高考数学5年高考真题与模拟专题09直线和圆理.pdf

【备战2013】高考数学5 年高考真题精选与最新模拟专题0 9 直线和圆理【2012高考真题精选】1.(2012北京卷)在直角坐标系x O y 中，直 线 1过抛物线y 2=4 x 的焦点F,且与该抛物线相交于A,B两点，其中点A 在 x轴上方，若直线1的倾斜角为60。，则aO A F 的面积为.【答案】S 【解析】本题考查抛物线方程、抛物线简单几何性质以及直线和抛物线的位置关系以及三角形面积公式，考查数 形 结 合 及 转 化 化 归 思 想.抛 物 线 广=心 的 焦 点 直 线/的 斜 率 为 t a n 6Q：=*,所以直线/的方程为y=yix-y3,将直线/的方程和抛物线方程联立二4 一术 可 得 3v-10.v+3=0.设/(Xi，J-l),5(x;,由点W在 X 轴上方，所以X 点在第一冢限，则 为=3,法一：W F=x 1+l=4,。点到直线4 5 的 距 离 为 餐 酒，所以$“以=/延=#.法二：A(3 j S),所以 S 0=*1X2S=S.2.(2012浙 江 卷)定 义：曲线C 上的点到直线1的距离的最小值称为曲线C 到直线1 的距离.已知曲线Cl：y=x 2+a 到直线l：y=x 的距离等于曲线C2：x 2+(y+4)2=2到直线l：y=x的距离，则实数a=.【答案】【解析】本题在新定义背景下考查直线、圆和抛物线的方程，一、二次曲爱之间的位置关系与导数的几何意义等基础知识，考查综合运用知识的能力以及函数与方程和数出结合的数学思想.求出曲 线 C：到直线/的距离和曲线C：到直线I的距离，建立等式，求出参数a的值曲统/+0+/=2到直线:：产 x的距离为圆心到直线的距离与圆的半径之差，即由产x：+：可得=2x,令1=2x=l,则x=g在曲线C：上对应的点P&+a，所以曲线C：到直线/的距离即为点P；,直线/的距离，故0 SI1-J7所 以,，=S，可得匕一?=2,a=-：或 a=当 a=汨 寸,曲 线/=必 一：与直线A 丁=1相交，两者距离为0,不合题意，故，=*3.(2012北 京 卷)已知曲线 C：(5-m)x 2+(m-2)y 2=8(m e R).(1)若曲线C 是焦点在x轴上的椭圆，求 m的取值范围；(2)设 m=4,曲线C 与 y轴的交点为A,B(点A 位于点B 的上方)，直线y=k x+4 与曲线C 交于不同的两点 M,N,直线y=l 与直线B M 交于点G 求证：A,G,N 三点共线.【答案】解：(1)曲线C 是焦点在x轴上的椭圆，当且仅当(5m 0,I m20,8 8、5-m m2,7解得5Vm=1，-2),易知工仁V,所以条件是结论的充分不必要条件，答案为A.7.(2 0 1 2湖 北 卷)设A是单位圆x 2+y 2=l上的任意一点，1是过点A与x轴垂直的直线，D是直线1与x轴的交点，点M在直线1上，且满足|D M|=m|D A|(m 0,且n#l).当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；(2)过原点且斜率为k的直线交曲线C于P,Q两点，其 中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N,直线QN交曲线C于另一点H.是否存在m,使得对任意的k 0,都有PQ J _ PH?若存在，求m的值；若不存在，请说明理由.【答案】解：如图，设 Mx，则由。=洲以!5 0,且”1=1）,可得x=岗，）=5，所以沏=x,g=3 .因为点在单位圆上运动，所以.$+,=1.将式代入式即得所求曲线。的方程为“9 1（心。，且，曰）.因为那e（o ）u（i,+）,所以当 0?（.1 加,o）5当 加 1 时，曲 线 C是焦点在1轴上的桶圆，两焦点坐标分别为（0，1）（0,:加 一 1）.（2）方 法 1：如图、（3）,对任意的2 0,设 R x”,g,上），则。（一M-f cV ）,M O,b j）,直线 的 方 程 为 丁=2 h+h i，将其代入桶圆C的方程并整理可得，+4 ）1：+4 运1 1 工+产*!：=0.依题意可知此方程的两根为一七，X 于是由韦达定理可得一4+,4_=一4而 足 X丁 即n n比 _=乔W底Xi.因为点出在直线a v,所以 -h：=2 f cv：=2 方心加:+4 于 是 网=（-2 x i，2 金-_ _ 4 产 第 2 Wx.踮=8一 以 经 一 上 尸 一；加+保：.,4）7/三 X；而 F O J L P H 等价于。尸 出=-.,：r=0,廿+4 召即 2 苏=0,又?0,得加=S，故存在m=&,使得在其对应的椭圆.x2+号=1 上，对任意的k 0,都有PQLPH.