高考题汇编函数.pdf

2010年高考数学试题分类汇编一一函数(2010上海文数)17.若天是 方 程 式l g x +x =2的解，则/属于区间()(A)(0,1).(B)(1,1.2 5).(C)(1.2 5,1.75)(D)(1.75,2)解析：构造函数/(x)=l g x +无-2,由/(L 75)=/()=1g/;0知属于区间(1.75,2)(2010湖南文数)8.函数y=a x?+b x与y=l o g；,x (a b#0,|a|#|b|)在同一直角坐标系中的 一 a图像可能是D(2010湖南文数)3.某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是AAA.y =-10 x +2 00 B.y =10 x 4-2 00C.y =-10 x-2 00D.y =10 x-2 00(2010浙江理数)(10)设函数的集合P=,平面上点的集合Q=l)的反函数是(A)=e2-+l-l(x 0)(B)-=e2 x+l+l(x 0)(C)y =e2 j+l-l(x e R)(D)y=e2 x+l(xe R)【答案】D【命题意图】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。【解 析 由原函数解得x =e T +l,即FT(X)=+1,又X L；.X_ 10,；二l n(x-l)w R，二 JEK,.在反函数中 xcK,故选D.(2 010陕西文数)10.某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大干时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=x (切表示不大于x的最大整数)可以表示为 B(，A八)y=r -x .(B)、y=r x-+-3-,(八C)、y=r-x-+-4-n ,(D7)y=r x-+-5-,1 0 1 0 1 0 1 0解析：法一：特殊取值法，若 x=56,y=5,排除C、I),若 x=57,y=6,排除A,所以选B法二：设 x =1 0?+a(0 W a W 9),0 Wa 6 时，x+=m=,.io J L io J Lio.x +3HT当6 0,y 0,函数/(x)满 足 f(*+y)=f (x)F(y)”的是 C(A)幕函数(B)对数函数(C)指数函数(D)余弦函数解析：本题考查靠的运算性质f(x)f(y)=axay=ax+y=f(x+y)4(2 01 0辽宁文数)(1 2)已知点P在曲线y=-上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则e*+1a的取值范围是网 0,)(B)?,g)(C)(D)严 4 4 2 2 4 44I解析：选 D.y =-2,/.-1/0,-+2/+1 e，+2 +，3兀H P -1 t a n c rO,.，.，”=V1Ka b(2 0 1 0辽 宁 文 数)(4)已知a 0,函 数 x)=ax2+bx+c,若x0满 足 关 于x的方程2ax+b=0,则下列选项的命题中为假命题的是(A)BXG R,f(x)/(X0)(C)VX G/?,/(X)/(x0)解析：选C.函数/(x)的最小值是-2)=/(%)2a等价于V x w R,/(x)2/(X o),所以命题C错误.4(2010辽宁理数)(1O)已知点P在曲线y=-上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则/+1的取值范围是7V r7 C 兀、7t 3兀、3兀(A)0,)匕,小(,(D)4 4 2 2 4 4【答案】D【命题立意】本题考查了导数的几何意义，求导运算以及三角函数的知识。【解析】因为y=-=-1,即tanaT,所以%(e+1)e+2 +e 4(2010全国卷2文 数)(7)若曲线 =/+公+/?在点(0,6)处的切线方程是x y+l=0,则(A)a-,b =(B)a=-,b -1(C)a(D)【解析】A本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程.y=2 x+ar=o=.a-1(/)在切线x-y +l=。，；.b-1(2010全国卷2文 数)(4)函数y=l+ln(x-D(xl)的反函数是(A)y=e+l-l(x0)(B)丫=产+l(x0)(C)y=ex+l-l(x R)(D)y=exl+l(x e R)【解析】D本题考查了函数的反函数及指数对数的互化，函数=H IN(左4)0 1),二l n(x -1)=y -1,x -1 =,y =ex-+1(2 010江西理数)12.