高考试题选-函数4.pdf

总题数：2 2 题第 67题（2 0 0 4 年普通高等学校夏季招生考试数学（理工农医类）上海卷）题目2 0.已知二次函数尸3的图象以原点为顶点且过点（1,1）,反比例函数片（力的图象与直线产片的两个交点间距离为8,八 上）二（+（.求函数F G）的表达式；（2）证明：当 a 3 时，关于x 的方程f （x）=/（a）有三个实数解.答案2 0.解由已知，设f（x）:&式 由 =1,得5=1,（才）=上k设分（x）=1 （攵 0）,它的图象与直线*x 的交点分别为A#,&）,B（一 反，一a）,8由|幽=8,得 A=8,笈（力=.8故 f（x）=x+.8 88 8即 x=一/+才+。.8 8在同一坐标系内作出(才)=1和公5)=-/+,+。的大致图象，其中E J)的图象是以坐标轴为渐近线，且8位于第一、三象限的双曲线，工(才)的图象是以(0,孑+。)为顶点，开口向卜的抛物线.因此，E(x)与 3的图象在第三象限有一个交点，即 F(x):丹a)有一个负数解.8又 (2)二 4,(2)二 才+。-4,8当 a 3 时，/(2)(2)=，+。-8 0,当a 3 时，在第一象限(x)的图象上存在一点(2,工(2)在加(x)图象的上方.力(x)与 E G)的图象在第一象限有两个交点，即f(x)=f(a)有两个正数解.因此，方程/t r)=f(a)有三个实数解.8 8 证法二 由 f(x)=f(a),得/+r =，+a,8即(工一力(户口一女)二0,得方程的一个解用二a8方程x+a B i=o 化为苏+才入-8=0,由 a 3,*=d+3 2 a 0,得-a2-Ja4 +3 2 a-a2+V 4+3 2(7XF 2 a,桁 2aVx2 0,.天/小，且加金才3.-a：+J。+3 2日若矛产照，即a=2a则 3，=J。+3 2 a,.=4 a,得 a=0 或京福，这与a 3 矛盾，.r W才 3.故原方程有三个实数解.第 68 题(2 0 0 4 年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)浙江卷(新课程)题目1 _1 7.在 ,中，角4、B、。所对的边分别为仇6、。，且 c o s a3 .B+C-2-(I )求 s i n2+c o s 2 J 的值；(n)若a=,求b e的最大值.答案1 7.本题主要考查三角函数的诱导公式、倍角公式、余弦定理及均值不等式等基础知识，考查运算能力.B+C-2 解(I )s i n+c o s 2 J=2 1 c o s(a O +(2 c o s2/4 1)2 _=2 (l+c o s 力)+(2C O S2/J1)2 _ 1 2=2 (1+3 )+(9 -1)=-9 .b2+c2-a2 1(II)v2bc=c o s i=3 ,2，3 b cljc a 2b ca ,3 0cW4 a2,又汗止,9,A W 4 .3 9 9当且仅当加ml时，b f Z ,故b e的最大值是2 .第69题（2004年普通高等学校夏季招生考试数学（理工农医类）浙江卷（新课程）题目20.设曲线尸e （X 2 0）在 点（心屋）处的切线，与不轴、y轴所围成的三角形面积为S（方）.（I）求切线/的方程；（I I）求S（力的最大值.答案20.本题主要考查函数、导函数、不等式等基础知识，同时考查分析、推理和对基础知识的理解运用能力.解（I）因 为 尸（x）=（e-3 f=-e-所以切线/的斜率为一 e T故切线 1 的方程为 y-e t=-e-t（A T-t）.即 e y e +）=0.（I I）令y=0得产什1,又令产0得%/(Z+l),所以 S(治=2(t+1)er(t+1)=2(r+i)V；_从而 S(t)=e(1 一 t)(1+t).r 当 z e(0,1)时,S(t)0,当 te(1,+co)时,s(t)0,2所以S(力的最大值为5(1)=e.第 70题(2004年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)福建卷(新课程)题日(20)某企业2003年的纯利润为500万元,因设备老化等原因,企业的生产能力将逐年卜.降.若不进行技术改造,预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元.今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，1预测在未扣除技术改造资金的情况下,第 年(今年为第一年)的利润为500(1+2*)万元(为正整数).