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第 1课时：特殊角的三角函数、同角三角函数的基本关系1.角度与弧度的互换关系：360=27 180=万 rad 57.30弧度与角度互换公式：14=幽“57.3 1=0.017457i180注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零2.与角a终边相同的角的集合S=4忸=a+2k兀,keZ例：下列各角中与240。角终边相同的角为()A 2 D 5A.-7T B.7t3 62 7C.-4 D.7 T36例：若a为第二象限角，则4是第_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2_象限角练习：1.圆弧长度等于其内接正三角形的边长，其圆心角的弧度数是()T C2A.B.一万3 3C.V3 D.22.若。是第二象限角，那么与和夕都不是()A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角总结：已知a所在的象限a,确定4所在的象限n(1)按照角1所在的象限将其范围表示出来，进而表示出4的范围，通过分类讨论得出色所在的象限n n(2)作出”等分各个象限的从原点出发的射线，它们与坐标轴把周角分成4个区域，从x轴的非负半轴起，按逆时针方向把这4个区域依次循环标上1,2,3,4,则标号是a的区域，就是a为第a象限角时里终边落在的区域n3.特殊角的三角函数值a07167T771i式7137tT24s i n(7022V2VV3Ti0-10COS(71后TA/22j_20-101tan 贝（J s i n a =c o s a =t a n a =r r x例：已知角a的终边过点尸（一1,2）,c o s a 的 值 为（A.-亚-B.-yr56 .三角函数在各象限的符号：（一全正二正弦，三正切四余弦）例：1.若s i n 2 8 0,则角。是（）A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角 C.第三或第四象限角 D.第二或第四象限角2.已知角a的终边过点尸（4 a,3 a）（t z 0），则 2s i n a+c o s a的 值 是（）A-5B-5C.0D.与 a的取值有关0练习：1.若。是第三象限角，且 c o s 0,2A.第一象限角B.第二象限角则且是2C.2.已知点P （t a n a,c o s a）在第三象限，则角a在（第三象限角）D.第四象限角)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7 .同角三角函数的基本关系式:s i n a=t a n e r.2 2 1s i n a+c o s a =lc o s a3例：1.已知sin a=巳，且a 为第二象限角，贝 ijta n a 的值为52.如 果 sina-2c osa=_,那么tan a 的值为_ _ _ _ _ _ _ _ _3sina+5c osa知识测试：1.终边在第一、四象限的角的集合可表示为（）仁（2人 乃 一 1,2 左左+/）（左e Z）口.（2左 T 一卷,2%）=（2%）,2左 左+5）（左e Z）2.a 是第二象限角，P（X,V 5）为其终边上一点，且c osa=4 2 x,贝”i n a 的 值 为（4A.叵 B/C金 D.一 叵4 4 4 43.。是第二象限角，且 c o s q=-c o s 4,则 巴 是（）2 2 2A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角4.使lg（c osOtand）有意义的角。是（A.第一象限角C.第一或第二象限角5.求证:tan20sin2=tan2 sin20.B.第二象限角D.第一、二象限角或终边在y 轴上第 2 课时：三角函数的诱导公式诱导公式:记忆方法：奇变偶不变，符号看象限sin(2Z 万+a)=sinasin(-a)=-sinzsin(;r+a)=-sin ac os(2攵4+a)=cos ac os(一=c osac os(4+a)=-c os atan(2左4+a)=tan atan(a)=-tanatan(zr+a)=tanc rsin(万 一 a)=sin asin g -a)=c os ac o s(-a)=sinasin(y+(7)=c os/2 c o s(兀-0)求 AABC 的三内角。