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高中数学 必修四导学案班级 姓名第一章三角函数1.1.1任意角【学习目标】1、了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念2、正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边相同的角的集合表示【学习重点、难点】用集合与符号语言正确表示终边相同的角【自主学习】一、复习引入问题1：回忆初中我们是如何定义一个角的？所学的角的范围是什么？问题2：在体操、跳水中，有“转体7 2 0”这样的动作名词，这里的“7 2 0”，怎么刻画？二、建构数学1.角的概念角可以看成平面内一条 绕着它的 从一个位置_ _ _ _到另一个位置所形成的图形。射线的端点称为角的_ _ _ _ _ _ _，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的_ _ _ _ _ _ _ 和_ _ _ _ _ _。2 .角的分类按 方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做 O如果一条射线没有作任何旋转，我 们 称 它 形 成 了 一 个,它的_ _ _ _ _ _ 和_ _ _ _ _ _重合.这样，我 们 就 把 角 的 概 念 推 广 到 了,包括、和。3 .终边相同的角所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合,即任一与角a终边相同的角，都可以表示成。4.象限角、轴线角的概念我们常在 直角坐标系 内讨论角。为了讨论问题的方便，使角的 与_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 重合,角的 与 重合。那么，角的(除端点外)落在第几象限，我们就说这个角是.如果角的终边落在坐标轴上，则称这个角为。象限角的集合(1)第一象限角的集合：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _(2)第二象限角的集合：(3)第三象限角的集合：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _(4)第四象限角的集合：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _轴线角的集合(1)终边在x轴正半轴的角的集合：.(2)终边在x轴负半轴的角的集合：一(3)终边在y轴正半轴的角的集合：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _(4)终边在y轴负半轴的角的集合：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _(5)终边在x轴上的角的集合：(6)终边在y轴上的角的集合：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _(7)终边在坐标轴上的角的集合：三、课前练习在同一直角坐标系中画出下列各角，并说出这个角是第几象限角。30,150,-60,390,-390,-120【典型例题】例1 (1)钟表经过10分钟，时针和分针分别转了多少度？(2)若将钟表拨慢了 10分钟，则时针和分针分别转了多少度？例2在0到360的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角。(1)650(2)-150(3)-240(4)-99015Z V例3己知a与240角的终边相同，判断上是第几象限角.2例4写出终边落在第一、三象限的角的集合。【拓展延伸】(Y己知角a是第二象限角，试判断上为第几象限角？2【巩固练习】1、设a =-6 0 ,则与角a终边相同的角的集合可以表示为.2、把下列各角化成a +%-360(0 Wa360,左e Z)的形式，并指出它们是第几象限的角。(1)1200(2)-55(3)1563(4)-15903、终边在y轴上的角的集合,终边在直线y=x上的角的集合,终边在四个象限角平分线上的角的集合.4、终边在30角终边的反向延长线上的角的集合.5、若角a的终边与45角的终边关于原点对称，则。