二次函数与平行四边形存在性问题.pdf

挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘专题6 二次函数与平行四边形存在性问题好题快递.典例剖析【例4】（2021郴州中考真题）【例5】（2021海南中考真迤）【例1】（2021赤峰中考真题）【例2】（2021湘西州中考真题）【例3】（2021梧州中考真题）题组一题组二题组三题组四满分训练（精选中考真翅模拟题共28道）题组五题组六题组七考法综述./以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是中考的热点难点之一，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高.对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决.由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解.方法揭秘“解决抛物线中的平行四边形存在性问题，常用的结论和方法有：线段中点坐标公式、平行四边形顶点坐标公式、画平行四边形.1 .平面直角坐标系中，点A的坐标是（当，/），点B的坐标是（工2，2），则线段AB的中点坐标是（七 三，%产）.2 .平行四边形ABCD的顶点坐标分别为（4,力）、（/，为）、（，先）、（巧）,%），则xA+xc xli+xD,%+%=%+%3.已知不在同一直线上的三点A、B、C,在平面内找到一个点D,使 以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，有三种情况:典例剖析“s_ Z【例1】(2 0 2 1 赤峰)如图，抛物线y=-7+Z?x+c与x轴交于A (-3,0)、8 (1,0)两点，与y轴交于点C,对称轴/与x轴 交 于 点 凡 直 线，w A C,点E是直线4 c上方抛物线上一动点，过点E作小，垂足为“，交A C于点G,连接A E、E C、C H、AH.(1)抛物线的解析式为;(2)当四边形A a C E面积最大时，求点E的坐标；(3)在(2)的条件下，连接E F,点P是x轴上一动点，在抛物线上是否存在点。，使得 以F、E、P、Q为顶点，以E F为一边的四边形是平行四边形.若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由.【分析】(1)利用待定系数法构建方程组求出6,c即可.(2)如 图1中，连 接O E.设E5,-/-2?+3).由题意A C 直线”，推出A C，的面积是定值，因 为 S 四 边 杉AECH=SAAEC+SAACH,推出当AEC的面积最大时，四边形4ECH的面积最大，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可.(3)如图2 中，因为点Q 在抛物线上E F是平行四边形的边，观察图象可知，满足条件的点。的纵坐标为土 至，构建方程求解即可.4【解析】(1)；y=-/+6 x+c 与 x 轴 交 于(-3,0)、B(1,0),.f-9-3b+c=01 -l+b+c=0解 得 尸2,1 c=3二抛物线的解析式为y=-7 -2x+3.故答案为：y=-f-2 r+3.(2)如图 I 中,连接 O E.设 E(切，-ni2-2m+3).图1VA(-3,0),C(0,3),：.OA=OC=3,A C=3&,直线 zn,.ACH的面积是定值，*5 AECH=SAAEC+SMCH,.当 的 面 积 最 大 时，四边形AECH的面积最大，V SAECSMEO+SECO-5A4OC=A x 3 X(-m2-2m+3)+.1.X 3 X(-m)-X3X3222=一旦(m+.2)2+2L,2 2 8;一 旦vo,2，机=-2时，ZV I E C的面积最大,2：.E（-旦，区）.2 4（3）存 在.如 图2中，因为点。在 抛 物 线 上 是 平 行 四 边 形 的 边，观察图象可知，满足条件的点。的纵坐标为土 生，图2对于抛物线y=-x2-2 x+3,当时，-/-2%+3=2殳，解得x=-（舍弃）或-4 4 212：.Qi（-上，也）.2 4当 y=-型 时，-x2-2%+3=-生，解得 x=2.,4 4 2.0（2 1 -至），0（21,-生）.2 4 2 4综上所述，满足条件的点Q坐标为（-工，至）或（士 巨1,-互）或（土 区1,2 4 2 4 2-型）.4【例2】（2 0 2 1湘西州）如图，已知抛物线y=a/+/?x+4经过A （-1,0）,B（4,0）两点，交y轴于点C.