如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S”)(S (0)=0),则导函数y =S (f)的图像大致为B【答案】A【解析】本题考查函数图像、导数图、导数的实际意义等知识，重点考查的是对数学的探究能力和应用能力。最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除C；总面积一直保持增加，没有负的改变量，排除B；考察A、D的差异在于两肩位置的改变是否平滑，考虑到导数的意义,判断此时面积改变为突变，产生中断，选择A。(2 010江西理 数)9.给出下列三个命题：函数y =I n -与y _ jn t a n 上是同一函数：2 1 +c o s x 2 若 函 数y =/(x)与y =g(x)的 图 像 关 于 直 线y =x对 称，则函数y=f(2 x)与y =；g (x)的图像也关于直线y =x对称；若奇函数/(x)对定义域内任意x都有/(x)=/(2-x),则/(x)为周期函数。其中真命题是A.B.C.D.【答案】C【解析】考查相同函数、函数对称性的判断、周期性知识。考虑定义域不同，错误；排除A、B,验证，/(一X)=/2-(一尤)=/(2 +尤),又通过奇函数得一X)=一/),所 以f (x)是周期为2的周期函数，选择C。(2010安徽文数)(7)设a =(1)5,b =(*)5,c =(*)5,则a,b,c的大小关系是5 5 5(A)a c b (B)a b c (C)c a b (D)b c a7.A*2【解析】=炉 在 0时是增函数，所以。，卜=（1）,在 0时是减函数，所以c b。【方法总结】根据某函数与指数函数的单调性直接可以判断出来.（2010安徽文数）（6）设a b c 0,二次函数/（）=以2+法+。的图像可能是6.Db【解析】当。0时;b、c同号，（C）（D）两图中c0,故。0,选 项（D）符合2a【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分4 0或4 0,/.0 1 6-4 1 6/.V 1 6-4v e 0,4)(2010浙江文数)(9)已知x是函数f(x)=2+一的一个零点.若X|G (1,x0),1-xx2 e (xo,+8),则(A)f(x()0,f(x2)0 (B)f(x J 0(C)f(x1)0,f(x2)0,f(x2)0解析：选B,考察了数形结合的思想，以及函数零点的概念和零点的判断，属中档题(2010浙江文数)2.已知函数/。)=1(+1),若/。)=1,a =(A)o(8)1(C)2(D)3解析：a+1=2,故a=i,选B,本题主要考察了对数函数概念及其运算性质，属容易题(2010重庆理数)函数X)=厂 的图象A.关于原点对称 B.关于直线y=x对 称C.关于x轴 对 称D.关于y轴对称4x+1 1 +4,解析：/(-x)=厂=六=/(x)./(X)是偶函数，图像关于y轴对称(2010山东文数)(1 1)函数y=2-/的图像大致是答案：A(2 0 1 0山东文数)(8)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量无(单位：万件)的函数关系式为 =-/+8 5一2 3 4,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为(A)13万件(B)ll万件(C)9万件(D)7万件答案：C(2010山东文数)(5)设/(x)为定义在R上的奇函数，当xN O B寸，f(x)=2x+2 x +b(b为常数)，则/(一1)=(A)-3(B)-1(C)1(D)3答案：A(2010山东文数)(3)函数X)=10g2(3+l)的值域为A.(0,+)B.。,+8)C.(1,4-0)D.1,+8)答案：A(2010北 京 文 数)(6)给定函数 =#，y=log1(x+l),y x-U,y=2 L 期中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是(A)(B)(C)(D)答案：B(2010北京文数)若a,b 是非零向量，且问/网，则函数/(x)=(xa+b (xb-a)是(A)一次函数且是奇函数(B)一次函数但不是奇函数(C)二次函数且是偶函数(D)二次函数但不是偶函数答案：A(2010四川理数)(4)函数/(x)=x2+m x+l的图像关于直线x=l对称的充要条件是(A)in=2(B)m=2(C)m=1 (D)in=1解析：函数/(x)=，+机x+1 的对称轴为X=-5 ,于 是 一 万=1 =m=-2答案：A(2010 四川理数)(3)2log510+log50.25=(A)0(B)1 (C)2(。)