初一升初二暑期衔接资料.pdf

第 一 讲 勾 股 定 理 情景引入【知识要点】1、勾股定理是：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即：a2+b2=c22、勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满 足 那 么 这 个 三 角 形 是 直 角 三角形。【典型习题】例 1、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6 c m,BC=8 c m,现将直角边A C 沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则 CD等 于（)A.2 c m B.3 c m C.4 c m D.5 c m例 2、求下列各图字母中所代表的正方形的面积。sASBSc=例 3、如图，次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面2.8 米处吹断，倒 F的旗杆的顶端落在离旗杆底部9.6 米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高?例 5、在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是 m o例 6、为丰富少年儿童的业余文化生活，某社区要在如图所示的AB所在的直线上建一图书阅览室，该社区有两所学校，所在的位置分别在点C 和点D 处。C AL AB于 A,D BL AB于 B,已知AB=2 5 k m,CA=1 5 k m,DB=1 0 k m,试问：阅览室E 建在距A 点多远时，才能使它到C、D 两所学校的距离相等？A E B一 I：DC例7、如图所示，M N 表示一条铁路，A、B 是两个城市，它们到铁路的所在直线M N 的垂直距离分别AAl=2 0 k m,BBl=4 0 k m,AlBl=8 0 k m.现要在铁路Al,Bl=8 0 k m。现要在铁路Al,Bl之间设一个中转站P,使两个城市到中转站的距离之和最短。请你设计一种方案确定P点的位置，并求这个最短距离。BAM Ai Bi N例 8、“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过7 0 千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A正前方3 0 米 B处，过了 2秒后，测得小汽车C与车速检测仪A间距离为5 0 米，这辆小汽车超速了吗？小汽车Cz：.:B、I_ _观测点例 9、如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为2 0 分米、3分米、2分米，A和 B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想 到 B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短的路程是多少?B例10、直角三角形的周长为2 4,斜边长为1 0,则其面积为例11、如图，个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为8米，梯子的顶端下滑2米后，底端也水平滑动2米吗？试说明理由。A例12、如图2 5 4所示，某市住宅社区在相邻两楼之间修建一个仿古通道，它的上方是一个半圆，下方是长方形，现有一辆卡车装满家具后，高4米，宽2.8米，请问这辆送家具的卡车能通过这个通道吗？例13、甲、乙两船同时从A港出发，甲朝北偏东6 0 方向行驶，乙朝南偏东3 0 方向行驶。已知甲、乙两船的航速分别为4 5千米/时和50千米/时，经2小时航行后，试估算两船相距多少千米？（精确到0.1千米）例14、如 图1 3 1 0,已知直角三角形ABC的三边分别为6、8、1 0,分别以它的三边为直径向上作三个半圆，求图中阴影部分的面积。【随堂练习】一、填 空 题（每空3 分，共 24分）1、若直角三角形两直角边分别为6 和 8,则斜边为；2、已知两条线的长为5cm和 4 c m,当第三条线段的长为 时，这三条线段能组成一个直角三角形；3、能 够 成 为 直 角 三 角 形 三 条 边 长 的 正 整 数，称 为 勾 股 数。