（1）求抛物线的解析式；（2）连接B C,求直线B C的解析式；（3）请在抛物线的对称轴上找一点P,使A P+P C的值最小，求 点P的坐标，并求出此时A P+P C的最小值;(4)点 M 为 x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点M使得以A、C、M、N 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.备用图【分析】(1)利用待定系数法解决问题即可.(2)设的解析式为把8,C 两点坐标代入，转化为方程组解决.(3)可以连接8 c 交直线x=W于点P,连 接 力，此时出+PC的值最小，最小值为线段2BC的长.(4)观察图象可知，满足条件的点N 的纵坐标为4 或-4,把问题转化为解方程求解即可.【解析】把 4(-1,0),B(4,0)代入y=ot2+bx+4,得至1 卜 4+4=,I16a+4b+4=0解得卜=-1,lb=3-y X2+3X+4：(2)在 y=-/+3x+4 中，令 x=0,则 y=4,：.C(0,4),设 BC的解析式为y=kx+h,:B(4,0),C(0,4),.Jb=4l4k+b=o.fk=-llb=4 二直线BC的解析式为y=-.r+4.(3)如 图 I 中,2连 接 8 c 交直线x=S 于 点 P,连 接 以，此时以+PC的值最小，最小值为线段8 c 的长2=42+&2=4亚,此时P（芭，至 ）.2 2观察图象可知，满足条件的点N的纵坐标为4或-4,对于抛物线y=-7+3X+4,当y=4时，x2-3 x=0,解得x=0或3,：.N (3,4).当 y=-4 时，x2-3 x -8=0,解得 x二 2：.N 2(3+4 1,-4),N i (-4),2 2综上所述，满足条件的点N的坐标为(3,4)或(芝 逗，-4)或(圭 返I,-4).2 2【例3】(2 0 2 1梧州)如图，在平面直角坐标系中,抛物线y=/+6 x+c经过点A (-1,0),B(0,3),顶点为C.平移此抛物线，得到一条新的抛物线，且新抛物线上的点D(3,-1)为原抛物线上点A的对应点，新抛物线顶点为E,它与y轴交于点G,连 接CG,EG,CE.(1)求原抛物线对应的函数表达式；(2)在原抛物线或新抛物线上找一点F,使以点C,E,F,G为顶点的四边形是平行四边形，并求出点尸的坐标；(3)若点K是)，轴上的一个动点，且在点8的上方，过点K作”的平行线，分别交两条抛物线于点M，M且点M,N分别在y轴的两侧，当M N=C E时，请直接写出点K的坐标.【分析】(1)利用待定系数法求解即可.(2)利用平移的性质求出新抛物线的解析式为y=(x-2)2-2=/-4 x+2,推出G(0,2),因为点C,E,F,G为顶点的四边形是平行四边形，所以观察图形可知，满足条件的点F在过点G平 行C E的直线上，构建方程组求出点F的坐标，再利用平移的性质推出 尸(4,1),但是点尸 不在新抛物线上.(3)设经过点K的直线为，=-1+6,在第二象限与原来抛物线交于点J,由平移的性质可知J,N两点的横坐标的绝对值的差为8,，9y=x+4x+3，消去 y 得到，4?+1 7 x+1 2y=x+b-4b0,推出 x+x2 A L,XX2=3-b,根据|x i -X2|=8,可 得(x i+x 2)?-4XIX2=64,4由此构建方程求出b即可.【解析】(1).抛物线y=/+b x+c经过点A (-1,0),B(0,3),.(c=3ri-b+c=o小=4 c=3.原来抛物线的解析式为y=/+4 x+3.(2)V 4 (-1,0),D(3,-1),.点A向右平移4个单位，再向下平移1个单位得到D,.原来抛物线的顶点C(-2,-1),.点C向右平移4个单位，再向下平移1个单位得到E,：.E(2,-2),；新抛物线的解析式为y=(x-2)2-2=/-4X+2,：.G(0,2),.点C,E,F,G为顶点的四边形是平行四边形，.观察图形可知，满足条件的点尸在过点G平行C E的直线上，,直线C E的解析式为-=-l.v -2,二直线G F的 解 析 式 为 尸-X r+2,4(2(1y=x+4x+3 f,x=7由I 1 ,解得或：(舍弃)，y=-x+2 I y=3 丫=334 了 16：.F(-4,3),c =,r 2=V i7-:.FG=CE,JFG/EC,.四边形E C F G是平行四边形，由平移的性质可知当尸(4,1)时，四边形CE尸G是平行四边形,但是对于新抛物线y=7-4 x+2,x=4时，y=2#l,，满足条件的点F 的坐标为(-4,3).