方法 2：如图、(3),对任意 x ld(0,l),设 P(xl,yl),H(x2,y 2),则 Q(-x l,-y l),N(0,yl).因为P，H 两点在椭圆C 上，所以 0,得 m=，L故存在m=g,使得在其对应的椭圆x2+号=1 上，对任意的k 0,都有PQLPH.8.(2012课标全国卷)设抛物线C：x2=2py(p0)的焦点为F,准线为1,A 为 C 上一点，已知以F 为圆心,FA为半径的圆F 交 1于 B,D 两点.(1)若NBFD=90。，ZABD的面积为4啦，求 p 的值及圆F 的方程；(2)若 A、B、F 三点在同一直线m 上，直线n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个公共点，求坐标原点到m,n距离的比值.【答案】解：(1)由已知可得4B F D 为等腰直角三角形，|B D|=2 p,圆 F 的半径|FA|=Wp.由抛物线定义可知A 到 1的距离d=|FA|=V2p.因为4A B D 的面积为4 g,所以:|B D M=4 a,即抖 诋)=4 6，解得p=-2(舍去)，p=2.所以F(0,l),圆 F 的方程为x 2+(y-1)2=8.(2)因为A,B,F 三点在同一直线m 上，所以A B为圆F 的直径，ZADB=90.山抛物线定义知|AD|=|FA/AB|,所以NABD=30。，m 的斜率为坐或一半.当 m 的斜.率为坐时，由已知可设n：y=芈 x+b,代入x2=2py得 x2邛 px2Pb=0.由于n 与 C 只有一个公共点，故 A=$2+8pb=0.解得b=因为m 的截距b l=,喘=3,2|b|所以坐标原点到m,n 距离的比值为3.当 m 的斜率为一当 时，由图形对称性可知，坐标原点到m,n 距离的比值为3.9.(2012 广东卷)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：装+符=l(ab0)的离心率e=,且椭圆C 上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)在椭圆C 上，是否存在点M(m,n),使得直线1：m x+ny=1 与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B,且AOAB的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的4 0 A B 的面积；若不存在，请说明理由.【答案】解：(1。)=*=；=与三，-a-=3b-f即桶圆C的方程可写为去+*=L35-b设P(x,为椭圆C上任意给定的一点，P 2：=x：+(y2)-=-2()+1)：+6+3 力：=一1 一 瓦b,此 时 二 取 得 最 大 值6+3於.6+3崔=9=1,W=3.故所求椭圆C的 方 程 为=1.(2)存在点“满足要求，使 的 面 积 最 大.假设直线/：，以+，3=1与 圆。：x：+j：=l相交于不同的两点X、3.则圆心。至,的距离d=,1 1.因为点M?”，所以?+必=1加二+求，于 是0对3.式等号成立当且仅当l=|m 2=m 2=|w(0,3,因此当m=土半，n=土乎时等号成立.所以满足要求的点恰有四个，其坐标分别为(坐,嗡停聿(普郸(智用此时对应的诸三角形的面积均达到最大值;.10.(2012 江苏卷)在平.面直角坐标系xOy中，圆 C 的方程为x2+y28 x+1 5=0,若直线y=kx2 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则 k 的最大值是4【答案】:【解析】本题考查用几何方法判定两圆的位置关系.解题突破口为设出圆的圆心坐标.圆 C方程可化为(x-4)2+y 2 =l 圆心坐标为(4,0),半径为1,由题意，直线y=k x-2上至少存在一点(x 0,k x O-2),以该点为圆心，1 为半径的圆与圆C有公共点，因为两个圆有公共点，故山-4 2+k x-2 2 s2,整4理得(k 2+l)x 2(8+4 k)x+1 60 0,此不等式有解的条件是A=(8+4 k)2-64(k 2+1 丘0,解之得0 女与，故最大值为541 1.(2 0 1 2 陕西卷)已知圆C：x 2+y 2 4 x=0,1 是过点P(3,0)的直线,则()A.1 与 C相交B.I 与 C相切C.1 与 C相离D.以上三个选项均有可能【答案】A【解析】本小题主要考查直线与圆的位置关系，解题的突破口内熟练掌握判断直线与圆位置关系的方法.x：+F-4x=0是以G 0)为圆心，以 2为半径的圆，而 点 R 3e到扇心的距离为d=3-4:+0-0-=1 0,解之得 m+n S 2 2 g 或 m+n 2+2-/2.1 4.