4解析：2/空510+/。加0.25=log500+log50.25=log525=2答案：C(2010四川理数)(2)下列四个图像所表示的函数在点x=0 处连续的是(A)(D)解析：由图象及函数连续的性质知，。正确.答案：。(2010 天 津 文 数)(1 0)设函数 g(x)=x2-2(xe R)_ /g(x)+x+4,xg(x),一 I g(x)-x,x 2 g(x).则 f (x)的值域是9 9 9(A)-,0 (1,+)(B)0,+)(C),+)(D)-,0 k J(2,+)4 4 4【答案】D【解析】本题主要考查函数分类函数值域的基本求法，属于难题。x 2 +(x+4),x x?一 2依题意知/(x)f ix)x2+2,x 2x?2 x,-1WXW2(2 0 1 0 天 津 文 数)(6)设a =1(4,b =(log53)2,c =log/,贝ij(A)acb(B)bca(C)abc(D)bac【答案】D【解析】本题主要考查利用对数函数的单调性比较大小的基本方法，属于容易题。因为 0 log5 4 1,所以 bac【温馨提示】比较对数值的大小时，通常利用0,1进行，本题也可以利用对数函数的图像进行比较。(2 0 1 0天 津 文 数)(5)下列命题中，真命题是(A)m m e R,使函数f (x)=x2+mx(xe R)是偶函数(B)mme R,使函数f (x)=x?+mx(x e R)是奇函数(C)V m e R,使函数f (x)=x2+m x (xe R)都是偶函数(D)Vme R,使函数f (x)=x2+mx(xe R)都是奇函数【答案】A【解析】本题主要考查奇偶数的基本概念，与存在量词、全称量词的含义，属于容易题。当m=0时，函数f (x)=/是偶函数，所以选A.【温馨提示】本题也可以利用奇偶函数的定义求解。(2 0 1 0天津文数)(4)函数f (x)=e，+x-2的零点所在的一个区间是(A)(-2,-1)(B)(-1,0)(C)(0,1)(D)(1,2)【答案】C【解析】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题。因为f (0)=-1 0,所以零点在区间(0,1)上，选C【温馨提示】函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解。log2 x,x 0,(2 0 1 0 天津理数)(8)若函数f(x)=Lo g(_ x),x f (-a),则实数a的取值范围是(A).2(-1,0)U(0,1)(B)(-8,-1)U(l,+oo)(C)(-1,0)U(l,+8)(D)(-8,-1)u(0,1)【答案】C【解析】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，属于中等题。由分段函数的表达式知，需要对a的正负进行分类讨论。a 0 fa f(a)=log2a log,a或log(-a)log2(-a)、2 2a 0 a 1 或 a lt-1 a a、2 1a【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数大于0,同事要注意底数在(0,I)上时，不等号的方向不要写错。(2 0 1 0 天津理 数)(3)命 题“若 f(x)是奇函数，则 f(-x)是奇函数”的否命题是(A)若 f(x)是偶函数，则 f(-x)是偶函数(B)若 f(x)不是奇函数，则 f(-x)不是奇函数(C)若 f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数(D)若 f(-x)不是奇函数，则 f(x)不是奇函数【答案】B【解析】本题主要考查否命题的概念，属于容易题。否命题是同时否定命题的条件结论，故否命题的定义可知B项是正确的。【温馨提示】解题时要注意否命题与命题否定的区别。(2 0 1 0 天津理数)(2)函数f(x)=2 +3 x 的零点所在的,个区间是(A)(-2,-1)(B)(-1,0)(C)(0,1)(D)(1,2)【答案】B【解析】本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题。由/(一 1)=；一3 0及零点定理知f(x)的零点在区间(-1,0)上。【温馨提示】函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解。(2 0 1 0广东理 数)3.