(3)设经过点K的直线为=-L+b,在第二象限与原来抛物线交于点J,4,:JM=EC=4Ti，MN=7T?，：.JN=2/ri，由平移的性质可知，J，N两点的横坐标的绝对值的差为8,(2y=x+4x+3由4 ,消去 y 得到，4/+1 7 x+1 2-4 h=0,y=x+b1 7AXI+X2=-xxi=3-b,4V|x i -X2|=8,(x i+%2)2-4 x 1 X 2=6 4,(1 Z.)2-4 (3-)=6 4,4.M=也，64:.K(o,9 2 5).【例 4】(2 0 2 1郴州)将抛物线=0?(.#0)向左平移1 个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y=a (x-)2+”.抛物线”与 x 轴交于点A,B,与 y 轴交于点C.已知4(-3,0),点 P是抛物线上的一个动点.(1)求抛物线H的表达式；(2)如 图 1,点 P在线段AC 上方的抛物线，上运动(不与A,C 重合)，过点P作尸。L A B,垂足为。，PO交 4C于点E.作 P F J _ A C,垂足为尸，求 ：产的面积的最大值；(3)如图2,点。是抛物线”的对称轴/上的一个动点，在抛物线”上，是否存在点P,使得以点A,P,C,。为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点尸的坐标；若不存在，说明理由.【分析】(1)根 据 将 抛 物 线(a#0)向左平移I个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线”：y=a(x-)2+k,可得顶点坐标为(-1,4),即可得到抛物线H：y=a(X+1)2+4,运用待定系数法将点A的坐标代入，即可得出答案；(2)利用待定系数法可得直线A C的解析式为y=x+3,设P(,，-川-2 m+3),则E(m,巾+3),进而得出P E=-(z n+2)2+1,运用二次函数性质可得：当 机=一 旦时，2 4 2P E有最大值9,再证得 下是等腰直角三角形，即可求出答案；4(3)分两种情形：当A C为平行四边形的边时，则有P Q A C,且P Q=A C,如图2,过点P作对称轴的垂线，垂足为G,设A C交对称轴于点H,证得P Q G丝A C 0(A 4 S),根据点P到对称轴的距离为3,建立方程求解即可；当A C为平行四边形的对角线时，如图3,设AC的中点为例，则 例(-旦，旦)，设2 2点P的横坐标为x,根据中点公式建立方程求解即可.【解析】(1)由题意得抛物线的顶点坐标为(-1,4),抛物线 H：y=a(x+1)2+4,将 A (-3,0)代入，得：a(-3+1)2+4=0,解得：a=1 ,抛物线的表达式为y=-(1)2+4；(2)如图 1,由(1)知：y=-x2-2 x+3,令 x=0,得 y=3,：.C(0,3),设直线A C的 解 析 式 为a+，V A (-3,0),C (0,3),.f-3m+n=0,ln=3解得：fm=l,In=3直线AC的解析式为y=x+3,设 P(加，-2/+3),则 E(m,zn+3),:P E=-m2-2m+3-(加+3)=-zw2-3 m=-(m+)2+,2 4V-l 0,.当机=一3 时，PE有最大值2,2 4：OA=OC=3,N4OC=90,.AOC 是等腰直角三角形，；.NACO=45,CPDLAB,：.Z A D P=9 0Q,Z A D P=ZAOC,J.PD/OC,.NPEF=/ACO=45,V PF LAC,PE尸是等腰直角三角形，:.P F=E F=P E,2二 SEF=工E F=APE2,2 4.,.当m=一旦时，SN E F城 大 值=-ix (旦)2=巫；2 4 4 64(3)当AC为平行四边形的边时，则有PQ AC,且PQ=AC,如图2,过点P 作对称轴的班线，垂足为G,设 4C交对称轴于点”,则 N A H G=N A C O=N P Q G,在尸。G 和ACO中，PGQ=NAOC ZPQG=ZAC OPQ=AC.PQG丝4CO(A4S),：.PG=AO=3,.点尸到对称轴的距离为3,又丁y=-(x+1)2+4,.抛物线对称轴为直线X=-1,设点 P(x,y),则k+l|=3,解得：x=2或x=-4,当 x2 时，y-5.当 x=-4 时，y=-5,.点 P坐 标 为(2,-5)或(-4,-5)；当A C为平行四边形的对角线时，如图3,设A C的中点为M,V A (-3,0),C(0,3),：.M(-3,S),2 2.点。在对称轴上，.点Q的横坐标为-1,设点P的横坐标为x,根据中点公式得：x+(-1)=2义(-旦)=-3,2.,.x=-2,此时 y=3,:P(-2,3)；图3图2图1【例5】(2 0 2 1海南)已知抛物线y=o?