(2 0 1 2 重庆卷)设平面点集 A=(x,y)(y-x)-y-0,B=x,y|x-1 2+y-1 2 0,0 一蟀0,【答案】D【解析】平面点集/表示的平面区域就是不等式组 I-与 11 A 表示的两块卜 一 抖 厂/平面区域，而平面点集3表示的平面区域为以点n”为圆心，以 1为半径的扇及圆的内部，作出它们所示的平面区域，如图所示，图中的阴登部分就是.二3所表示的平面图形.由于圆和曲线丁=殳于直线J=X对称，因此阴影部分所表示的图形面积为圆面积的(即为三1 5.(2 0 1 2 课标全国卷)设 F l,F 2 是椭圆E：净 卷=l(a b 0)的左、右焦点，P为直线x 若 上 一 点，F 2 P F 1 是底角为3 0。的等腰三角形，则 E的离心率为()A.g B./C.(D.,【答案】C【解析】根据题意，一定有N P F 1 F 2=3 O。，且/P F 2 x=6 0。，故直线P F 2 的倾斜角是壬设直线x=1 a 与 x 轴的交点为 M,贝 I J|P F 2|=2|F 2 M|,又|P F 2|=|F 1 F 2|,所以|F 1 F 2|=2|F 2 M l.所以 2 c=2&c),即c 34c=3 a,故 e=;=7 故选 C.1 6.(2 0 1 2 天津卷)设椭圆等+弓=l(a b 0)的左、右顶点分别为A,B,点 P在椭圆上且异于A,B两点，O为坐标原点.(1)若直线AP与 B P的斜率之积为一；，求椭圆的离心率；(2)若|A P|=|O A|,证明直线OP的斜率k 满足|k|小.【答案】解：(1)设点P的坐标为(x 0,y 0).由题意,有*需=】a z oZvO y0由 A(-a,0),B(a,O),得 k BP5；.I _ a2b2由 kA P k B P=-w，可得x 0=a 2-2 y O,代入并整理得(a 2-2 b2)y 0=0.山于y 0#),故a 2=2 b2.于是e2=Jza z君所以椭圆的离心率e=(2)证明：(方法一)依题意，直线OP的方程为 y=kx,设点P的坐标为(x 0,y 0).y O=kx O,由条件得(汹,y 0 _ 消去y O 并整理得拓+b 2=La 2 b2x、2 a 2+b2.由|A P|=Q A|,A(a,0)&y 0=kx 0,得(x O+a)2+k2 x 0=a 2.整理得(1+k2)x Q+2 a x 0=0.而 x 0#0,于是 x 0=，代入，整理得(l+k2)2=4k2 0 2+4.由 a b 0,故(l+k2)2 4k2+4,即 k 2+l 4,因此 k2 3,所以|k|Tl(方法二)依题意，直线OP的方程为y=k x,可设点P的坐标为(x O,kx O).由点P在椭圆上，有 雪+曾=a Z D/1.因为 a b 0,kx O O,所以-1,a z a z即(l+k2)x Q 3,所以|k|小.x 21 7.(2 0 1 2 陕西卷)已知椭圆C 1：彳+丫2=1,椭圆C2以 C l 的长轴为短轴，且与C 1 有相同的离心率.(1)求椭圆C 2 的方程；(2)设 O为坐标原点，点 A,B分别在椭圆C 1 和 C 2 上，65=2 O A,求直线AB的方程.【答案】解：由已知可设椭圆C 2 的方程为$+苧=l(a 2),其离心率为乎，故 三=坐，则 a=4,故椭圆C 2 的方程为 每 弓=1.(2)解法一：4,B两点的坐标分别记为(.口，打)，(出,1由 晶=2如 及 知，O,A,3三点共线且点43不在轴上,因此可设直线/3的方程为y=kx.将;=沃代入与+F=1中，得n+4)x-=4,所 以 居=；将 产 衣 代 入+?=1中，得t 4+F)x：=1 6,所 以 冠=骼7,1 0 4 4十方又由03=21,得*=4 6，即 上-=；上:4+i t-1+4A1-解 得=上1,故直线A B的方程为j=x或T=-X.解法二：B两点的坐标分别记为(必，j x).(.vs(v).由 彷=2况 及 1 知，0,A,3三点共线且点4 5不在1轴上，因此可设直线W 5的方程为j=将丁=会代入4+F=l中，得(l+4F)x：=4,所以x i=f上二,1 I K由。3=2。/，得 e=；二 由=吟 婷将.0 J玳 入+=1中，得 性 白=1，即4+产=1+4 31 0 -T 1十 一 廿解 得 一=1,故直线A B的方程为j=x或)=一工1 8.(2 0 1 2重 庆 卷)如 图1-3,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上，上顶点为A,左、右焦点分别为F l,F 2,线段O F 1,O F 2的中点分别为B l,B 2,且A A B I B 2是面积为4的直角三角形.