=若角a,的终边关于直线x+y=0对称，且a =6 0 ,则6=6、集合Z =a|a =h 9 0 3 6 ,左e Z ,8 =-18 0 18 0 ,则/n 8 =7、若里是第一象限角，则a的终边在_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _28、(1)与一3530 终 边 相 同 的 最 小 正 角 是;(2)与715终 边 相 同 的 最 大 负 角 是;(3)与10 0 0 终 边 相 同 且 绝 对 值 最 小 的 角 是;(4)与-1778 终 边 相 同 且 绝 对 值 最 小 的 角 是.9、与 15终边相同的在一 10 8 0 36 0 之间的角为.10、已知角a,的终边相同，则a-的终边在.11、若仅是第四象限角，则18 0 一/是 第 象限角；18 0。+是第 象限角。12、若集合4=a|j t8 0 0+30 a(左 8 0+9 0 0,9eZ,集合5=夕|h36 0-45(3k-36 0 +4 5,keZ,则/c 8 =.13、已知集合=锐角,N =小于9 0 的角,0=第一象限的角.(1)P j N,(2)N c P=M,(3)M j P ,(4)(M 2 N)q P其中正确的是 _14、角a小于18 0 而大于-18 0,它的7倍角的终边又与自身终边重合，求角a。15、已知a与6 0 角的终边相同，分 别 判 断2 a是第几象限角。高中数学 必修四导学案班级 姓名1.1.2弧度制【学习目标】1、理解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数2、掌握弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题3、了解角的集合与实数集之间可以建立起一一对应的关系【学习重点、难点】弧度的概念，弧度与角度换算【自主学习】一、复习引入请同学们回忆一下初中所学的1的角是如何定义的？二、建构数学1.度量角还可以用 为单位进行度量，叫 做1弧度的角，用符号 表示，读作一 2.弧度数：正角的弧度数为 负角的弧度数为一，零角的弧度数为如果半径为，的圆心角所对的弧的长为/,那么，角a的弧度数的绝对值是一这里，a的正负由 决定。3.角度制与弧度制相互换算360=rad 180=rad1=rad 1 rad=4.角的概念推广后,在弧度制下，与 之间建立起一一对应的关系:每个角都有唯一的一个实数（即）与它对应;反过来,每一个实数也都有（即）与它对应。5.弧度制下的弧长公式和扇形面积公式：角a的弧度数的绝对值|a|=一 （/为弧长，尸为半径）弧长公式：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _扇形面积公式：【典型例题】例1.把下列各角从弧度化为度.生 工 -？池 -理5 12 6 12 5例2.把下列各角度化为弧度。(1)-750 (2)-1440 (3)6 7 30 (4)252 (5)11 15例3.（1）已知扇形的周长为8 a n,圆心角为2r a d ,求该扇形的面积。（2）已知扇形周长为4c m,求扇形面积的最大值，并求此时圆心角的弧度数。变式：已知一扇形周长为C （。0）,当扇形圆心角为何值时，它的面积最大?并求出最大面积。【巩固练习】1、特殊角的度数与弧度数的对应:度 数弧度数2、若角a=3,则角a的终边在第一象限；若a=-6,则角a的终边在第一象限.3、圆的半径为1 0,则2rad的 圆 心 角 所 对 的 弧 长 为；扇 形 的 面 积 为.4、将下列各角化成a+2%/r,(0W a2),左e Z的形式，并指出终边所在位置.(1)19%(X-3(2)a=-315(3)&=三3/、23%(4)a-25、用弧度制表示下列角终边的集合.(1)轴线角(2)角平分线上的角(3)直线y=上的角6、若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，那 么 该 圆 弧 的 圆 心 角 等 于.7、己知角a的终边与角占的终边相同，则在 0,2p)内与角|的终边相同的角为8、若角。和角b的终边关于x轴对称，则角。可以用角b表 示 为()A.2kp+b(k?Z)B.2kp-b(k?Z)C.kp+b(k?Z)D.kp-b(k?Z)9、若2pa4p,且角。的终边与角-空 的终边垂直，贝！。=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _610、已知集合4=9|2k/?z(2%+l)a,A?z ,8=卜5机 5求4|811、已知扇形的面积为2 5,当扇形的圆心角为多大时，扇形的周长取得最小值?12、已知扇形/。