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初二升初三数学培优教材第一讲一元二次方程【学习目标】1、学会根据具体问题列出一元二次方程，培养把文字叙述的问题转换成数学语言的能力。2、了解一元二次方程的解或近似解。3、增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。【知识要点】1、一元二次方程的定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为以2+法+，=0 (a、b、c、为常数,a wO)的形式，这样的方程叫做一元二次方程。(1)定义解释：一元二次方程是一个整式方程；只含有一个未知数；并且未知数的最高次数是 2。这三个条件必须同时满足，缺一不可。(2)ax2+hx+cO(a、b、c、为常数，a wO)叫一元二次方程的般形式，也叫标准形式。(3)+bx+c=O(a*0 )中，a,b,c 通常表示已知数。2、一元二次方程的解：当某一 x的取值使得这个方程中的o?+云+，的值为0,x的值即是一元二次方程ax?+bx +c =0的解。3、一元二次方程解的估算：当某一 x的 取 值 使 得 这 个 方 程 中 的+c的值无限接近0时，x的值即可看做一元二次方程分2 +b x +c =Q的解。【经典例题】例 1、下列方程中，是一元二次方程的是C D y =0;2 x?-x-3 =0；(3)-z-=3 ；ax -hx；x?=2 +3 x；4x()x3-x +4 =0 ；，2=2；x?+3 x 0 ；J x?-x =2 ；-bx(a 0)x例 2、(1)关于x 的方程(m 4)x2+(m+4)x+2 m+3=0,当m 时,是一元二次方程,当m时，是一元一次方程.(2)如果方程ax，5=(x+2)(x l)是关于x的一元二次方程，则 a.(3)关于x的方程(2/+m-3)xm+i+5 x =13 是一元二次方程吗?为什么？例 3、把下列方程先化为一般式，再指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。(1)2 x2-x+l=0 (2)-5X2+1=6X(3)(x+1)2=2 x (4)-73 x2-4 x =-8例 4、(1)某校办工厂利润两年内由5 万元增长到9 万元，设每年利润的平均增长率为x,可以列方程 得()A.5(l+x)=9 B.5(l+x)J 9C.5(1+X)+5(1+X)2=9 D.5+5(1+X)+5(1+X)2=9(2)某商品成本价为3 0 0 元，两次降价后现价为16 0 元，若每次降价的百分率相同，设为x,则方程为.例 5、一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如下图所示，它的长为8 m,宽为5 m,如果地毯中央长方形图案的面积为18 m2,那么花边有多宽？(列出方程并估算解得值)8 m 例 6、如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m,如果梯子的顶端下滑1 m,那么梯子的底端滑动多少米?【经典练习】一、选择题1、下列关于X的方程：1.5 x2+l=0；2.3/+工+1=0；3.4 x%x (其中a为常数)；2x2+3x=0；X=2x；+x)2=2x 中，一元二次方程的个数是()A、1 B、2 C、3 D、42、方程x2-2(3x-2)+(x+l)=0的一般形式是A.x25 x+5=0 B.x2+5 x+5=0 C.x2+5 x 5=0 D.x2+5=03、一元二次方程7x 22x=0的二次项、一次项、常数项依次是A.7x2,2x,0 B.7x；2x,无常数项C.7x；0,2x D.7x2,2x,04、若 x=l 是方程a x b x+c R 的解，则A.a+b+c=l B.a b+c=0 C.a+b+c=0 D.a b c=0二、填空题1、将只4 彳+3)=31+1化 为 一 般 形 式 为,此时它的二次项系数是.,一次项系数是，常数项是 o2、如果(a+2)x?+4 x+3=0是一元二次方程，那么a 所满足的条件为.3、已知两个数之和为6,乘积等于5,若设其中一个数为x,可得方程为.4、某高新技术产生生产总值，两年内由5 0万元增加到75 万元，若每年产值的增长率设为x,则方程为.5、某化工厂今年一月份生产化工原料15 万吨，通过优化管理，产量逐月上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设一、二月份平均增长的百分率相同，均为x,可列出方程为.