高考数学高考试题——数学(湖南卷)(文).pdf

高考数学普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)含答案数学(文史类)一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.1 窕 2血的值为【D】A.-V2 B.A/2 C.-D.2 22.抛物线)2=-8x的焦点坐标是 B A.(2,0)B.(-2,0)C.(4,0)D.(-4,0)3.设 s,是等差数列%的前n 项和，已知q=3,a5=l l,则 等 于 C A.13 B.35 C.49 D.634.如 图 1 D,E,F 分别是AABC的边AB,BC,C A的中点，则 A A.AD+BE+CF=0B.B D-C E +DF=0C.AD+CE CF=0D.B D-B E-FC=05.某地政府召集5 家企业的负责人开会，其中甲企业有2 人到会，其余4 家企业各有1 人到会，会上有3 人发言，则这3 人来自3 家不同企业的可能情况的种数为B A.14 B.16 C.20 D.486.平面六面体ABC。-4 5,q。中，既与AB共面也与c q 共面的棱的条数为C A.3 B.4C.5 D.67.若函数y=f(x)导函数在区间a,b 是增函数，则函数y=f(x)在 区 间 a,b 上的图象可8.设函数y =/(x)在(-o o,+o o)内有定义，对于给定的正数K,定义函数f Zr _ f f(xf(x)k取函数/(x)=2/。当K=；时，函数A(x)的单调递增区间为【口A (o o,0)B (0,+o o)C (o o,-1)D (1,4-0 0)二填空题：本大题共七小题，没小题5分，共 3 5 分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。9 .某班共3 0 人，其中1 5 人喜爱篮球运动，1 0 人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 1 2 .1 0 .若X0,则X +2的最小值为2&.X-1 1 .在(1 +4)4的展开式中，X的系数为 6 (用数字作答)。1 2 .一个总体分为A8两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为1 0 的样本。已知 8层 中 每 个 个 体 被 抽 到 的 概 率 都 为 则 总 体 中 的 个 体 数 为 1 2 01 22 21 3 .过双曲线C：二 一 与=130,。0)的一个焦点作圆工2 +丁=4 2 的两条切线，a b切点分别为A.B,若ZAOB=1 2 0(O 是坐标原点)，则双曲线线C的 离 心 率 为 2 。1 4 .在锐角AABC中，b =6 世 由 则-的 值 等 于 2 ,AC的取值范围c o s A为(V 2,V 3)o1 5 .如图2,两块斜边长相等的直角三角板在一起，若AD=xAB+yAC,则图 2I+乌尸/2 2三 解答题：每小题共6小题，共 7 5分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤。16 (每小题满分12分)以知向量。=(s i n 6,c o s，-2s i n9),b=(1,2)o(I )若ab,求 t a n。的值;（I I）若同=网,0 。万，求。的值。解（I）因为所以2s i n 9 =c o s。-2s i n。，于是 s i n 9 =c o s。，故t a n。4（H）由 卜 网 知,s i n2 0+（c o s。-2s i n 0）2=5,所以l-2s i n 29+4 s i n2 3=5.从而-2s i n 26+2（l-c o s 2，=4,HP s i n 2+c o s 20=-1,于是,入 兀、夜Si n （2。+）=-4 2n 八,T T 八 T T 9乃 ll t t 八 几 5万 八九 7 7C又由 0。万知，一2。+一 ，所以2 。+=,或 2。-=4 4 4 4 4 4 4因此。=工re，或。=3二7 r2 417.（本小题满分12分）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的.1、1、现 在 3名工人2 3 6独立地从中任意一个项目参与建设要求：（I）他们选择的项目所属类别互不相同的概率；（I I）至少有1 人选择的项目属于民生工程的概率。解:记第1 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件4,与，G，i=l，2,3.由题意知A A?%相互独立，与 力 员 相互独立，GGC3相互独立，4，g，G（i,j,k=l,2,3,且 i,j,k 互不相同）相互独立，且 p（4）=,p （）=,p（c,）=3 6（1）他们选择的项目所属类别互不相同的概率P=3!p （A&C 3）=6 p （A ）p （B,）p （C3）1 1 1 1=6 x x x =2 3 6 6（ID至少有1 人选择的项目属于民生工程的概率P=l-p （瓦 瓦 瓦）=l-p(8)p(B,)p(B3)/1、2 19=1-(1)=3 271 8.