8的圆心角。为120,半径长为6,求(1)弧 的 长(2)弧 与 弦N 8围成的弓形的面积.高中数学 必修四导学案班级 姓名1.2.1任意角的三角函数(1)【学习目标】1、掌握任意角三角函数的定义，并能借助单位圆理解任意角三角函数的定义2、会用三角函数线表示任意角三角函数的值3、掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号【学习重点、难点】任意角的正弦、余弦、正切的定义【自主学习】一、复习旧知，导入新课在初中，我们已经学过锐角三角函数：角的范围已经推广，那么对任意角a是否也能定义其三角函数呢？二、建构数学1 .在平面直角坐标系中，设点。是角a终边上任意一点，坐标为P(x,y),它与原点的距离OP=yx2+y2比值=r,一般地，我们规定：叫做。的正弦，记作，即=比值叫做a的余弦，记作，即比值叫做a的正切，记作，即=.2 .当a=时，a的终边在y轴上，这 时 点 尸 的 横 坐 标 等 于,所以一.无意义。除此之外，对于确定的角a,上面三个值都是.所以正弦、余弦、正切都是以 为自变量，以为 函 数 值 的 函 数,我 们 将 它 们 统 称 为.3 .由于 与 之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成是自变量为 的函数.4.其中y =5 由刀和歹=co s x 的定义域是：而y =t a n x的定义域是.5 .根据任意角的三角函数定义将这三种函数的值在各象限的符号填入括号：A()()()()y=sin(Xy=cos ocy=tan a6 .单位圆的概念：在平面直角坐标系中，以 为圆心，以 为半径的圆。7 .有向线段的概念：规定了（即规定了起点和终点）的线段称为有向线段。8 .三角函数线的定义：设任意角1的顶点在原点。，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点尸（x,y）,过点尸作x轴的垂线，垂足为M；过点/（1,0）作单位圆的切线，设它与a的终边（当a为第 象限角时）或其反向延长线（当a为第 象限角时.）相交于点T,根据三角函数的定义：s i n a=y=；c os a=x=；t an a=.x【典型例题】例1.己知角a的终边经过点尸（4,-3）,求a的正弦、余弦、正切的值.变式题：已知角a的终边经过点尸（羽6）,且c os a=-9，求x的值.例2.已知角a的终边在直线y=-3 x上，求。的正弦、余弦、正切的值例3.确定下列三角函数值的符号:7(1)c os 兀1 2(2)s i n(-46 5)(3)t an 3(4)s i n 3 c os 4 t an 5例4.若A 4 8 C两内角、8满足s i n N-c os 8 若 t a n a=V T 5 ,则 c os a -；s i n a =【典型例题】例1、已知t a na =3,求下列各式的值2 s i n a-3 c o s a(1)-4 s i na 9 c os a2 s i n2 a-3 c os2 a(2)-4 s i n a-9 c o s a(3)2s i n2 a-3 c o s2 a例 2、求证：（1）s i n a1 +c os a1-c os as i n at a n a，s i n a _ t a n a +s i n at a n a-s i n a t a n a s i n a例 3、已知 0。不，sin6+cos。=：,求 tan6的值.+1 k ,.例 4、右sina=-,cosa=-(左，3),k-3 k-3(1)求k的值；(2)求tana-l的值tan a +1【巩固练习】121、已知 0 a 4,sin a cos a=-，则 cos a sin a 的值等于2、已知e是第三象限角，且sin,e+c o s 4 e n*,则sin6cos，=93、如果角6满足5沦。+：05。=啦,那 么121164 的值是 _ _ _tang4、若sin。,cos。是方程4x?+2mx+m=0的两根，则加的值为#.、十 l+2sinacosa tan a +15、求证：-=-sina-cos a tana-1高中数学 必修四导学案班级 姓名1.3 三角函数的诱导公式(1)【学习目标】1、巩固理解三角函数线知识，并能用三角函数线推导诱导公式2、能正确运用诱导公式求出任意角的三角函数值3、能通过公式的运用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程4、准确记忆并理解诱导公式，灵活运用诱导公式求值口诀：函数名不变，符号看象限【重点难点】诱导公式的推导与运用【自主学习】1、利用单位圆表示任意角a的正弦值和余弦值：P(x,y)为角a的终边与单位圆的交点，则s i n a -,c os a -2、诱导公式由三角函数定义可以知道：(1)终边相同的角的同一三角函数值相等。