若函数/(x)=3、+3 与g (x)=3*-3*的定义域均为R,则A./(x)与g (x)均为偶函数 B./(x)为偶函数，g(x)为奇函数C./(x)与g (x)均为奇函数 D J (x)为奇函数，g(x)为偶函数3.D./(-x)=3 r+3 =/(x),g(-x)=3 r-3 =-g(x).(2 0 1 0广 东 文 数)3.若函数/(x)=3 +3 r与g(x)=3 -3 T的定义域均为R则A /(x)与g(x)与均为偶函数 B/(x)为奇函数，g(x)为偶函数C /(x)与g(x)与均为奇函数 D/(x)为偶函数，g(x)为奇函数解:由于f(-x)=3-*+3-J)=f(x),故f(x)是偶函数，排 除B、C由题意知，圆心在y轴左侧，排除A、C在 Rf A OA。，丝=同=1,故=3 =0 0 =5,选 D0 A 1 1 2 0。0 0 后(2 0 1 0广 东 文 数)2函数/(x)=lg(x-l)的定义域是A (2,+8)B (l,4-oo)C l,4-oo)D 2,-H o)解：X-1 0,得工 1,选B.x +2x 3 x 0A.3 B.2 C.1 D.0【答案】B【解析】当xW O时，令 丁+2%一3=0解得x =-3；当x0时，令-2+l n x =0解得x =1 0 0,所以已知函数有两个零点，选 C。【命题意图】本题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想。(20 1 0 全国卷1 文 数)已知函数/(x)=l l g x l.若aHb且，f(a)=/),贝必+)的取值范围是(A)(l,+o o)(B)l,+o )(C)(2,+o o)(D)2,+8)7.C【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a的取值范围，而利用均值不等式求得a+b=a +,2 2,从而错选D,这也是命题者的a用苦良心之处.【解 析 1】因 为 f(a)=f(b),所以|l g a|=|l g b|,所以a=b(舍去)，或/?=,，所以a+b=a +1a a又 0 a b,所 以 0 a l f=1+1=2,即 a+b 的取值范围是(2,+8).0 a 1 0 x 1【解析2】由0 a b,且/1(a)=f(6)得：y-?过点(1,1)时 z最小为x x2,二(C)(2,+8)(20 1 0 全国卷1 理 数)(1 0)已知函数/U)=|l g x|.若 0 a 2/2,从而错选力，这是命题者挖的陷阱.a2解：作出函数 F(x)=|lgx|的图象，由 f(a)=f(b),。水b 知041匕，-lga=lg/?,.ab=l,：.a2b=a+,考察a2 2函数y=x+的单调性可知，当0 工 3.故选C.xa(20 1 0 四川文数)(2)函数)，=/。&了的图象大致是答案：C(2010湖北文数)5.函数y=/1 的定义域为71og05(4x-3)333A.(-,1)C (1,+8)D.(-,1)U (1,+8)44 _ _ _ 4_【答寡】A【解析】由lo短式4x-3)0且4x-30可解得故A正确4log,x,x 0 i(2010湖北文数)3.已 知 函 数=0，则/(/()=A.41B.一4C.-41D4【答案】B【解析】根据分段函数可得吗）=所 以B正确.则 公 y,（2010山东理数）（11）函数片2*-/的图像大致是【答案】A,1【解析】因为当x=2或 4时，2X-X=0,所以排除B、C；当 x=-2时，2X-X=一一4 0时，b、c同号，（C）（D）两图中c 0,故/?0,选 项（D）符合.2 a【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分。0或。0A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】当xWO时，令/+2 一3 =0解得x =-3；当x0时-，令-2+l n x =0解得x =1 0 0,所以已知函数有两个零点，选C。【命题意图】本题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想。2010年高考数学试题分类汇编函数（20 1 0 上海文数）1 4.将直线 6:x +y-l =O、l2:n x+y-n =O l3:x-n y-n =O（w N，2 2）围成的三角形面积记为S“，则l i m S“=_ _ _ _ _ _ i_ _ _ _。“T 8 2n n解析：B（,）所 以BOL C,n+1 +1s“二x后x（收-也）=L 2 n +l 2 2（/1 +1）所以l i m S“=T 8 2（20 1 0上 海 文 数）9.