请 你 写 出 三 组 勾 股 数：5、在 RtZABC 中，ZC=90,BC：AC=3：4,A B=10,贝 I AC=，BC=二、选 择 题（每题3 分，共 15分）1、a、b、c 是aA B C 的三边，a=5,b=12,c=13 a=8,b=15,c=17 a:b:c=3：4：5 a=15,b=20,c=25上述四个三角形中直角三角形有（）A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个2、一直角三角形的三边分别为2、3、X,那么以x 为边长的正方形的面积为（）A、13 B、5 C、13或 5 D、无法确定3、将一个直角三角形两直角边同时扩大到原来的两倍，则斜边扩大到原来的（）A、4 倍 B、2 倍 C、不变 D、无法确定4、正方形的面积是4,则它的对角线长是（）A、2 B、忘 C、2A/2 D、4 川5、如图，在4ABC 中，AD1BC 于 D,AB=3,BD=2,DC=L 则/AC=,/A、6 B、遥 C、逐 D、4/B D C三、解答题1、公路旁有一棵大树高为5.4米，在刮风时被吹断，断裂处距地面1.5米，请你通过计算说明在距离该大树多大范围内将受到影响。2 如图，ZC=90,AC=3,BC=4,AD=12,B D=13,试判断4A B D 的形状，并说明理由。2、已知三角形的三边分别是n-2,n,n+2,当 n 是多少时，三角形是一个直角三角形？3、如图，每个小方格都是边长为1 的正方形，试计算出五边形ABCDE的周长和面积。如图，一个圆柱形纸筒的底面周长是4 0 cm,高 是 30cm,一只小蚂蚁在圆筒底的A 处，它想吃到上底与下底面中间与A 点相对的B 点处的蜜糖，试问蚂蚁爬行的最短的路程是多少？【课后练习】一、填 空 题（每题3 分，共 24分）1.三角形的三边长分别为a2+b lab./、都是正整数），则这个三角 形 是（）A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定2.若ABC的三边a、b、c满足J+/+c?十 338=10a+246+26c,则A8C的面积是（）A.338 B.24 C.26 D.303.若等腰ABC的腰长A B=2,顶角/B4C=120,以 BC为边的正方形面积为（）27 16A.3 B.12 C.D.4 34.ZMBC 中，A8=15,A C=1 3,高 4 0=1 2,则48C 的周长为（）A.42 B.32 C.42 或 32 D.37 或 335.直角三角形三条边的比是3：4:5.则这个三角形三条边上的高的比是（）A.15：12：8 B.15：20：12 C.12：15：20 D.20：15：126.在ABC中，NC=90。，BC=3,AC=4.以斜边AB为直径作半圆，则这个半圆的面积等于）2571A.-825兀4257116D.257t7.如 图 1,有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,B C=8cm,现将直角边AC沿直线4。折叠，使它落在斜边4 B 上，且与AE重合，则 CD等 于（）A.2cm B.3 cm图 18.如图2,一个圆桶儿，底面直径为16cm,高 为 18cm,则一只小虫底部点A 爬到上底B处,则小虫所爬的最短路径长是（兀取3）（）A.20cm B.30cm C.40cmD.50cm二、填 空 题（每小题3 分，共 24分）9.在ABC中，若其三条边的长度分别为9、12、的面积是.1 5,则以两个这样的三角形所拼成的长方形10.一个长方体同一顶点的三条棱长分别是3、4、1 2,则这个长方体内能容下的最长的木棒为1 1 .在 4 8 C 中，N C=9 0。，8 c=6 0 c m,C 4 =8 0 c m,一只蜗牛从C点出发，以每分2 0 c m 的速度沿C A-A B-B C的路径再回到C点，需要 分的时间.1 2 .如 图 3,一艘船由岛4正南3 0 海里的8处向东以每小时2 0 海里的速度航行2小时后到达C处.则A C间 的 距 离 是.1 3 .在 A 8 C 中，/B=9 0。，两直角边A B=7,8 c=2 4,三角形内有一点P到各边的距离相等,则 这 个 距 离 是.1 4 .已知两条线段长分别为5 c m、1 2 c m,当第三条线段长为 时，这三条线段可以组成一个直角三角形，其面积是.1 5 .观察下列一组数：列举：3、4、5,猜想：3 2=4+5；列举：5、1 2、1 3,猜想：5 2=1 2+1 3；列举：7、2 4、2 5,猜想：7 2=2 4+2 5；图 3列 举:1 3、b、c,猜 想:1 32=f e+c；请 你 分 析 上 述 数 据 的 规 律，结 合 相 关 知 识 求 得 b=1 6 .已知：正方形的边长为1.(1)如图4()，可以计算出正方形的对角线长为痣；如图(6),两 个 并 排 成 的 矩 形 的 对 角 线 的 长 为;n个 并 排 成 的 矩 形 的 对 角 线 的 长 为.