三、解答题1、某商场销售商品收入款：3 月份为25 万元，5月份为36万元，该商场4、5月份销售商品收入款平均每月增长的百分率是多少?【课后作业】一、填空题1、方 程 5（X2-V2X+1）=-3A/2X+2 的一般形式是,其二次项是,一次项是，常数项是.2、若关于x的方程（&-1）/-3 以+5 =0 是一元二次方程，这时a的取值范围是3、某地开展植树造林活动，两年内植树面积由30万亩增加到4 2万亩，若设植树面积年平均增长率为x,根据题意列方程.二、选择题1、下列方程中，不是一元二次方程的是（）A.2X2+7=0 B.2X2+2A/3X+1=0 C.5X2+-+4=0 D.3X2+（1+X）V 2+1=0X2、方程*22（3乂-2）+&+1）=0的一般 形 式 是（）A.x25 x+5=0 B.x2+5 x+5=0 C.x2+5 x 5=0 D.x+5=03、一元二次方程7/-2x +1 =5 的二次项、一次项、常 数 项 依 次 是（）A.7x2,2x,1 B.7x2,-2 x,无常数项 C.7x2,0,2x D.7x2,-2x,-44、方程x?一 百=（g 痣）x 化为一般形式，它的各项系数之和可能是（）A.V 2 B.-V 2 C.V 2-V 3 D.1 +痣-2 g5、若关于x的方程（a x+b）（d c x）=m（a c W 0）的二次项系数是a c,则 常 数 项 为（）A.m B.b d C.b d m D.（b d m）6、若关于x的方程a（x 1）2=2X22 是一元二次方程，则 a的值是（）A.2 B.-2 C.0 D.不等于 27、若 x=T 是方程a x+b x+c R 的解，贝（）A.a+b+c=lB.a b+c=0C.-a+b+c=0D.a-b c=0第二讲一元二次方程(配方法)【学习目标】1、会用开平方法解形如(X +用=(2 )的方程。2、理解配方法，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程。3、经历列解方程解决实际问题的过程，体会转化的数学思想，增强数学应用意识和能力。【知识要点】1、直接开平方法解一元二次方程：(1)把方程化成有一边是含有未知数的完全平方的形式，另一边是非负数的形式，即化成(x b)2 =4(4 2 0)的形式(2)直接开平方，解得X =干。+后,2 =和-布2、配方法的定义：通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。3、用配方法解一元二次方程的步骤：(1)利用配方法解一元二次方程时，如果这2+版+c =0中 a不等于1,必须两边同时除以a,使得二次项系数为1.(2)移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项。(3)方程两边同时加上一次项系数一半的平方。(4)用直接开平方法求出方程的根。【经典例题】例 1、解下列方程：(1)x2=4 (2)(x+3)2=9例 2、配方：填上适当的数，使下列等式成立：(1)X2+1 2X+_=(x+6)2(2)X2+8X+=(x+)2(3)x2-1 2 x+=(x-)2例 3、用配方法解方程(1)3 x2+8 x-3=0 (2)6X2-X-1 2 =0(3)-x2+-x-=O(4)x2-|x|-2 =02 2 4 1 1例 4、请你尝试证明关于x 的方程(/所+20)/+2mx+1 =0,不论m取何值，该方程都是一元二次方程。例 5、一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系：h=15t-5 t2-小球何时能达到10m高？【经典练习】一、填空题1、若 x?=225,则 Xi=,XL.2、若 9x225=0,则 X F,X2=.3、填写适当的数使下式成立.x?+6x+=(x+3)2(2)x2x+l=(xI)2 x?+4 x+=(x+)24、为了利用配方法解方程X2-6X-6=0,我们可移项得_ _ _ _ _ _ _ _ _ _，方 程 两 边 都 加 上，得，化 为.解 此 方 程 得 X尸,X2=.5、将长为5,宽为4 的矩形，沿四个边剪去宽为x 的4 个小矩形，剩余部分的面积为1 2,则剪去小矩形的宽x 为.6、如图1,在正方形ABCD中，AB是 4 cm,ABCE的面积是4DEF面积的4 倍，则 DE的长为.7、如图2,梯形的上底AD=3 cm,下底BC=6 cm,对角线AC=9 cm,设 0A=x,则 x=cm.图 1图2二、选择题1、方程5犬+7 5=0的根是A.5 B.-52、方程3 x 2 l=0的解是A.x=-B.x=33)C .5 D.