函 数/（x）=l o g 3（x +3）的 反 函 数 的 图 像 与y轴 的 交 点 坐 标 是（0-2）。解析：考查反函数相关概念、性质法-：函数/(x)=log3(x+3)的反函数为 y=3*-3,另 x=0,有 y=-2法 二：函 数/(x)=log3(x+3)图 像 与 x 轴 交 点 为(-2,0),利 用 对 称 性 可 知，函数/(x)=log3(x+3)的反函数的图像与y 轴的交点为(0,-2)(2010湖南文数)10.已知一种材料的最佳加入量在100g到 200g之间，若用0.618法安排试验,则第一次试点的加入量可以是 g【答案】171.8或 148.2【解析】根据0.618法，第一次试点加入量为110+(210-110)X0.618=171.8或 210 (210-110)X0.618=148.2【命题意图】本题考察优选法的0.618法，属容易题。f3x+2,x l,(2010陕西文数)13.已知函数/(*)=1,解析：/(0)=2,f (0)=f(2)=4+2a=4a,所以 a=2t2 4f+1(2010重 庆 文 数)(12)已知f 0,则函数？=-的最小值为.t/2 4/+1 1解析：Y=-_2L_L=Z+A_4-2(V/0),当且仅当f=l 时，ymin=-2(2010浙江文数)(1 6)某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增X%,八月份俏售额比七月份递增X%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少至少达7000万元，贝 山 x 的最小值 O答案：20(2 0 1 0 重庆理数)(15)已知函数f(x)满足：/(1)=；，4/(x)/(y)(x+y)+/(x-y)(x,y e R),则“201。)=.解析：取 x=l y=0 得/(0)=g法通过计算/(2),/(3),/(4).寻得周期为6法二:取 x=n y=l,有 f(n)=f(n+l)+f(nl),同理 f(n+l)=f(n+2)+f(n)联立得耳n+2)=f(n-l)所以 T=6 故/(20 1 0)=f(0)=1(20 1 0 天津文数)(1 6)设函数f(x)=x-L 对任意x e l,+8),f(mx)+mf(x)0 恒成立，则实X数 m 的取值范围是【答案】m 0,山复合函数的单调性可知f (mx)和 mf (x)均为增函数，此时不符合题意。1 m I 1M 0 ,时有 mx-1-mx-2 m x-(m-)Id-2 x2 因为 y =2 x2 在m x x m x m 1X l,+8)上的最小值为2,所 以 1+丁2即/9乜 解得m-l.m【温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解。(2010天津理数)(1 6 )设 函 数/(x)=x2-l ,对 任 意 x e|,+o o j ,4 机2/(%)/(-1)+4/(?)恒成立,则实数机的取值范围是【答案】D【解析】本题主要考查函数恒成立问题的基本解法，属于难题。V.23依 据 题 意 得-一 1 一4 帆2(%2 一)。_ 1)2-1 +4(加2-1)在 x e,+8)上 恒 定 成 立，即m 2I 3 2 34 m24+1 在 x w 三,+8)上恒成立。m x x 23 3 2 5 1 5当x 时 函 数y z-F 1取 得 最 小 值，所 以 一z 4 加 0,解得m 0 x 1 .（2 0 1 0广东文数）12.某 市 居 民20052009年家庭年平均收入（单位：万 元）与年平均支 出（单位：万 元）的统计资料如下表所示:年份20052006200720082009收 入X11.512.113 一13.315支 出Y6.88.89.81012根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是家庭年平均收入与年平均支出有I=x-3线性相关关系.（2 0 1 0全国卷1理数）（1 5）直线y =l与曲线y =x 2-|x|+a有四个交点，则a的取值范围是a 11，解得 1。a +0）的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A,8两 点,A,8在x轴上的正射影分别为D,C.若梯形A B C Z）的面积为1 2贬，贝ij p =【答案】2。I【解析】抛物线的焦点坐标为F (0,9)，则过焦点斜率为1 的直线方程为T =x+f,。2 2设 人(再：凶)8(巧：/)(吃 再)，由题意可知川 0：乃 0。_ p由 2，消去y 得/-2P x-2 P?