注：在 A A B C 中常用的变形结论有:V A+B+C=TC,2A+2B+2c=2兀，ABC+=2 2 2兀2，s i n(A+B尸s i n(兀 C)=s i n C;ta n(A+B)=ta n(7 i-C)=-ta n C;c o s(2A+2B)=C OS(2TC-2C)=C OS2C;c o s(A+B)=c o s(7 t-C)=-c o s C;s i n(2A+2B)=s i n(2n-2C)=-s i n 2C;ta n(2A+2B)=ta n(27 i-2C)=-ta n 2C;s i n(+)=s i n(.)=c o s;2 2 2 2 2知识检测：1.s i n（-二191）的值等于（）6c也,21A.-22.如果A 为锐角,1B.-2s i n(万+4)=一；,，那么 c o s(乃-A)=()D.-赵21A.23.下列三角函数:D32c叵21B.-2s i n )；c o s )；s i n )；c o s L(2H+1)3637 1 7 1 J-i；6s i n （2/?+1）7t 1（金 Z）.其中函数值与s i n 巴的值相同的是（）33A.B.C.D.4.设4、8、C是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是（）A.c o s (4+6)=c o s C B.s i n (4+5)=s i n C C.ta n(A+B)=ta n Cn A+B CD.s i n-=s i n 2 2课后练习：.s i n a +c o s a 八 ,1.若-=2,则ta n a =()2s i n a-c o s a34A.1 B.-1c.一D.43,1 +s i n x 1 -c o s x ,一，2.已知-=一一，则-的 值 是(c o s x 2 s i n x -11 1A.B.)C.2D.-22 27T I 7 T3.若 s i n(-a)=一,则 c o s(+a)等于(6 3 3)7 117A.B.c.一D.9 3394.计算 s ir r 一啦 c os（-）+tan（一 sin a +c os a 八 巾 z5,若；-=2,贝 ij tan a =（）2 sin a -c os aA.1 B.-1c 1D.43，八 1 +sinx 1 c osx,.z、6.已知-=一一，则-的 值 是（）c osx 2 sin x-11 1A.-B.-C.2 D.22 27.已知sin200=。，则 tan 160 等于（）C.-aD,EZa8.tan600。的 值 是（）A.V 3TD.V3B,且39.已知sin a=-且,且 a 为第四象限角，求c os a,tan a 的值210.化简:11.求证:h+2sin290oc os430V sin 250+c os 790tan（2 兀-6）sin（-2 兀 一 夕）c os（6 兀-0）-=tanc/c os（夕 一 兀）sin（5 7i+0）第 3 课时：三角恒等变换、两角和差公式及二倍角公式两角和差公式sin(a 夕)=sin a c os 0 c os a sin pc os(a 土尸)=c os a c os/?干 sin a c os 0ta n(a 0=ta n a土tan 1 +tan a tan 夕巧变角：a =(a+/)=(a /)+夕a +/3=2-2a=(a +/?)+(a )=(力 +a)(万一 a)斗T y川二倍角公式sin 2a=2 sin a c os ac os 2。=c os2 6Z-sin2 a =2c os2c r-l=l 2sin2 a =l-ta n2c if1+tan2 a(想一想，最后一个公式是怎样得到的？)tan 2a-2 tan a1-tan2 a例：1.已知 sin 2 a=-,a e,0,则 sin a +c os a 等 于(25 I 4 J)ta n(a +?)=；,则 sin a=()D-433.已知 sin(a -0 )cos a -cos(a -0)sin a =,那么 c os2/?的 值 为(7A.25D 18o.-25n 18D.-253练习：1.已知=丁。是第二象限角，且+=则勿/7 的值为)A.-7B.73C.43D.-4人/冗 乃、/冗.71、/2.(c os-sin)(c os +sin)=(12 12 12 12),V3A.-21B.2C.D.V 3T23.已知a,方),ta n(a-)3)=；,口尸=一；，求2 a-，的值4.已知5 =(c o s x,2),b -(2s i n x,3),allh，贝 i j s i n 2x-2c o s-x =例：1.