公式一(a+2 k兀)：；(2)当角a的终边与角/的终边关于原点对称时，。与夕的关系为：公 式 二()：；(3)当角a的终边与角/的终边关于x 轴对称时，。与夕的关系为：公 式 三()：；(4)当角a的终边与角力的终边关于y 轴对称时，。与夕的关系为：公 式 四()：；思考：这四组公式可以用口诀“函数名不变，符号看象限”来记忆，如何理解这一口诀?【典型例题】例 1、求下列三角函数值:(1)s i n(-24 0)；(3)t a n(-1 5 6 0).例 2、化简：(1)c os(1 8 0 +a)s i n(a +3 6 0。)s i n(-a-1 8 0 )c os(1 8 0 -a)J l-2 s i n 20 0 c os 1 6 0 0c os 7 0 0 -7 1-s i n2 20(3)cos(6+4%)cos2(6+万)sin2(8+3万)sin(6-4/r)sin(5+0)cos?(-6 -兀)例 3、在 A 4 8。中，若 s i n(4 +3-C)=s i n(/-8 +C).试判断 A 48C的形状.【巩固练习】1、求下列各式的的值3 1(1)s i n(-)3 1(2)C O S(7 T)(3)t a n(-9 4 5)2、什 /、-、4 s i n(一 a)+5 c os(24一士右 s m(a%)=2 c os(2%-a),求-的值.3 c os(4 一 a)s i n(a)3、2 九 4 7 r化简：s i n(2 万 +-y)-c os(乃 +-y)高中数学 必修四导学案班级1.3 三角函数的诱导公式（2）【学习目标】1、能进一步运用诱导公式求出任意角的三角函数值2、能通过公式的运用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程3、进一步准确记忆并理解诱导公式，灵活运用诱导公式求值。口诀：奇变偶不变，符号看象限【重点难点】诱导公式的推导和应用【自主学习】1、复习四组诱导公式：函数名不变，符号看象限姓名_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _4 2cos(万一a)-3 s in(乃+a)工 2,己知：tan a =3,求-的值4 cos(-a)+sin(2-a)2、若角a 的终边与角广的终边关于直线y=x对 称（如图），a）角a 与角p的正弦函数与余弦函数值之间有何关系？b）角a 与角夕有何关系？c）由（1）,（2）你能发现什么结论？当角a 的终边与角夕的终边关于尸x 对称时，a 与夕的关系为：公 式 五（）：由于”+a=p-1-a ,由公式四及公式五可得：公 式 六（）：综合所学六组公式可以用口诀“奇变偶不变，符号看象限”来帮助记忆，如何理解这一口诀?【典型例题】例 1、求证：s in K；r +a)=-co s a,co s lTr +a)=s in a.例2、化简：（1）J l+Zs in ZSOQco s dWs in 2 6 0+co s 8 0 0(2)7 7s in(2 万一cc)co s(6 Z-)+-s in(-a)s in(-a)s in(+a)co s(2 7 r +a)2 2tan(3 -a)例3、已知co s(7 5+a)=；,且-1 8 0 a x +(p)+b(/H O,0 H 0)型的三角函数的周期公式为_二、典型例题例1、若摆钟的高度力(加 7)与时间“S)之间的函数关系如图所示。(1)求该函数的周期；(2)求f=1 0 s时摆钟的高度。例2、求下列函数的周期：(1)y =co s2 x (2)=si n x,、.1 7t.(3)y 2 si n(x-)3 6jr例3、若函数/(x)=2 si n(0 x +p),x e R(其中0,|夕|：)的最小正周期是左,且/(0)=百，求 公9的值。例4、已知函数歹=/(x),x e R,满足/(x +2)=/(x)对一切xe及都成立，求证：4是/(x)的一个周期。三、巩固练习1、求下列函数的周期:(1)y=2 co s3 x(/2八)y =si.n x32、若函数/(x)=si n(f cv +grr)的最小正周期为2 7半r，求正数%的值。