初二升初三暑假教材.pdf

第2饼 一 无 二 米 方 程月 日 姓 名：【老灯目标】1、学会根据具体问题列出一元二次方程，培养把文字叙述的问题转换成数学语言的能力。2、了解一元二次方程的解或近似解。3、增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。【扣裾要点】1、一元二次方程的定义:只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为ax 2+6 x +c=0(a、b、c、为常数，a/0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程。(1)定义解释：一元二次方程是一个整式方程；只含有一个未知数；并且未知数的最高次数是2。这三个条件必须同时满足，缺-不 可(2)ax2+b x+c =Q(a、b、c、为常数，a*0)叫一元二次方程的一般形式，也叫标准形式。(3)Eax2+b x+c =0(a 0)中，a,b,c 通常表示已知数。2、一元二次方程的解：当某一 x的取值使得这个方程中的o +b x +c的值为0,x的值即是一元二次方程O X?+X +C =0的解。3、一元二次方程解的估算：当某一 x的取值使得这个方程中的。/+弘+C的值无限接近0时，X的值即可看做一元二次方程ax2+b x+c =0的解。【经典例敦】例1、下列方程中，是一元二次方程的是20 y =0；(2)2%2 x 3 =0 ；-y =3 ；ux b x；4%-3 x2=2 +3 x ；()x3 x +4=0 ；/=2；/+3 尤=0 ；xyjx2-x=2；ax2=b x(a w 0)例2、(1)关于x的方程(加一 4)丁+(研4)x+2研3=0,当勿 时，是一元二次方程,当 m 时，是一元一次方程.(2)如果方程af+5=(x+2)(x-l)是关于x的一元二次方程，则 a.(3)关于x的方程(2 团2 +m-3)r,+1+5 x =1 3 是一元二次方程吗?为什么？例 3、把下列方程先化为一般式，再指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。(1)2X2-X+1=0(2)-5X2+1=6X(3)(x+l)2=2 r (4)-y/3x2-4x =-8例 4、(1)某校办工厂利润两年内由5万元增长到9万元，设每年利润的平均增长率为x,可以列方程得()A.5(l+x)=9 B.5(l+x)：9C.5 (1+x)+5 (1 +x)2=9 D.5+5 (1+x)+5 (1+x)2=9(2)某商品成本价为3 0 0 元，两次降价后现价为1 6 0 元，若每次降价的百分率相同,设为x,则方程为.例 5、一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如下图所示，它的长为8 m,宽为5 m,如果地毯中央长方形图案的面积为1 8 m2,那么花边有多宽？(列出方程并估算解得值)8 m例 6、如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m,如果梯子的顶端下滑1 m,那么梯子的底端滑动多少米?*!(1)(2)【经典称行】胜名/鼠楂,一、选择题1、下列关于X的方程:1.5 9+1=0；2.3*+工+1=0 念 3.=*（其中为常数）；2 丁+3 厂0；X 名 U=2x；yl（x2+x）2=2 x中，一元二次方程的个数是（）A、1 B、2 C、3 D、42、方程/一2(3.-2)+(户1)=0 的一般形式是A.X-5A+5=0 B.V+5 户5=0C.x+5 x5=0 D.1+5=03、一元二次方程7/2 户0的二次项、次项、常数项依次是A.l x,2x,0 B.l x,-2 x,无常数项C.l x,0,2 x D.l x,2 x,04、若 产 1 是方程a f+H+L O 的解，则A.a b c=二、填空题B.al -c=O C.a+c=O D.a-b c=O1、将 x（4x+3）=3 x+l 化为-般形式为,此 时 它 的 二 次 项 系 数 是.,一次项系数是,常数项是。2、如果（歼2）六+4户3=0 是一元二次方程，那么a 所满足的条件为.3、已知两个数之和为6,乘积等于5,若设其中一个数为人 可得方程为.4、某高新技术产生生产总值，两年内由5 0 万元增加到7 5 万元，若每年产值的增长率设为x,则方程为.5、某化工厂今年一月份生产化工原料1 5 万吨，通过优化管理，产量逐月上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设一、二月份平均增长的百分率相同，均 为 x,可列出方程为三、解答题1、某商场销售商品收入款：3月份为2 5 万元，5月份为3 6 万元，该商场4、5月份销售商品收入款平均每月增长的百分率是多少？