高考数学真题汇编7-立体几何-(-解析版).pdf

高考真题分类汇编：立体几何一、选择题1 .如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的(A)6 (B)9 (C)1 2 (D)1 8【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3,所以几何体的体积为V=Lx6x3x3=9,选 B.3 22.已知矩形A B C D,A B=1,B C=V 2 将沿矩形的对角线B D 所在的直线进行翻折，在翻折过程中。A.存在某个位置，使得直线A C 与直线B D垂直.B.存在某个位置，使得直线A B 与直线C D垂直.C.存在某个位置，使得直线A D与直线B C 垂直.D.对任意位置，三对直线“A C 与 B D”，“A B 与 C D”，“A D与 B C”均不垂直【答案】C【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着，观察在翻着过程，即可知选项C是正确的.3.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球。的求面上，Z V L B C 是边长为1 的正三角形，SC为球。的直径，且 S C =2；则此棱锥的体积为()五 6 五 立丁 三(O T”【答案】An7【解析】AA8C的外接圆的半径 二、2,点。到面A3c的距离d =J 后一/sc为3 32%球0的直径=点S到面A BC的距离为2 d=、一此棱锥的体积为丫=,5 0 8。*24=,走、城=也3 M B e 3 4 3 6另：丫!5.隧2/?=遗 排除 B,C,。，选 A.3 64.下列命题正确的是（）A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案】C【解析】A.两直线可能平行，相交，异 面 故A不正确；B.两平面平行或相交；C.正确；D.这两个平面平行或相交.5.如图，半径为R的半球。的底面圆。在平面a内，过点。作平面a的垂线交半球面于点A,过圆。的 直 径 作 平 面a成45,角的平面与半球面相交，所得交线上到平面a的距离最大的点为B,该交线上的一点尸满足ZBOP=6 0,则A、P两点间的球面距离为（）A、RarccosC、R arccos兀R T兀RV【答案】A【解析】根据题意，易知平面A0BJ_平面C BD,cosNAOP=cosNAOBcosNBOPJ?1 A/2 J?=-=,Z A OP=a r cco s,由弧长公式易得，A、P两点间的球面距离为2 2 4 4R arccos .6.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱A6C 4 A G，C A=CC,=2 C B,则 直 线 与直 线 夹 角 的 余 弦 值 为（)75 R 75 r 2亚D.C.5-3-5【答案】A.【解析】设 ICB|=a,则|C 41=|CC,|=2a,A(2a,0,0),8(0,0,a),G(0,2a,0),Bi(0,2a,a),-4AB,-(-2a,2a,a),BC,=(0,2a,-a),:.cos-,.=，故选 A.57.某几何体的正视图和侧视图均如图1 所示，则该几何体的俯视图不可能是【答案】D【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1 所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，A,B,C 都可能是该几何体的俯视图，D不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力.是近年高考中的热点题型.8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为正视图。第 4 题图”A 8兀 oA.B.3兀3【答案】B【解析】显然有三视图我 们 易 知 原 几 何 体 为 一个圆柱体的一部分，并且有正视图知是一个1/2的圆柱体，底面圆的半径为1,圆柱体的高为6,则知所求几何体体积为原体积的一半为3兀.选 B.9.