=0，-./=2 刀.由韦达定理得，xt+x,=2 p,xlx2=-p2所以梯形A B C D 的面积为，S =1 G i+H)(-再)=(*+巧+尸)(吃一西)=白 尸 向+犷 7 咯=:3尸 4P?+40，eX X=342 p2献 113 0 P2=2 0,又0,所 如=2【命题意图】本题考 查 喳 线 的焦点坐标，直线的方程，直线与抛物线的位置关系，考察考生的运算能力，属中档题-高考资源 网 独 家(201 0福 建 理 数)1 5.已知定义域为(0,+8)的函数f(x)满足：对任意x e(0,+8),恒有f(2x)=2f(x)成 立;当 X。,2 时,f(x)=2-x 给出如下结论:对任意me Z,有f(2m)=0；函数f(x)的值域为 0,+8)；存在ne Z,使得f(2-+l)=9；“函数f(x)在区间(a,b)上单调递减”的 充要条件是“存在keZ,使得(a,b)G(2,2*”。其中所有正确结论的序号是。【答案】【解析】对，因为2m 0,所以f(2m)=0,故正确；经分析，容易得出也正确。【命题意图】本题考查函数的性质与充要条件，熟练基础知识是解答好本题的关键。(201 0江苏 卷)5、设函数f(x)=x(e +a e*)(x e R)是偶函数，则实数。=解析 考查函数的奇偶性的知识。g(x)=e +a e”为奇函数，山g(0)=0,得。=一1。5.(201 0江 苏 卷)1 1、已知函数/“)=x21,+1 2,则 满 足 不 等 式/(1一/)/(2x)的x的范x 2 x-x20=xe(-I,V2-1)(201 0江 苏 卷)1 4、将 边 长 为1m正三角形薄片，沿 条平行于底边的直线剪成两块，其 中-块是梯形,(梯形的周长梯形的面积记S =，则s的最小值是.解析考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。设剪成的小正三角形的边长为X,则：s=_ _ _ _ _色二婴_ _ _ _ _ _=4(3-x)2 1百”、也 T-(x+l)-y (1-X)(方 法 一)利 用 导 数 求 函 数 最 小 值。&(、4(3 7)2 4(2X-6).(1-X2)-(3-X)2.(-2X)3(x)=j=-丁，3(1)=j=-V 3 1-X2 6 (1)2=(2x-6)(l-x 2)_(3-x)2.(-2x)=4-2(3x -l)(x-3)一 耳 (1一f)2 耳 (12)2S,x)=0,0 x l,x =；,当x e(0,g 时，S (x)0,递增;故 当x =L时，S的最小值是卫 走。3 3(方 法 二)利 用 函 数 的 方 法 求 最 小 值。令3 x =f j e (2,3),-e (不二)，则:t 3 2$J/1G -r+6t-S G 8 6-2-1故 当！=3,x=，时，s的 最 小 值 是 超 叵。t 8 3 32010年高考数学试题分类汇编一一函数(2010上海文 数)2 2.(本题满分16分)本 题共有3 个小题，第 1 小题满分3 分，第 2 小题满分 5 分，第 3小题满分8 分。若实数x、y、，满足则称x比y接近机.(1)若/-I比 3 接近0,求 x的取值范围；(2)对任意两个不相等的正数、匕，证明：。2匕+4/比/+63 接近2帅而；(3)已知函数/(x)的定义域。卜,。女不水2,/?.任取。，/3)等于1+s i n x 和l-s i n x 中接近0 的那个值.写出函数/(x)的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性(结论不要求证明).解析：x e (-2,2)；对任意两个不相等的正数a、b,a2b+ab2 2 ab ah ,a+h3 2 ab ab,因为 I a%+a/-2 ab4ab l-l a3+/?3-2 aby ab 匕-(a+b)a-b)20,所以 I a%+ab2-2 ab猴 l l ay+by-2 ab猴 I,即 a2b+ab2 比 a3+b3 接近 2 aby/ab；f(x)=f+s i n x,xe3,2=i s m x 1,S k e Z,1-s i n x,XE Q k 兀,2 k 7 T +兀)f(x)是偶函数，/W是周期函数，最小正周期丁=万，函数/(X)的最小值为0,函 数 在 区间伙)-四，版)单调递增，在区间(k/版 +刍单调递减，k e Z.2 2(2010湖南文 数)2 1.(本小题满分13 分)已知函数/(x)=+x +(a l)l n x +l 5a,其中 a0,且 aW-1.x(I )讨论函数/(X)的单调性；(-2 x+3 a v +6 a x-4-6 a),xl(I I)设函数g(X)=e./*),a(e 是 自 然 数 的 底 数)。