图1 3(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B 1作直线1交椭圆于P,Q两点，使P B 2 L Q B 2,求直线1的方程.【答案】解：设所求椭圆的标准方程为捺+=l(a A。)，右焦点为产二匕。工C t 0因.43 3二是直角二角形，又.43：=.43二，故 二 为 直 角，因此Q=OB：,得.结 合：=*-K得42二=一城 故4二=5泊泊 所以离心率c=j=日 行.在 R t上5 j 3;中，OA BBZ,故1rS z L 43：B二=丁 民B二 OA=O B-OA=b=b 由题设条件5也.工员3二=4,得2?=4,从而。二=5 i：=2 0.因此所求帏回的标准方程为:由知团(一2,0),32,0).由题意知直线/的倾斜角不为0,故可设直线:的方程为：x=小一2代入桶圆方程得 加：+5)丁 二 一 七 町-16=0.设P(x”E)、Q(xz,竺)，贝ijj”上是上面方程的两根，因此,_ _ 16V1+%T,1%二，“卜+J +)又 分=(为-2,)!),匹2=(X22,yz),所以B P-3：(工】-2)8 2)+1y 正=(my1-4)(wi-4)+片)h=(加:+1)宣：-4加0：+尤)+1616二+1 16对 J “=-=二-、.十 10 六十)班-十)_ 16 箱 一64苏+5 由P B：上QB：,得先生0=0,即16喇 二 6 4=0,解得叫=土工所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x+2)+2=0和x-2j+2=0.19.(2012辽宁卷)如图 1一7,椭圆 C0：宏+符=l(ab0,a,b 为常数)，动圆 Cl：x2+y2=t2,btla.点Al,A2分别为CO的左，右 顶 点.C l与CO相交于A,B,C,D四点.图1-7(1)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；(2)设动圆C2：x2+y2=t2与C0相交于N,B C ,D四点，其中bt2 Va,tl#2.若矩形ABCD与矩形ABCD的面积相等.证明：t2+t2为定值.【答案】解:(1)设 A(xl,yl),B(xl,-y l),又知 Al(a,0),A2(a,0),则直线A1A的方程为y=(x+a),xl+a直线A2B的方程为y=xL：(xa),由得y 2=m=(x 2 a2).xx az由点A(xl,yl)在椭圆CO上，故卷=L从 而,=济 1 一 受，代入得三一L=l(x V-a,v-x-1-r,=d-x-1 1 邑,、g CbJ由?!=?;.知 X产X 所以+*=.从 而 货+,=泊因 此 6+W=K+K 为定值.19.(2012北京卷)已知曲线 C：(5m)x2+(m2)y2=8(mWR).(1)若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求 m 的取值范围；(2)设 m=4,曲线C 与 y 轴的交点为A,B(点A 位于点B 的上方)，直线y=k x+4 与曲线C 交于不同的两点 M,N,直线y=l 与直线BM 交于点G求证：A,G,N 三点共线.【答案】解：(1)曲 线 C 是焦点在工轴上的椭圆，当且仅当3?0-2 解 得%心，8.8 2二 l2 一加加2所以泪的取值范围是3(2)当刑=4 时,曲 线 C 的方程为拘+2 y=8,点 4 3 的坐标分别为Q2),(0,-2).由 一、得 U+2F)x2+16S+24=0.I.x-+2y=$,因为直线与曲线C 交于不同的两点，所以 J=(16):-4(l+2fr:)x240,即设 点 M,M 的坐标分别为(如川，S，X)，则F=h+4,=匕 二+4，_ 16k _ 24X1X：-i+2 -直 线 3 的方程为1+2=呼2,点 G 的 坐 标 为 告、，直线AN和直线A G 的斜率分别为k A N=%2,kAGyl+23x1 所以 kANk A G=+空kx2+2 kxl+6x2 3x1=4 2xl+x?-3*十 xlx216k2x；-4 l+2k2=宇+一 五-一=ol+2k2即 kAN=kAG.故 A,G,N 三点共线.20.(2012广东卷)在平面直角坐标系xO y中，已知椭圆C：今+1=l(ab0)的 离 心 率 且 椭 圆C 上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)在椭圆C 上，是否存在点M(m,n),使得直线1：m x+n y=l与圆O：x2+y2=1 相交于不同的两点A、B,且4O A B 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的aO A B 的面积；若不存在，请说明理由.