无实根()C.x=-D.x=V 333、一元二次方程x 2 2 x m=0,用配方法解该方程，配方后的方程为（)A.(X l)2=ni2+lB.(x l)2=m 1C.(x 1)2=1 mD.(x l)2=m+l4、用配方法解方程x?+x=2,应把方程的两边同时（）A.加工 B.加工 C.减,D.减工42425、已知 x y=9,x y=3,则 x?+3 x y+的值为（）A.2 7 B.9C.5 4 D.1 8三、计算题（用配方法解下列方程）(1)x2=1 6(2)(x 2-=4(3)X2+5X-1=0(4)2 x-4 x-l=0(5)-X2-6X+3=04(6)x x+6=0(7)x2-4 x-3 =0(8)x2+12x+25=0(9)3x2-1=6x(10)2 x2-2V 2x+l=0四、解答题两个正方形，小正方形的边长比大正方形的边长的一半多4 c m,大正方形的面积比小正方形的面积的 2 倍 少 32平方厘米，求大小两个正方形的边长.【课后作业】1、将下列方程两边同时乘以或除以适当的数，然后再写成(x/)2=n 的形式(1)2X2+3X-2=0(2)-X2+X-2=042、用配方法解下列方程(1)x2+5x5=0(3)x23x-3=0(2)2X2-4X-3=0(4)2x2+7x+14=0第三讲 一元二次方程(公式法)【学习目标】1、学会一元二次方程求根公式的推导。2、理解公式法，会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程。3、经历一元二次方程的求根公式的探索过程，体会公式法和配方法的内在联系。【知识要点】1、复习用配方法接一元二次方程的步骤，推导出一元二次方程的求根公式：对于一元二次方程ax2+c=0其中。，由配方法有(x+=-o2a 46r(1)当。2 4acN0时,得 工=上 亚 三 N；2a(2)当-4acx+c=O ,以明确a、b、c的值；(2)再计算从-4ac的值：当从 4acN0时，方程有实数解，其解为：A 一；2a当片-4ac i127122-3X4B.Xi、_-12V122-3X42-C 127122+3X4C.X 1、2=-D.Xi、-(-1 2)7(-1 2)2-4 x3 x42 x32、方程/+3 x=1 4 的解是A.x=l B.x=-3 土 而2 2C.x:3 V2 32222()3 士 后23、下列各数中，是方程（一（1+有 为+q=0的解的有)1+后1 一 石 1 一石A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个5、若代数式X2-6X+5的值等于1 2,那么x 的值为（)A.1 或 5B.7 或一 1 C.一1 或一5D.-7 或 16、关于x 的方程3 x22 （3 m1）x+2 m=1 5有一个根为一2,则 m 的值等于（）A.B.-2C.22D-I7、当X 为何值时，代数式2 x+7 x-l 与 4 x+l 的值相等?9、用公式法解下列各方程(1)x2+6x+9=7(2)12X2+7X+1=O(3)x2-4V2x+8=0(4)2X2-3X-5 =0(5)X2-X-=Q(6)3X2-5X+1 =0(7)(2x l)(x 3)=4(8)42-(V 2+8)y+V2=0(9)瓜2瓜血=o(10)(y-2+1)+心-1)=0(11)5x2-8x=-l(12)x2+2mx-3nx-3m2-m n+2n2=0【课后作业】1、方程(x5)2=6的两个根是(A.XI=X2=5+V 6C.x尸 一5+#,x2=-5一屈B.xl=x2=5+V6D.X i=5+V6,X2=5一遥2、利用求根公式解一元二次方程时，首 先 要 把 方 程 化 为,确定 的值，当一时，把 a,b,c 的值代入公式，X”尸 求得方程的解.3、当 x 为何值时，代数式2/+7X 1与六一19的值互为相反数？4、用公式法解下列方程:(1)X2-7X+1 =0(2)x(x+8)=0(3)x2-x=2(4)0.81+x=0.3(5)3/+1 =2(6)x2=7x第 四 讲 一元二次方程(分解因式法)【学习目标】1、能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。体会解决问题方法的多样性。2、会用分解因式(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程。3、会根据题目的特点灵活的选择各种方法解一元二次方程。【知识要点】1、分解因式法解一元二次方程：当一元二次方程的一边为0,而另一边易于分解成两个一次因式的积时，可用解两个一元一次方程的方法来求得一元二次方程的解，这种解一元二次方程的方法称为分解因式法。