3、若弹簧振子对平衡位置的位移x (cm)与时间/(s)之间的函数关系如图所示:(1)求该函数的周期；(2)求/=1 0.5 s时弹簧振子对平衡位置的位移。四、拓展延伸kx 7T1、已知函数/(x)=si n(仿+),其中。0,当自变量x在任何两整数间(包括整数本身)变化时，至少含有一个周期，则最小的正整数攵为2、已知函数/(x),x e N*,/(I)=1,/(2)=6,/(+2)=/(+1)-/(),求“1 0 0)高中数学 必修四导学案班级 姓名1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二)【学习目标】1、借助正、余弦函数的图像，说出正、余弦函数的图像性质；2、掌握正、余弦函数的图像性质，并会运用性质解决有关问题；【重点难点】正、余弦函数的图像与性质一、预习指导正弦函数与余弦函数的性质：(1)定义域：(2)值 域：对于y =si n x ：当且仅当=时，Pmax=；当且仅当=时，JVmin=对于 y =co sx ；当且仅当=时，yma x=；当且仅当=时，=(3)周期性：正弦函数和余弦函数都是周期函数，并且周期都是.(4)奇偶性：y =si n x(x e火)是,其图像关于 对称，它的对称中心坐标是,对称轴方程是;y =CO Sx(x E)是,其图像关于 对称，它的对称中心坐标是,对称轴方程是 O(5)单调性:卜=si n x(x e R)在每一个闭区间 上，是单调增函数.在每一个闭区间 匕是单调减函数.=c o s x(x e R)在每一个闭区间 上,是单调增函数.在每一个闭区间 上，是单调减函数.二、典型例题例1、判断下列函数的奇偶性.,/(x)=s i n(|x+)/(x)=l g(s i n x +标3)/(x)=l +s i n x-c o s x-l +s i n xR.例2、比较下列各组中两个三角函数值的大小.(1)sin 250 sin 2600小、15乃(2)cos-、814万cos-97T例3、求函数y=sin(2x+)的单调增区间.思考：y=sin(-2x+y)的单调增区间怎样求呢？例4、求下列函数的对称轴、对称中心.X 7T 尸2sin(+)|jr(2)y cos(3x-)+12 6三、巩固练习1、判断下列函数的奇偶性：(1)/(x)=|sin x+cos x(2)f (x)=lg(Vl+sin2 x-sin x)2、下列函数的单调区间:TT(1)=sin(x+)x(2)=3cos 3、函数y=sinx(x sin 155(2)sin 194 cos 1600【拓展延伸】：求下列函数的值域：(1)y=cos2x+2sinx-2(2)=A/2sin2x+3cosx-3高中数学 必修四导学案班级 姓名1.4.3正切函数的性质与图象【学习目标】1、能正确作出正切函数图像；2、借助图像理解正切函数的性质;【重点难点】正切函数的图像与性质三、预习指导TT 7T1、利用正切线来画出y =t a n x(x e (-,，5)3、定义域：4、值域：；5、周期性：;6、奇偶性：y=t a n x是 函数，其图像关于 对称，它的对称中心为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _7、单调性：正切函数在每一个开区间 上是单调增函数。思考：正切函数在整个定义域内是单调增函数吗？答：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _四、典型例题例 1、求函数歹=t a n(2 x-2)的定义域、周期和单调区间.4例 2、已知/(x)=t a i f x +5 t a n x (|x|W 求/,(x)的最小值.变式：已知/(x)=t a n?x +a t a n x卜的最小值-4,求q的值.例3、已知函数歹=/t a n(o x +9)(/0,。0,冏 乡 的图象与x轴相交于两个相邻点的坐标为(5,0)和(色,0),且经过点(0,-3),求其解析式.6 6三、巩固练习1、观察正切函数的图像，分别写出满足下列条件的X的集合(1)t a n x =0(2)t a n x 12、求下列函数的定义域：y =t a n 3x (2)y-t a n(x +)3、函数y=tan的奇偶性是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.1+COS X4、函数y =s i n x与y =t a n x的图像在-1,1上有 个交点.5、求 函 数 尸t a n g-x -专x0时)或 向 一 (9 0,2。