+且v+c与x轴交于A、B 两 点,与y轴交于C点，4且点A的坐标为(-1,0)、点C的坐标为(0,3).(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如 图1,若该抛物线的顶点为P,求 P 8 C的面积；(3)如图2,有两动点。、E在A C O B的边上运动，速度均为每秒1个单位长度，它们分别从点C和 点B同时出发，点D沿折线C O B按C-O f B方向向终点B运动，点E沿线段2 C按8-C方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设运动时间为，秒，请解答下列问题：当t为何值时，丛B D E的面积等于强；10在点。、E运动过程中，该抛物线上存在点尸，使得依次连接4 0、D F、FE、E 4得到的四边形A D F E是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标.【分析】(1)把 A、C 两点代入抛物线y=a/+9 x+c 解析式，即可得表达式.4(2)把解析式配方得顶点式，即可得顶点坐标，令 y=0,得 8 点的坐标，连 接。尸，可求的 SPBC=SAOPC+SOPB-SM)BC,=2 OC|xp|+OB|yp|-O B O C,即得结果.2 2 2(3)在0 8 C 中，B C O C+O B,当动点E 运动到终点C 时，另一个动点。也停止运动，由勾股定理得8 C=5,当运动时间为f 秒时，BE=t,过点E 作 EN_Lx轴，垂足为N,根据相似三角形的判定得B E N saB C O,根据相似三角形的性质得，点 的坐标为(4-4/,3/),分两种情形讨论当点Q在线段CO上运动5 5时，0 r 3,此时 C D=t,点、D 的坐标为(0,3-f),SABDE=S/、BOC-SK D E-SABOD=2 乙 当&BDE=33时，2/=型，解 得 =立 旦；H、如图，当点/)在线段0 8 上5 10 5 10 2运动时，3WfW5,B D 1 -t,SBDE-BDE N-当 SA8DE=时，t2 10 10 10_ 7jV 5-;2根据平行四边形A D F E的性质得出坐标.【解析】(1)抛物线y=o?+2 r+c经过A(-1,0),C(0,3)两点，4 9 a-r+c=0 4,c=3=/_解得 -N,c=3该抛物线的函数表达式为尸-l +l x+3；(2)I抛物线丫=-安+当+3=-3 (x-旦)2+.Zl,4 4 4 2 16，抛物线的顶点。的坐标为（3,匹）,2 1 6.y-旦+旦叶3,令 y=0,解得：X I=-1,X 2 =4,点的坐标为（4,0）,0 5=4,如图，连接。P,则 SAPBC=5AOPC+SAOFB-S八OBC，=工00即|+工0中即|-k-O B O C2 2 2=JLX 3X3+JLX 4 X圭-JLX4X32 2 2 16 2=3至-64 8=组.P8C的面积为 空；8（3）；在OBC 中，BCOC+OB,，当动点E运动到终点C时，另一个动点D也停止运动,；OC=3,0 8=4,在 RtA OBC 中，fi C=7 o B2-K）C2=5,.0 忘5,当运动时间为f秒时，BE=t,如图，过点作E N L x轴，垂足为N,则BENs/XBC。，.BN =E N=BE=X BO C O BC T；.BN=生,E N=3,5 5.点E 的坐标为(4-Ar,I t),5 5下面分两种情形讨论：I、当点。在线段C。上运动时，0f=f，点。的坐标为(0,3-r),:,SABDE=S&BOC-SCDE-SBOD=皂。C O-l.CD-xf-1.OBOD2 2 2=ix 4 X 3 -A x rX （4-鱼）-A X 4X （3-t）2 2 5 2=?.5当 548。=竺 时，1 0 5 1 0解得 =-H（舍去），Z 2 =H.3,2 22I K 如图，当点。在线段。8上运动时，34W 5,BD=1 -t,2=Ax（7-1）x 3./2 5=-2_/2+-21/,10 10当 SABDE=33时，10-3:+21f=,3,10 10 10解得6=卫 豆，,=口3,2 2又：3 0 W 5,t 代 I ,f2综上所述，当 r=2/羽或时，S&BDE ;2 2 10当点O 在线段O C上，根据平行四边的性质得，F 坐 标 为（独，生），3 6当点。在线段O B 上，根据平行四边的性质，F 坐 标 为（3,3）.综上所述：F 坐 标 为（且，工3）或（3,3）.3 6满分训练.IJ1.