2、分解因式法的理论依据是：若。方=0,则=0或匕=03、用分解因式法解一元二次方程的一般步骤：将方程的右边化为零；将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，他们的解就是一元一次方程的解。【典型例题】例 1、(1)方程(x-l)(x+2)=2(%+2)的根是(2)方程(x-1)(%+2)(%-3)=0 的根是例2、用分解因式法解下列方程(1)3 i 6x=0(2)3(x 5-=2(5 x)(3)x2-2 x+1 =0(4)4 x2+8 x=-4(5)(3 x+2 -(x+3)2 =0(7)-X2+-X-6=04 2(6)4 9(x-3)2=1 6(x+6)2(8)(x-l)2-4(x-l)-2 1=0.例 3、2 一6是方程x+bxrO的 个根，则 b=另一个根是_例 4、已知5a b+6b2=0,则q 等于()h aA.2-B.3-C.2m D.2-c3-232 3 3 2例 5、解关于 x 的方程：(a t O x+d a bxn a?bl例 6、x 为何值时,等式卜2 _x 2|+|2 3 x-2|=0【经典练习】一、填空题.1、用因式分解法解方程9=x 2 x+lQ)移项得;方程左边化为两个数的平方差，右边为0 得;将 方 程 左 边 分 解 成 两 个 一 次 因 式 之 积 得;分别解这两个一次方程得出 =,X2=o2、(1)方程 t (t+3)=2 8 的解为_.(2)方程(2X+1 +3(2X+1)=0 的解为.3、(1)用因式分解法解方程5(x+3)-2 x(x+3)=0,可把其化为两个一元一次方程 和求解。(2)方 程/-1 6=0,可 将 方 程 左 边 因 式 分 解 得 方 程,则有两个一元一次方程或 _,分别解得：x)=,x2=.4、如果方程d-3 x+c=0有一个根为1,那么c=,该 方 程 的 另 一 根 为,该方程可化为（x-1）（x）=05、已知/-7乂 丫+1 2丫 邑0,那么x与y的关系是.6、小英、小华一起分苹果，小华说：“我分得苹果数是你的3倍。”小英说：“如果将我的苹果数平方恰好等于你所得的苹果数。”则小英、小 华 分 得 的 苹 果 个 数 分 别 是 o二、选择题1、方程3 x?=l的解为（）A.-B.土百 C.-3 32、2x(5 x 4)=0 的解是()D.土,A.x产2,x2=-5B.X j=0,x2=44C.x,=0,x2=5D.x)=-,X 2=-2 53、下列方程中适合用因式分解法解的是（）A.x2+x+l=0B.2x 3 x+5=0C.X2+(1+V2)X+V 2=0D.X2+6X+7=04、若代数式x?+5 x+6与-x+l的值相等，则x的值为（）A.X i=1,X 2=5C.X i=2,X 2=3B.X i=6,x2=lD.x=15、已知y=6 x*5x+L若y已知 则x的取值情况是（)A.xW，目.x W l B.X T 6 26、方程 2x(x+3)=5(x+3)的根是(A.x=B.x=3 或 x=-2 2C.X T-D.xW，且 xW，3 2 3)C.x=-3 D.x=-或 x=327、用因式分解法解方程，下列方法中正确的是A.(2x-2)(3 x-4)=0/.2-2x=0 或 3 x-4=0B.(x+3)(x-l)=l /.x+3=0 或 x 1=1C.(x 2)(x-3)=2X 3 .x 2=2 或 x 3=3D.x (x+2)=0.*.x+2=08、方程 ax(x b)+(bx)=0 的根是A.X i=b,X 2=a B.X i=b,x2=aC.X i=3,X 2=一 D.X i=a：X 2二 b2b9、若一元二次方程(m-2)x2+3 (m2+15)x+m2-4=0的常数项是0,则 m 为()A.2 B.2C.-2 D.-10三、解下列关于x的方程(l)x +12x=0；(2)4 x2-l=0；(x l)(x+3)=12；(4)x2-4 x-21=0；(5)3X2+2X-1=0；(6)10X2-X-3=0；(7)4(3 x+l)-9=0(8)5(2x-l)=(l-2x)(x+3)【课后作业】一、选择题1、已知方程4 x?-3 x=0,下列说法正确的是()2、如果(x T)(x+2)=0,那么以下结论正确的是()3A.只有一个根x=-43C.有两个根x 尸 0,X 2=-4B.只有一个根x=03D.有两个根X FO,X 2=-43、若方程(x-2)(3 x+l)=0,则 3 x+l 的值为()A.x=l 或 x=-2B.必须x=lC.x=2 或 x=-lD.