某几何体的三视图如图所示，它的体积为愀视图A.12 n B.45 Jt C.57 n D.81 n【答案】C【解析】该几何体的上部是一个圆锥，下部是一个圆柱，根据三视图中的数量关系，可得/=%|谁+%柱=5*万、32、行二手+万乂3 2 5 =5 7 故选C.10.一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是A.球B.三 棱 柱 C.正方形 I).圆柱【答案】D.【命题立意】本题考查了空间几何体的形状和三视图的概念，以及考生的空间想象能力，难度一般.【解析】球的三视图全是圆；如图忆-4 正方体截出的三棱锥三视图全是等腰直角三角形；正方体三视图都是正方形.可以排除ABC,故选D.11.设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,、历 和 4,且长为a 的棱与长为近的棱异面,则a 的取值范围是(A)(0,V2)(B)(0,73)(C)(1,V2)(D)(1,扬【答案】A【解析】因为BE当则AB=2BF_L 平面/MC:.BD L AC四边形人BCD为正方形:.BO=y/lOE,PA OE 1 J l在 APAC中，=-=Ofc=OC AC y/2 3 3:.tan N B EO=-=3OE：.二面角H-P C-A的平面角的正切值为32 6.如图，直三棱柱 A B C -A B C1,A B A C=90,，A8=AC=/U A，点 也 N分别为A 8 和B C的中点。(I)证明：MN 平面 A ACC;(II)若二面角A MN C 为直二面角，求/l 的值。【答 案】(18)(I)(证法一)连结AB,AC,由已知乙B4C=90,A B =A C,三棱柱ABC-ABC为直三棱柱,所以M为A F 中点.又因为M为BC的中点，所以 MN 4 C.又 MNU平面AACC,4C，u 平面 A4CC,因此MN 平面AACC.(证法二)取WB中点P,连结MP,NP,而M,N分别为49与B(，的中点，所 以MP44，PN/AC,所以MP平面4ACC,PN平面AAC C.又MPCNP=P,因此平面MPN平面力A C C.而M N u平面MPN,因此MN 平面AACC.6分(II)以力为坐标原点，分别以直线4B,AC,4 4 为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系。-功z,如图所示.设4 4=1,贝必8=4C=；l,于是 4(0,0,0),8 0 0,0),C(0,Z,0),4(0,0,1),所以 M6,Q,f,A f(y,y ,1).所以 M(2,0,),y ,1).设 小=(Xi，y i，z i)是平面4 M N的法向量，由El卡1 21%1-z1=0,乙1+y i =0,可取m=(1,-1,冷.设=0 2，%修2)是平面M N C的法向量，n N C 0,n M N=0得4 A+yy2-z2=0,A 1yyz+yz2-0,可取 z r (3,-1,A).因为4 -M N-C为直二面角，所以m-n=0.即-3+(-1)X C-l)+=0,解得；J =V 2.1 2 分【点评】本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定，借助空间直角坐标系求平面的法向量的方法，并利用法向量判定平面的垂直关系，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，难度适中。第一小题可以通过线线平行来证明线面平行，也可通过面面平行来证明。2 7.如图1,ZA CB =4 5,3 c =3,过动点力作垂足。在线段 比上且异于点8连接4 6,沿 AD将 A B D 折起，使/8 C =9 0 (如图2 所示).(I )当皿的长为多少时，三棱锥A-8 8 的体积最大；(I I)当三棱锥A-8 8 的体积最大时，设点E,M 分别为棱B C,AC的中点，试在棱 CD上确定一点N,使得E N 工B M ,并求E N 与平面BM N 所成角的大小.图 1图 2第 1 9 题图【答案】(I)解 法 1：在如图1 所示的回(7 中，设 比 =x(0 x =3 x.由A OJ L 8C,NA C B =4 5 知，ADC为等腰直角三角形，所以4)=C =3-x.由折起前A D J _3c 知，折起后(如图2),A D 1 D C,AD L BD,且 8。