(2)若 把(c)(4)两图拼成如图5 “L”形，过 C作直线交DE于 A,交 D F于 B.若 D B=,贝 U D4的长度为_3F图 5图 6图 7第 二 讲 平 方 根 情景引入【知识要点】1、平方根一般地，如果一个数x的平方等于a,即/=a,那么这个数X就叫做a的平方根（也叫做二次方根）。一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根是0;负数没有平方根。2、算术平方根一般地，如果一个正数x的平方等于a,即/=，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为“右”，读作“根号a”。特别地，我们规定0的算术平方根是0,即 而=0。3、开平方求一个数a的平方根的运算叫做开平方，其中a叫做被开方数，a必须为非负数，即右有意义的条件是a 2 0。4、开平方与平方的关系：互为逆运算。5、八（a 2 0）的非负性，即一个非负数的算术平方根仍为非负数。形 如=时=图6、0）0）【典型例题】例 1-1、求下列各数的算术平方根、平方根。9 :64；0.09；15 1；490。例1-2、求下列各数的算术平方根、平方根:2 5 一；3 60.0 0 3 6；3 ；2 5 百例2、填空：(1)厅=；(2)；(5)7107=；(6)7(1-1 0)2=(9)对于任意数x,U=；例3、求适合下列各式中未知数的值：(1)2 5 x2-6 4 =0(x/3 _=06 .若a 匕 3B.x 仇贝多2 5 2 B.a 网，则/j2C 时 仇则 /D./,则/）24 .设a、b 均为负实数，且时 卜“，贝 I（）A.a -b B.a bC.-a b5 .若数轴上表示数。的点在原点左边，则化简忸+而7 的结果是（）A.3 B.-3 a C.a D.-a6 .下列答句中不正确的是（）A.无理数是带根号的数，其根号下的数字开方开不尽；B.8的立方根是土2；C.绝对值等于标的实数是后；D.每一个实数都有数轴上的一个点与它对应。7.下列计算正确的是（）A.得：B.旧=沟C-%嗒。）D-引得行8 .一个三角形的三边的长为3 ,2 恒,2 同，则此三角形的周长是（）A.972 B.6 V 2 +2 V 3 2+1 0 V 2C.1 4 7 2+V 5 0 D.24729 .底面为正方形的水池容积是4.8 6 机3,池深1.5?，则底面边长是（）A.3.2 4/7?B.1.8 m C.0.3 2 4 7%D.0.1 8 m1 0 .已知X是 1 6 9 的平方根，且2 x +3 y =/,则y的值是()A.6 5 B.6 5rC.,14 3 D门.6c5-或-p-1 4 33 31 1.设。是不等于零的有理数，匕是无理数，那么下面四个数中必然为无理数的是()A.a3+b3 B.(a+b)3 CD.(a+b)-a(a+bb1 2.已知n为任意整数,同-3*n -2 1/_ 6+1 表示的数 是()A.一定是整数C.一定是有理数B.一定是无理数D.可能是有理数，也可能是理1 3.下列命题中，正确的个数是()(1)两个有理数的和是有理数(2)两个无理数的和是无理数(3)两个无理数的积是无理数(4)无理数与有理数的积是无理数(5)无理数除以有理数是无理数(6)有理数除以无理数是无理数A.2 个 B.3 个1 4.下列计算正确的是(A.V 2+V 3 =7 5C.V 2 V 3 =V 6C.4 个 D.5 个)B.2 +V 2 =2 V 2D.叵21 5.与(2-0)相乘，结果为1 的数是()A.7 3 B.2-V 3C.2 +V 3 D.-2 +7 31 6.下列计算正确的是(A.2/+3 五=5 0C.5 +5&=6 痣B.&+6 =2D.J(-6)2 =-61 7.数轴上表示实数x的点在表示T 的点的左边，则式子J(X-2)2-2 7(%-1)2 的值是()A.正数 B.-1C.小于-1 D.大于-11 8 设”=V 1 0 0 3 +4991,b=V1W+V 9 9 9,c=2 V T W,那么a,仇c之间的大小关系是()A.a b c B.a c b C.b a c D.c b a1 9.若a 0,则J 7 而 J的值为()A.2a B.0 C.2a D.2 2 0.化简V 5 +V 2甲:乙:3V5+V 23V5+V 2甲、乙两同学的解法如下:V 5 +V 2对于他们的解法，正确的是()A.甲、乙的解法都正确 B.甲正确、乙不正确C.甲、乙的解法都错误 D.乙正确、甲不正确三、解答题1.计算：(1)出-闷+6 x 6 +(-2001)。