【锦后作业】破 名 虱 楂 家在签名一、填空题1、方程5（*一 近 广 1）=一3 百 户 2的一般形式是，其二次项是次项是，常数项是.2、若关于x 的方程（。一1）2 一3 办+5 =0是一元二次方程，这 时 a 的取值范围是3、某地开展植树造林活动，两年内植树面积由3 0 万亩增加到42 万亩，若设植树面积年平均增长率为x,根 据 题 意 列 方 程.二、选择题1、下列方程中，不是一元二次方程的是（）A.2 丁+7=0 B.2 丁+26户 1=0 C.5 x+-+4=0 D.3%+（l+x）行+1=0X2、方程步一2（3 42）+（户1）=0的 一 般 形 式 是（）A.V5 x+5=0 B.V+5 x+5=0 C.*+5 x5=0 D.V+5=03、一元二次方程7/2 x+l =5的二次项、一次项、常 数 项 依 次 是（）A.l x,2x,1 B.7 x,-l x,无常数项 C.7/,0,2x D.l x,-2x,-44、方程J5 =（J i -&）x 化为一般形式，它的各项系数之和可能是（）A.V 2 B.-V 2 C.V 2-V 3 D.1 +7 2-2 7 35、若关于x 的 方 程(ax+b)(d e x)二 勿 Q c X O)的二次项系数是日c,则常数项为A.m B.b d C.b d-m D.(b d ni l)6、若关于x 的方程a(x-IT=2 V -2是一元二次方程，则 d的值是()A.2 B.-2 C.0 D.不等于27、若产T是方程af+Av+u O 的解，贝 lj()A.a b c=B.a-b c=Q C.a+b+c=O D.ab c=O)第M用 一 完 二 次 方 程（配 方 法）月 曰 姓 名：【皆司目标】1、会用开平方法解形如 +加y=(2)的方程。2、理解配方法，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程。3、经历列解方程解决实际问题的过程，体会转化的数学思想，增强数学应用意识和能力。【知但要点】1、直接开平方法解一元二次方程：(1)把方程化成有一边是含有未知数的完全平方的形式，另一边是非负数的形式，即化成(x+b)2=。(。2 0)的形式(2)直接开平方，解得X =+/?+=+b-2、配方法的定义：通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。3、用配方法解一元二次方程的步骤：(1)利用配方法解一元二次方程时，如果ax 2+bx +c=0中a不等于1,必须两边同时除以a,使得二次项系数为1.(2)移项，方程的一边为二次项利一次项，另一边为常数项。(3)方程两边同时加上一次项系数一半的平方。(4)用直接开平方法求出方程的根。【经典领驳】例1、解下列方程：(1)X2=4 (2)汽+3 y=9例2、配方：填上适当的数，使下列等式成立：(1)X2+1 2X+=(x+6 (2)x2+8x+=(x+)2(3)x2_ 1 2x+=(x _)2例3、用配方法解方程(1)3X2+8X-3=0(2)6 x 2x 1 2=0(3)一-x2+x =02 4(4)x1-2=0例4、请你尝试证明关于x的方程(机2 -8m+2 0)/+2加x+1=0,不论m取何值，该方程都是一元二次方程。例5、一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系：h=15 t-5 e小球何时能达到10m高？【经典称司】歌名，鼠楂/一、填空题1 若 X2=225,贝 U X=丁 2=.2 若 9/25=0,贝 ijxk,必=.3、填写适当的数使下式成立./+6 x+=(x+3/x 2x+l=(x_ I)2 x2+4x+=(x+)24、为了利用配方法解方程一6 氏一6=0,我们可移项得,方程两边都加上，得，他 .解此方程得x 尸_ _ _ _ _ _ _ _ _，=.5、将长为5,宽为4的矩形，沿四个边剪去宽为x的 4个小矩形，剩余部分的面积为1 2,则剪去小矩形的宽x为.6、如 图 1,在正方形A B C Q 中，A8是 4 co 1,Z i B C E 的面积是 尸面积的4倍，则的长为.7、如图2,梯形的上底A O=3 cm,贝!J x=_ _ _ _ _ _ cm.日-1c图 1二、选择题1、方程5+7 5=0 的 根 是()A.5 B,-52 方程3 人工-1 二 0的解是(下底6 c m,对角线A C=9 c m,设。4=尢,7?_其图 2C.5 D.