(|心=。，所以 A Z)J _平面 8C Z).又 N B D C =9Q,所以=1 3D-C)=g x(3-x).于是匕 一 时。=g 仞,SABCO=g(3-；M3 -x)=2 2 x(3-x)(3-x)p-r 31 2.x+(3 x)+(3 x)2-=，n_ 3 J 3当月.仅当2 x =3-x,即x =l 时，等号成立，故当x =l,即&)=1时，三棱锥A-3 C。的体积最大.解法2：同解法 1,得VA_B CD=-A D-S g g=-(3-x)-x(3-x)=-(x3-6x2+9 x).3 3 2 6令/(x)=(V-6/+9 x),由 r(x)=(x-l)(x-3)=0，且 0 x 0 ；当 x e(l,3)时，f(x)G J_ 面 B C D =DC,I B C DC,B C,C Ct，5C=6 C，面 AC C n BC J,AC取A g的中点。，过点。作于点，连接CQ，G AG=4 cl=GO J_ 4片，面 AMG 上面 ABD=G。J 面O H L BD n J H L BD得：点H与点。重合且ZC,0是二面角A-BD-G的平面角设AC=a,则G 0=,Q D =6 a =2 C Q =/C Q O =3 6既二面角A-B。-G的大小为3029.如图，在直三棱柱ABC A MG中，A A=A G，少，E分别是棱BC,c q上的点（点。不同于点C）,且尸为A C的中点.求证：（1）平面ADEL平面BCGM；（2）直 线 平 面4%.【答案】证明：（D：ABC AAG是直三棱柱，.CG，平面M C。又；4)u 平面 ABC,二 CG _ L A。又；A D 工 D E,C G D E u 平面 BC C M，CQ E，；.AD_L平面B C G B 。又：4D u平面AD E，平面A D E J_平面B C C、B,。（2）.A q=A G，口为4G 的中点，又CC,平面 A4G,且 4 F U 平面 AtBtC1,：.CC|，4尸。又,/C Ct,4G u 平面 BC Q4,CC）n B|G=G,.A尸，平面B,C 由（1）知，ADJ_平面BCC14，：.F /A D.又：A D u平面AQE,e平面ADE,.直线AF 平面ADE【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系。【解析】（1）要证平面4DE_L平面BCC中,只要证平面4 3 E上的AD J_平面BCC；目即可。它可由已知ABC-4片 是直三棱柱和4），DE证得。(2)要证直线A尸/平面ADE，只要证A/平面A0E上的AO即可。30.如图，在三棱锥尸一A5C 中，Z A P B =90,NPAB=60,AB=BC=C 4,平面243_L平面ABC。(I)求直线P C与平面ABC所成角的大小；(II)求二面角3 APC的大小。【答案】本题主要考查直线与平面的位置关系，线面角的概念，二面角的概念等基础知识，考查空间想象能力，利用向量解决立体儿何问题的能力.解法一：(I)设4 8的中点为。4。的中点为。，连结P。、C O、C D.由已知.PA0为等边三角形.所以P O AD.又平面P AB 1平面48c.平面P AB n平面AB C =AD,所以P O 1平面AB C.所 以Z.OCP为宜线PC与平面4BC所成的角.不妨设A8 4.则 P0 2,CD=2 6.。=I.P。=在 RSOCD 中.C O =，。+B=/1 3.所以.在 RSPOC 中,SMOCP -弯.故直线PC与平面A B C所成的角的大小为arcun 彦.6分(口)过 Z)作。E J.4P 于 E,连结 C.由巳知可得,CO J.平面/MH.根据三盘线定理知，CE H.所 以L CED为二面角B-A P-C的平面角.由(I)知.D E.VT.在 RtCOE 中.tan4CE。-2.故二面角B-A P-C的大小为aret.n2 .12分解法二r*八(1)设4 8的中点为O.作PO J.A8于点。,连结CO.因为平面P AB 1平面48c,平面P AB n平面48c AD,/所 以P O 1平面AB C.乙”Z r所以P O X C D.t H AB B C a C A C D JL AB.设 E 为 4c 中点,则 EO H CD,从而 O E P O,O E 1 AB.如图,以。为坐标原点加、。