-回；(2)32+(3)2+|x(-6)+764;(3)|1 -+-/(x-2)2(1 x 0）对 于 任 意 实数，则 =同=0（a =0）-aa b 0,则2、最简二次根式要满足下列条件的根式是最简二次根式:（1）被开方数的每一个因式的指数是1。（2）被开方数不含有分母。3、二次根式运算法则(1)ab=yfa-0,b 0)；(2)1=亲4 0,b 0)；(3)=ya(a 0)；(4)=yfa(a 0)；4、复合二次根式J a 土布的化简:设法找到两个正数x,y （xy）,使 x+y=a,x y=b,则 a lfh=-J(V x 7 7)=五 65、非负数的三种形式：绝对值时、平方项。2、算术平方根（4 2 0）。【典型例题】例 1T 已知|x+y -5|+，2 x+y-4 =c ,求 y*的值。例 1-2 已知J a 6 6+/正 =。,求2 的值。a例 2化简,-2|+,一 3|例 3-1 设4 A B C 的三边分别是 a、b、c,S.a2+c2+S b2-4ab-4bc 0.试判断A A BC的形状。例 3-2 已知x+y +z 3=2（J 7 +4 +五），若 x、y、Z 代表A A BC的三边，试判断aA BC的形状。例 4-1 已知 Jx+y-z-=y+z-x-2 -yjz+x-y-3,求x+y+z的值。例 4-2 已知 J x+y-z-1 1 =y+z-x-5 -z+x-y-1,求x+y+z的值。例5已知a、b为实数，且满足 l)V n =O,则-0 4,0 4的值是多少?例6若实数a,b,c满足。=2匕+贬，且出c2+=c,则史的值为多少？2 4 a例7若u,v满足v3V+-,求3v 22-U V+V2 的值。例8-1设a 7 b,化简根式技工T-a-b o例8-2化简，3+g+也。例8-3已知a +b =4万 蕨1 7!而T ,a-/=7 7 19 9 2-7 19 9 1,那么a b的值是多少?例9求（、6+内 了 的整数部分。思考题：化 简/1=.V/i22n+l+V2-l+V n2-2n+l【课堂练习】一、选择题。1 已知 x,y 是实数，j 3x+4 +y?+y +9 =0,若 axy-3 x=y,则实数a的 值 是（）oA.-B.-4 4c.z4D-2.实数a满足。+时=0,则a是（）。A.零或负数B.非负数C.非零实数D.负数3.如果 GT在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）。A.大于零B.等于零C.不小于1D.大于14 .J(x+l)2是一个实数,则X可取值的个数为()。A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个5 .已知实数x、y满足1 2|+J x+y 5 =0,则 犷 衣 的值 是()A.0 B.5 C.2 D.-56 .若a,b是实数，且J()2=b a,则a与b的大小关系是()。A.a b B.a 0 ,则/之 C.若 同 网，则a b D.若a?心 则二、填空题。1.若12-x+J x-2 有意义，则 x-o2.若两个实数x和y互为倒数，则xy=。3.13的算术平方根的倒数的相反数是。164 .化简卜回j n|+卜的结果是。5 .代 数 式 躯+屈+&_ 屈 的值是6 .1 6-庄+1 6+庄 的值为 o7.若 y =J 2x-5 +J 10-4 x+10,贝ij x=,y=8 .若a与它的绝对值的和为零，则 行 +而=。9 .等式=-a而 成 立 的 条 件 是。10.已知x，化 简3x+2-J 1-4 x+4 x?的结果是 Jb 4a+4b例6 化 简 并 求 值：罕 亚 +恒目，其 中Nab+b a-yjaba=2+百力=2 3例7把 6+屈 的 整 数 部 分 记 为 a,小数部分记为b,则a+=_ ob【课堂练习】1.计算：1 J _.3而4.后+3也x工;v nV6-V57.2 7 6 4-7 2 4 x 3 7 2 ；V2+V5V5-V3+V5+V3 3 273-V2 V2-V5 75+73V 2+l +V 3+V 2 +V 4 +V 3+V 1 0 +V 9【课 后 作 业】1 .二 次 根 式 疝7的 有 理 化 因 式 是（）oA.4a+4bB.-Ja+bC.I a-bD.yfb2 .二次根 式 厉-J T i的 有 理 化 因 式 是（）oA.V 3 +V 2c.V 3-V 2B.V 2 7+V 1 8D.V 2 7-V 1 83.12-V3的 整 数 部 分 是（)oA.1B.2C.3D.44.计算：V 2 8 4-V 3 5 ；5.比较大小：位-岳 与7 7-b 5+也与3 M6.已知x =V 3 +V 21求(x_3(x-+1 1的值第七讲二次根式的混合运算【知识要点】1 .