设 s i n a+s i n/?=；,c o s a +c o s/?=,求下列各式的值：c o s(a -P)c o s(a +/)2.已知ta n a =3,ta n /?=；,并且a ,均为锐角，求 a +24 的值.练习：若 s i n A 弋,s i n B=*，且 A,B均为钝角，求 A+B 的值.知识测试：1.已知s 知a=且 a G 任,那么W毕 的 值等于5 V 2)c o s2 a 一2.已知 ta n(a+/?尸3,ta n(a-p)=5,贝 I j ta n 2a=3.设 0 (0,),若 s i n a =2,则 V I c o s (a+-)=2 5 44.已知 ta n(a +尸尸I*,ta n (仅 一 :，那么 ta n=5,s i n 16 30-s i n 223+s i n 25 30-s i n 313=第 4 课时：降塞公式及辅助角公式的应用降幕公式.2 l-c os2asin a=-221 +c os2ac os a-21 +c os 2a辅助角公式asinxbcosx=Na2+b?sin(o6),(其中tan。=a知识应用：一、利用降幕公式化简求值例：1.已知c osa=，2 a 7 t,贝 1 J si端 等 于()A一 返A,5迪 B 5 C.5D 遮u-52.设-3兀Q V一冷,贝 1 化 叫|l-c o s,一)的结果是(A AA.smBa ac os C,-c osn-aD.-sin 练习：1.若 于 一 ,sin20,则 sin。()A-5B.|C.*D-42.已知一争VaV兀，则g+H j；+gc os2a的 值 为()A AA.smB.c o与 C.si破Dc.c oa2二、与三角函数的性质的结合例：1.某同学研究sinx+c osx时，得到如下结果：(2)sin x+c os x=41 sin(x)；sinx+c osx=V2c os(x).C.3 个 D.4 个 sinx+c osx=。2 sin(x+)4 sinx+c osx=V2c os(x+-)4其中正确的个数有()A.1个 B.2 个2.函数/（x）=c o s 2x-2百 s i n x c o s x 的最小正周期是练习：关于函数/（x）=s i n 2x-c o s 2x,有下列命题：函数y=/（x）的周期为无；直线X=:是 y=/（x）的图象的一条对称轴；点传,0 是尸/的图象的一个对称中心;将y=/（x）的图象向左平移彳个单位，可 得 到 尸 也 s i n 2x 的图象.其中真命题的序号是2.设a =s i n 140+c o s 14,=s i n l 6 +c o s l 6,c =2A.a b c B.b a c C.c b a D.，则见上。大小关系（）a c 0,6?0)的性质：振幅：A 周期：T=频率：/=-=相位：c ax +(p 初相：(pCD T 2712T ET E注：函数y=4 sin(5+)和 y=%c o s(x+s)的最小正周期为向，=ta n(s+9)的最小正周期为三角函数图象与解析式的相互转化注：根据了=然皿(+9)十式的图象求其解析式的问题，主要从以卜四个方面来考虑：/的确定：根据图象的最高点和最低点，即4 =一册点 最低点；K的确定：根据图象的最高点和最低点，即 长=最筒虫；最低也。的确定：结合图象，先求出周期，然后由7=(s0)来确定39的确定：由函数y=4 si nOx+p)+K最开始与x轴的交点(最靠近原点)的横坐标为一(即令c ox+(p=0,x=一方确定9.J T练习：1.已知函数段)=/si n(c o x+p),xdR(其中4 0,。0,0 夕0,冏 0,/0，S|x+(p)(A0,(o0)的 函 数 的 单 调 区 间，基 本 思 路 是 把 x+p看作一个整体，由y y j/7 j/7 S ll-+2k7i cox-(/)-2k/r(k e Z)求得函数的增区间，山,+2%乃 cox(/f0,(D0)的函数，可先利用诱导公式把x 的系数变为正数，得 到 尸 Asinx(p),兀3兀由一1+2%)cox-(f)+2k兀*GZ)得到函数的减区间，由+2k兀 co x-(/)-2k兀(k GZ)得到函数的增区间。注：对于函数y=Ac osx+(p),y=Atan(3x+(p)产单调区间的求法与y=Asinx+(p)的单调区间的求法相同。T T例.(1)求函数y=sin(-2 x),x w -凡 的单调递减区间T T X(2)求歹=3tan(的周期及单调区间练习：求函数y=sin(2-2x),x e -7，万 的单调递增区间三角函数的值域与最值jrTT例.