（2 0 2 1 海州区一模）如图,抛物线y=o?+因-3的图象与x 轴交于A （-1,0）,B（3,0）两点，与），轴交于点C,直线/与抛物线交于点8,交 y 轴于点力（0,3）.(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P(m,0)为线段O B上一动点，过点尸作x轴的垂线E F,分别交抛物线与直线/于 点E,F,连接C E,CF,B E,求四边形C E BF面积的最大值及此时?的值；(3)点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M作直线M N /1 C交直线/于点N,是否存在点M,使以A,C,M,N四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】(1)将4 8坐标代入丫=/+云-3中，利用待定系数法可求：(2)求出直线/的解析式，用m表示点E,尸的坐标，进而表示线段E F,根据S叫 边 彩CEBF=SACEF+SABEF=ZEFOP+工 BP=OB,用含胆的代数式表示四边形C E B F的面2 2 2积，利用二次函数的性质，通过配方法得出结论；(3)分点M在直线8。的下方和点何在直线8。的上方时两种情形讨论解答；依据题意画出图形，过M作轴于E,过N作N F L M E T凡通过说明 A OC Z Z X M FM得出N F=3,设出点M的坐标，用坐标表示相应线段，利用线段与坐标的关系，用相同的字母表示点N的坐标后，用坐标表示出线段N G,G F,利用N G+G F=N F=3,列出方程，解方程，点M坐标可求；利用中相同的方法求得点M在直线B D的上方时点M的坐标.【解析】(I)将A (-1,0),8(3,0)代入)，=0?+取-3中得：(a-b-3=019a+3b-3=0解得：fa=1.lb=-2该抛物线的函数表达式为：y=/-2 x-3.(2)设直线/的解析式为y=h+”，将2 (3,0),D(0,3)代入上式得：f3ktn=0ln=3解得：.In=3，直线/的解析式为：y=-x+3.点 P Cm,0),EFLx 轴，E 点坐标为(m,m2-2m-3),点 F 的坐标为(加，-m+3).EF=-m+3-m2+2m+3=-m2+m+6.:B(3,0),/.08=3.S ITO CEBF=SK E F+SABEF=皂F，OP+1.BPXEF=工FE。OB,2 2 2S四边形C E BF 卷 X (-m2tm+6)X 3=一 (m-y)2/2，当，=时，S叫 边 彩 CEBF有最大值=匹.2 8即：当也=工时，四边形CE8尸面积的最大值为四.2 8(3)存在.当点M 在直线8力的下方时，如图，令 x=0,贝 ij y=-3.：.C(0,-3).OC=3.V A(-1,0),：.O A=,过 用 作 MEJ_y轴于E,过 N 作 N凡LM E 于R 交 x 轴于点G,四边形ACMN为平行四边形，C MM AC=MN.:NF LME,ME LOE,C.NF/OE.：./ACO=/MNF.在AOC和例FN中，Z A O C=Z MF N=90 Z A C 0=Z MN FA C=MN AOCZXMFTV(A4S).:NF=OC=3,MF=OA=1.设 M(力，/Z2-2/I-3),则 ME=/Z,GF=OE=-/r+2/1+3.OG=EF=ME-MF=h-1.：.N(/i-1,-/?+4).：.NG=-4,*：NG+GF=NF=3,：.-+4-/72+2/Z+3=3.解得：/7 二 1匹(负数不合题意，舍去).2仁上叵2(区立土叵.2 2当点M在直线BZ)的上方时，如图，过N作NE_Ly轴于E,过M作MF_LNE于F,交x轴于点G,由知：ZMNF丝C40(A 4S),可得 N尸=0A=1,MF=OC=3.设 M(/z,h2-2h-3),则 OG=FE=，GM=h1-2h-3.:.NE=EF+NF=h+l.：.N(/J+1,-A+2).:.GF=OE=h-2.;MG+GF=MF=3,：.h-2+h2-2h-3=3.解得：h=1标（负数不合题意，舍去）.2仁上场2:.M（14V33 V33）.2 2综上所述，存在点M,使以A,C,M,N四点为顶点的四边形是平行四边形，此时点M的坐标为（上叵，上应）或（生 属，3 3）.2 2 2 22.（2 0 2 0平顶山二模）如图，已知二次函数尸一彩+加+c的图象与x轴交于点4、C,与y轴交于点B,直线）=泰+3经过A、B两点.（1）求6、c的值.（2）若点尸是直线A B上方抛物线上的一动点，过 点 尸 作 尸 轴 于 点F,交直线A B于点。，求 线 段 的 最 大 值.