必须 x=l 月 一 x=-2A.7B.2C.0D.7 或 04、方程 5 x(x+3)=3(x+3)解为(3 3A.X t=-,X2=3 B.X=|-C.5、方程(y 5)(y+2)=1的根为(A.y i=5,y2=2 B.y=5二、用因式分解法解下列方程：(l)t(2t-l)=3(2t-l)；X|=3 ,x0 n 3 Q2=-3 D.x 1=-,x2=3)C.y=-2 D.以上答案都不对(2)y2+7 y+6=0；(3)y2-1 5=2 y(4)(2x 1)(x 1)=1.第五讲判别式和根与系数的关系【学习目标】1、使学生会运用根与系数关系解题。2、对一元二次方程以及其根有更深刻的了解，培养分析问题和解决问题的能力。【知识要点】1、一元二次方程的判别式：=-4 ac(1)当从-4 a c 0时，方程有两个不相等的实数根，x=、2a(2)当/-4 a c =0时，方程有两个相等的实数根，xx=x2=-o2a(3)当从_ 4 a c 0 时，,方程有两个不相等的实数根。2a(2)当/-4 =0 时，x =-2,方程有两个相等的实数根。2a(3)当 -44BC,AB 的垂直平分线与AC 相交于E点，连结BE,若N C BE ：NE BA=1 :4,则N A=度，Z ABC=度.二、选择题1、下列命题中正确的命题有（）线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；经过线段中点的直线只有一条；点P 在线段AB外且P A=P B,过 P 作直线M N,则M N 是线段AB的垂直平分线；过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个2、下列作图语句正确的是（）A.过点P作线段AB的中垂线B.在线段AB的延长线上取一点C,使 AB=BCC.过直线a,直线b 外一点P作直线呱使M N a bD.过点P作直线AB的垂线3、ABC 中，Z C=90 ,AB 的中垂线交直线 BC 于 D,若N BAD N D AC=2 2.5,则N B 等 于（）A.3 7.5 B.6 7.5 C.3 7.5 或 6 7.5 D.无法确定三、解答题1、已知，在 神，中，AB=AC,0 是ABC 内一点，且 0 B=0 C,求证：A0 BC.0C2、如图，在中，AB=AC,Z A=1 2 0 ,A B的垂直平分线M N分别交BC、A B于点M、N.求证：C M=2 BM.3、在/X ABC中，AB=AC=a,A B的垂直平分线交A C于D点，若4 B C D的周长为m,求证：BC=m-a.【课后作业】一、填空题1、如左下图,点P为A A B C三边中垂线交点，则P AP BP C.2、如右上图,Z 3在锐角三角形ABC中，Z A=50 ,AC、B C的垂直平分线交于点0,则N 1Z 4,Z 5Z 6,Z 2+Z 3=.度,Z l+Z 4=度，Z 5+Z 6=N 2,度，ZB0 C=度3、如左下图,D为B C边上一点，且BC=BD+AD,则ADD C,点D在.的垂直平分线上.4、如右上图,若 N BAC=1 2 6 在 畋 中，D E、FG分别是边AB、A C的垂直平分线，则N BZ l,Z C _ _ _ _ Z2；,则 N E AG=度5、如左下图，AD 是ABC 中BC 边上的高，E是 AD 上异于A,D的点，若 BE=C E,则a(HL)；从而BD=D C,则4_ _ _ _ _ _(S AS)；ABC 是 _ _三 角形.6、如右上图，Z BAC=1 2 0 ,AB=AC,AC 的垂直平分线交BC 于 D,则N AD B=度.第十一讲角平分线定理【学习目标】1、掌握角平分线的定理和逆定理。2、能应用角平分线定理和逆定理进行作图和证明。3、进一步掌握推理证明的方法，拓发展演绎推理能力，培养思维能力。【知识要点】1、角平分线性质定理的证明及应用。定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。定理解释：“点到这个角边的距离”实际上就是“点到这角两边所作垂线段的长度”，定理即表明这两条垂线段相等。2、角平分线的性质定理的逆定理的证明以及应用。逆定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。3、定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。4、用尺规作角的平分线：【典型例题】例 1、如 图,C D AB,BE 1 AC,垂足分别为D、E,BE、C D 相交于0,且N 1 =Z 20求 证:O B=0 Co例 2、已知,如图,CE1AB,BD1AC,ZB=ZC,BF=CF0求 证:AF为NBAC的平分线。