如9g 煞 得-2 6-7 乩 4 5 名第 1 g$-2 5.2 5,Z i g 4=-1 0.1,lg *1 0.1,詈=1 0 叫 故 选 A.(7)C【考查目标】本题主要考查平面向量的相关知识、余弦定理的应用，考查的核心素养是数学运算.【解析】若 而证屈/，则 方+而 方/前 片 近 2 瓶 2+2 亚 前 屈 片：点4 6,C 不共线，.:线段AB,B C,4 C构成一个三角形AB C,设内角A,B,。对应的边分别为a,6,c,则由平面向量的数量积公式及余弦定理可知,B2+AC2+2AB ,AC B C 即 2 6 c ,c o s A c+IJ-Q.be,c o s A,.c o s 4 X),又 A,B,，三点不共线，故屈与前的夹角为锐角,反之，易得当荏与死的夹角为锐角时，南 流/),就/,.：“荏 与冠的夹角为锐角”是“，荏 我/,诙/”的充分必要条件，故选C.(8)C【考查目标】本题主要考查曲线的方程与几何性质、基本不等式等知识，考查考生分析问题与解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算与逻辑推理.【解析】曲线的方程+/可+可看成关于v的 一 元 二 次 方 程 由 题 图 可 知 该 方 程 必 有两个不相等的实根，二4力/田 加，专 满 足 条 件 的 整 数 x 可取-1,0,1.当 x=T 时，9或 1,.：曲线 C 经过的整点有(T,0),(T,1)；当肝0 时，尸T 或 1,.：曲线C 经过的整点有(0,T),(0,1);当 x=l时，片0 或 1,.：曲线C 经过的整点有(1,0),(1,1).故曲线。恰好经过6 个整点，正确；Vx+y=+lxly1 旁；.：x O/W 2,.:访7W企,当且仅当/x/=y,即C：；或 时 取 等 号,则 曲 线 上 的 点 到 原 点的最大距离为近，故正确;顺次连接(T,0),(-1,1),(0,1),(1,1),(1,0),(0,T),(-1,0),所围成的区域如图中阴影部分所示,其面积为3,显然曲线。所围成的“心形”区域的面积要大于3,故不正确.故选C.(9)y【考查目标】本题主要考查倍角公式以及三角函数的性质，考查的核心素养是逻辑推理和数学运算.【解析】：f(x)F i/2 不 上 等，.(X)的最小正周期 号 三.2 4 2(1 0)0-10【考查目标】本题主要考查等差数列的通项公式和前项和公式，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解析】设等差数列面 的公差为d ：葭 二 二太即会：；1 荔?_ 1 0,:可得，J掰d R.：S,kna、尸(；“)号(/七 ),.:当力或n=Q时,S,取得最小值,最小值为T 0.(1 1)4 0【考查目标】本题主要考查几何体的三视图、几何体的体积等知识，考查考生的空间想象能力以及运算求解能力，考查的核心素养是数学运算和直观想象.【解析】如图所示的正方体AB C D-AB C D的棱长为4,去掉四棱柱MQ DA-N PC B(其底面是一个上底为2,下底为4,高为2的直角梯形)所得的儿何体为题中三视图对应的几何体,故所求几何体的体积为4 3 T x(2 掰)X 2 X 4-W.(1 2)若/上。，则 *(答 案 不 唯 一)【考查目标】本题主要考查空间中直线与直线、直线与平面的平行和垂直关系的判定,考查考生的空间想象能力,考查的核心素养是直观想象.【解析】若 U。，AL z ,则必 明 显然3正确；若勿,加*则1/。与。相交但不垂直都可以，故 小 鲫 正 确;若。，勿。，则/垂 直。内所有直线，在。内必存在与小平行的直线，所以可推出故=正确.(1 3)-1 (-8,0【考查目标】本题主要考查函数的奇偶性、单调性等知识，考查的核心素养是逻辑推理和数学运算.【解析】丁 f(x)为奇函数，：(l+a)e +(l+a)e r=O,：a=T;:F(x)单调递增，.：f (x)m-a e T 川，.沿 飞 川 知 *故 a的取值范围是(-8,0 .(1 4)1 3 0 1 5【考查目标】本题主要考查不等式的求解等知识，考查的核心素养是数学建模、逻辑推理和数学运算.