无实根)三、计算题(用配方法解下列方程)-/3A.x=-B/=3 C/=-3 33、一元二次方程x?2x 犷0,用配方法解该方程，A.(x l)2-m+lC.(x-l)2=l-m4、用配方法解方程/+x=2,应把方程的两边同时(4,1 -1A.加一 B.加一4 25、已知x y=9,x)=3,则犬+3*的 值 为(A.27 B.9DJC=旧配方后的方程为()B.(x-1)2=加一1D.(x-l)2=/n+l)C.减 一 D.减 一42)C.5 4 D.1 8(1)X2=16(2)(x 2 y=4(3)X2+5X 1=0(4)2X2-4X-1=01 2(5)一广6x+3=04(6)x2x+6=0(7)x2-4 x-3 =0(8)x2+12x+25=0(9)3x2-l=6x(10)2x2-2A/2X+1=0四、解答题两个正方形，小正方形的边长比大正方形的边长的一半多4 c m,大正方形的面积比小正方形的面积的2 倍少32平方厘米，求大小两个正方形的边长.【薛后作业】膜 名 鼠 楂 家叔签名1、将下列方程两边同时乘以或除以适当的数，然后再写成(户加、的形式(1)2/+3 x-2=0 (2)1 /+不一2=042、用配方法解下列方程 V+5 x-5=0 (2)2V-4x-3=0(3)x23J T3=0(4)2x2+7x +1 4=0第4褂 一 无 二 次 方 程(公 式 法)月 日 姓名：【当 打R标】1、学会一元二次方程求根公式的推导2、理解公式法，会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程。3、经历一元二次方程的求根公式的探索过程，体会公式法和配方法的内在联系。【知例要点】1、复习用配方法接一元二次方程的步骤，推导出一元二次方程的求根公式：对于一元二次方程办2+法+，=0其中awO,由配方法有(X +)2=，2a 4a 一(1)当/?2 4a c N0 时，得 x=-b+b ja c；2a(2)当/一4“。0时，一元二次方程无实数解。2、公式法的定义：利用求根公式接一元二次方程的方法叫做公式法。3、运用求根公式求一元二次方程的根的一般步骤：(1)必须把一元二次方程化成一般式。/+Z?x +c =0 ,以明确a、b c的值;(2)再计算。2 4。的值:当人2一4QCN 0 时，方程有实数解，其解为:一。2-44cX =-2a当人2一4。0时，方程无实数解。【经典例驳】例1、推导求根公式：ax2+b x-c =O(。0)例2、利用公式解方程:(1)X2-2X-2 =0(2)2x2+7x =4(3)x4x+1 =0(4)x2-4V 3 x +1 0 =0例 3、已知,均为实数，且 J a2-2+1 +I b+I +(c+3)2=0,徽 f a x2+/?x +c =0例 4、你 能 找 到 适 当 的 大 的 值 使 得 多 项 式 与 8=3 2 相等吗？例 5、一元二次方程（加-1）1+3 序才+（序+3 加-4）=0有一根为零，求 的值及另一根.【经典秣刃】驳名，闽楼/1、用公式法解方程3 f+4=1 2x,下列代入公式正确的是（）127122-3X4-127122-3X4A.-Y 、2=B.X 、2=2 2八 12A/122+3X4 r -(-1 2)J(-12)2-4X3X4C.X 、2=-D.X|?=-2 2x 32、方程f+3 x=1 4的解是()3 V 6 5-3 V 6 53 V 23-3 V 23A.x=-B.x=-C.x-D.x=-22223、下列各数中，是方程f（1+乔.+石=0的解的有（）i-1一后A.0 个 B.1 个 C.2个5、若代数式?-6%+5的值等于1 2,那么x 的值为（）D.3 个A.1 或 5B.7 或一1 C.-1 或一5D.一7 或 16、关于x的方程3 f 2（3 m l）x+2=1 5 有一个根为一2,则勿的值等于（）A.2 B.-C.-2 D.-2 27、当 x为何值时，代数式2/+7 X-1 与 4 x+l 的值相等？9、用公式法解下列各方程(1)X2+6X+9=7(2)12x2+7x+1 =0(3)x2-4A/2X+8=0(4)2/3 x 5 =0(5)x2-x-l =0(6)3 x2-5 x +l =0(7)(2 x l)(x 3)=4(8)4/-(V 2+8)y +V 2=0(9)V 2 x2-V 3x-V 2=0(1 1)5x2-8 x =-1(1 0)(y 2)()，+l)+y(y-1)=0(1 2)x2+2m x 3n x 3 m2-m n+2/72=0【锦后作业】姓 名 鼠1、方程(*5)2=6的两个根是()A.小=色=5+遍楂 家衣签名B.