最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不能含有能开 尽方的因式和因数。2.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同。3 .分母有理化的方法若分母中只含有右,则分子、分母同时乘以五,由a,J a=a,则分母变成a。若 分 母 含 有 五+而（或 后-后），则分子、分母同剩以ya-yb（或4a+b）,根 据（4a+b）（4a-4b）=a-b,将4 .二次根式的混合运算方法：二次根式化成最简二次根式后，再合并成同类二次根式。二次根式的混合运算与有理数的混合运算法则一样，合并同类项方法类似。5 .二次根式运算法则：机册+“五=（加+”肪？（a 2 0）;=（a 2 0;b 2 0）a _&(a O,b 0)阔”值(a 0)&(a 2 0)【典型例题】例 1 计算：5 V 1 0 8+2 V 2 4-5 V 1 2+3 V 2 7 (V 2 8+4 V 7-2 V 3)x V 7+V 8 4(3)276 x(V24-V2)；V 3 2-丁萍-3(V45+V18)-(V8-V125)；（5 百-3 行 例2计算：(V 6 +y/3+V 2 +V 3 -)7V6-2 *7 7 6 +2V 6 +V 5f 1 Y+V 2 j(5+2 V 6)(5 7 6 -6尉-(5 7 6 +6份(3 V 2+5 V 3)(3 V 2-5 V 3)(1 +V 2)2(1 +V 3)2(1-A/2)2(1-闾 2m V 2 +2 v 5 +V s(V 2+V 3)(V 3 +V 5)7 6 +4 7 3+3 7 2(V6+A/3)(V3+V2)例3已知x=2+0,y =2-0，求下列各式的值。y x x?+2 x y+y 2例4求下列各式的整式部分和分数部分。小+炉 （2拒一 1）（3 +例5 若a、b、c是a A B C的三边。化简yj(a+b+c)2+-6 -c l +yj(b-c-a)2+y(c-a-b)2【课堂练习】1.计算：71-304+3我;(3)J 2 8-J4 8 H J1 4 7 ；2 4 7(2)-V 6 3-V 2 72 32疵+3,1；(V 1 5-2 V T 0 +3 7 4 0)7 5 ；/-I，/+1，；V 6 +V 2 7)；(2+2 +(2-7 3)22.计算：J 81b2 3 14b 5b ；laib+Vcibi ab)+Vab【课后作业】1.计算：;闻/5 一 瓦+2回）（岳+3病）后(VJ-扃(8+2V15)(4A/6+3舟(4而-3扃(V2+V3-V5 5/2 y/3+Vs)+正 V6 V s76/5 VTT75(3亚-2日-(372+26)2(3-23+2A/3)+(2A/3-3)2.已知 a+b=-6,ab=5,求a+的值。3.计算：1 1V1+V2 72+73 V3+741V2000+V1999第八讲 平行四边形的性质【知识要点】1.平行四边形的有关概念(1)平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。表示方法：“OA B CD”(2)对边、对角、对角线的概念：平行四边形共有四条边，四个角，把不相邻的边称为对边，不相邻的角称为对角，因此平行四边形有两组对边，两组对角。对角线：平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫对角线。2 .平行四边形的相关性质：平行四边形对边平行且相等：数学形式：:OABCD;.AB4DC,ADBC平行四边形的对角相等：数学形式：OA B CDNA=NC,N5=N0平形四边形的对角线互相平分：数学形式：OA B CD1.O A=O C=-AC,21O B=O D=-BD.23.平行线间的距离(1)两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离。(2)平行线之间的垂线段处处相等。【典型例题】例1-1在平行四边形ABC D中(利用平行四边形的性质一边、解)(1)若/A=4 0 ,贝U/B=,Z C=，N D=。(2)若/A-N B=8 0 ,贝 U/A=,ZB=(3)若/A+/C=2 2 0 ,则NA=,NB=。(4)若周长为 4 4 c m,A B-BC=2 c m,则 CD=,A D=。例 1 如图，O A BCD 中，A D 1 B D,垂足为 D,0 A=1 0,0 B=6,求 BC,A B的长。例 2 如图，四边形A BCD为平行四形，Z A+Z C=8 0 ,2B C D 的周长为 4 0 c m,且 A B-BC=2 c m,求。