、。2所在直线分别为*4、：粕建立空间直角坐标系0.不妨设H4=2,由已知可得/8 =4,0A=O D =,O P =耳，C D =2我.所以 0(0.0,0),4(-1.0.0).C(1,271.0),P(0,0,而.所 以)=(-1.-2 8,有),而 赤=(0,0,8)为平面4 8 c的一个法向量.设a为直线PC与平面A B C所成的角.rai3 罚 0+0+3 8则 sma=-：-=-7=W =T|CP|-OP 用4故直线尸C与平面48c所成的角的大小为“csing-.6分4n 1 AP,m _L记(I I)由(I)有.R=(1,0.A),Ac=(2.2VJ,0).设平面4PC的个法向最为=(航-),则(。力，:1)(,。,4)=0 1(小，力，二 1)(2,26,0)=0.I?/f 2 6 力=0.取X 1 =-反 则 力=1 ,个=I.所以=(.1).谀二面角B-A P-C的平面角为从易知口为锐角.而 面 的 一 个 法 向 珏 为 m=(0,1,0),则cH17Fil=(VTTr|Ef-故二面角B -A P -C的大小为arecos点.3 1.如图，在长方体A B C D-A B C D中A A1=A D=1,E为C D中点.(I )求证：B 1E 1A D 1；(I I )在 棱A A 1上是否存在 一 点P,使 得D P平面B 1A E?若存在，求A P的行；若存在，求A P的长；若不存在，说明理由.(I l l)若二面角A-B 1 E A 1的大小为3 0 ,求A B的长.【答案】本题主要考查立体儿何中直线与直线、直线与平面的位置关系及二面角的概念与求法等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、基本运算能力，以及函数与方程的思想、数形结合思想、化归与转化思想.18.本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系及二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化它与转化思想 满分13分 解：(I)以A为原点，港，茄，底的方向分别为工轴,)轴,：轴的正方向建立空间直角坐标系(如图).设必=%则4(0,0,0),D(0,1,0),0,(0,1,I),(y,1,0),B,(a,0,1),故 诋=(0,1,1),B=(-y.1,-1).函=(a,0,1),A?=(y-,1,0).可 B=-yx0+lxl+(-l)xl=0,(11)假设在棱儿上存在一点/(。，O,zo),使得DP 平 面 此 时/=(0,-1,z。).又设平面用AE的法向量n=(x,y,z).ax+z=O,.1 “J平面 B,AE,/.n LAB,n A.AE,得,ax.0取工=1,得平面当他的一个法向量=(1,-彳,-a).要使“平面为A ,只要“1 赤，有号一顼=0,解得z o=/乂 DPC平面&AE,.存在点P,满足。平面B/E,此时A P-(叫连接6 ,由长方体ABCD-A&GA及A4|=AD=1,得心 Z).v B t C/ZA,/.ADt B,C.又由(I)知 四 13,且用6 0 8 避=a,.AR1平面。8 4,何 是 平 面 的 一 个 法 向 量，此时而；=(0,1,1).一旦_。设 可 与n所成的角为6,则 cos0=77-/?，厂-.“1山队/不7:二面角力-昂E-4 的大小为30。，解得a=2,即他的长为2.3 2.如图 1,在 R tZ A B C 中，Z C=9 0 ,B C=3,A C=6,D,E 分别是 A C,A B 上的点，且 D E B C,D E=2,将A A D E 沿 D E 折起到A A i D E 的位置，使 A J _ C D,如图2.(I)求 证:A _ L 平面 B C D E；(I I)若 M是 AD的中点，求 C M 与平面A,B E 所成角的大小；(I H)线段B C 上是否存在点P,使平面A J)P 与平面A B E 垂直？说明理由【答案】解：(1)C)J_E,A,E1DED E _ L 平面 A。）,又 ACu 平面 A C D,/.A,C 1 D E又 ACJLC。，/.AC-L 平面 BCDE。(2)如图建系 C-*，则 r(-2,0,0),4(0,.