例 3、如下图，一个工厂在公路西侧，在河的南岸，工厂到公路的距离与到河岸的距离相等，且与河上公路桥南首（点A）的距离为300米.请用量角器和刻度尺在图中标出工厂的位置.例 4、如右图，E、D 分别是AB、AC上的一点，NEBC、NBCD的角平分线交于点M,/BED、ZEDC的角平分线交于N.求证：A、M、N在一条直线上.人证明：过点 N 作 NFJ_AB,NH1ED,NK1AC,过点 M 作 MP1AB,MQ1%必 那 潟AC-J（EN 平分NBED,DN 平分 NEDCANF NH,NH NKANF NK.N在N A 的平分线上又.BM 平分NABC,CM 平分NACBAM在N A 的 上.M、N都在N A 的_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 上:.A、M、N在一条直线上例 5、如图1,0C平分N 408,P 是 0C上一点，D是 0A上一点，E 是 0B上一点，且 PD=PE,求证:NPOO+NPEO=180。图1【经典练习】一、填空题1、ZA0B的平分线上一点M ,M至 U 0A的距离为1.5 cm,则 M到 0B的距离为.2、如图 1,ZA0B=6 0,CDL0A 于 D,CE_L0B 于 E,且 CD=CE,则 ND0C=.3、图 2,在ABC 中,NC=90,AD 是角平分线，D E IA B E,且 DE=3cm,BD=5 cm,贝|BC=_cm.4、图3,已知AB、CD相交于点E,过 E作NAEC及NAED的平分线PQ与 MN,则直线MN与 PQ的关系是.二、选择题1、给出下列结论，正确的有（）到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；角的平分线与三角形平分线都是射线；任何个命题都有逆命题；假命题的逆命题一定是假命题A.1 个 B.2 个2、下列结论正确的有（）C.3 个D.4 个如果（x-l）（x 2）=0,那么x=l；在ABC中，若N B 是钝角，则N A、N C 一定是锐角；如果两个角相等，那么两个角互为对顶角；如果在一个角内的点，到这个角的两边距离相等，那么这个点在角的平分线上A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个3、已知，R t ABC 中，Z C=90 ,AD 平分NBAC 交 BC 于 D,若 BC=3 2,且 B D：CD=9：7,贝 IJ D 到 AB的距离为（）A.1 8 B.1 6 C.1 4 D.1 24、两个三角形有两个角对应相等，正确说法是（）A.两个三角形全等B.两个三角形一定不全等C.如果还有角相等，两三角形就全等D.如果一对等角的角平分线相等，两三角形全等5、下列命题中是真命题的是A.有两角及其中-角的平分线对应相等的两个三角形全等B.相等的角是对顶角C.余角相等的角互余D.两直线被第三条直线所截，截得的同位角相等6、如图4,O B、O C 是N A O D 的任意两条射线，O M平分NAO B,O N平分NCO D,若NM0 N=a,Z B0 C=B,则表示NA0 D的代数式为（）A.2 a -P B.a B C.a+p D.2 a图4图 57、如右上图5,已知AB=AC,AE=AF,BE 与 CF 交于点D,则 ABE g AACF ,4 BDF 丝A C D E,D 在NBAC的平分线上，以上结论中正确的是（）A.只有 B.只有 C.只有和 D.，与三、解1、如图，Z B=Z C=90 ,M 是BC的中点，DM平分NADC,求证：AM平分NDAB.2、已知，如图，过菱形ABCD的顶点C 作CE AD,CE AB,分别交AB、AD的延长线于E、F.试说明 CE=CF【课后作业】一、填空题1、如 图(1),AD平分NBAC,点P 在 AD 上，若 P E LAB,P F AC,则 P E P F.2、如 图(2),P DAB,P E AC,且 P D=P E,连接A P,则NBAP Z CAP.3、如 图(3),Z BAC=6 0 ,AP 平分NBAC,P DAB,P E AC,若 A D=6,则 PE=.4、已知，如图 4,NA0 B=6 0 ,CD_ LO A 于 D,CE J _ O B 于 E,若 CD=CE,则NCO D+NAO B=度.5、如 图(5),已知 MP LO P 于 P,唯U O Q 于 Q,SM 6 c m2,0 P=3 c m,则 M Q=c m.二、解答题已知：如下图在ABC中，Z C=90 ,AD平分NBAC,交 BC于 D,若 BC=3 2,且 B D：CD=9：7,求:D 至 U AB边的距离.