【答案】解：:-a:=35:,即椭扇。的方程可写为全+*=1.3扭 扭设 P(x,y)为桶圆C 上任意给定的一点，P Q-=x-+(j-2)：=2(y+l+6+36，S6+3炉,瓦 b.由题设存在点p 满足p g=3,则 9=尸 。吆6+3儿.粒1.当 归 1 时，由于J=-1 E 一 瓦b9此时P。二取得最大值6+3尻 6+36二=9=9=1,乐=3.故所求椭圆c 的方程为弓+.卜=1.(2)存在点.U满足要求，使。3 的面积最大.假设直线/：?Mx+?n=l与 图Oi x:+;:=l 相交于不同的两点上、B,则01心。到：的距离因为点M i，)EC，所以F+”二=1。二+声，于 是OV柿W 3.=V AB,d：7 上式等号成立当且仅当1=,种=7 二=三 6(0：3,因此当加=上半，H=拳时等号成立,所以满足要求的点恰有四个，其坐标分别为孝，专 更，一 半，一雪，也 和 一 池，一 专，此时对应的诸三角形的面积均达到最大值:21.(2012安徽 卷)如 图 15,点 Fl(c,0),F2(c,0)分别是椭圆C：各 符=l(ab0)的左、右焦点，过点F1作 x 轴的垂线交椭圆C 的上半部分于点P,过点F2作直线PF2的垂线交直线x=心于点Q.(1)如果点Q 的坐标是(4,4),求此时椭圆C 的方程;(2)证明：直线PQ 与椭圆C 只有一个交点.【答案】解：(5 方法一)由条件知，P-C，苫，X.1)-0故直线PF-的斜率为kPF-一一。lac因 为P r-L F-O,所以直线r,Q的方程为产券2。，b-故 Q 2 a ：C z由题设知，=4.2 a=4 解 得。=2,c=1.故椭圆方程为1+9=1.(方法二)设直线:=圭K 轴交于点2./,由条件知，P-，3因为-Q 所 以 驾:即片解得山2=2aa-：JO-c 1 凹c生=4所 以，.2 a=4,2=1,故怖圆方程为5+5=1.证明：直线P。的方程为I !炉、片(a c即 丫=皋+&将上式代入椭圆方程得，x2+2cx+c2=0.解得x=-c,y=，d所以直线PQ与椭圆C只有一个交点.22.(2012福建卷)如图1 一4,椭 圆E：*|=l(a b 0)的左焦点为F 1,右焦点为F 2,离心率e=g,过F l的直线交椭圆于A、B两点，且4ABF2的周长为&求椭圆E的方程；(2)设动直线1：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.图1一4【答案】解：解法一：(1)因为 A B +B F：=$,即.-1F1+FB +.-iF z+3毛=3，又 A F i+A FZ=B F-.+B F：=2a,所以 4a=8,a=2.又因为e=g即9 4所 以c=l,所 以 匕=,一 其=正故椭圆E的方程是2+9=1.(2)由，x-v-得“产+3)X：+MM X+4 I：12=0.4+=1-因为动直线I与幅圆E有且只有一个公共点P(xo Jo)所以哂=。且 =0，即 64工 加 二 一4(4AS 4-3)(4 P 12)=0,化简得 4*:-，”:+3=0.(*)此 时、=一 普7=一青 T 所以去仪=4，由，得?(4.4+m).假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上.设M(xl,O),则疝)E迨=0对满足(*)式的m、k恒成立.做=(4一xl,4k+m),由 语 限=0,/口 16k.4kxl -12kle 八得一一+-4x1+x2+3=0,mmm整理，W(4xl-4)-+x2-4xl+3=0.(*)由于(*)式对满足(*)式的m,k 恒成立，所以4x14=0,故存在定点M(1,0),使得以PQ 为直径的圆恒过点M.解法二：(1)同解法一.y=kx+m,(2)由 1 x2 y2 得(4k2+3)x2+8kmx+4m2 12=0.因为动直线1与椭圆E 有且只有一个公共点P(x0,y 0),所以m#0且=(),即 64k2m2-4(4k2+3)(4m2-1 2)=0,化简得 4k2m 2+3=0.(*)4 c 4km 4k 八，八，3 J 4k 3、此时 x 0=_ 1 =_ 益，y0=kx0+m=m，所以 m x=4,由 ,得 Q(4,4k+m).ykx m,假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点 M 必在x 轴上.