（3）在（2）的结论下，连 接C D,点、。是抛物线对称轴上的一动点，在抛物线上是否存在点G,使得以C、D、G、。为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】（I）由直线A B的解析式可求出点A,B的坐标，将A,8两点的坐标代入），=c+bx+c可得出答案；Q O 3 O Q（2）设点尸（，小Q?n2 7W+3）,则。一?+3）,可得出 P O=石山2 加，由二o 4-4 o L次函数的性质可得出答案：（3）分类讨论，一是当CD为平行四边形对角线时，二是当C。为平行四边形一边时,利用中点坐标公式及平移规律即可求出点G的坐标.【解析】；直线）=1 r+3经过A、8两点.，当 x=0 时，y=3,当 y=0 时，x=-4,.直 线 尸 沁3与坐标轴的交点坐标为A （-4,0）,B（0.3）.q r e=3分别将 x=0,y=3,x=-4,y=0 代入 y=_/+6x+c 得，1入（-4）2 _ 励+c 解得，b=-&c=3,3 2 3 q入一甲什3,3-4-27713-设点P(2,83则 D(?，一 加+3),4 _ 3 2 3 Q,3 2、_ 3 2 3 _ 3 x 0、2 I 3 PD=_ p 一 4？TI+3 _ (工 m+3)=一 口 m=_ 贞(rn 4-2)+予Q I-I(J 乙 Q 乙3,当加=-2 时，PD最 大,最大值是，（3）存在点G,使得以C、D、G、。为顶点的四边形是平行四边形，G 点的坐标为（1,号）或（3，-鲁）或（-5,一台）；*=-|X2-1X+3,.y=0时，1=-4 或工=2,：.C(2,0),3由 可 知。（-2,-）,抛物线的对称轴为L设 G（,|小 _ 孤 3）,0（-L p）,8与 y 轴交于点E,E 为 C 的中点,当CD为对角线时，(-1)=0,，=1,-15此时 G（1,）.8 当 C。为边时，若点G 在点Q上边，贝 iJ +4=-l,则 =-5,此时点G 的坐标为（-5,-令）.若点G 在点Q上边，则-1+4=”，则=3,此时点G 的坐标为（3,一等）.综合以上可得使得以C、。、G、Q为顶点的四边形是平行四边形的G 点的坐标为（1,竽）或（3,-普）或（-5,一鲁）；【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的有关性质、一次函数的性质、平行四边形的判定和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.3.（2020黄泽）如图，抛 物 线 =/+云-6 与 x 轴相交于A,B 两点，与 y 轴相交于点C,OA=2,0 8=4,直线/是抛物线的对称轴，在直线/右侧的抛物线上有一动点）,连接AD,BD,BC,CD.（1）求抛物线的函数表达式；9（2）若点。在 x 轴的下方，当BCD的面积是&时，求A3。的面积；(3)在(2)的条件下，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N,使得以点8,D,M,N为顶点，以为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】(1)根据0 A=2,。8=4确定点A和B的坐标，代入抛物线的解析式列方程组解出即可；(2)如 图1,过。作轴于G,交B C 于H,利用待定系数法求直线的解析式，设O(x,则(x,-x-6),表示QH的长，根据8C 的面积是3，列方程可得x的值，因为。在对称轴的右侧，所以x=l不符合题意，舍去，利用三角形面积公式可得结论；(3)分两种情况：N在x轴的上方和下方，根据)，=与 确 定N的坐标，并正确画图.【解析】(1)：O 4=2,0 8=4,(-2,0),B(4,0),把A(-2,0),B(4,0)代入抛物线产0?+云-6中得：(蔡一。八，(1 6Q+4 6-6 =0抛物线的解析式为：y=1 x2-|x-6：(2)如 图1,过。作。G _ Lx轴于G,交B C 于H,图1当 x=0 时,y=-6,：.C(0,-6),设B C的解析式为：y=k x+n,则 7+：0,解 得:3B C的解析式为：尸-6,设。(x,-X2-6),则/(x,-6),O 2 D OD H=7y X-6-(一 7 一中-6)=-TX2 4-3 xf2 4 2 49BCD的面积是31 9D H -OB=一,2 21 3?9A-x 4 x(-%4-3 x)=2,4 7 2解得：x=l或 3,/点D在直线/右侧的抛物线上，D（3,-竽）,二A8 D 的面积=AB DG=1 x 6 x =（3）分两种情况：如 图 2,N 在 x 轴的上方时，四边形MN8 Z）是平行四边形,:B（4,0）,D（3,-苧），且 M 在 x 轴上,.N的纵坐 标 将当)=争 寸，即/2_|X_ 6=S解得：x=i+V1 4或 1 0 4,15、一,15:N(1 V1 4,)或(1+VT4,)；4 4 如 图3,点N在x轴的下方时，四边形B D N M是平行四边形，此时M与。