函数八x)=2 a si n(2 x-)+6的定义域为0,1 ,函数的最大值为1,最小值为-5,求a和b的值。注：求三角函数的值域主要有三条途径：(1)将s i n x或co s x用所求变量y来 表 示,如s i n x=f(y),再由|s i n x|0,|的最小正周期为71,且/(x)=/(x),贝IJ)A./(x)在(0切单调递减C./()在(0,)单调递增B./(x)在单调递减D.x)在单调递增774.将函数/(x)=s i n 2 x的图象向右平移一个单位长度得到函数g(x)的图象，则函数g(x)图象的一条对6称 轴 是()71A.x =-1 271B.x =1 27CC.x =67CD.x =32 7 r7T5.为了得到函数歹=s i n(2 x +)的图像，只需把函数y =s i n(2 x +)的 图 像()3 67TA.向左平移。个单位长度27TC.向左平移七个单位长度47TB.向右平移。个单位长度27TD.向右平移上个单位长度4J I、6 .要得到函数y =3s i n(2 x 一一)的图象,4可以将函数V =3 s i n 2 x的 图 象()71A.沿X轴向左平移三个单位OB.沿x向右平移7个单位兀C.沿x轴向左平移彳个单位D.沿*向右平吟个单位7.已知函数/(%)=co s2 x -2 s i n x co s x -s i n2 x ,求函数/(x)在区间 一 0上的最大值和最小值第7课时：正弦定理及其应用1、正弦定理及其变形 一=/一=2火(R为三角形外接圆半径)s i n J s i n 5 s i n C(1)a=2Rsin 4,b =2 7?s i nB,c =2 Rs i nC(边化角公式)(2)s i n /=,s i n 5=,sin C=(角化边公式)2R 2R 2R(3)(7:c=s i n :s i n 5:s i n C/八。sin A a s i n 4 b s i n 5(4)-=-b s i n 8 c s i n C5 c s i n C2、正弦定理适用情况：（1）已知两角及任一边（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）已知方和4求8时的解的情况：力 90，4=90/b一解一解一解a=b无解无解一解a 6 si4两解无解无解a=bsnA-懈a 2）.s i n（1 8）=（。2-6 2）.s i n（/+8）,判断该三角形的形状第 8 课时：余弦定理及其应用1、余弦定理及其推论a2-b2+c2-2b c c o s Ab2=a+c2-2ac c o s Bc2-a2+b2-lab c o s C,b2+c2-a2c o s A =-2b c a2-c2-b2c o s B=-laccosc/Z2ab2、余弦定理适用情况：（1）已知三边，求三个角；（解唯一）（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（解唯一）：（3）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一）3、常用的三角形面积公式(1)SM 8C=5 X 底 X 图;(2)SMBC-absinC-hcsmA-casinB4、三角形中常用结论（两边夹一角）;（1）a +6 c,6 +caM +c 6（即两边 之 和 大 于 第 三 边，两边 之 差 小于第三 边）(2)(3)在A 4 8 C 中，Z 8 oa6=s i n/s i nB(即大边对大角，大角对大边)在a A B C 中，A+B+C=?t,所以 s i n(A+B)=s i n C；c o s(A+B)=c o s C；t a n(A+B)=t a n C.A+B C A+B.Cs i n-=c o s ,c o s-=s i n 2 2 2 2知识应用：例：若a、6、c 是 A 48 C 的三边，/（x）=/x 2 +（/+c2 一。2 口+。2,则函数/口）的图象与彳轴（）A.有两个交点 B.有一个交点 C.没有交点 D.至少有一个交点3 5练习：设AABC的内角4 8,C 的 对 边 分 别 为 6,c,且 c o s/=二 c o s 8=,6 =3,则c =5 1 3正余弦定理的综合运用：1 ,例：在 A 4 8 c 中，a,6,c 分别为角 A,B,C 的对边，且 s i n/+s i nC=p s i n8（p eR）且a c =6，4（1）当p=3,6 =l 时，求a,c 的值4（2）若角B 为锐角，求 p的取值范围练习：1.ABC的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c.