第十二讲等腰、等边三角形【学习目标】1、运用等腰三角形的性质定理及其推论证明与等腰三角形有关的角相等或线段相等。2、运用等边三角形的性质定理及其推论证明与等边三角形有关的角相等或线段相等。3、进一步掌握推理证明的方法，拓发展演绎推理能力，培养思维能力。【知识要点】1、等腰三角形性质定理：等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”)2、等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简述为“三线合一”3、等边三角形的性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于6 0。4、等腰三角形、等边三角形的判定定理：(1)有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称为：等角对等边)(2)有一个角等于6 0 的等腰三角形是等边三角形。(3)在直角三角形中，如果一个锐角等于3 0,那么它所对的直角边等于斜边的一半。(4)三个角都相等的三角形是等边三角形5、等腰三角形中的特殊线段：(1)两底角的平分线；(2)两要上的高；(3)两腰上的中线；(4)底边上的高上的任一点向两腰所引的垂线段对应相等。【典型例题】例 1、如图，在 函。中，AB=AC,AD1 ACZ BAC=1 0 0 。求N l、N 3、N B 的度数。例 2、如图，ABC和DCE 都是等边三角形，D 是的边BC上的一点，连接AD、BE。求证：AD例 3、如图，中，BDLAC于 D,CE J _ AB于 E,BD=CE0求证：瓜 是等腰三角形。例 4、已知：如图，ABC是等边三角形，DE BC,交 AB、AC于 D、E。求证：A A D E 是等边三角形例 5、已知：如图，在ABC中，AB=AC,BD,CE 是ABC的角平分线。求证：BD=CE。A例6、如图，ABC是等边三角形，BD=CE,Z 1 =/2。求证：ADE 是等边三角设C【经典练习】一、填空题1、已知等腰三角形一个内角的度数为3 0 ,那 么 它 的 底 角 的 度 数 是.2、等腰三角形的两边长分别为3 厘米和6 厘米，这个三角形的周长为3、一个等边三角形的角平分线、高、中 线 的 总 条 数 为.4、由在同一三角形中”等角对等边”“等边对等角”两个定理我们可以联想到大边对_ _ _ _ _ _ _ _,大角对.5、如 图(1),在 X必 中，N C 孙 皿 Z M C.B C -6 c m 则D点到AB的距离为6、如 图(2),在 丛 8中，叱 和 平 分 ZA4c.破1 成若/皿刘，则图 1图2图 3图47、如 图（3）,4呢.7（f,N）.50，A B 的垂直平分线交A C 于 D,则/皿 匕 8、如 图（4）,&囱中，D E 垂直平分4。，/3,必 阳 的 周 长 为 1 3,那 么&的 的周长为二、选择题1、给出下列命题，正确的有（）等腰三角形的角平分线、中线和高重合；等腰三角形两腰上的高相等；等腰三角形最小边是底边；等边三角形的高、中线、角平分线都相等；等腰三角形都是锐角三角形A.1 个 B.2 个 C3个 D.4 个2、若等腰A B C 的顶角为NA,底角为N B=a,则 a的取值范围是（）A.a 4 5 B.a 9 0 C.0 a 9 0 D.9 0 a 1 8 0 3、下列命题，正确的有（）三角形的一条中线必平分该三角形的面积；直角三角形中3 0 角所对的边等于另一边的半；有一边相等的两个等边三角形全等；等腰三角形底边上的高把原三角形分成两个全等的三角形A.1 个 B.2 个 C3个 D.4 个4、若三角形的一边等于另一边的一半，那么这边所对的角度为（）A.3 0 B.4 5 C.6 0 D.无法确定5、如果三角形一边的中线和这边上的高重合，则这个三角形是（）A.等边三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形6、A A B C 中，A B=A C,C D 是 的 角 平 分 线，延长B A 到 E使 D E=D C,连结EC,若 Z E =5 1 ,则NB等 于（）A.6 0 B.5 2 C.5 1 D.7 8 7、在A B C 中N A :ZB :ZC=1 ：2 ：3,C D _L A B 于 D 点，A B=a,则 B D 的长为（）A.-B.-C.-D.以上都不对2 3 4三、解答题1、如图，求作一点P,使R -阳，并且使点P 到4 8 的两边的距离相等，并说明你的理由.2、如图，在 A B=A C 的中，D 点在A C 边上，使 B D=B C,E点在A B 边上，使 A D=D E=E B,求N E D B.