用=照=5+遍C.X=5+屈，X2 5-娓D.X i=5+,X 2=5 2、利用求根公式解一元二次方程时，首先要把方程化为 确定的值，当 一 时 把 d 的值代入公式，小，2=一求得方程的解.3、当 x 为何值时，代数式2/+7 x 1 与 f-1 9 的值互为相反数?4、用公式法解下列方程：(1)x2 7x+l=0(2)x(x+8)=0(3)x x=2,(4)0.8X2+X=0.3(5)3X2+1=2(6)x2=7 x第5用一无二次方程(合解国式法)月 曰 姓 名：【皆 打 目 标】1,能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。体会解决问题方法的多样性。2、会用分解因式(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程。3、会根据题目的特点灵活的选择各种方法解一元二次方程。【知佣要点】1、分解因式法解一元二次方程：当一元二次方程的一边为0,而另一边易于分解成两个一次因式的积时，可用解两个一元一次方程的方法来求得一元二次方程的解，这种解-元二次方程的方法称为分解因式法。2、分解因式法的理论依据是：若a/=0,则。=0或6 =03、用分解因式法解一元二次方程的般步骤：将方程的右边化为零；将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，他们的解就是一元一次方程的解。【典型领驳】例 1、(1)方程(x -l)(x +2)=2(x +2)的根是(2)方程(x l)(x +2)(x 3)=0 的根是例2、用分解因式法解下列方程(1)3 x2-6 x =0 (2)3(x 5)2 =2(5 x)(3)x2-2 x +1 =0(4)4 x2+8 x =-4(5)(3 x +2)2(x +3)2 =0(6)4 9(x-3)2=1 6(x +6)21 i 5(7)x+x-6 =04 2(8)(X-1)2-4(X-1)-2 1=0.例 3、2 是方程x2+/?x 1=0 的一个根，则b=,另一个根是.例 4、己 知 5+6/=0,则 3 H 等于()b aA.2-B.3-C.2-BK3-2 3 2 3D.2或3,3 2例 5、解关于x的方程：(，一Z?2)*+4 a b x=才一兄例6、x为何值时，等式 一一2川2/一3%-4=0【经典任司】胜名：虱楂；一、填空题1、用因式分解法解方程9=X2-2X+1(1)移项得;(2)方程左边化为两个数的平方差，右边为0 得一(3)将 方 程 左 边 分 解 成 两 个 一 次 因 式 之 积 得；(4)分别解这两个一次方程得X,=,X 2=2、(1)方程 t(t+3)=2 8 的解为.(2)方程(2 x+l)2+3(2/+1)=0 的解为.3、(1)用因式分解法解方程5 (x+3)-2 x (x+3)=0,可把其化为两个一元一次方程和 求解(2)方程/m H),可 将 方 程 左 边 因 式 分 解 得 方 程,则有两个一元一次方程或，分别解得：x 产 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _也=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _.4、如果方程x 2-3 x+c=O有一个根为1,那 么 c=,该 方 程 的 另 一 根 为,该方程可 化 为(x-1)(x)=05、已知7 x y+1 2 y2=0,那么x与 y的关系是.6、小英、小华一起分苹果，小华说：“我分得苹果数是你的3 倍。”小英说：“如果将我的苹果 数 平 方 恰 好 等 于 你 所 得 的 苹 果 数。”则 小 英、小 华 分 得 的 苹 果 个 数 分 别是O二、选择题1、方程3=1 的 解 为()A.B.V332、2 x(5 x 4)=0 的 解 是()4 5A.X =2,%2=B.X|=0,%2=3、下列方程中适合用因式分解法解的是(A.+x+1=07D.土 立3C u:2+(l +V2)x+V2=04 1 4C.X|=0,x，=D.x i=,X 2=5 2 5)B.2 r2-3 x+5=0D.f+6 x+7=04、若代数式f+5 x+6 与一x+1 的值相等，则 x的 值 为()A.X|=-1,X 2=5C.X I=-2,%2=一3BJ C)=-6,D.x=-15、已知y=6/5 x+l,若 y#0,则x的取值情况是()6、A.x W -且 x W 1 B.x W C.x W 623方程 2r(x+3)=5(x+3)的 根 是()D.x W1 口，一旦 xW 2 37、A.x=B.x=3 或 x=C.x=-32 2用因式分解法解方程，下列方法中正确的是A.