己知a s i nN+c s i nC-血 a s i nC=b s i n8.(I)求 B；(I I)若 N=75,b =2,求 a,c2.在A 48 c中，角A、B、C的对边分别为a,b,c.角A,B,C成等差数列.(I)求 cosB的值；(I I)边a,b,c成等比数列，求sin A sin C的值.例：如图，甲船以每小时30匹 海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于4处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的4 处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达4 处时,乙船航行到甲船的北偏西120方向的鸟处，此时两船相距10灰 海里，问乙船每小时航行多少海里？练习：如图所示，货轮在海上以40 km/h的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140。的方向航行，为了确定船位，船在5 点观测灯塔力的方位角为110。，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔/的方位角是65。，则货轮到达C 点时，与灯塔 4 的距离是多少？C第 9 课时：三角函数的综合应用(一)三角函数的图像与含参问题例：已知。是实数，则函数/(x)=l+asinax的图像不可能是()总结：解决三角函数的含参问题时通常要借助五点法作图进行分析(1)化为 y=Asin(6r+夕)及了=Ac os(y=sin(o(x+(p)例：-知函数/(x)=sin c ox(a)0,x e R)的最小正周期为1,要得至U g(x)=sin(r+()的图像，需将歹=/(x)的图像练习：已知函数/(x)=siMx+J J sinxc osx+2c os2 x,x w R(1)求函数/(x)的最小正周期和单调增区间(2)函数/(%)的图像可以由函数y=sin 2x,x e R的图像经过怎样的变换得到四.求函数的解析式例：函数f(x)-A sin(c ax +(p)(A 0,6?0,(p )的部分图像如图所示(1)求/(X)的最小正周期及解析式(2)设g(x)=/(x)-c o s 2 x,求函数g(x)在 区 间 0,y上的最大最小值练习：设函数,f(x)=s i n(2 x+)(-4 e 0,0)的定义域、零点、值域等，基本方法是“转化”为基本初等函数y=sinx的定义域、零点、值域3.求三角函数值域的常用方法：(1)转化为二次函数；(2)利用sinx.c osx的有界性；(3)换元练习：已知函数_/(*)=2后 sinxc osx+2c os2 x-l(x e R)(1)求函数/(x)的最小正周期及在区间0,y 上的最大值和最小值(2)若 y(Xo)=|,X0 ,求 c os2x()的值六.函数奇偶性、周期性与对称性将函数化为/(x)=Nsin(函+e)+B或f(x)=A c os(c ox +(p)+B的形式后求相应的参数值并判断及其性质例：设函数 f(x)=(sin c ox+c os c ox)2+2c os2 c ax c o 0)的最小正周期为整(1)求 g 的值(2)若函数g(x)=/(x-?),判断函数y=g(x)奇偶性总结：1.有关三角函数的单调性、周期性等问题通常需要先进行化简，然后求解I nH2.求三角函数的周期的一般方法是：先将函数转化为=/$皿 5+切的形式，再利用公式7 =进行求解3.判断三角函数的奇偶性的两种基本方法：图像法和定义法练习：已知函数/(x)=s i n(&t+e)3 0,0 4 e 4;r)为偶函数，其图像上相邻的两个最高点之间的距离为2 7(1)求/(x)的解析式(2)：7 6(-y,y),/，(0,。0)的单调区间的确定,基木思路是把烟+夕看做一个整体，运用复合函数的单调性规律求解2 .利用三角函数的单调性解决问题还有其它的题型：(1)比较三角函数值的大小：理由奇偶或周期性转化为属于同一单调区间上的同名函数值，利用单调性比较大小(2)求三角函数的最值：利用函数在区间内的单调性练习:已知 O/=(s i n：,Vi c o s；),OB=(c o s,c o s y)(x&R),f(x)=OA -OB(1)求函数/(x)的解析式及最小正周期(2)若，求函数/(x)的值域结论：1.