(本小题满分12分)如图3,在正三棱柱4 8 C-4 4G中，4 8=4,4 A 1=J 7,点。是BC的中点，点E在4 c上，且。EJ.AtE（I ）证明：平面_ L平面ACG4；（I I）求直线4。和平面4OE所成角的正弦值。解（I）如图所示，由正三棱柱A BC-A B|G的性质知A A _ L平面A BC又。E u平面A 8 C,所以。E _ LA A .而。E _ LA 4 ,A 4|A 4 E =4,所以 O E J _平面 A C G 4又。E u平面A O E,故平面A Q E J _平面ACGAI（I D解 法1过点A作A F垂直A,于点F连接D F.由（I ）知，平面AQ E，平面ACG4，所以A尸，平面AOE，故N A D F直线A D和平面N A Q E所成的角。因为D E工AC A所以O E J _ A C而A ABC是边长为4 的正三角形，于是40=2 V3 AE=4-CE=4-C D=32又因为4 A 1=J 7 所以4 斤，4看+4 1=JGQ J+3 =4_ A E A 4 3 s .AF V21AF=-=-,sm ZAD F=-=-E 4AD 8即直线AD 和平面A Q E 所成的角的正弦值为 8解法2 如图所示，设 0 是 A C的中点，以0 为原点建立空间直角坐标系，则相关各点的坐标分别是 A(2Q0,),(2,0,V7),D(-l,V3),E(-1,0.0)易知 A 8 二(-3,y/3,-y/l),DE=(0,-V3,0),AD=(-3,V3,0)设 廿(x,y,z)是平面4 DE的一个法向量，则UUIV L(r f DE=y/3y=00,此时/(x)无极值。(i i)当c K 1 2 时，f(x)=0 有两 个 互 异 实 根 x2,不妨设玉 2，则 玉 2当 X 0,/(X)在 区 间(一 8,玉)内为增函数；当玉 x%2 时，/(X)0,/(X)在 区 间(+0 0 ,%)内为增函数所以/(X)在 X=%处取极大值，在X=X1处取极小值因此，当且仅当c 2于是g(f)的定义域为(2,+0 0)由 r(f)=3 产12 f +c=0得。=一3 r+12，于是g Q)=/Q)=t3-6t2+ct=-2/3+6t2,t e (2,+o o)当，2时，g/(f)=6/+12，=6，(2-，)0 解得一X-出 0 -2既4k Sk2-7+2+2k2 1 +2产4k 8k2 今-；2.1 +2/1 +2 公2k2+2k-l02k2-2k-l0亦即J3-1 J 3-I解得Hk0,对任意的 w N,恒有k+|-J+%-|+|H2-W,|M则称数列 “为8-数列（I）首项为1,公 比 为 的 等 比 数 列 是 否 为B-数列？请说明理曲2（II）设S。是数列x“的前n项和。给出下列两组判断：A组：数列x“是B-数列。数列x 不是B-数列。数列S“是B-数列。数列S“不是B-数列请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题判断所给命题的真假，并证明你的结论；（HI）若数列a0是8一 数列，证明：数列a：也是3数列。解（I）设 满 足 题 设 的 等 比 数 列 为4，则%=（-；），于是同 fl=样尸；广=1*（#,2 2%+an 1 +1 an-a-l I +电-I=x l +-+(-)2+-+(-)n 2 L 2 2 2=3 X l-(l)n 3.2 .所以首项为1,公比为-！的等比数列是B-数列2(I I )命题1：若 数 列%是B-数列，则 数 列 与 是B-数列此命题为假命题事实上设x“=l,n w N,易知数列 x“是B-数列，但s“=n,I S+I S jS-+I S 2-s =n由n有的任意性知，数 列 s“不是B-数列。命题2：若 数 列 ,是B-数列，则 数 列%不是B-数列。此命题为真命题。事实上，因为数列 5“是B-数列，所以存在正数M,对任意的n e N,有I%+s“|+I|+I 52-5,I M既|x,i|+|xj+冈 用,于是氏+1 -X+|当 _ X-l I+卜2 -X Il -n+i|+|xn|+2|x,1_1|+.+2|x21+2|x,|2 M+|xj所以数列 x“是8-数 列。(注：按题中要求组成其它命题解答时，阐述解法)若数列 4是6 数列，则存在正数M,对 任 意 的 ，有|a+i-|+an -an-+.：+a2-at M因为|a“|=an an-+an-+4-2+%一+4|an an-|+an-一2|+L -|+|1|=M+|q|,则 有 脸-蜀=|(%+a,)(4+i%)|4(|1+M an+i-an 2K an+x-an因此|a+l an+|a -an-l|+.+1 2 a-2KM故数列*是8-数列