(2x-2)(3X-4)=0 二2 2A=0 或 3入 一 4=0B.(%+3)(x-l)=l ；.A+3=0 或 A 1=1D.x=或 x=32C.(X 2)(x 3)=2X 3 A%-2=2 或 x-3=3D.x(x+2)=0 -2=08、方程 a x(x 6)+(。一x)=0 的根是1 1 2A.x=by x-2p a B.x=b,xi=C.汨=a,X 2=D.x-a,x ba h9、若一元二次方程(加-2*+3(/+1 5)1+/4=0 的常数项是0,则 加 为()A.2 B.2 C.-2 D.-1 0三、解下列关于x的方程(l)?+1 2x=0；(2)4X2-1 =0；(3)(x-l)(x+3)=1 2；(4)X2-4X-21 =0；(5)3%+2%-l=0；(6)1 0%-x-3=0；(7)4(3X+1)2-9=0(8)5(2x-l)=(l-2x)(x+3)【薛后作业】破 名 鼠 楂 家衣签名一、选择题1、已知方程4X2-3X=0,下列说法正确的是()3A.只有一个根x=B.只有一个根x=043 3C.有两个根x1=0,x2=-D.有两个根X 1=0,x2=-442、如果(x-l)(x+2)=0,那么以下结论正确的是()A.x=l 或 x=-2 B.必须 x=lC.x=2 或 x=-l D.必须 x=l 且 x=-23、若方程(x-2)(3x+l)=0,则 3x+l 的 值 为()A.7 B.2C.O D.7 或 04、方程 5x(x+3)=3(x+3)解为()3 3A.x=,论=3 B.x=3 3C.x =,照=-3 D.X i=,*2=35 55 55、方程(y 5)(y+2)=l 的根为()A.y i =5,%=-2 B.y=5C.y=-2 D.以上答案都不对二、用因式分解法解卜列方程：(1)-2 1)=3(2 1)；(2)y+7y+6=0；(3)/-1 5=2y(2x 1)(x 1)=1.第6年判别式和根身系数的关系月 日 姓 名：【老 打 舟 标】1、使学生会运用根与系数关系解题2、对一元二次方程以及其根有更深刻的了解，培养分析问题和解决问题的能力【加 我 要 点】1、一元二次方程的判别式：=/-4 a c,（1）当4 a c 0 时，方程有两个不相等的实数根，x=、2a（2）当4 a c=0 时，方程有两个相等的实数根，网=一 上；2a（3）当。2一4 牝 0时，丫 =二。土 小 二“J 方程有两个不相等的实数根;2a卜（2）当/4碇=0时，x =，方程有两个相等的实数根；2a（3）当 尻 4 a c=60,则 NA=（）.二、选择题1、若三角形的三边分别为。也c,则下面四种情况中，构成直角三角形的是（）A.a=2/=3,c=4 B.tz=12,/?=5,c=13 C.a=4,/?=5,c=6 D.a=7,/?=18,c=172、下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（）A.两条直角边对应相等 B.有两条边对应相等C.一条边和一锐角对应相等 D.一条边和一个角对应相等3、。是NBAC内 点，且点。到A B,4c的距离。/=。凡则 AE。丝AF。的 依 据 是（）A.HL B4AS C.SSS D.ASA4、在 RtZ48C和 RtZA B C中，N C=/C =90,如下图，那么下列各条件中，不能使 RtZ48C名RtZXA B C 的是第 3 题第 4 题第 4 题A.AB=A B=5,BC=B C=3B.AB=B C=5,ZA=ZB,=40C.AC=A C =5,BC=B C =3DAC=A C =5,N A=/A =40三、证明:1、已知N A B C=N A Z)C=9 0,E 是 A C 上一点，A B=A D,求证：EB=ED.92、已知：如下图，A B C 中，C Z)J _ A 8 于 O,A C=4,B C=3,DB=-.5(1)求 0 c的长；(2)求 4。的长；(3)求 A8的长；(4)求证：A B C 是直角三角形.3、为修铁路需凿通隧道AC,测得/4=50,Z B=40,48=5 k m,8 c=4 k m,若每天凿隧道0.3 km,问几天才能把隧道凿通？4、如图，A D 是/B A C 的角平分线，D E A B,D F 1A C,B D =C D,A B =A C,求证：E B =F C。【锦后作业】姓 名 鼠 楂 家衣签名1、R t Z A B C 中，Z C=9 0,C D L A B,豌 为。，若N A=60,A B=4 c m,则 CO=,2、R t Z A 8 C 中，Z C=9 0,若 a=5,c=13,贝 l j。