福=(0,3,-2 7 3),近=(-2,-1,0)设平面A 8E法向量为3=(x,y,z)=0.(3 y-2 岔 z=()._ 4 则a e 0,3则 即=(0,a,-2 ,D P =(2,a,0)设平面A。法向量为加=(%,y,z jr一 直,则 卜%-2 百 4=0 一 6 知2 x,+ay.=0 卜 一1产/.n,=(-3 a,6,豆a)假设平面A O P与平面A BE垂直，则 n1-=0,3a+12+3a=0,6a=-12,0=2,V 0 a ,M,N分别为P B,阳的中点.(1)证明：拗平面/183；(1 1)过 点/作 儿 u/r,垂足为点0,求二面角/一M v o 的平面角的余弦值.(第2 0题图)【命题立意】本题主要考查空间点、线、面的位置关系，二面角所成角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力。【答案】(I)如图连 接 做V,)/,N分别为P B,阳的中点，:.在 XP B D 中，M N/B D.又 MNB平面AB C D,.眦平面AB C D-,(n)如图建系：4(0,0,0),。(0,0,2 7 6),M-1 0),2 2N C,0,0),C(G，3,0).(第20题图)设 0(x,y,z),贝 IJ 运=(x-0,y-3,z),C P =(-7 3,-3,2 y/6).V C Q=A,C P=(-g 4 -3 九 2 瓜 霜,：.(2(V 3-&,3-3 2,2 7 6/1).由 而 J _ 丽=O Q-C P =0,得：A =-.对于平面AM N：设其法向量为n=(a,b,c).A M =I，0),丽=(G 0,0).则AM-n=O.-=AN n=0a=一 旦+，=o I32 2=jZ?=-y/3a=0 _ 八同理对于平面4 肺得其法向量为7 =(百，1,一布).记所求二面角1 一助V 0 的平面角大小为内所求二面角1 也 V 一。的平面角的余弦值为萼.3 4.如图，在直三棱柱A B C 481G中，A B=4,A C=B C=3,D为 A B 的中点题(1 9)图(I )求点C到平面A A 8 用的距离；(I I)若 A与，4。求二面角的平面角的余弦值.【答案】【命题立意】本题考查立体几何的相关知识，考查线面垂直关系、二面角的求法以及空间向量在立体几何中的应用.4人本M 12分）1）由 内=而”为.的 中点.他：”一乂乂CD-*M 故1血4 8瓦,所以点C封平面4,“的距离为CD=s HC3-Blf=8式D）解法一：如乔（19）国I.取。，为上%的中点,在笳D D D D J/A A J/C C,.又由（|）知 6 j.曲 中 叫.被CD 1 AtD,CD X D Dt.所 以4.4,07）,为 所 求 的：曲向A,-C D-C,的平面角.因4。为4 在面A.48B,上的射彩.乂巳知4 8,上4 ,由三里级定理的逆定用阳他.JL 4。.从 而4 4 4 8 K乙414都与4 8 J 8互余.因此所以11344s R t A 8/.因此件学.即及：川.8,mAA,2/2.AU A4|从而4。=/祸-2万.所以，在R S 4/孙中DD,AA,国。8人映=布=初=亍 1Y 1（H）l法二:如答（19）图2.过“作交4 4于&.在 直三校柱中,昌知DB.DC.Dd两的卓乩以 为原点.时线C 8.C C,0 d分别为 轴/轴 轴的正半轴立空间直角坐标系0 F设立三校柱的高为A剜4（_2.0.0）金（-2.0油），8.（2,0同1（0,瓜0）（0.5同，从 而 明（4,0,A）,（2,75.-fc）.、！a o）B答（19）IB2s 2由 国J.帚 有8 3*0”_ 亦*,c 0 2）.配 （O.Jifi）-（-2,0.20.5二 人记就 国B U Q的法制为 用1 0.；.2d0喉，,i.nim iQY 的，.的认同M 为“（，八,刑I ,I ；邨1 ）,-.12 C.取 i,*I Jtf/t-（1.0.0）所以m n 1/or1 .m ,n I m id ft I t I a I 1MrnUlffM,（：l q的干曲曲的余仇侑力?3 5.在三棱柱A B C-A B G 中,已 知 A B=A C=A A 尸 石，B C=4,在 A i 在底面A B C 的投影是线段B C 的中点0。(1)证明在侧棱AAl上存在一点E,使得0 EJ_平面B B C C,并求出AE的长；(2)求平面A1 B1 C与平面B B C C 夹角的余弦值。