求三角函数的定义域要解不等式（或不等式组），含三角式的不等式求解，可利用单位圆，也利用三角函数的图像及周期性2 .求三角函数的值域（最值）常用方法：（1）利用三角函数的有界性（2）借助二次函数在闭区间上的最值（3）利用不等式或数形结合3 .三角函数的最值是在区间上取得的，要特别注意题设中所给出的区间（1）求三角函数的最值时，一般要进行代数变换和三角变换，注意函数有意义的条件及正、余弦函数的有界性（2）含参数函数的最值问题，注意参数的取值4 .研究函数y =4 s in（a t v +0）的性质的方法：研究y =s inx 的性质，只需将y =4 s in（ft a +夕）中 的+9 看成y =s inx 中的x,但在求y =/s in（a x +s）的单调区间时，要特别注意力和。的符号，通过诱导公式先将。的符号化为正八.三角函数的应用1.已知函数/（x）=2s in?（弓+x）-GC O S2X,xe .（I）求/（x）的最大值和最小值（II）若不等式火x）-同 2在 xe彳修 上恒成立，求实数加的取值范围课后练习:1.已知函数/(x)=4 s in(5+0),(00,/0,夕的部分图象如图所示，其中点尸是图象的一个最高点(1)求函数/(X)的解析式；1T5(1(2)已知a e (，乃)且s ina =w,求/(,)2.已知。=T-(s in x,1),6=(2c os x,2+c os 2x),函数/(x)=ab。(I)求)(求的最小正周期;(II)求函数/(x)的最大值及取得最大值的自变量x的集合3.已知向量加=(-2 s in(乃一 x),c os x)n=/J c os x,2s in(5-x),函数/(x)=1-m-n.(1)求函数/(x)的解析式;(2)当x e O,乃 时，求/(x)的单调递增区间；(3)说明/(x)的图象可以由g(x)=s in x的图象经过怎样的变换而得到4 .在 A 4 3。中，角 N、B、C 的时边分别为“、b、c,R a =*b,B =C.(I)求c os 8 的值;、(II)设函数 f(x)=s in(2x +8),求/目 的 值75.在 A 4 8 C 中，C=A+-,s in(1)求 s in C 的值；(2)若 8c=、同，求 A48 C 的面积.jrTT6.已知函数0,0 夕 0),函数/%)=/”的最/大值为 6.(1)求工的值；歹(2)将函数y=/(x)的图象向左平移合7 1 个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的机1倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求 g(x)在 0,上的值域.8.如图，某测量人员为了测量珠江北岸不能到达的两点4 8 之间的距离，他在珠江南岸找到一个点C,从 C 点可以观察到点4 8；找到一个点。，从。点可以观察到点4 C；找到一个点E,从 E点可以观察到点 B,C；并测量得到数据：Z A C)=9 0,N 4 D C=6 0。,乙4c B=15。,Z B C =1 0 5 ,NCEB=45,C D=C E=00m.(1)求C Z)E 的面积；(2)求/,8之间的距离.第11课时：数列的概念及其表示、等差数列概念及表示及等差数列的性质等差数列1.等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。2.通项公式：an=,+(-)d3.等差中项：若a,46成等差数列，则 =审4.等差数列的前项和：5=%匈=。+幽 二。4 2 1 2例.等差数列 凡 中，d=4,q=1 8,S,=4 8,求q的值.练习：等差数列佃 前n项和为S n，S7=7,S1 5=7 5求通项公式a n、前和S n (2)求 j 的前n项和T nn5.数列通项公式与前项和的关系：an=1 V S-5_,(H2)6.等差数列的判定方法：4付 q=d(常 数)o 4是等差数列例.已知数列 4,中，q=l,4川=乌J (e N*),求证：-是等差数列%+2 42%+1 =%+a,+2，(G N*)o 。,混 等 差 数 列 凡=kn +b,(k,b 为 常 数)o%湿 等 差 数 列S“=4/+B M 4 B 为常数）o a,是等差数列7.等差数列的简单性质在等差数列中，at 1=am+（-m）d当加+=p +夕时，有 册+%=%,+4.（可用等差中项证明）例.在等差数列 2 中，/+生+%+。1 1 =2 0 ,则6+%=例.