是 否存 在 a,使 g(x)在 a,-a上 为 减 函 数？若 存 在，求a的 取 值 范 围；若 不 存在，请 说 明 理 由。解(I)/(x)的定义域为(0,+8).1y(x)一 号+i+d l=l 吗 1 1.JT X X4(1)若-】a 0,则当0 x0；当-a v x l时，/,(x)1时，(x)0.故/(X)分别在(0,-a).(I.+8)上单调递增，在(-0.1)上单调递减.(2)若a 0,因此m(a)W0.而加(a)=a(a+2),所以a w-2.此时，显然有g(x)在 a,-a 上为减函数，当且仅当f(x)在上为减函数，做工)在%上为减函数，且M l)上e由(I)知，当aW-2时，/(x)在 1,-。上 为 减 函 数.又入=+13a+3wO=-3WOW-十.不难知道，Vxe a,Af(i)0 Vxefa.l ,m(x)w0.Hff,(r)=-6x2+6(a-2Jx+12a=-6(x+2)(x-a),令冽(x=0,则x=a,或x=-2.而a 4-2,于是(1)当 av-2 时，若 ax-2,R0：若 一2 v x v 1,则 m(x)0,于是，假 设 百 是 g(x)=0的 两 个 实 根，且阳 林(1)当用=2 或*2=2时，贝 Ux=a不是f(x)的极值点，此时不合题意。(2)当X i-a且 X 2*a时,由 于 x=a是 f(x)的极大值点,故x s aq.即 g(x)0即 a+(3 -a+b)a+2 b c ib-t z 0所以b T 时、f x ,)x+(H)设当尤2 0 时，/(x)-1 时./(幻 2 二 当 且 仅 当 e，2 i+x.令g(x)=e，-x-l,则g(x)=l一】.当xNO时/(x)2 0，g(x)在 0.+-)是增函数：当xWO时g(x)WO,g(x)在(-8 是诚函数.Jg(x)在x=0 处达到依小值 因而当xwR时,g(x)2 g(0),即c21+x所以当x -l时，(I I)由题设x 2 0.此时当。0 时.若 x-2，则 一 匚 o,/(幻石 一不成立：a ax4-l ax-Fl3a 2。时，令M x),W(x)+/a)T，则八外这一一当且仅当A(幻W0.ar+1h(x)=y(幻+W(x)+/*(x)-1=/(x)-W(x)+a r-/(x).(i)当OW aS；时由(I)知x&(x+l)/(x).A(x)W 4(x)-W(x)+a(x+l)/(x)-/(x).=(2a-l)/(x)0.Mx)在0.+8)是减函数，A(x)A(O)=O.即x)W-一.ar+1(ii)当。4时.由(i 知x 2/(x).2A*(x)s：4/(x)-aj/(x)+a r-f(x)2 4(x)-W(x)+4 (x)-/(x)(2a-1-ax)/(x).当0 x 即 时.Az(x)0,所以Mx)MO)=O.即 八 外 _.a ax+l综上，a 的取值越阳是似口.2【点评】导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会减弱。作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在.(2010陕西文数)21、(本小题满分14分)已知函数 f (x)=y x,g (x)=aln x,aS R(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求 a 的值及该切线的方程;(2)设函数h(x)=f(x)-g(x),当 h(x)存在最小之时，求其最小值伊(a)的解析式;(3)对(2)中的9(a),证明：当 ae (0,+o o)时，p(a)0),x由已知得r Vx =aln x,L _ L-2 yJ x x解德 a=,x=e；2:两 条曲线交点的坐标为(e；e)1：切线的方程为y-e=27(x-e2).1切线的斜率为k=f (e 项=Vx fllnx(x ),由 条 件 知、,、1 a _ 2a:2=汴手=一叁一I 当 a.0 时，令 A 切=0,解得X=4Q2,所以当0 x 4 时h M 4 1 是 方 在(0,+8 )上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是力的最小值点。所 以 (a)=h(4 2)=2 a-a l n 4 a2=2H 当 a W。时，/i(x)=(l/2-2 a)/2 x 0,h(x)在(0,+)递增,无最小值。故 h(x)的 最 小 值 (a)的解析式为2 a(l T n 2 a)(a o)(3)由(2)知 (a)=2 a(l-l n 2 a)则 (a )=-2 1 n 2 a,令 (a )=0 解得 a =1/2当0 a 0,所 以 中(a)在(0,1/2)上递增当a l/2 时，出)0,所 以 )在(1/2,+8)上递减。