【答案】(I)证明：连接4。.在 4,中.作。E 1/M,于点E,因 为 外&8,得。BBX.因为4。1平面48C,所以4。1 BC.因为=AC.OB=OC,得 40 1 BC,所以 8c 1 平面 W，所以 HC 1 0E,所以 0E 1 平面 8&GC 又 40=-80=l./M,=75.(2)解：如图.分别以0.4,08.04所在直线为x.y,：轴,建立空间直角坐标系，则4(1Q.0),8(0,2,0).C(0,-2.0),4(0,0,2),4 r 0由 启=/羽？得点E的坐标是由(1)得平面8 8 的法向是 理=及设平面A C的法向髭一(X,).弋即平面8B,GC与 平 面 的 夹 角 的 余 弦 值 是 喀.【点评】本题考查线面垂直，二面角、向量法在解决立体几何问题中的应用以及空间想象的能力.高考中，立体几何解答题一般有以下三大方向的考查.一、考查与垂直，平行有关的线面关系的证明；二、考查空间几何体的体积与表面积；三、考查异面角，线面角，二面角等角度问题.前两种考查多出现在第1 问，第 3种考查多出现在第2问；对于角度问题，一般有直接法与空间向量法两种求解方法.3 6.平 面 图 形 A B 4A G C 如 图 4 所 示，其 中 88C C 是 矩 形，B C =2,B a=4 ,A B =A C=&,44=A G =6。现将该平面图形分别沿B C 和耳G 折叠，使 A/W C 与A 44G所在平面都与平面B4GC垂直，再分别连接A4,54，ca,得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题。(I)证明：A A B C；(I I)求A A的长;(III)求二面角A 8C 4的余弦值。【答案】本题考查平面图形与空间图形的转化，空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的判定。空间线段长度和空间角的余弦值的计算等基础知识和基本技能，考查空间想象能力，推理论证能力和求解能力。【解析】(综合法)(I)取的中点为点，连接4 0,0 0,4。4 ，则 AB=AC=AO,面 A B C J_ 面 8g G。=AO _L面 BB C ,同理：面BBCC 得：4 0/4。1=40,4，0共面，又J_8C,O nAO=O=8。_1_面4。4(II)延长 4 a 到 D,使 a。=OA,得：O.D/JOA n A D H O O,O Ot B C ,面4 B C 而 B B1CtC=OQ _ L 面 A,n AT，面 4 B,M =JAT 2+)A2=也2+(2+1)2=5。(III)AO B C,4。_ L 5C=Z A O A,是二面角 A 8C A,的平面角。在MA。4 中，AO=JQ O：+A。：=“2+22=2后,五 0 s 4 4r+,AO2+A 02-M2 百在 Rt/OA A 中，cos ZA OA.=-3-工,240 xA。5得：二面角A BC 4的余弦值为一g。3 7.如图，在四棱锥P ABC。中，底面A B C 是矩形，P AL底面ABC。，E是 P C的中点，已知A6=2,AD =2丘,P A =2,求:(1)三角形P CD的面积；(2)异面直线8c与 AE所成的角的大小。【答案】【解析】(D Y PA，底面A B C D,.PA LC D,又：C D _ LA D,；.C D _ L平面 PA D,，C D _ LPD,又P D =+（2 痣 =2眄,C D=2,.,.PC D 的面积为-x 2 x 2 V 3 =2 /3 o2(2)解法一：取 PB 的中点F,连接E F,A F,则 E F B C,.NA E F (或其补角)是异面直线B C 与 A E 所成的角。在 4 A D F 中，E F=后、A F=V 2 ,A E=2,.A E F 是等腰直角三角形，兀：.Z A E F=,4.异面直线B C 与 A E 所成的角大小为工。4解法二：如图所示，建立空间直角坐标系，则 B(2,0,0),C(2,2 V 2,0),E(l,V2,1),族 =(1 ,V 2 ,1)sc=（o,2 V 2,0）,设 AE与 5c的夹角为。，则cosB=AEACAE|AC|4 _ V|2 x 2 0 -2又.oew 工，.e=工。24JI由此知.