A BCD各边长和各内角的度数。例 5 如图，CA BCD中，对角线A C和 BD相交于0点，若 A C=8,BD=6,则边A B长的取值范围为(A.1 A B 7C.6 A B 8B.2 A B 1 4D.3 A B1 4例 4 1 小强家承包了一块苗圃用来养花。如图所示，苗圃的形状为平行四边形，经测量，其周长是3 6 m,从钝角顶点D 处向A B、BC 引两条高DE、DF 的长分别为5 m、7m,求这个平行四边形苗圃的面积。例 4 2 已知。A BCD中周长是3 6 c m,且 A B=1 0 c m,A D 与 BC 间的距离为6 c m,求：A B与 CD之间的距离。【课堂练习】一、选择题1 .如图，在 BCD中，A C、BD相交于0,则图中全等的三角形共有（）A.2 对C.4对3 .O A BCD 中，数 为（）A.6 0 4 .下列说法正确的是（）A.平行四边形的对角线相等；B.平行四边形的对角线的交点到一组对边的距离相等；C.四边形具有平行四边形的性质；D.沿平行四边形的一条对角线对折，这条对角线两旁的图形能互相重合。5 .在平行四边形A BCD中，若/A:N B=5:4,则/C 的度数是（）A.8 0 B.1 2 0 C.1 0 0 D.1 1 0 二、填空题1 .两组对边分别 的四边形叫做平行四边形，平行四边形的的两个顶点连成的线段叫做它的对角线。2 .平 行 四 边 形 的 对 边,对角。3 .在平行四边形A BCD中，若 A B=5 c m,周长等于2 2 c m,则 CD=_c m,B C=cm,A D=c m。4 .在平行四边形A BCD中，若N A=2 N B,则N A=,Z B=,ZC=,ZD=o5 .已知平行四边形相邻两角的度数之比为2:3,则较大角为 o6 .平行四边形一组邻角的平分线一定是 o三、解答题1 .在平行四边形A BCD中，/B+N D=1 4 0 ,求各内角的度数。2 .平行四边形 A BCD 中，A E 平分N B A D,交 DC 于 E,A D=5 c m,A B=8 c m,求 EC的长。3.如图，平行四边形A BCD中，A D=2 A B,点 M为 A D 的中点，求N BM C的度数。4.在 BCD中，E、F分别是A C、CA 延长线上的点，且 CE=A F,求证:BF DE。6.如 图，在口A BCD中，A B=4 c m,A D=7c m,N A B C 的平分线交A D于点E,交 C D 的延长线于点F,则 DF 长多少？【课后作业】1 .如图，0为O A BCD对角线A C、BD的交点，EF 经过点0,且与边A D、BC分别交于点E,若 BF=DE,则图中的全等三角形最多有（）A.2对 B.3 对 C.5 对 D.6 对D.-CAB2 .在。A BCD 中，若/A-N B=70 ，贝 U Z A=,NB=,ZC=,ZD=。3 .在Z Z A BCD 中，A C BD,相交于 0,A C=6,BD=8,则 A B=,BC=o4 .平行四边形A BCD的对角线相交于点0,如果A A O B 的面积为3,那么平行四边形A BCD的面积是。5 .直线机，机上一点A到的距离为6 c m,B 为 n 上任一点，则 B至 lj m的距离为 c m。6 .已知：O A BCD的周长是4 8 c m,且 A B=1 2 c m,A D 与 B C 间的距离为8 c m,求：A B与 CD之间的距离。7.已知：在O A BCD中，BE平分/B,DF 平分ND,且 BE、D F 分别交A D、BC 于 E、F,求证：(1)BE=DF；(2)N BED=N BF D。第 九 讲 年 竹 四 边 形 的 利 灵【加拥要JL】1.平行四边形的判定方法：从边的角度：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;（2）两组对边分到相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。从对角线的角度：对角线互相平分的四边形是平行四边形。从角的角度：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。2.知识点延伸：除两组对角分别相等的四边形是平行四边形外还有：（1）一组对角相等，一组对边也相等的四边形是平行四边形；（2）一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形。【典型例班】对平行四边形的判定条件和掌握例1下列说法中正确个数有（）一组对边平行且相等的四边形为平行四边形；一组对边平行而另一组对边相等的四边形为平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；有两边相等，另外两边也相等的四边形是平行四边形；一组对边及对对角相等的四边形是平行四边形。