在等差数列%中，若 4 +。6 =9 ,%=7 ,贝 I。3 =，。9 =当m+=2 p时，有%“+%=2ap例.在等差数列。中，a2+a8=1 8 ,则。5=若等差数列 q,也 的前项和分别为An,B,且 =/（），则B”氏 _（2 T）%=f Q n -1）b“（2 T）以|证明:依据等差数列的性质 +=2aH可以得到S2“T=（2 一 D（；+=（2 _ 1）凡 例:已知两等差数列 4 、的前”项和分别为S“、Tn,且U山,试 求 生Tn 4 +2 7 如若数列 4 是公差为d的等差数列，则为，4+,4+2,.，伏，加e N.）组成首项为%,公差为md的等差数列若 是等差数列,S,”S 2,-S,Si n-S2n,-也成等差数列，公差是n2d5 3例：已知等 差数列。,3=1，%=一.，则。1 5=随堂检测1 .等差数列%的前n项和为S“，且 邑=6,q=4,则公差d 等 于（）5A.1 B -C.-2 D 332 .等差数列 凡 的前n项和为S,已知a,1+a,田 屋=0,S2,“T=3 8,则加=（）A.3 8 B.2 0 C.1 0 D.93 .已知 可 为等差数列，且。7 2%=-1,%=，则公差d=（）A.-2 B.-C.-D.22 24 .设 是 等 差 数 列 6,的前n 项和，已 知 的=3,4=U，则 S,等 于（）.A.1 3 B.3 5 C.4 9 D.6 35 .等差数列 4 的公差不为零，首项=1,%是6和生 的等比中项，则数列的前1 0 项之和是（）A.9 0 B.1 0 0 C.1 4 5 D.1 9 0第12课时：等差数列的应用例：已知等差数列的前三项依次为a,4,3a,前项和为S,且S*=1 1 0,（1）求a及左的值；（2）设数列 的通项=,证明数列砂“是等差数列，并求其前n项和T练习：在等差数列 为 中，见产1 8,前 5 项的和&=-1 5,（1）求数列 为 的通项公式；（2）求数列%的前n项和的最小值，并指出何时取得最小值.求数列中最大项(小)项的问题方法一：假设a“+a“且a,an，求出，从而求出an方法二：利用二次函数，通过配方求最值。3 1 1例：已知数歹支/中卬=彳，。“=2 (n 2,e N*),数列 4,满足勿=(we N*)5 an-Qn 1(1)求证数列 4 是等差数列；(2)求数列 凡 中的最大项与最小项，并说明理由；(3)求 S“+1 =4+打+b”+1的最小值.例：已知数列 a,是等差数列，q 0,S 9=S u，试问为何值时，数列的前项和最大？练习：1.等差数列 凡 中，4 0,d H(X S 2 0 =S 3 0,则S“取得最大值时的n的值为2.数列 为 是首项为2 3,公差d为整数的等差数列，且第6项为正，第7项为负求(1)公差d(2)求S“的最大值(3)当5.0时求的最大值第1 3课时：等比数列通项公式及前n项和、等比数列的性质等比数列：1.等比数列的概念：如果个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母夕表示。2.通项公式：a“=q g T,(e N+)3.等比中项：若。,4 b成等比数列，则T=/4.等比数歹i j的前n项和：S,=型匕二),(q /1)=aa.q,7 )=卬,(=9-q -q例.等比数列。“中，。乌=6 4,%+%=2 0,求知.练习：设等比数列%的前项和为S”，若 邑+5 6=2 5 9,求数列的公比g5 .数列通项公式与前项和的关系：/=二八c 1 仆6 .等比数列的判定方法：誓=%（4 /0）=/是等比数列 a“=%”,（c,夕均为不为0 的常数）o 抽等比数列 匕 1=q+2，（a”+产 ）=/是等比数列7 .等比数列的简单性质在等比数列中，a.=a,q T当加+=p +q时，有a,“=4,4.（可用等比中项证明）当加+=2/?时，有下标成等差数列且公差为m 的项4+2,“，组成的新数列仍为等比数列，公比为4”连续左项和（不为零）仍是等比数列.即Sk,S2 A S&,S3*-S2%,成等比数列.例.等比数列 a“中，?75 6=9 l o g,at+l o g,a2+.+l o g,a10.随堂测试1 .已知 M为等比数列，。4+。7 =2,仅。6=8,则 4|+4|0=（）A.7 B.5 C.-5 D.-72 .若 S”为等比数列 为 的前项和，8 念+死=0，则3=（）A.1 1 .B.5 C.-8 D.-1 13.已知数列%为等比数列，&是它的前项和，若。”3=2 0,且。4与 2 即的等差中项为今 则&=（）A.35 B.33 C.31 D.2 94.