异面国线S C U/E击成的渤的大小魅蓼 ,”12分【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力.综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于 必 修 2 立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题.3 8.1 2 0 1 2 高考真题全国卷理1 8】(本小题满分1 2 分)(注意：在试题卷上作答无效)如图，四棱锥P-A B C D 中，底面A B C D 为菱形，P A J _ 底面A B C D,A C=2 0,P A=2,E是 P C 上的一 点,P E=2 E C.(I )证明：P C J _ 平面B E D；(I I )设二面角A-P B-C 为 9 0 ,求 P D 与平面P B C 所成角的大小.【答 案】(18)解法一：/3.C=,FC=V2.从而 =/6.=/6.FC EC闪为 =(_.-Z.PCA,所以FC EC F C E s pci./尸C=/.PAC=90,由此知 PC 1 EF.户C V平面BED内两条相交在线RD./都谯在，所以C J.平面BED.(II)在平面PAB内过点.4作AG LPB.G为吃足.因为二面角.4-P8-C为90.所以平面/M8 J.平面PBC.乂平面 PAB(平面 PBC=PB.枚 AG.1 平而 PHC.AG 8 c.6分B C 与平面PAB内两条相交兑线PA.A G 都乖在，故&2平 面 P A B.于是8 c l 平面 PBC.A.D两点到平而PBC的距离相等，即d=/G =&.设PD与平面PBC所成的角为a.则sin a-.PD 2所以PD与平面PBC所成的角为30.12分解法二:(I)以4为坐标原点,射线XC为x轴的正半轴,建立如图所示的空间代角坐标系A-xyz.设C(2 j5.0.0).。(&.0).我中6 0.则/)(0,0.2),B a,-b,0).2 分于是PC=(2V2.0.-2).BE=(.b.I),DE=(.从而 PC BE=Q.PC DE=0.故 PC 1 BE,PC IDE.又BECDE=E,所以汽：工平面8。6分(II J/；(0.0.2).AH(V2.A.O).&加=(W 为平面P A B的法向粒.则m AP 0 m AB-0.即 2r=0 且 V2x-by=0 令 c 第 A,则E=(A.J20).8 分设=(.u 平 面 4BCO.所 以 FCLBD.由 于 FCnCGnC.FC.CGu 平 面R2G.所 以BDL平面FCG.故 BD1.FG.所以 NFGC为二面角尸-8 D-C的平面角.在等腰三角形BC。中,由于，aco=i2(r.因此 CG=|CB.又 CB=C F.所 以 GF=JCG+C尸=5CG.故 cosZFGC=y.因此 二面角尸-8 0-C的余弦值为当.40 如图 5,在四棱锥 P-A B C D 中，P A _ L 平面 A B C D,A B=4,B C=3,A D=5,N D A B=N A B C=9 0 ,E是 C D 的中点.(I )证明：C D J _ 平面P A E；(H)若直线P B 与平面P A E 所成的角和P B 与平面A B C D 所成的角相等，求四棱锥P-A B C D 的体积.图 5【答案】解 法 1 (I 如 图(1),连接A C,由A B=4,BC=3,/A B C =9 0 ,得AC=5.又AD=5,E是C D的中点，所以C D _ L A EP A 平面A B C。,CD u 平面A B C。,所以 Q 4 _ L C D.而PA,AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD,平面PAE.(II)过点B作/CD,分别与AE,AD相交于 G,连接PE由(I)CDJ_平面PAE知，B G L平面PAE.于是NBPR为直线P B与平面PAE所成的角，且6GJ_A.由PA _L平面ABC。知，Z P BA为直线P B与平面A3CD所成的角.A5=4,AG=2,BG，A F,由题意，知 Z P B A =ZB PF,PA B F因为 sin N P B A=,sin Z B P F=，所以 Q4=P B P B由NZMB=NA5C=90 知，A O/6C,又5G/C O,所以四边形BCDG是平行四边形，故G)=BC=3.