重合,：.N(-1,-亲；,_ 15,-15 iq综上，点 N 的坐标为：(1-7 1 4,)或(1+V1 4,)或(-1,-丁).4 4 4【点评】此题主要考查二次函数的综合问题，会求函数与坐标轴的交点，会利用待定系数法求函数解析式，会利用数形结合的思想解决平行四边形的问题，并结合方程思想解决问题.4.(2 0 2 0东莞市校级一模)已知，抛物线y=/+6 x+c与x轴交点为A(-1,0)和点B,与y轴交点为C(0,-3),直线L：1与抛物线的交点为点4和点D(1)求抛物线和直线L的解析式；(2)如图，点M为抛物线上一动点(不与A、。重合)，当点M在直线L下方时，过点M作M N x轴交L于点N,求MN的最大值；(3)点M为抛物线上一动点(不与A、。重合)，”为直线A O上一动点，是否存在点M,使得以C、D、M、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点M的坐标，如果不存在，请说明理由.（2）设点 M 的坐标为（“序.2m-3）,则点 N（-/n2+2/n+2,m1-2 m-3）,则 M N=-n +m+l,进而求解；（3）分C D为边、C O为对角线两种情况，利用图象平移和中点公式求解即可.【解析】将 点A、C的坐标代入抛物线表达式得；二。=,解 得：:二二;，故抛物线的表达式为：y=/-2 x-3，将点4的坐标代入直线L的表达式得：0=-幺-1,解得：k=-I,故直线心的表达式为：y=-x-l ；（2）设点M的坐标为（叩m 2 -2 m-3）,点N的纵坐标与点M的纵坐标相同，将点N的纵坐标代入y=-尤-1得：m2-2 m-3=-x-1,解得：x=-层+2旅+2,故点N（-m 2+2/刀+2,加2 -3）,则 MN=-汴+2/h+2 -m=-团2+?+2,h 1 9V-1=_AB 4 2过点O 的直线交线段4 c 于点P,将三角形AOC的面积分成1：2 的两部分，过户作PQ轴 于。，过 C 作轴于4 分两种情况：当 SAAOP：SCOP=1 ：2 时，如图：SAOPt SjAOC=1 ：3,/.PQ：CH=1：3,而 C (2,6),即 CH=6,:.P Q=2,即 yp=2,在 y=x+4 中，令 y=2 得 2=x+4,X=-2,:.P(-2,2)；SAOP：SM OC=2：3,：.PQ：CH=2：3,YCH=6,.PQ=4,即 yp=4,在 y=x+4 中，令 y=4 得 4=x+4,x=0.：.P(0,4)；综上所述，过 点0的宜线交线段A C于点P,将三角形A O C的面积分成1：2的两部分,则P坐 标 为(-2,2)或(0,4)；(3)点A、。、C、N为顶点的四边形是平行四边形时，设N(w,”)，分三种情况：以A M C O为对角线，此时A N中点与C O中点重合，(-4,0)、O(0,0),C(2,6),.A N的中点为(一4旭,0+n),oc中 点 为(2 t 2,0+6),2 2 2 2./Y 皿=0+2,解得产I 0+n=0+6 n=6：.N(6,6),以A C、NO为对角线，此时A C中点与NO中点重合，同理可得：(m+0=-4+2l n+0=0+6解得卜=-2,n=6：.N(-2,6),以A O、C N为对角线，此时AO中点与C N中点重合，同理可得：1 4+0=2旭，I 0+0=6+n解得了-6.l n=-6：.N(-6,-6),综上所述，点A、0、C、N为顶点的四边形是平行四边形，N的坐标为：(6,6)或(-2,6)或(-6,-6).7.(2 0 2 0碑林区校级三模)在平面直角坐标系中，。为坐标原点，抛物线L：y=ax2-4 ar(a 0)与x轴正半轴交于点A.抛物线L的 顶 点 为 对 称 轴 与x轴交于点D(1)求抛物线L的对称轴.(2)抛物线L：)，=/-4 ax关于x轴对称的抛物线记为，抛物线，的顶点为“，若以。、例、A、M为顶点的四边形是正方形，求Z；的表达式.(3)在(2)的条件下，点尸在抛物线上，且位于第四象限，点。在抛物线上，是否存在点P、点。使得以。、。、P、。为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P坐标，若不存在，请说明理由.J JoA【分析】(1)根据抛物线的对称轴公式计算即可.