取 k=0,m=小，此时P(0,小)，Q(4,小)，以 PQ为直径的圆为(x2)2+(y小)2=4,交 x 轴于点Ml(l,0),M2(3,0)；取 k=-J m=2,此时P(1,今，Q(4,0),以 PQ为直径的圆为(x券+(厂交x 轴于点 M3(l,0),M 4(4,0).所以若符合条件的点M 存在，则 M 的坐标必为(1,0).以下证明M(l,0)就是满足条件的点：因为M 的坐标为(1,0),所 以 砒=(一 事 1，a)，流=(3,4k+m),从而疑3+3=0,故恒有砒，或，即存在定点M(1,0),使得以PQ 为直径的圆恒过点M.23.(2012湖北卷)设A 是单位圆x 2+y 2=l上的任意一点，1是过点A 与 x 轴垂直的直线，D 是直线1与x 轴的交点，点 M 在直线1上，且满足|DM尸 m|DA|(m0,且 m#l).当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C.(1)求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并.求其焦点坐标；(2)过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于 P,Q 两点，其中P 在第一象限，它在y 轴上的射影为点N,直线QN交曲线C 于另一点H.是否存在m,使得对任意的k 0,都有P Q,P H?若存在，求 m 的值；若不存在,请说明理由.【答案】解：如图，设 M x，丁），/（孙 闻，则 由 必/=泄 以（泄 0,且；，!=1）,可得 x=x”）=5，所以 xo=x j-o=，,.因为点A在单位圆上运动，所 以.心+,=1.将式代入式即得所求曲线C 的方程为1-+4=1（70,且frr因为洲W（0）U（l,+x）,所以当 0叫 1时，曲 线 C是焦点在x 轴上的椭扇,两焦点坐标分别为（一为1 一?后0）（.1 -?庐,0）当加1时，曲 线 C 是焦点在J-轴上的桶圆，两焦点坐标分别为（0，-.I）,（0.d M T）.（2）方 法 1：如图、（3）.对任意的20,设 Rx”的）,战 !：）则 0（Xi，一m），阳0,直线 0 V 的方程为j=2fcv+h：,将其代入桶圆C的 方 程 并 整 理 可 得?）x：+4/x】x+庄WF=0.依题意可知此方程的两根为一如坐，于是由韦达定理可得4Xl on m2%一 为+空=一 再 即 型=乔 欣.因为点耳在直线2、上，所以 t _ H：=2fcv：=2Q大沏 二 十 42于是 9。=（-2xi,-2Axi）-_ 、_ 4乒 的 2W xj 吟1）=一 不忌.而 RO_LRH等 价 于 防 西 芋=0,-J 加-+4产即 2 r=0,又M0.得，”=S，故存在，”=S，庾得在其对应的怖圆必+与=1 上，对任意的;:0,都 有？2_LPH方法 2：如图(2)、(3),对任意 x lG(0,l),设 P(xl,yl),H(x2,y 2),则 Q(-x l,-y l),N(0,yl).因为P，H 两点在椭圆C 上，所以m2x2+y2=m2,m2x2+y2=m2,两式相减可得m2(x2x2)+(y2y2)=0.依题意，由点P 在第一象限可知，点 H 也在第一象限，且 P,H 不重合,故(xl x2)(xl+x2)和.于是山式可得.yl-y2yl+y2,xl-x2xl+x2m2.又 Q,N,H 三点共线，所以kQ N=kQ H,即2yl yl+y2xl-xl+x2-I.yl-y2yl+y22 x lx2xl+x2于是由式可得k P Q-k P H=JP W|=X 1 X1 x zm2T,而 PQ_LPH 等价于 kPQ kPH=-l,即 一 彳=-1,又 m 0,得 m=，L故存在m=啦，使得在其对应的椭圆x2+号=1 上，对任意的k 0,都有PQLPH.24.(2012江西卷)椭圆崇+夸=l(ab0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是Fl,F 2,若|AF1,|F1F2|,|F1B|成等比数列，则 此 椭 圆 的 离 心 率 为.【答案】坐 【解析】考查椭圆的定义和性质、等比数列的性质等；解题的突破口是建立关于a,c 的齐次等式,然后转化为离心率e 的方程求解.山椭圆的定义知，|A F l|=a-c,|FlF2|=2c,|B Fl|=a+c,V|AF1|,|F1F2|,|BF“成等比数列,因此4c2=(ac)(a+c),整理得5c2=成,两边同除以a2得 5 e 2=l,解得e=.25.