于是 AG=2.在 RlABAG 中，A3=4,AG=2,8G _LA f 所以吁商+心=2技即嗯崂考Q fc于是E4=B F=吆5又梯形ABC D的面积为S=x(5 +3)x4=16,所以四棱锥P-ABC D的体积为2V=LS XPA=L 1 6X 幽3 3 5128石15解 法2：如 图(2),以A为坐标原点，4 8,4。,4尸所在直线分别为工轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.设PA=/z,则相关的各点坐标为:A(4,0,0),8(4,0,0),C(4,3,0),0(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h).(I )易 知 丽=(-4,2,0),荏=(2,4,0),衣=(0,0,力).因为丽 通=8 +8 +0 =0,而 丽=0,所以CD _ L A ,C。_ L A P.而 A P,A E 是平面 必 石 内的两条相交直线，所以。_ L 平 面 P 4E.(H)由题设和(I )知，丽，而 分 别 是 平 面 平 面 A3。的法向量，而 P B 与平面PAE所成的角和P B 与平面4 6CD所成的角相等，所以|c o s|=|c o s ,即CDPBHRPA PB网,网由(I )知，前=(4,2,0),/=(0,0,),由丽=(4,0,),故-1 6 +0 +00+0 +A2A-V 1 6 +/?2解得力875又梯形A B C D 的面积为S =x(5+3)x 4=1 6,所以四棱锥PA3CD的体积为2VSX*L 1 6X区 生3 3 5 1 541.2 0 1 2 高考真题天津理1 7】(本小题满分1 3 分)如图，在四棱锥 P-A B C D 中，P A _ L 平面 A B C D,A C A D,A B B C,Z B A C=45,P A=A D=2,A C=1.(I )证明 P C A D；(I I )求二面角A-P C-D 的正弦值；(I I I)设 E为棱P A 上的点，满足异面直线B E 与 C D 所成的角为3 0 ,求 A E 的长.p【答案】方法一，如图，以点4为原点建立空间直角坐标系,依题意得 =”=0,HPn-CD=0.y-2;=0,-人则2 x-3不妨令EW=(1,2,1).可取平面P/C 的法向量5=0.0).干站cos(w,.率.从而sin(/n,MJirl V6 6 6所以二面用.4 -PC-0的正弦值为理.6(I I I)解：交 点 的坐标为(0,0向，JC中6 e 0.2 j.由 此 得 旄=(；,-；/).由CD=(2,-1.0),故所以,=cos30.2就 得 =叵.B3 AE10方法二(I)证明；由 P/J.平面 48co.PALAD.乂由 40J.X C.P A(A C=A,故*。！平面/M C.乂尸C u平面所以P C J_/0.(I I)解：如国.作AH PC F A H.违接DH.由尸C l J。.PC 1 AH.可得汽、1平面/5/闪此。H J L K.从而乙为平面向.在 R ta/M C 中,P.-J 2.4C=I,由此得 4月=2由(I)知.4 O L.4 H,故在 Rt ./中.DH=J.M：+/”：=.囚此sin乙1。=照=手.所 以 二 面 角4-P C-0的 正 弦 值 为 画.DH 6 6(山)解：如 图,囚 为N4OCV45。.故4点8作CO的 平 行 线 必 线 段X。相交.役2点为F.连接8 .K F.故，8 F或其讣角为片面f(线8 与(7)所成的用.由干 BFCD,W A F B 公DC.在 RtAZMC 中.CO=JJ,sinZ.4DC-5=Vs故 sin AAFB=.在中，由sinZ?：f=sinl35,=ur AB 1 尸sinZ4F5 V2 r 皂,可 得BF=M /!由余弦定理.BF：可得.4尸=1.及 AE=h.住 Rt EAF 1 Rt BAE?A 8尸中.,ACO，KBE：+BF-30=-1BE U.l =22/：=AB-AF-2AR AF cotFAB./：/_ _r/条 木二.EF-+4尸=收 +1.j.8E=AE:*AB:=业+1.闪为杯 8 .从尚N3F=30。.由余强定i f行 卜10