(2)利用正方形的性质求出点M,M的坐标即可解决问题.(3)分0。是平行四边形的边或对角线两种情形求解即可.【解析】(1),抛物线 L：y ax1-4ax(a 0),:.抛物线的对称轴x=-整=2.解得x=0或4,(4,0),.四边形O M 4 M 是正方形，：.OD=D A=D M=D M =2,：.M(2,-2),M (2,2)把 A/(2,-2)代入可 得-2=4 -8 m:a=抛物线Z/的 解 析 式 为 产 一(X-2)2+2=_#+2 x.(3)如图3中，由题意。=2.当OQ为平行四边形的边时，P Q=0 D=2,设尸(如-2/n),则。相-2,(桃-2)2+2 (加-2)或 川+2,(加+2)2+2 (m+2),:PQOD,:一 n?-2 m=i Cm-2)2+2 (/w -2)或一 川 之-2/?z=(z+2)2+2 (m+2),2 2 2 2解得 m =3 B或 1 V 5,:P(3+V 3,V 3)或(3-V 5,-V 3)或(1-V 5,V 3)和(1+V 3,一百)，当。是平行四边形的对角线时，点p的横坐标为1,此时P(l,-|),.点P在第四象限，满足条件的点尸的坐标为(3-V 3,-V 3)或(1+V 3,-V 3)或(1,-|).【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，正方形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.8.(2 0 2 0泰安二 模)如图抛物线)=+云+4 (“W 0)与x轴，y轴分别交于点A(-1,0),B(4,0),点 C三点.(1)试求抛物线解析式；(2)点。(3,相)在第一象限的抛物线上，连接B C,B D.试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P,满足/P 8 C=/O B C?如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)点N在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点”的坐标.(2)将二次函数与方程、几何知识综合起来，先求点。的坐标，再根据三角形全等证明NP B C=ND B C,最后求出直线B尸解析式即可求出P 点坐标；(3)根据平行四边形的判定即可写出点M 的坐标.【解析】如图：(1).抛物线.丫=以2+法+3(。#0)与 x 轴，y 轴分别交于点A(-1,0),8(4,0),点 C 三点.(a b+4=0*ll6a+4b+4=0解 魄：”抛物线的解析式为y=-/+3x+4.(2)存在.理由如下：y-W+3x+4=-(x-1.5)2+6.25.点。(3,m)在第一象限的抛物线上，；m=4,：.D(3,4),VC(0,4),:OC=OB,：.Z OBC=Z OCB=45 .连 接 CO,COx 轴，：.Z DCB=Z OBC=45 ,:N D C B=N O C B,在)，轴上取点G,使 CG=CO=3,再延长B G交抛物线于点P,在OC8和GC8中，(CB=CBZ.DCB=乙 OCB,(CG=CD：./DCB/G CB(S AS)N D B C=N G BC.设直线B P 解析式为y B P=f c r+b (A/0),把 G (0,1),B(4,0)代入，得k 上，h=1,BP 解析式为 y BP=-3+1.y/i P=-#+l,y-/+3 x+4,当 y=y BP 时，-/x+1 =-/+3 x+4,解得x i=-,%2=4 (舍去),.1 9 产 记3 1 9：.P(-7,).4 1 6(3)设点 N(1.5,”)，当 B C、MN为平行四边形对角线时，由 B C、MN 互相平分，M(2.5,4 -n),代入 y=-/+3 x+4,得 4 -6.2 5+7.5+4,解得 n=-1.2 5,：.M(2.5,5.2 5)；当 BM、NC 为平行四边形对角线时，由 BM、N C 互相平分，M(-2.5,4+)，代 入 尸-/+3 x+4,得 4+=-6.2 5 -7.5+4,解得 n=-1 3.75,：.M(-2.5,-1 3.75)；当 MC、BN为平行四边形对角线时，由 MC、BN互相平分，M(-2.5,-4),代入 y=-x1+3 x+4,得 -4=-6.2 5 -7.5+4,解得 n=-5.75,：.M(-2.5,-9.75).综上所述，点 M 的坐标为：M i (2.5,5.2 5),“2 (-2.5,-1 3.75),“3 (-2.5,-9.75).【点