(2012山东卷)已知椭圆C：*符=l(ab0)的离心率为坐双曲线x2y 2=l的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为1 6,则椭圆C 的 方 程 为()A-爷+号=1 B.白卷=1若 1+号=1 D.崇 上=1【答案】D【解析】本题考查椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力，中档题.由离心率为坐得，a2=4 b 2,排除选项B,双曲线的渐近线方程为y=x,与椭圆的四交点组成的四边形的面积为16可得在第一象限的交点坐标为(2,2),代入选项A、C、D,知选项D 正确.26.(2012 上海卷)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C l：2x2y2=l.(1)过 C l的左顶点引C l的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；设斜率为1 的直线1交 C 1于 P、Q 两 点.若 1与圆x 2+y 2=l相切，求证：OP_LOQ；(3)设椭圆C2：4 x 2+y 2=l,若 M、N 分别是C l、C2上的动点，且 O M L O N,求证：O 到直线M N的距离是定值.【答案】解：双曲线C1：竿 一y 2=l,左顶点A(一 孚 0),渐近线方程：y=辰2过点A 与渐近线yy2x平行的直线方程为y=(x+黑 即y=y/x+l.解方程组，啦4，y=一 啦 x,y=y2 x+1X所以所求三角形的面积为S=O A T=V./Q12 设直线P Q的方程是y=.v+b9因直线P Q与已知圆相切,故=1,即“2.由 、得 工 2&v二一1=0.I 2x一=1,设 P(X 1，y)、Q(x:,y-),则*.l X X：=-1 -5-.又 J U：=(x i+b)(x：+b)，所以OP O d=x1x:+v j：=2X X；+i(x j 4-X 2)+i -=2(-1 4-)+2i -+5-=S*2=0.故 0P _ L 02(3)当直线QV垂直于x 轴时，O.V=1,O M=埠,则。到直线uv 的距离为坐.当 直 线 不 垂 直 于:;轴 时，设直线。.：的方程为j=f c v显 然；：，则直线0 M的方程为丁=一七.C得卜WI?一 诉,所以1+F4+-1+5?c-r同理0。设。到直线J.V 的距离为d,因为(o.v-+av：)4?=O)J-ox-.1 rz J _ _ _ _ _ 1 _ ,_ 1_ _ _ _ 3k 2+3 J 3加以近 i Q M|2 十|O N|2-k 2+l -3,即 d-3-综上，O到直线MN的距离是定值.27.(2012四川卷)椭圆苧+等=1 的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于点A、B.当4 FA B 的周长最大时，4FA B 的面积是.【答案】3【解析】如图，设椭圆右焦点为F，直线x=m 与 x 轴相交于C,由椭圆第一定义，|AF|+|AF|=|BF|+|BF|=2a=4,而|AB|=|AC|+|BC|+F=S.因为直线：的方程为产x+叫所以直线 的方程为丁=一、一利由丁 f 得 x 2+4 x+4 D.lx-=4yJ=4：4*4?M=16(1?)当泄=1,即 =0 时，直线-与抛物线C 相切；当*1,即 J=0时，直 线：与抛物线C 不相切.综上，当加=1 时，直 线，,与抛物线C 相切；当 i=l时，直线-与抛物线。不相切.解法二：(1)设所求圆的半径为r,则扇的方程可设为0 2)：+:=4H+族=广，依题意，所求圆与直线A xY+，”=0相切于点尸(。，斌)，则 2。+优加=2,解得；r2=2 也.所以所求圆的方程为(x-2 +F=3.(2)同解法一,春图 1 2(2011湖北卷)如图12,直角坐标系xOy所在的平面为a,直角坐标系x，Oy，(其中y，轴与y 轴重合)所在的平面为B，ZxOx,=45.(1)已知平面。内有一点P25，2),则点 在平面a 内的射影P 的坐标为；(2)已知平面p 内的曲线C，的方程是公 一也)2+2/2 2=0,则 曲 线。在 平 面 a 内的射影C 的方程是【答案】(2,2)(x-l)2+y 2=l【解析】过点P作 PP a,垂足为P,过 P 作 PM_Ly轴于M,连接P M,则/P，MP=45。.又 MP，=2，L所以 M P=2gcos45o=2.所以点 P(2,2).