【解析】顾客一次购买草莓和西瓜各1 盒,总价为6 0 对0=1 4 0(元)，又 1 4 0)1 2 0,所以优惠1 0 元,顾客实际需要付款1 3 0 元.设顾客一次购买的水果总价为m 元.由题意易知，当 0 1 2 0 时，产0,当卬2 1 2 0 时，（卬-x）X80%mX70%y得 x W；对任意加2 1 2 0 恒成立,又 詈 1 5,所以x的最大值为1 5.OO（1 5）【考查目标】本题主要考查正弦定理、余弦定理、两角差的正弦公式，考查的核心素养是数学运算.【解题思路】（I）利用余弦定理得到关于6,c的一个方程，结 合 可 求 出 6,c 的值；（H）利用正弦定理求出s i n，的值，再利用两角差的正弦公式求出s i n （正。的值.解：（I ）由余弦定理b=a+c:-2accos B,得/72 32+c-2 X 3 X c X（-1）.因为b-cl,所以（c+2）2 =3?+/-2 X 3 XcX（）,解 得 c=5.所 以 6=7.（I I）由 c o s 庐T得 s i n B 号.由正弦定理得s i n 弓 s i n B 岑.在力比 中，N8是钝角，所以/C为锐角.所以 c o s s i n 2 c 上.1 4所以 s i n（6-0 和i n B cos C-cos 6 s i n C（1 6）【考查目标】本题主要考查直线与平面垂直的证明、二面角余弦值的求解、线面位置关系的判断，考查考生的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.【解题思路】（I ）利用必，平面4 比切，/，问题即可得证；（I I）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求得二面角尸力 尸的余弦值；（I H）先 求 出 丽,再 求 出 最 后 利 用 平 面/加1 的法向量是否与刀垂直即可判断.解：（I）因为2L L 平面力比所以PAL C D.又因为力，内所以切_ 1 _ 平 面PAD.BXCD y(n)过力作/的垂线交回于点M.因为/M _ L 平面AB C D,所以 PALAM,PALAD.如图建立空间直角坐标系A-xyz,则 4(0,0,0),5(2,-1,0),C(2,2,0),(0,2,0)/(0,0,2).因为为阳的中点，所以,(0,1,1).所以荏二(0,1,1),同 二(2,2,-2),而=(0,0,2).所以两力定=(|,|,彳),万 善 标=(|,|,设 平 面 的 法 向 量 为n=x,y,z),n l则|(n-AE,=0,即n n卜(y +j z =j，n-AF=0,1/+丫 +/=。，令 z-l,则 y-l,X-1.于是=(T,T,1).又因为平面阳的法向量为p=(l,0,0),所以 c o s n,|n|p|3由题知,二面角/TGa为锐二面角，所以其余弦值为号.(I I D 直线/C 在平面4 旗内.因为点6 在 加 上,且 而=(2,T,-2),rD 3所 以 而 乏 而 呜 q 9,而 出 国 呜 三 张 3 012P 0.24 0.5 2 0.24故 的数学期望 E 3 4 X 0.24+1 X0.5 2+2 X0.24=1.(H D 记事件E 为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3 人，他们本月的支付金额都大于2 0 0 0 元”.假设样本仅使用A的学生中，本月支付金额大于2 0 0 0 元的人数没有变化,则由上个月的样本数据得/,()-1 .C|o 4060答案示例1:可以认为有变化.理由如下：P 8比较小,概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生,就有理由认为本月的支付金额大于2 0 0 0 元的人数发生了变化.所以可以认为有变化.答案示例2:无法确定有没有变化.理由如下：事件是随机事件,。(份比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的,所以无法确定有没有变化.