(I)设从今年起的前年,若该企业不进行技术改造的累计纯利润为4 万元,进行技术改造后的累计纯利润为员万元(需扣除技术改造资金)，求4、区的表达式；(II)依上述预测,从今年起该企业至少经过多少年,进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？答案(20)本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识,考查运用数学知识解决实际问题的能力.解：(I)依题设,4二(500-20)+(500-40)+(500一20刀)二490-1 0*_ 1 _ J_ 1即500(1+2)+(1+22)+(1+2*)-600500=500/7-2*-100.500(H)见一 4二 (500/7 2-100)-(490/7-10/72)500=10Z22+10/?2 10050=10 (加1)2 i o.50因为函数片x(xH)2 10在(0,+8)上为增函数，50 50当 1W W3 时,(加 1)一 2”-10 12-8-10O.仅当2 4时，房4答:至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.第71题(2004年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)福建卷(新课程)题目2x-a(21)已知/1(x h l+Z(xCR)在区间-1,1上是增函数.(1)求实数a的值所组成的集合心(U)设关于x的方程f(x)=X的两根为X、检试问：是否存在实数典使得不等式病+t研I Z IM及|对任意a e A及tc -1,1恒成立?若存在，求出血的取值范围；若不存在,请说明理由.答案(21)本小题主:要考查函数的单调性、导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.4 +2a x-2x2-2(r2-a x-2)解：(I)f,解=(/+2)2 =6 +2)2 ,在-1,1 上是增函数,(力/0对 1,1恒成立，即V-TX-2 W 0对xe 1,1恒成立.设3 (x)=*ax2,方法一：=4 o f 土曰.对x e -1,1 ,r(x)是连续函数，且只有当a=i时，尸(-1)=0以及当疔一1时,，(1)=0,；力 二 a|1 WaW1).方法二:c f-0.巧2 或(-1)=1+7-2 0 (l)=l-a-2 0=OWa Wl 或一lWa 0,小，生是方程步一a x 2=0的两实根.f r i+X2=0=加2 2 或 m W 2所以,存在实数加，使不等式加斗W 12|为一如对任意a A及tG -1,1 恒成立,其取值范围是 勿|?2 2或 mW-2 .方法二：当年 0时,显然不成立；当*0时，一例 0 fxn 0 g(l)=n22+w-20=网之2或 ni】一热|对任意a A及1,1 恒成立，其取值范围是 加1川2 2或卬 2 .第7 2题(2 0 0 4年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)湖北卷(新课程)题目兀 兀(1 7)已知 6s i r 2 a+s i n a c o s a 2 c o s 2。=0,aW 2 ,冗,求 s i n(2 a+3 )的值.答案(1 7)本小题考查三角函数的基本公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本运算技能.解法一：由已知得(3 s i n。+2 c o s a)(2 s i n a-c o s a)=0O 3 s i n a +2 c o s。=0 或 2 s i n a c o s a =0.兀兀由一知条件可知c o s。W O,所以,即。(2,冗).2于是 ta n a V O,，ta n a-3 .兀 兀 兀s i n(2 a+3 )=s i n 2 c o s 3 +c o s 2?s i n 373二sinacosa+2(cos*2 a sin2 a)=1+tan2 a+2 义1 +由 2a.2将tan 0r=-3代入上式得sin a cos a 屿 cos2 a-sin2 a=cos2 a+sin2 a+2 xcosaa+sin2 atan a 也 1-tan2 a-l+(-)2 l+(-)2sin(2 a+3)=3+2 x 36 5=_13+26币,即为所求.兀解法二：由已知条件可知cos o WO,则a#2,所以原式可化为6tai?a+tan。2=0,即(3tan a+2)(2tan a-1)=0.兀又 a G(2,n),Atan/0.2/.tan a-3.下同解法一.