A.2个 B.3个 C.4个 D.5个例2 A、B、C、D在同一平面内，从A BCD；A B=CD；BCA D；BC=A D,这四个条件中选两个，能使四边形A BCD是平行四边形的选法有多少种（）A.3 B.4 C.5 D.6例3如 图1,已知0是 O A BCD的对角线A C的中点，过点0的直线EF分别交A B、CD于E、F两点，四边形A ECF为平行四边形吗？说明理由。1BE图1练习 如 图2,已知 O B C D中，点E、F分别是A B、CD上的点，A F=CF,M、N分别是DE、BF的中点，四边形EN F M是平行四边形吗？说说你的理由。例4如 图3,O BCD,A F、CF分别与直线DB相交于E和F,且 A ECF,求证：CEA F。练习 如 图4,平行四边形A BCD中，点E、F分别为A D、BC的中点，请 问A C、EF互相平分吗？说明理由。（利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形来说明：）例5如 图5,四边形A BCD为平行四边形，E、F分别为A B、D C的中点，A F、D E交 于G,BF、C E交 于H,试说明：EH F G为平行四边形。图5练习 如 图7,在OAB C D中，E、F、G、H分别是四条边上的 点，且 满 足A E=CF,BG=DH,连 结EF、G H0求 证：EF与G H互 相 平 分。图7例6如 图8,O A B C D中，点M、N是 对 角 线A C上 的 点，且A M=CN,DE=BF,求 证：四 边 形M F N E是 平 行 四 边 形。练习 如 图9,四 边 形A BCD中，A BCD,以A D、A C边作平行 四 边 形A CED,延 长DC交EB于F,你 认 为EF与BF相 等 吗？试 说 明 理 由。【课 堂 练 习】1.一个四边形要具备下列条件之一就是平行四边形：两组对边；两组对角组对边；对角线。2.相邻两个角都互补的四边形是3 .四边形AB C D与四边形B MNC 是平行四边形，则四边形AMND是 四边形，理由是4 .点 E是三角形AB C 的中线B D上的任意一点，延长B D到 F,使 DF=E D,则四边形AE C F 是口5 .在 AB C D中，AE J _ B C 于 E,AF _ LC D于 F,若NE AF=6 0,则平行四边形AB C D的 各 内 角 的 度 数 分 别 为、A.-。6.一个平行四边形一边长为10c m,一条对角线长7 c m,则它的另一条对角线-Vcx的取值范围是 o口7.AB C D 中，B C=9,C D=5,B E 平分/AB C 交 AC 于 E,则 ED=。A,E G p8 .如图所示，B D是平行四边形AB C D的对角线，点 E、F在 B D上，要使AE C F 是/7平行四边形，还需要增加的一个条件是 o （填上你认为正确的一个即可）/9 .如图，在 AB C D中，E、G 是 A D 的三等分点，F、H是 B C 的三等分点，则 图B F H C中的平行四边形有 个。口10.已知 AB C D中，AD B C,分别添加下列条件：AB C D；AB=C D；AD=B C：ZA=ZC；/B=N C,能使四边形AB C D为 平 行 四 边 形 的 条 件 的 序 号 是。11.用两个全等的三角形拼成的四边形，有下列说法：一定是平行四边形；可能是平行四边形;一定不是平行四边形；其中正确的说法是 o【课 后 作 业】1.如 图 L OA BCD 中，E、F分别是AB、C D上的点，且 AE=C F,试判断DE 与 B F 的大小关系并说明理由。BC图 12.在二7 AB C D中，0 为 AC、B D 的交点，点 E、F、G、H分别为AO、B O、C O、DO 的中点，四边形 E F GH 是平行四边形吗？试说明理由。3 .如图 3,在OA BCD 中，AB:B C=5:3,其同长为 5 0,AE B C,AF C D,垂足分别为E、F,Z E AF=2Z DAB,求 AE 和 A F 的长。图 2第 十 讲 菱 形【知识要点】1、菱形的定义一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。2、菱形的性质(1)菱形具有平行四边形的一切性质；(2)菱形是轴刻称图形；(3)菱形的四条边相等；(4)菱形的两条对角线互相垂直且每条对角线平分组对角；3、菱形的判定方法(1)定义：-组邻边相等的平行四边形叫做菱形；(2)四条边都相等的四边形是菱形：(3)两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形；4、菱形对角线把它分成四个全等的直角三角形。