1)的图像，可看作把正弦曲线上所有点的纵坐标变为原来的 倍(横坐标不变)而得到，这种变换关系称为.因此y=Nsinx,x e R的值域为.3、函数y=5亩 曲 与 =sinx图像之间的关系：(1)函数y=sin 2X,XG R的图像是将函数 =sin x的图像上所有点的_ _ _ _坐标变为原来的一倍(坐标不变)而得到；(2)y=sin；x,xe A的图像是将函数丁=sinx的图像上所有点的 坐标变为原来的一倍(一.坐 标 不 变)而 得 到；一般地，函数y=sin处,工火(30,。1)的图象可以看作把正弦曲线上所有点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变)而得到的，这种变换称为.4、函数y=sin(sv+3)V y=sindlr图象之间的关系(1)函数y=sin(2x+1)的图象是将函数丁=sin 2x的图象向 平移 个单位长度而得至小(2)函数y=sin(2x-l)的图象是将函数丁=sin 2x的图象向 平移一个单位长度而到.一般地，函数y=sin(r+3)的图象可以看作是把y=sin3的图象上所有的点向左(p)或向右(p)平移 个单位长度而得到的.二、典例分析：例1、(1)函数y =s in(2 x +5)的图象可由函数=5亩的图象经过怎样的变换得到？(2)将函数y =s in x的图象上所有的点 得y=s in(x 一 的图象；再将y =s in(；x?)的图象上的所有点 可得到函 数_y =s in(：x，)的图像.1 1 T(3)要得到y =s in jx的图像，只需将函数y =s in(；x g)的图像.T T(4)要得到函数y =cos(3 x 一代)的图像，需将函数y =s in 3 x的图像_.6(5)已知函数y =/(x),若将/(x)的图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，然后将整个函数图象向上平移2个单位，得到曲线与y =s inx的图象相同，则/(x)的解析式是 _例2、要得到y =s in2 x的图象，需要将函数y =cos(2 x-X)的图象进行怎样的变换？4例3、已知函数=/s in(皈+夕),(40,。0,|同 工)在一个周期内，当x =生时，2 6y有最大值为2,当=等 时，y有最小值为一2.求函数表达式，并画出函数y=A s in(ox +(p)在一个周期内的简图。(用五点法列表描点)三、巩固练习：1、将函数y =cos x的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位后可得到函数2、已知x)=sg f)g(x)=cs(A则小)的 图 象()A.与g(x)图像相同 B.与g(x)图象关于丁轴对称C.向左平移1个单位得到g(x)的图象 D.向右平移三个单位得到g(x)的图象3、将函数y =/(x)图象上每一点的纵坐标变为原来的g,横坐标变为原来的g,再将整T T个图象沿X轴向左平移;个单位，得到函数=5 m的图象，则函数/(x)=.四、拓展延伸：经过怎样的变换可由函数_y =s in 2 x的图象得到y =cos(x +?)的图象？高 中 数 学 必 修 四 导学案班级 姓名1.5 函数y =Z s in(0,a)0)表示一个振动量时，振幅为,周期为,频率为,相位为,初相为.二、典 例 分 析：jr例1、若函数y =3 s in(2 x-)表示一个振动量：(1)求这个振动的振幅、周期、初相；(2)画出该函数的简图并说明它与丁=$足%的图象之间的关系；(3)写出函数的单调区间.例2、已知函数y =Z s in(0 x +9)(A Q,wO,-pj 0,6 9 0,0。0)个单位，得到的图象恰好关于直线x =36对称，求夕的最小值.三、巩固练习:1、函数y =s in(3 x-()的图象可以看作是由函数y =s in 3 x的图象得到的.TTJT2、先将函数y =5 s in(3 x)的周期扩大为原来的2倍，再将新函数的图象向右平移位个6 3单位长度，则所得图象的函数解析式为3、若函数/(x)=A s in(ox +9)(力 0,0 0,0 0,0 0,机 ),在一周期内，当工=工时,丁取得最大值3,当 工=匕 时，V取得最小值-3,求函数的解析式.1 2例 6、设函数/(x)=s i n(2x +马+?(1)写出函数/(X)的周期以及单调区间;TT TT(2)若x w 时，函数/(x)的最小值为2,求当x取何值时，函数/(x)取最大值.6 3(3)在(2)的条件下，怎样由y =c o s x变换到/(x)?