=.3、直角三角形两直角边长分别为6和8,则 斜 边 上 的 高 为.4、在 R t Z X A B C 中，Z C=9 0,若 a：b=l：2,且 c=5,贝ij=,5、R t Z X A B C 中 N C=9 0,C 是高，B C=3,A C=4,则 BD=.6、若直角三角形的三条边长分别是6,8,a则(1)当6,8均为直角边时，a=:(2)当8为斜边，6为直角边时，a=,7,已知，如下图，等边三角形A 8 C,4。为8 C边上的高线，若48=2,求 A B C的面积.第饼垂直平今俵月 曰 姓 名：【老 司 目 标】1、掌握线段垂直平分线的定理和逆定理2、能应用线段的垂直平分线的定理和逆定理进行作图和证明3、进一步掌握推理证明的方法，拓发展演绎推理能力，培养思维能力【的 我 要 点】1、线段垂直平分线的性质定理的证明以及应用定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。定理解释：具备MN垂直平分A B,P是MN上任意一点这样的条件，就可得出P A =P B2、线段垂直平分线的性质定理的逆定理定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。定理解释：具备P是线段A B (上)外一点，且=这样的条件，就可得出结论：P在A B的垂直平分线上。3、用尺规作线段的垂直平分线一般作法为：（1）分别以线段A B 的两个端点A、B为圆心，以大于A3 的长为半径作2弧,；两弧交于点M、N；（2）作直线M N,作直线M N 就是A B 的垂直平分线。4、三角形三边的垂直平分线定理及应用定理：三角形三条边的垂直平分线交于一点，且这一点到三个顶点的距离相等【典型例观】例 1、如图，在a A B C 中，Z C =9 0 ,D E 是 A B 的垂直平分线。1）贝 I B D =；2）若N B =40 ,则/B A C=,Z D A B =,Z D A C 二 ,Z CD A =；3）若 A C=4,B C=5,则 D A +D C=,Z X A CD 的周长为。DC例 2、已知：如图（1），在 Rt A B C中，Z A=9 0 ,A B=3,A C=5,B C边的垂直平分线D E 交 B C于点D,交 A C于点E。求4 A B E 的周长。，B D例 3、公 路 边 要 建 一 个 家 乐 福 超 市，使 它 到 A、B两 居 民 点 的 距 离 相 等，如何确定家乐福超市的位置?B例 4、如图，在a A B C 中，/C=9 0 ,Z B=1 5 ,AB的垂直平分线交B C 于点D,如果B D=8 c m,求 AC 的长例 5、如图，在A A B C 中，A C 的垂直平分线交A C于 E,交 B C于 D,Z X A B C的周长为1 2 cm,A B D 的周长为9 cm,求 A C 的长度。例 6、已知在A A B C 中，D E 是 A C 的垂直平分线，A E =3cm,Z X A B D 的周长是1 3cm,求a A B C【经典休司】姓名，鼠卷，一、填空题1、如图，A A B C 中，A B =A C,Z A =40 ,D E 为 A B 的中垂线，则N 1 =Z C =,Z 3 ；若a A B C 的周长为 1 6 cm,B C=4cm,则 A C=,A B C E 的周长为。2、三角形三边的垂直平分线交于一点，且 这 点 到 三 个 顶 点 的 距 离.3、已知线段48 外两点P、Q,且 P A=P B,Q A=Q B,则直线0 0 与 线 段 的 关 系 是4、底边力庐a的等腰三角形有 个，符合条件的顶点C 在线段46 的 上5、直 线/上 一 点 0 满 足Q A=Q B,则 0 点是直线/与 的交点.6,在46 C中，小 伤 6 cm,的垂直平分线与力C 相交于点，且4 6位的周长为1 0 cm,则 B C=cm.7、在 Rt A 46 C中，N田9 0 ,A OB C,4 6 的垂直平分线与然相交于点，连 结 阳若N C B E：N EB 4=T：4,则N 4=一度，Z A B C=一 度.二、选择题1、下列命题中正确的命题有（）线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；经过线段中点的直线只有一条；点 P在线段4 8 外且发=如，过 P作直线则 Y 是 线 段 的 垂 直 平 分 线；过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.A.1 个 B.2个 C.3 个 D.4 个2、下列作图语句正确的是（）A.过点P 作 线 段 的 中 垂 线B.在线段48 的延长线上取一点C,使A B=B CC.过直线a,直线b外一点。作 直 线 凝 使M N/a/bD.