5,若菱形边长为a,对角线分别为m、n,则其面积为S 若两个对边之间的距离为h,则2S=a h o【典型例题】例 1-1 如 图 1,已知菱形A BCD 的周长为100c m,对角线BD 的长为14 c m,求：(1)对角线AC的长是多少？(2)菱形A BCD 的面积为多少？图 1例 2-2 如图2,菱形花坛A BCD 的边长为6 c m,/B=6 0,其中有两个正六边形组成图形部分种花,则种花部分的图形周长为 o图 2例 1-3 如图3,在菱形A BCD 中，AE B C,垂足为E,AF C D,垂足为F,且 B E=E C,C F=DF,求NE AF 的度数。13d Q例 1-4 如图4,已知菱形对角线长分别为12m 和 1 6 m,求菱形的高例 2-1 如图5,A D 是aA BC的角平分线，DE AB 交 AC 于 F,试说明四边形AE DF 是菱形。图 5例 2-2 两条等宽的长纸条倾斜地重叠着，试证重叠部分AB C D为菱形。图 6例 3-1 如 图 7,已 矢 I O AB C D的对角线AC 被 E F 垂直平分，E F 分别交AD、AC、B C 于点E、四边形AF C E 是菱形吗？为什么？F,图 7例 3-2 如图8,在菱形AB C D中，AC、B D相交于0 点，E为 A B 中点，并且DE _ LAB,若 AB=4,求:（1）AB C 度数：（2）对角线AC 的长；（3）菱形AB C D的面积。例 3-3已知如图9,AD是 R t AB C 斜边上的高，B E 平分/A B C 交 AD于 G,交 A C 于 E,过 E作 E FL B C 于 F,说明：（1）AG=AE；（2）四边形AE F G是菱形。图 9例 4 如 图 10,这是工人师傅要制作的一种铁艺图案，按要求，四边形AB C D应为菱形，AC=6 c m,B D比 AC 长 2c m,请你帮他算一下，最少要用多长铁片才能制作出该图案？图 10例 5 如 图 11,B D是a A B C 的角平分线，AE _ LB D交 B C 于 E,交 B D于 F,NF AG=/F AD,连结E G、E D,求证：四边形AGE D是菱形。GD例6已知，如 图12,AAB C中，AB=AC,AAB D,AB C E,4 AC F都是等边三角形，试判断四边形ADE F的形状，并加以说明。【课堂练习】一、选择题。1 .菱形对角线的平方和等于一边平方的（）。A.2倍 B.3倍 C.4倍 D.8倍2 .下列条件中不能确定菱形的形状和大小的是（）。A.已知菱形的两条对角线 B.已知菱形的一边和一个内角C.已知菱形的四条 D.已知菱形的周长和面积3 .下列命题正确的是（）。A.有两组邻角相等的四边形是菱形B.有一组邻边相等的四边形是菱形C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形4 .菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）。A.对角线互相平分 B.邻角互补C.对角相等 D.每条对角线平分一组对角5 .下列不是中心对称图形的是（）。A.平行四边形 B.菱形C.等边三角形 D.圆6 .能找到一点，便该点到各边的距离相等的图形为（）。A.平行四边形 B.菱形C.矩形 D.不存在7 .菱形两条对角线长为8 cm,6 cm,它的高为（）。2 4 4 8 八 6A.cm B.cm C.cm D.5 5 58 .在菱形A B C D 中,若 N A D C=1 2 0,则 B D:A C 等 于（A.V 3 :2 B.V 3 :3 C.1:2 D.1 2 cm5）o9 .一个菱形两条对角线之比为1:2,一条较短的对角线长为4 cm,那么菱形的边长为（）。A.2 cm B.4 cm C.（2 +V sj cm D.5 cm1 0.万花筒是由三块等宽等长的玻璃片围成的，如图是看到的万花筒的一个图案，图中所有的三角形均为全等的等边三角形，其中的菱形A E FG 可以看成是把菱形A B C D 以 A为 中 心（）。A.顺时针旋转6 0。得到B.顺时针旋转1 2 0 得到C.逆时针旋转6 0。得到D.逆时针旋转1 2 0 得到二、填空题。1 .菱形的一边与两条对角线所构成的两个角的差是3 2,则菱形较小的内角是2 .从菱形的钝角顶点向对边引垂线，若垂线平分对边，则这个菱形四个角的度数分别是.3 .在A B C 中，A D J _ B C 于 D,过 D 作 D E A B 分别交 A B、A C 于点 E、F,若4 A