二、巩固练习:1、(1)若a是第四象限角，乃-a是第 象限角.(2)已知a为第三象限角，则上所在的象限为2-(3)若c o s。，且s i n 26 0 时，；当4 0时，；当2 =0时，；_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 叫做向量的数乘2.向量的线性运算定义：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 统称为向量的线性运算；3.向量的数乘的作图：已知a,作6=4 a当40时，把Z按原来的方向变为原来的4倍；当4 0时:把Z按原来的相反方向变为原来的4倍；4.向量的数乘满足的运算律：设九 为任意实数，为任意向量，则(1)结合律(2)分配律【典型例题】例1.已知向量a ,求作：_ :(1)-2.5a(2)2a-3b a/b例2.计算(1)(-5)-4a(2)5(a+b)-4(a-b)-3a(3)2(2a+6b 3c)3(3a+46 2c)例3.已知ON,砺是不共线的向量，AP=tABXt&7?).试 用 方，砺表 示 而例4.已知：AZBC中，。为5C的中点，,尸 为的中点，AD,BE,CF相交于。点，求证：-1 -(1)AD=-(AB+AC)(2)AD+BE+CF=6(3)OA+OB+OC=0【巩固练习】1.计算:(1)3(5a-3)-2(6tz+h)(2)4(a 3h+5c)2(3a 6b+8c)2.已知向量 且 3(x+a)+2(x-2a)-4(x a+6)=0,求 x3.在平行四边形ABCD中，AB=a,AD=b,AN=亚J M为BC的中点,用 归 来 表 示 该高 中 数 学 必 修 四 导学案班级 姓名2.2.3向量数乘运算及其几何意义(2)【学习目标】1.理解并掌握向量的共线定理；2.能运用向量共线定理证明简单的几何问题；3.培养学生的逻辑思维能力【学习重难点】重点：向量的共线定理；难点：向量的共线定理；【自主学习】1.向量的线性表示：若果加=则称向量否可以用非零向量线性表示；2.向量共线定理：思考：向量共线定理中有Z w 6这个限制条件，若无此条件，会有什么结果？【典型例题】例1.如图，。,后分别是AZ BC的边。的中点,(1)将方 云 用 前 线 性 表示；(2)求证：就与正共线.BEA例2.设q,%是两个不共线的向量，已知45=2q+ke2,CB=e+3e2,C D =2e1-e2,若/、3、。三点共线，求左的值.一 -=“，一 3 -3 变式：设q,6是两个不共线的向量，已知=一86，。8 =6+3，。=2。一%,求证：/、B、。三点共线.例3.AO/B中，C为直线43上一点，元=4在,(几。一1)1 O A +A O B求证：oc=-1 +A思考：(1)当2 =1时，你能得到什么结论？-O A +X O B(2)上面所证的结论：0。=-表明：起点为0,终点为直线43匕一点。的1 +2向 量 反 可 以 用O N,历表示，那么两个不共线的向量力，历可以表示平面上任意一个向量吗？例4.已知向量a =2q-3 6 2,6 =2 6+3&2,其中,，？不共线，向量c =2 q-9 e 2，是否存在实数;1,4,使得才=2 Z +4区与 共线例5.平面直角坐标系中，已知/(3,1),8(1,3),若点C满足O C =a O A +(5 OB,其中a,凡4d。三点共线，求a +夕 的值;【巩固练习】1.已知向量a =2 q -2 e 2，B=-3(e 2 e j,求证：a 为共线向量.-3 1 *=3 ”2.设q,6是两个不共线的向量，a =2q=攵q+6，若。力 是共线向量，求攵的值.3.求证：起 点 相 同 的 三 个 非 零 向 量-2b的终点在同一直线上.高中数学 必修四导学案班级 姓名2.3平面向量基本定理【学习目标】1 .了解平面向量的基本定理及其意义；2 .掌握三点（或三点以上）的共线的证明方法：3.提高学生分析问题、解决问题的能力。【预习指导】1、平面向量的基本定理如果I，或 是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量有且只有一对实数4，2 2 使 =4 e+之 2 e22、基底：平 面 向 量 的 基 本 定 理 中 的 不 共 线 的 向 量 晟，称为这一平面内所有向量的一组基底.思考：（1）向量作为基底必须具备什么条件？（2）一个平面向量的基底唯一吗？3、向量的分解、向量的正交分解：一个平面向量用一组基底,表示成）=4 3+41 的形式，我们称它为向量的分解，当I,互相垂直时，就称为向量的正交分解。