(18)【考查目标】本题主要考查抛物线的方程、直线与抛物线的位置关系等知识,考查考生的运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解题思路】(I)将已知点的坐标代入抛物线方程,可求出p的值,进而得抛物线方程及其准线方程；(I I)设出直线1的方程，将直线1的方程与抛物线方程联立,化简可得一个一元二次方程,利用根与系数的关系及题意可得到交点A,8的横坐标,设。(0,n),分别表示出万工DB,令万？-08=0,得n=或=-3,从而得到定点坐标.解：(I )由抛物线C-.j p y经过点(2,-1),得pt.所以抛物线。的 方 程 为 其 准 线 方 程 为(H)抛物线C 的焦点为网0,-1).设直线/的方程为y=kx-(A O).由2一 得 xH kx-A=Q.=-4y设材(汨，),N ix2,%),则 为质=M.直线。的方程为y&x.X1令尸-1,得点 的横坐标黑啜.同理得点8的 横 坐 标 弱 嚼设点(。,血,则 加 沙 1力而疗七”2/31)2(丛鸟2.令 丽 而 W),即得/?-1 或综上，以上为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0,-3).(19)【考查目标】本题主要考查利用导数求切线方程、判断函数的单调性、函数的极值等知识,考查考生的运算求解能力、推理论证能力，考查分类讨论思想、化归与转化思想，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解题思路】(I )利用导数的几何意义易得曲线的切线方程；(H)将问题转化为求函数y=f(x)-x 的最值问题；(0 对 a 分类讨论求函数的最值.解：(I )由 F(x)=-x-x 以得 f (x)x-2x+l.4 4令 F (%)-1,B P-x 得 x=0 或 x 身.43又 A O)K,A|)得,所以曲线片/Xx)的斜率为1 的切线方程是尸x 与即尸才 与 y=x 埸.(I I)4,g(x)=/(X)一 X,xG -2,4 .由 g(x)X-X 得 g (x)X-2x.令gf(x)才得胪0 或g (x),g(x)的情况如下：83x-2(!，4)g(xg(x)-66427/0所以g(x)的最小值为最大值为0.故 6 g(x)W 0,即 x6f(,x)&x.o n)由(ID 知,当 a 3;当 a-3 时，欣a)尸(-2)=/g(-2)-a/=6+a 3;当 a=-3时,M a)%.综上，当材(a)最小时，a=-3.(20)【考查目标】本题主要考查新定义数列，考查考生的逻辑思维能力，考查的核心素养是逻辑推理.解:1,3,5,6.(答案不唯一)(H)设长度为(?末项为与。的一个递增子列为。叱 a2，an o.由 p q,arp ar q l an o.因为 a,的长度为p的递增子列末项的最小值为a.。，又由a?,是1 的长度为。的递增子列，所以a m W a。.所以。叫）ang（I I I）由题设知,所有正奇数都是&中的项.先证明：若2m是 a j 中的项，则2m必排在2犷1 之前（m为正整数）.假设2加排在2卬-1 之后.设气,ap2,ap m l,2/n-l是数列 a 的长度为曲末项为2 mT的递增子列，则ap2,aP m l,2z-l,2而是数列 a.的长度为m+1末项为2m的递增子列.与已知矛盾.再证明:所有正偶数都是 a 中的项.假设存在正偶数不是 a 中的项，设不在&中的最小的正偶数为2m.因为2 4 排在2 k l 之前（4=1,2,，加 T）,所以2 A和 2 A-1 不可能在 a“的同一个递增子列中.又EJ中不超过21的数为1,2,，2/-2,2 勿-1,2*1,所以 4 的长度为涯1 且末项为2 加1 的递增子列个数至多为2 x 2 x 2 x.x 2 X I XI 之 2：（7 7 1-1）4-与己知矛盾.最后证明：2m排在2 0-3之后（川 22为整数）.假设存在2 欣必2 2）,使得2 0 排在2 勿-3 之前,则&的长度为m+1且末项为2 而+1 的递增子列的个数小于2 .与已知矛盾.综 上,数 列 只 可 能 为 2,1,4,3,，2-3,2m,2mT,.经验证,数列2,1,4,3,，2/8-3,2oi,2/T,符合条件.f irrl（n +l,n 为奇数，所以a AI n -1,n为偶数.