(2)设曲线C，上任意一点为(x，/),则该点在平面a 内的射影为(x,y),故有，泉,=x、y=y,即x=ix,V=y，代入（x，一啦）2+20),山已知|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2,得|PFl|=1c,|PF2|=jc,JL|PF1|PF2|,若圆锥曲线为椭圆，则 2a=|P F l|+|P F 2|=4 c,离心率e=5；d z4 c 3若圆锥曲线T 为双曲线,则2a=|P F l|-|P F 2|=w c,离心率e=：=5，故选A.J a Z(2011湖南卷)如图1一9,椭圆C l：圣+/=l(ab0)的离心率为坐，x 轴被曲线C2：y=x 2-b 截得的线段长等于C l的长半轴长.求 Cl,C 2的方程；设 C 2与 y 轴的交点为M,过坐标原点O 的直线1与 C 2相交于点A,B,直线MA,M B分别与C1相交于点D,E.证明：MDME：Q 1 17记AMAB,ZkMDE的面积分别为SI,S2.问：是否存在直线1,使得鼠=弓？请说明理由.图 1一10【解答】（1）由题意知，。=；=率，从 而 a=26.又解得4=2,故 G，J 的方程分别为j+f=l,j x;-1.0 由题意知，直线/的斜率存在，设 为 於 则 直 线；的方程为=上I 1,=fcv,由,得 炉一 h-l=o.I j=x-1设 X（M J1），B（X：9 y:）,则 刖，x二是上述方程的两个实根，于是为+、：=片，X14=-1.又 点 19的坐标为（0,1）,所以.,_ 乃+1力+1一沃1+辰+1).由已知得尸斤F在圆上，二必+#二=2即 C的 方 程 为 守 石=1.过点1 3 0且 斜 率 为 朝 直 线 方 程 为 产 为-3),设直线与C的交点为J(x i，y i),5(x;.y：).将直线方程=1(x 3)代 入?的方程，得即 x 2-3 x-8=0.3A/41 3+/4!x 1 2，x2 2.线段A B的长度为|AB|=/xl-x 2 2+y l-y22=AJ（1+1 X1-X22 和 乂41=y.（2011浙江卷）设Fl,F2分别为椭圆？+y2=l的左，右焦点，点A,B在椭圆上.若F iA=5侬，则点A的坐标是.【答案】（0,1）+笔，解之得工=0,【解析】设直线三.的反向延长线与桶圆交于点5,又.户 口=5力，由椭圆的对称性可得用=5言 ,设 N（X”J1）,3（X2,yz）,又：34=亚*+巫,F、3=或、十匹,人？，工1十、一夕？A2-r）/+芈=”：L；+A/2=5（72x：）.点X的坐标为（0,=1）.（2011安徽卷）双曲线2x2y2=8的实轴长是（）A.2 B.2巾 C.4 D.42【答案】C【解析】双曲线方程可化为苧一券=1，所以a 2=4,得a=2,所以2a=4.故实轴长为4.（2011全国卷）已知F l、F2分别为双曲线C：罟一券=1的左、右焦点，点A G C,点M的坐标为（2,0）,A M为NF1AF2的平分线，则|AF2|=.【答案】6FFA【解析】根据角平分线的性质,A【2010高考真题精选】=/又|A F 1|T A F 2|=6,故|AF2|=6.1.（2010江西理）8.直线 =米+3与圆（I）+（）=2）=4相交于M,N两点，若阿 时2 2百，则 女的取值范围是V。B.3-0,-U o,4 0C.V3 6-，-3 33【答案】A【解析】考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式，重点考察数形结合的运用.3解 法1：圆心的坐标为（3.,2）,且圆与y轴相切.当M N|=2百 时，由点到直线距离公式，解得 4,解法2：数形结合，如图由垂径定理得夹在两直线之间即可,，不取+8,排除B,考虑区间不对称，排除C,利用斜率估值，选A2.（2010出重 庆 理）直 线y=3x+6与 圆 心 为D的圆x=G +VJ cos 0,y=l+百sin。（6 e 10,2%）交与 A、B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为7-nA.6B.57tD.3【答案】C【解析】数形结合Zl=a-3 0n N2=30+万一54一 兀3由圆的性质可知N1=N2.-.a-30=30+7U-/34n-兀故1+4=33.（2010安徽理）9、动点在圆/+寸=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周。1出已知时间=时，点A的坐标是5 2）,则当0 关于/（单位：秒）的函数的单调递增区间是A、I。B、I 0、P 2 口、和P M【答案】D_ 7T 兀【解析】画出图形，设 动 点A与x轴正方向夹角为a,则f=0时 3,每秒钟旋转7,在 】上r7 t兀、3兀7刀,一 7 1 71 ,3 2,在，1勺上 2 3,动点A的纵坐标V关于/都是单调递增的。4.（2 0 1 0