过 点 尸 作 直 线 的 垂 线3、46 C中，/小 9 0 ,4 6 的中垂线交直线8 c于，若/劭 片 /加田2 2.5 ,则 等 于（）A.37.5 B.6 7.5 C.37.5 或 6 7.5 D.无法确定三、解答题1,已知，在/a 中，A F A C,。是49 C内一点，且 帐 比 求 证：A O L 及.2、如图，在/8 C中，A B=A C,Z A=1 20 ,的垂直平分线极V 分别交及7、b于 点 、N.求证：C M=2B M.BN A3、在 比 中，A B-A C-a,的垂直平分线交，于点，若 缪 的 周 长 为 处求 证：BO m a.【锦后作业】壮名虱 楂家在签名一、填空题1、如左下图,2、如右上图,则N1_Zl+Z4=_点户为三 边 中垂线交点，则 为P B _P C.N2,Z3_Z4,Z5.Z6,N2+N3三_Z 5+Z6-度,ZBOC=3、如左下图，D为BC边上一点，且BC=BD+AD,则AD.的垂直平分线上._ _ _ _ _ 度.D C,点D在.4、c.度，如右上图，在力回中，DE、内G分 别 是 边46、”的垂直平分线，则/吕Z1,ZCZ 2；若 N 以 田126,则 N刃在度.5、如左下图，力是4%?中加边上的高，是力上异于4,的点，若B4CE,则一 一 丝 _ _（从）；从 而 BD=DC，则 g6、如右上图，N劭CM20,AB=AC,1的垂直平分线交8c于。，则N4B=度.第72讲角平台欲是理月 日 姓 名：【老习目标】1、掌握角平分线的定理和逆定理2、能应用角平分线定理和逆定理进行作图和证明3、进一步掌握推理证明的方法，拓发展演绎推理能力，培养思维能力【知我要点】1、角平分线性质定理的证明及应用定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等定理解释：”点到这个角边的距离”实际上就是“点到这角两边所作垂线段的长度”，定理即表明这两条垂线段相等。2、角平分线的性质定理的逆定理的证明以及应用逆定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上3、定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等4、用尺规作角的平分线：【典 型 例 敢】例1、如图，CDAB,B E A C,垂足分别为D、E,BE、CD相交于0,且N1=Z2求证：OB=0C。例2、已知，如图，CE1AB,BD1AC,ZB=ZC,BF=CF。求证：AF为/BAC的平分线。例3、如下图，一个工厂在公路西侧，在河的南岸，工厂到公路的距离与到河岸的距离相等,且与河上公路桥南首（点A）的距离为300米.请用量角器和刻度尺在图中标出工厂的位置.例4、如右图，E、。分别是A8、A C上的一点，N E B C、的角平分线交于点/B E D、N E O C的角平分线交于N.求证：4、M、N在一条直线上./4证明：过点 N 作 NFJ_AB,N H ED,N K LA C过点 M 作 MP-LAB,M QA.AC:EN 平分/B E D,DN 平分4 E D C 4皆弋。:.N F NH,NH NK：.N F NK；.N在NA的平分线上又 历 平 分4 B C,C M：.M在NA的 上：.M.N都在NA的_ _ _ _ _ _ _ _ _ _上*.A A/、N在一条直线上例5、如 图1,0 C平分N A O B,P是0 C上一点，D是0A上一点，E是0 B上一点，且P D=P E,求证：N P 0 O +N P E O =1 80。图1【经典炼灯】胜名，戚楂;一、填空题1、乙4。8的平分线上一点M M到。4的距离为1.5 c m,则M到的距离为.2、如图 1,Z A OB=6 0 ,C D L OA 于 D,C E _ L O B 于 E,J I C D=C E,贝 lJ/OOC=,图1图2 图33、如图 2,在A B C 中,/C=9 0 是角平分线，DEL A B 于 E,且 O E=3c m,B D=5 c m,贝II BC=c m.4、如图3,已知A B、8相交于点E,过E作N A E C及N A E D的平分线尸。与MM则直线MN与P Q的关系是.二、选择题1、给出下列结论，正确的有（）到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；角的平分线与三角形平分线都是射线；任何一个命题都有逆命题；假命题的逆命题一定是假命题A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2、下列结论正确的有（）如果（x-l）（x2）=0,那么x=l；在ABC中，若N B 是钝角，则乙4、NC 一定是锐角；如果两个角相等，那么两个角互为对顶角；如果在一个角内的点，到这个角的两边距离相等，那么这个点在角的平分线上A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3、已知，RtzXABC 中，N C=9 Q：A。