设公比为q（q 0）的等比数列 为 的前n项和为S,若S2=3a2+2,54=3a4+2,则q5.已知等比；数列 q 的刖项和为S，若&=3,S2-$8=1 2,则Sg=第14课时：等比数列的应用例：在等比数列 仇 中，(1)。4=2,47=8,求 的；(2)0,d w 0,&0 =S40，则S“取得最大值时的n的值为5 .等差数列&中，出+%=1 9 应=4 0,则 须 为()A.2 7 B.2 8 C.2 9 D.306 .已知等差数列 a“中，an-m,且 w?H ，则 am+n=7.等差数列 q中，ai+a4+a7-39 ,a2+a5+as-33,则为+q+为=8.若 4,是等差数列，4，须 是方程乂2-3x 5 =0的两根，贝 四+%=_ _ _ _ _ _9 .在等差数列%中，若42+。4+。6+为+勾0=8 0，则%的值为（）A.4 B.6 C.8 D.1 01 0 .设/（）=2 +2 4+2 7 +2 1+,一 +2 31（汽），则/（）等于（）7?9?A.y（8n-l）B.y（8n+1-l）C.y（8，+3-l）D.y（8，+4-l）1 1.已知正项数列 凡,其前项和S“满足1 0 S“=d+5 a“+6,且q,%,a”成等比数列，求数列 4 的通项an第1 5课时:数列求通项公式的方法（一）1.前项和法：已知前项和，求通项公式W-S.T（2 2）注意：要先分=1和“22两种情况分别进行运算，然后验证能否统一例：设 明 的前 项和为Sn，且满足S,=/+2 -1,求%的通项公式.练习：在数列也 中，已知S“=3+2 ,则q=.2.已知S,与凡的关系式法：先令=1,求生;当 2 2时,S|(=l)S-Sn_x(n2)例：已知数列 为 的前项和为S“，且S,=2%-1,求凡练习：已知数列%的前n项和S=4a,-3满足 求数歹U ）的通项公式f3.累加法：形如为+1=册+八）的递推式，运用累加法例：在数列 “中，a=3,a+1=a,+-，求通项公式%+1）练习：已 知 。“满足。“+|=a“+2 -3,且卬=1 ,则a“=第1 6课时：数列求通项公式的方法（二）4.累乘法：形如为+1=/（）,的递推式，运用累乘法例：已 知 an满足a.+i=叫，a”#0,且q=1,求练习：已 知 。“满足a“+=g a“，且=2 ,则。“=5.构造法 凡+i =+。,(，*1,。*0)(e M )=a+1+-=A(an+-)=等比7 A-l A-1例：数列%满足4 =1,%+=2%+3,求凡练习：已知数列。中，q=3,%+=3%+4,则at JM=也+,两边同除以F =类型例：在数列%中，%=-1,%+=2即+3,求通项公式明练习：已知数列 4 中，a=,a+l=2a+2n,则a“=6.取倒法：形 如an+i=P a 的递推式q a“+P例：已知数列,中，其 中 卬=1,且当吃2时，4 二%一,求通项公式2 4 T+1练习：数列“中，且=?an+l=-,求数列“的通项公式.勿 +17.相除法：形如*=A a+B-A+或 a+-an=Pan+X-a”的递推式例：数列”,满足%=3,%+|=3%+3评，求 *的通项公式例：已知q =2,a“w0,JB L an+1-a=2a+l-an,求a”随堂检测1 .已知%=1,an=n(a +i-a”),则数列 a“的通项公式=()A.2 n-l B.(1)-c.2 D.nn2.在数列 a#中，3升=3 n+2 (n wN),且a z+a d+a 7+9 =20,则a。为()A.5 B.7 C.8 D.1033.若 数 歹|。力的前n项的和S =,。一3,那么这个数列的通项公式为()A.an=2x 3,7-1 B.an=3 x 2n C.Q=3+3 D.an=2 x 3H第17课时：数列求和的方法（一）公式法1、等差数列的前项和公式：S“=包+墟 =n a+则二l）d2 2叫(q =D2、等比数列的前项和公式：a,-a q；-=-；-(q *i)I i-q i-q3、常用几个数列的求和公式1(1)=1 +2+3+n n+1)k=2“i(2)=Y k2=12+22+32+.+W2=(+1)(2 +1)6(3)S =/=尸+23+33+.+/=1力(+1)2h i 2错位相减法：用于求数列 a,x 的前 项和，其中%,4,分别是等差数列和等比数列例：求和：Sn=1 +3x+5 x-+7 x?+(2 l)x 1例：设%是等差数列，例,是各项都为正数的等比数列，且为=4=1,a3+b5=2,%+/=13(I )求 为,也“的通项公式(II)求 数 列 的 前 项 和S