第73题(2004年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)湖北卷(新课程)题目(19)如图,在RtZ 4%7中，已知BC=a,若长为2a的线段PQ以点4为中点，问尸。与B C的夹角d取何值时BP.CQ的值最大?并求出这个最大值.Al.B答案（1 9）本小题主要考查向量的概念,平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能力.解法一：.工8 j.ACt:,AB.幺C=o.,AP=_Q y BP=AP-AB，CQ=A Q _AC，；BP.怎=万_次）.（工0_而）AP.阳-A P .AC-AB.2Q +AB.AC-A P .AC+AB.AP=-A P .（AB 一 记）1 _.a+2 FQ.BCa+acos故当c o s，=i,即 e=o（产。与3c方向相同）时，肝 最大，其最大值为0.解法二：以直角顶点A为坐标原点,两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系.设|朗=6 I AC=b,则 A0,0),B(.c,0),)+y(y 6)=(V+/)+c x PQ BCCX-by3/用 函Ia2/.cxbydc os 8.:BP 0 =-J+才 c os 0.故当c os，=1,即 0=0（。与比方向相同）时，郎 最大，其最大值为0.第 74 题（2004 年普通高等学校夏季招生考试数学（理工农医类）湖南卷（新课程）题目兀 兀 1 兀 兀17.己知 si n（4 +2。）si n（4 2。）=4,。（4,2）,求 2si n*a +t a n a c ot a 1 的值.答 案兀 兀 兀 兀17.解：由 si n（4+2。）si n（4 2。）=si n（4+2。）c os（4+2。）色 1 1=2 si n（2 +4 a ）=2 c os4 4 ,1 兀 兀 5兀得 c os4 a=2.又 a c （4,2）,所以 0,则/(x)0,从而F(x)在(0,+8)上单调递增；若 x V O,则 (x)V 0,从而f (X)在(一 8,0)上单调递减.2(i i )当 a V O 时，令/*(x)=0,得 x(&户2)=0,故 x=0 或 x=。.若 x V O,则 F(x)V 0,从而/(x)在(-8,0)上单调递减；2 2若 0 x 0,从而/(x)在(0,一。)上单调递增；2 2若 x -a,则/(X)5 5 0时，4 51.60,0 x100,x 62-,100 x 550.所以 P=f(x)=1(xN)(H I)设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为 元，则,20 x,0 x100,22X 100 x550.L=(P-4 0)产 I(xN)当下550 时，=6000；当年 1000 时，11000.因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个,利润是11000元.第78题(2003年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)全国卷(新课程)题目1 7.已知函数/(x)=2sin%,(sirtY+cosx).(I)求函数F(x)的最小正周期和最大值；兀 兀(I I)在给出的直角坐标系中，画出函数片/(X)在区间-2,2 上的图象.-211-2-IJIM-I-5n_4J-I JOLOL-II1-X-4T-|IJ rTrLI答案17.兀兀(I )f (x)=2s i n 2户2s i n x c os 产 1-c os 2/s i n 2A=1+*(s i n 2A c os -c os 2%s i n )兀=1+&s i n (2x ),所以函数F(x)的最小正周期为n,最大值为1+&.（I I）由（I ）知X3兀_ T兀_ 8兀83兀T5兀Ty11 及11 +&1兀 兀故函数尸F （外 在 区 间 一亍，2 上的图象是第7 9题（2003年普通高等学校夏季招生考试数学（理工农医类）全国卷（新课程）题目18.如图，在直三棱柱。一力由G中，底面是等腰直角三角形，乙4磔9 0 ,侧棱加产2,D、分别是C G与4 6的中点，点后在平面力加上的射影是龙的重心G .（I）求4 6与平面力劭所成角的大小（结果用反三角函数值表示）:（I I）求点4到平面力近的距离.答案18.解 法：（I ）连结 则%是 应 在 面 力 物 的 射 影，即 乙 期 是4 8与平面力劭所成的角.Cl设户为4?