平分/8 4 C 交 8c 于。，若 8c=3 2,且B D：C D=9:7,则D至A B的距离为（）A.18 B.16 C.14 D.124、两个三角形有两个角对应相等，正确说法是（）A.两个三角形全等 B.两个三角形一定不全等C.如果还有一角相等，两三角形就全等D.如果一对等角的角平分线相等，两三角形全等5、下列命题中是真命题的是A.有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等B.相等的角是对顶角C.余角相等的角互余D.两直线被第三条直线所截，截得的同位角相等6、如图4,O B、0 c 是 的 任 意 两 条 射 线，。/平 分 N4O8,O N平分4 cO D,若N M O N=a,N B O C=B,则表示/A O D 的代数式为（）A.2。一 8 B.a C.a+fi D.2 a7、如右上图5,已知A8=AC,A E=A F,BE与C F交 于 一 点D,则ABE也/XACF B DE9 t C DE。在NBAC的平分线上，以上结论中，正 确 的 是（）A.只有B.只有 C.只有和 D.，与三、解答题1、如图，Z B=Z C=9 0 ,M 是 BC的中点，平分NAOC,求证：AM平分N D 4 B.2、已知，如图，过 菱 形 ABCD的顶点C 作 C F，AO,CE_LA8,分 别 交 AB、AD的延长线于E、F.试说明CE=CF【锦后作业】姓 名 鼠 楂 家衣签名一、填空题1、如 图（1）,平分N物C,点 P 在/上，若 P EL A B,P F L A C,则%_ _ _ _ _ _ _ _ _ _P F.2、如 图（2）,P DA B,P EA.A C,艮 P D=P E,连接/尸，贝 U N 氏火_ _ _ _ _ _ _ _ _ _Z C A P.3、如 图（3）,Z B A C=&0 ,平 分 N B A C,P DVA B,限 L/C,若 A D=有,则止,4、已知，如图（4）,N 4 修 6 0 ,缪，勿 于。，血 加 于 E,若上竞，贝上C O史N A OB=度.5、如 图（5）,已知物社0匹 于 只 施 _ L O Q 于 0,SA*6 c m OP=Z c m,则，给 c m.PDQ(4)二、解答题已知：如下图在力回中，Z C 90,力平分N B 4 G 交B C于D,若 给32,且 以：C庐9：7,求：至U 4?边的距离.第 行 讲 塔 腰、等边三角形月 日 姓 名：【老司目标】1、运用等腰三角形的性质定理及其推论证明与等腰三角形有关的角相等或线段相等2、运用等边三角形的性质定理及其推论证明与等边三角形有关的角相等或线段相等3、进一步掌握推理证明的方法，拓发展演绎推理能力，培养思维能力【知我要点】1、等腰三角形性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简 称“等边对等角”）2、等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简述为“三线合一”3、等边三角形的性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于6 04,等腰三角形、等边三角形的判定定理：（1）有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称为：等角对等边）（2）有一个角等于6 0的等腰三角形是等边三角形（3）在直角三角形中，如果一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半。（4）三个角都相等的三角形是等边三角形5、等腰三角形中的特殊线段:（1）两底角的平分线；（2）两要上的高；（3）两腰上的中线；（4）底边上的高上的任一点向两腰所引的垂线段对应相等。【舞型领驳】例 1、如图,在Z X A B C 中,A B =A C,A D1A CZ B A C=100 求N l、N 3、/B 的度数。例 2、如图，Z A B C和4 D C E 都是等边三角形，D 是A B C的边B C 上的一点，连接A D、B E。求证：A D=B E o例 3、如图，A 4 B C 中，B D 1 A C T D,CE J _ A B 于 E,B