所 以 Q)在(0,+8)处取得极大值H/2 )=1因 为 出)在(0,+8)上有且只有一个极致点，所 以 41-x21.解：(I)/(x)的定义域为。+8),/0)=1+2以=叱+1 .X X当时,f x)0,故/(x)在(0,+8)单调增加;当a W -l忖，f x)0；V 2 a v 2 aX G(J 1,+8)时，广 )4|x,-X2.（2010辽宁理数）（21）（本小题满分12分）已知函数/（x）=+ax2+1（I）讨论函数/（x）的单调性；（II）设Q 0,故/（龙）在（0,+8）单调增加；当。一1时，f x）。q-等,+8）时，川）4|x1-x2等价于V%1,x2 G(0,4-oo),/(x2)+4X2/(%1)+4x,令 g(x)=f (x)+4 x，则 g(x)=+2ax+4x等价于g(x)在(0,+)单调减少，即1 +2ax+4 0.xu 而 1 (2 x-l)2-4 x2-2 (2 x-l)22/+1 2/+1 2X2+1故a的取值范围为(-8,-2.12分(2010全国卷2 文 数)(2 1)(本小题满分1 2 分)已知函数 f (x)=x3-3 a x2+3 x+U(I )设 a=2,求 f (x)的单调期间；(I I)设 f (x)在 区 间(2,3)中至少有一个极值点，求 a的取值范围。【解析】本题考查r 导数在函数性质中的应用，主要考查了用导数研究函数的单调区间、极值及函数与方程的知识。(1)求出函数的导数，由导数大于0,可求得增区间，由导数小于0,可求得减区间。(2)求出函数的导数/(X),在(2,5 内有极值，即为了(X)在(2,3)内有一个零点，即可根据广(2)-(3)0)o(1)当 a=L时，求/(x)的单调区间。(2)若“X)在(0,1 上的最大值为:，求 a的值。【解析】考查函数导数运算、利用导数处理函数最值等知识。解：对函数求导得：/z(x)=-+a,定义域为(0,2)x 2-x(1)单调性的处理，通过导数的零点进行穿线判别符号完成。当 a=l 时，令/(x)=o得 L 一一1+=0n T +2=0 x 2-x x(2-x)当X e (0,&),y(x)0,为增区间;当X e (2),广 0,为单调递增区间。x 2 x最大值在右端点取到。/阿=f()=a =(2010安徽文 数)2 0.(本小题满分1 2 分)设函数/(X)=s in x-c os x +x +l,0 x ,求函数/(x)的单调区间与极值。【命题意图】本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查综合应用数学知识解决问题的能力.【解题指导】(1)对函数/(x)=s i nx-c os x +x +l 求导，对导函数用辅助角公式变形，利用导数等于。得极值点，通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负，判断区间的单调性，求极值.解:由 f (x)=s i nx-c os x+x+l,0 x 2 ,知f (x)=1 +&s i n(x +工).4令f x)=O,从面s i n(x +2)=也，得x=m或=包，4 2 2当x 变化时，f-(x),f(x)变化情况如下表：X(O.T T)7Ty)3 K2映2m尸(工)00+/(X)单调递增.尸77十2单调递减、3了打单调递增/因此，由上表知f(x)的单调递增区间是(0,兀)与(二,2 万)，2单调递增区间是(万,物)，极小值为f(四)=生，极大值为f E)=+22 2 2【思维总结】对于函数解答题，一般情况下都是利用导数来研究单调性或极值，利用导数为0得可能的极值点，通过列表得每个区间导数的正负判断函数的单调性，进而得出极值点.(2 0 1 0 重庆文数)(1 9)(本小题满分1 2 分),(I )小问5 分,(I I)小问7 分.)已知函数/(x)=公 3 +F+法(其中常数a,b e R),g(x)=/(x)+/(x)是奇函数.(I)求/(x)的表达式；(H)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间 1,2 上的最大值和最小值.解:(1)由 题意得广=3-+2工+6.因此屋工)=/(*)+/*(*)=9 +(3a+I)*1+(b+2)w+6.因为函数以k)是奇函数，所以g(-x)即对任意实数“有a(-x)1+(3a 1)(-)2 (6*2)(-x)+b o-(ax1+(3a+1”(b+2)z从而3c+1 =0.6 n0.解得