中点，连 结/FC,:D、E分别是M、4/的中点，又如_L平面力比，.a坦尸为矩形.连结DF,G是，如的重心，1.GCZK在直角三角形/管中，肝 月 3 Fth,:ERA,.小61x71 于是ED=&，曲召=3.:FUED=&,.册2企,4户2行,EG&_ 如：.sinEBG=E B=3 4 3包.45与平面力龙所成的角是arcsin 3(I I)连结4，有嗫_:ED LAB,EDX.EF,又 EFCAB=F,.初_L平面AM,设4到平面AED的距离为h,则 S a a 足 依 他 ED.又S应形 J=4 ALA.AB=2,_ L S博产 2 AE-ED=22 耶：.h=22而即4到平面4面的距离为解法二：（I）连结及7,则及7 是熊在面4班的射影，即N 4 6 G 是4 8 与平面月物所成的角.如图所示建立坐标系，坐标原点为0.设CA=2a,则力(2&,0,0),B(0,2a,0),D(0,0,1),2a 2a 1，6(3 3 3).A/_ a a 2C?=(3 3 3),BD=(o,-2a,i)._ _ 2 2：.G E.5 D=_3+3=0,解得a=l._2 4 1.-.=(2,-2,2),5 0=(3.-3.314y 后网EG-7=.c s 4酢网I I 画/81*4 8 与平面力 所成角是a r c c os 3.A i(2a,0,2),E(a,a,Zi,二“C1、).(I I)由(I )有/(2,0,0),4(2,0,2),(1,1,1),P (0,0,1).ED=(_,i,1).(T,一i,0)=o,陷ED=(0,0,2)(-1,-1,0)=0,.！平面 A A xE,又 Z U 平面 A E D,平面4及Z L平面A A E,又面 A E D Ci 而 A A iE=A E./.点4在平面A E D的射影”在A E k.AK=.，i AE,则 4=4月+A,4-2),_ 2由4KME=0,即 A+A +A-2=0,解得力=百.1 1 4 _ 2 7 6-4 _(_ 3 3 _ 3).1 4 玄 I 一 亍2琳故4到平面4 H 9的 距 离 为3 .第8 0题(2 003年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)北京卷(旧课程)题 目1 5.己知函数 f Cx)=c o s，-2 s i n xc o s x-s i n x(I )求/(x)的最小正周期;兀(I I )若 代 0,2 ,求 F (x)的最大值、最小值.答案1 5.(I )解:因为 F (x)=C O S4A2 s i n A c o s rs i n r=(c o s,肝s i n x)(c o s，-s i i?x)-s i n 2 x兀=c o s 2 xs i n 2 尸c o s (2 户4),2兀所以/(x)的最小正周期芹2 二八兀 兀 兀 5(I I)解：因为 0 WA 2 6.今计划合建一个中心医院，为同时方便-:镇，准备建在及7 的垂直平分线上的尸点处.(建立坐标系如图)(1)若希望点户到三镇距离的平方和为最小，点P应位于何处？(I I)若希望点尸到三镇的最远距离为最小，点尸应位于何处？答案1 9.(I )解：由题设可知，a 6 0.记 居 心 一 ,设尸的坐标为(0,y),则尸至三镇距离的平方和为h 2f (y)=2 (Z?2+y)+(A-y)2=3 (y-3)2+3 A2+2 i 2,h所以，当 尸3时，函数f(y)取得最小值.1 _答：点户的坐标是(0,可4一/)(I D解法一：户至三镇的最远距离为g(/二当巧了斗才一川,当 叔+72-川.由3 涔力w解 得 介2h，记了=,于是g（y）=b -L当M即 3_当y*=2h0,即43 6时，6+，在 y*,+8上是增函数,而h2-b2力 一yl在（-8,）上是减函数.由此可知，当产产时，函数g（y）取得最小值，当户=2 h0,即。*,+8）上，当片0时，取得最小值4而I方一打在（-8,）上为减函数，且|公一y|6.可见，当产0时，函数g（y）取得最小值.答：当 心6时，点尸的坐标为（0,岫2 _/）.当力。时，点户的坐标为（0,0）.其中左J/一/.解法二：户至三镇的最远距离为当f.并5当了2 0,即力2。时，z=g(y)的图象如图(a),因此，当尸尸时，函数g(y)取得最小值.当，V 0,即力V6时,z=g(y)的图象如图 当),因此，当片0时，函数g(y)取得最小值.a2-2b2答：当力26时，点尸的坐标为(0,岫1 一/)；当方V6时，点户的坐标为(0,0).其中户夜-y .图(c)解法三：因 为 在 中，仍40-2-所以 力%的 外 心 在 射 线 上，其坐标为（0,2 J/-/）,且 A B M-CM.