4、点共线的证明方法：.【典例选讲】例 1：如图：平行四边形ABCD的对角线AC和 BD交于一点M,AB=a,7 5 =b试 用a石 表 示 荻,M A,MB和 砺.a例 2：设q ,e2是平面的一组基底，如 果A B=3e 2 e,B C=4 e,+e2,C D=8 e1 9 e2,求证：A、B、D三点共线.例3：如图，在平行四边形A B C D中，点M在AB的延长线上，且B M=A B,点N在2B C上，且B N=B C ,用向量法证明：M、N、D三点共线。3【巩固练习】1、若 是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的（）A、4 2 g 和 6 +2 gB、,与 3 gC、2 C +32 和-4 0 -6 4 D q+g 与G2、若G，与是平面内所有向量的一组基底，那么下列结论成立的是 若 实 数4,4使4 ,+4 6 =。，则4=4=。空间任意向量都可以表示为5=4 1+4 ，4，4wR 彳,+与，4，R不一定表示平面内一个向量对于这一平面内的任一向量。，使。=4 4+44的实数对4，4有无数对3、三角形A B C中,若D,E,F依次是48的四等分点，则以C 3=q,CA=e2为基底时，用G，g 表示0尸4、若a =-5 +3 e2,b=4 e+2e2,cC=-3 el+1 2 g ,写出用 41 b+4 2 c的形式表示高 中 数 学 必 修 四 导学案班级 姓名2.3 平面向量的坐标表示及运算(1)【学习目标】1、能正确的用坐标来表示向量；2、能区分向量的坐标与点的坐标的不同；3、掌握平面向量的直角坐标运算；4、提高分析问题的能力.【预习指导】1、一般地，对于向量3,当它的起点移至 时，其终点的坐标(X/)称为向量4 的(直 角)坐 标，记作.2、有向线段AB的端点坐标为/(司,)，8(%)2)，则向量茄的坐标为.3、若a =,b (x2,y2)a+b =.a-b=.【典型例题选讲】例 1：已知0是坐标原点，点 A在第一象限，=Z.xOA=6 0,求向量04的坐标例 2：已知 A (-1,3),B (1,-3),C(4,l),D (3,4),求向量 0 A,OB,A O,C D 的坐标例 3：平面上三点A (-2,1),B (-1,3).C (3,4)，求 D点坐标，使 A,B,C,D 这四个点构成平行四边形的四个顶点。例 4：已知 P|(xx,yx)P 2x2,y2)P 是直线 P1 P2 上一点，且 片尸=H-1),求点P 的坐标【巩固练习】1、与向量Z =(1 2,5)平行的单位向量为2、若 0 (0,0),B(-1,3)且 而 =3为，则8 点的坐标是：3、己知O是坐标原点，点 A在第二象限，旧=2,404=1 5 0 求向量近的坐标4、已知边长为2的正三角形A BC,顶点A在坐标原点，AB边 在 x轴上，点 C在第一象限,D为 AC的中点，分 别 求A B,A C,B C,B D的坐标。【课堂小结】高中数学 必修四导学案班级 姓名2.3 平面向量的坐标表示及运算(2)【学习目标】1、进一步掌握向量的坐标表示；2、理解向量平行坐标表示的推导过程；3、提高运用向量的坐标表示解决问题的能力。【预习指导】1、向量平行的线性表示是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2、向量平行的坐标表示是：设a =(X ,N|),Z =(乂2，8)(。)，如果a 石，那么，反之也成立。3、已知A ,B ,C ,0四点满足条件：。+方=云，当。+=1 ,则能得到_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _【典型例题选讲】-1 -1 -.例 1：已知/(1,0),5(3-1),C(l,2)且/,求证：E F /A B例2：已知3 =(1,0)=(2,1),当实数上为何值时，向量左3 与)+3右平行?并确定此时它们是同向还是反向例3：已知点O,A,B,C,的坐标分别为(0,0),(3,4),(1,2),(1,1),是否存在常数/,O A +tOB=O C 成 立?解释你所得结论的几何意义。【巩 固 练 习】1、已知a =(2,3),g=(6,夕),且a Z ,求 实 数y的值2、已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A (2,1),B (1,3),C (3,4),求 第 四 个 顶 点 的D坐标3、已知 A(0,-2),B (2,2),C(3,4),求