【课后作业】一、填空题1、底与腰不等的等腰三角形有_ 条对称轴，等边三角形有 条对称轴.请你在图(1)中作出等腰A B C,等边A D E F 的对称轴.2、如 图(2),已知A A B C 是等边三角形，A D B C,C D A D,垂足为D、E为A C 的中点，A D=D E=6 c m贝 l N A C D=,AC=cm,ZD A C=,A A D E 是 三角形.3、如左下图，A B C 是等边三角形，A D _L B C,D E 1 A B,垂足分别为D,E,如 果 A B=8 c m,则4、如右上图，R t a A B C 中，ZA=3 0 ,A B+B C=1 2 c m,则 A B=c m.二、选择题1、下列说法不正确的是()A.等边三角形只有一条对称轴。B.线段A B 只有一条对称轴。C.等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线。D.等腰三角形的对称轴是底边上的高所在的直线。2、下列命题不正确的是（）A.等腰三角形的底角不能是钝角。B.等腰三角形不能是直角三角形。C.若一个三角形有三条对称轴，那么它一定是等边三角形。D.两个全等的且有一个锐角为3 0 的直角三角形可以拼成一个等边三角形。第十三讲综合运用【学习目标】1、复习本章的各个知识要点，并加以检测。2、进一步掌握推理证明的方法，加强学生逻辑推理能力和分析问题的能力培养。【知识要点】1、勾股定理及其逆定理。2、直角三角形HL全等判定定理。3、线段垂直平分线的性质定理及其逆定理。4、角平分线的性质定理及其逆定理。5、等腰三角形、等边三角形的性质定理及其逆定理。【典型例题】例 1、公路旁有一棵大树高为5.4 米，在刮风时被吹断，断裂处距地面1.5米，请你通过计算说明在距离该大树多大范围内将受到影响。例 2、已知:如图，ZA=ZD=90,AC=BD.求 证:0B=0CB例 3、如右图，P是NA O B的平分线0M上任意一点，P E_ L C A于 E,P F J _ OB 于 F,连结EF.求证:0P垂直平分EF.例 4、已知：如图，C EAB,B F AC,C E与 B F 相交于D,且 B D=C D.求证：D 在N B AC 的平分线上.例 5、如图，P、Q 是AB C 边 B C 上两点，且B P=P Q=Q C=AP=AQ,求N B AC 的度数.例 6、已知：如图，在等边三角形AB C 的AC 边上取中点D,B C 的延长线上取一点E,使 C E=C D.求证：B D =D E.A【经典练习】一、选择题1、已知：如图，在AB C 中，AB=AC,B C=B D,AD=D E=EB,则N A 的 度 数 是（）2、如图，等边A A B C中，B D=C E,AD与B E相交于点P,则N AP E的 度 数 是（）A.45 B.55 C.6 0 D.753、如图，AB C&Z X AEF,AB=AE,ZB=ZE,则对于结论AC=AF.N F AB=N EAB,EF=B C,Z E A B=Z F A C,其中正确结论的个数是（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4、如图，以点A和 点B为两个顶点作位置不同的等腰直角三角形，一 共 可 以 作 出（）A.2个 B.4个 C.6个 D.8个5、如图，中，AB=B D=AC,AD=C D,则N AD B 的 度 数 是（）A.36 B.45 C.6 0 D.726、如图，AB C中，AB=AC,Z A=36 ,C D、B E是AB C的角平分线，C D、B E相 交 于 点0,则图中等 腰 三 角 形 有（)A.6个 B.7 个 C.8 个 D.9 个7、已知等腰三角形的一个角为75 ,则其顶 角 为（）A.36 B.45 C.6 0 D.728、等腰直角三角形的斜边长为a,则其斜边上的 高 为（）A.a B.缶 C.-D.a2 2 49、下列两个三角形中，一定全等的是（）A 有一个角是40 ,腰相等的两个等腰三角形B两个等边三角形C 有一个角是1 0 0 ,底相等的两个等腰三角形D 有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形二、填空题1、在AB C 中，Z A -ZC=25 ,Z B -ZA =1 0 ,则N B =；2、等腰三角形一边等于5,另一边等于8,则周长是；3、在AB C 中，已知 AB=AC,AD 是中线，N B=70 ,B C=1 5c m,则N B AC=,Z D AC=,B D=c m；4、在中，Z B AC=90 ,A