当户在射线场上，记尸为R；当户在射线场的反向延长线上，记户为办若 左J/-/（如图c）,则点材在线段40上.这 时 尸 到 从B、C三点的最远距离为AC或晟4,且 立 缁 阳 阳 土 飒所以点尸与外心必重合时，产到三镇的最远距离最小.图（d）若Vb（如图d）,则点.在线段加 外.这时P到4、B、C三点的最远距离为AC或为4,且 立 彦 阳 凡4无所以点户与8c边中点0重合时，产到三镇的最远距离最小为b._ _ 2/答：当J d-y学。时，点户的位置在4班 的 外 心（0,2 4一/）；当J/一/6时，点户的位置在原点Q第 8 2题(2003 年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)北京卷(旧课程)题目20.设尸f(x)是定义在区间-1,1上的函数，且满足条件：(i )/(-I)=f (1)=0;(i i )对任意的 u,-1,1,都有|F()f(r)|uv.(I )证明：对任意的 xG -1,1L 都有 x-l W f(x)V l-x;(I I)证明：对任意的 u,k S -1,1,都有|F(“)-f O)|W 1；(I l l)在区间-1,1 上是否存在满足题设条件的函数片f(x),且使得J/Q)-f(y)忖I当户 。$,1加)-/(明=1 u f I,当 e.若存在，请举一例；若不存在，请说明理由.答案20.(I )证明：由题设条件可知，当 1,1 时，有(x)1 =1 f(r)f(1)|1 时，yV O.不妨设uV O,则 r 0 且 v ul.所以，|f()-f O)|W|F()f(1)|+1 /(r)f(1)|I w+11+1 F 11 =1+1 v=2 (vu l 时，有 /V O 且 1 V I u“二|+|“W 2,所以，I/(u)f (v)|W|f(u)I+1 /(r)IW l|u|+l|p|=2一 (|y|+|r|)W l.综上可知,对任意的u/W -1,1,都有|f(u)-f(v)I W 1.(I I I)答：满足所述条件的函数不存在理由如卜.：假设存在函数/(外满足条件，_则由|f ()-/,(/)|=|u-v,4 r e 2,1,得I f(1)-r d)1=1 2-i l =2.又/(i)=o,所以I f(1)l=，.又因为f(x)为奇函数，所以/(0)-0.11由条件r G o,2 ，得|f（2）|=|f（2）-f（0）|2（X-1）-1.答案17.解：原不等式变形为：0g-120g-12(2X 一2).所以，原不等式卜 2 _ 2 0o 卜-1 0,1 工 -r-2 V 2x 2(r-2)(x+1)00,r2-3x 2,0=2 C 3.0 r 3故原不等式的解集为x|2 V xV 3 .第8 4题（2003 年普通高等学校春季招生考试数学（理工农医类）北京卷（旧课程）题目6cos4 r+5sin2x-418.己,知函数f（x）=cos2r,求 f（X）的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.答案18.兀 劝T 兀 +解：由c o s Z/O得2xW a五+2,解得才 2 4,z.tor兀-十 所以f(x)的定义域为 xlxW R且XT 2 4 S AGZ).因为F(x)的定义域关于原点对称，且6 cos4(-r)+5s i n2(-r)-4 _ 6 cos4r+5s i n2r-4/(_*)=cos(-2x)cos 2r =/(/，所以F(x)是偶函数.E 兀 十 当x半2 4,代2时，/(r)_ 6 cos4 r+5s i n2 r-4(2cos2 r-1)(3 cos2r-1)cos 2r cos 2T =3 cos2-l,J所以f(%)的值域为 y|lW y 2或2 2,则函数f (x)在(-8,司上的最小值为_ 1 _ 3 !f(2)=4+&且 f(2)W F (a).3(i i )当 x，a 时，函数 f (x)=V+x 1 =(才 十 2)2-a-4_ L 12 1若d W 2,则函数F (x)在 a,+8)上的最小值为f(-2)=4 且/2).2_若a 2，则函数F(x)在 a,+8)上单调递增，从而，函数/.(X)在 a,+)上的最小值为/(a)=才+1.13综上，当aW2时，函数/X x)的最小值是4当一 2 =1时，f(%)的最大值为3.(2)函数 f(x)=(x+tan 0)2 1 tan2 0 图象的对称轴为 x=-tan 8.y=f(x)在区间-1,布 上是单调函数，tan W 1 或一tan。23,即 tan 夕 21 或 tan，W.兀 兀 兀 兀因此，e的取值范围是(-2,-3 u 4,2).