高考数学高考试题——数学(北京卷)(理).pdf

高考数学普通高等学校招生全国统一考试数 学(理工农医类)(北京卷)本试卷分第I卷(选 择 题)和 第II卷(非选择题)两部分，第I卷1至2页，第H卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第 I卷(选 择 题 共4 0分)注意事项：1.答 第I卷前，考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写，用2B铅笔将准考证号对应的信息点涂黑。2.每小题选出答案后，将答题卡上对应题目的答案选中涂满涂黑，黑度以盖住框内字母为准，修改忖用橡皮擦除干净。在试卷上作答无效。-、本大题共8小题，每小题5分，共4 0分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.在复平面内，复数z=i(l+2 i)对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系.属于基础知识的考查.z=i(l+2i)=i+2i=2+i,.复数 z 所对应的点为(2,1),故选 B.2.已 知 向 量a、h不 共 线，c=k a +b(k e R),d =a b,如 果c d,那么()A.k=l且c与d同向 B.%=1且c与d反向C.女=1且c与d同向 D.女=1且c与d反向【答案】D【解析】木题主要考查向量的共线(平行)、向量的加减法.属于基础知识、基本运算的考查.取“=(1,0),b(0,1),若 k=1,贝 lj c=a+Z =(l,l),d a-b-(1,-1)显然，a与万不平行，排除A、B.若k=-1,则 c=-a +b=(_ l,l),d=-a +/=-(-1,1),即cd且c与d反向，排除C,故选D.3 .为 了 得 到 函 数y=lg 的 图 像，只 需 把 函 数y=lg x的 图 像 上 所 有 的 点()A.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度【答案】C【解析】本题主要考查函数图象的平移变换.属于基础知识、基本运算的考查.A.y =l g(x +3)+l =l g l O(x +3),B.y =l g(x-3)+l =l g l O(x-3),C.y =l g(x +3)-l =l g ,D.y =l g(x _ 3)_ l =l g .故应选C.4.若正四棱柱4 3。0-44鼻的底面边长为1,与底面A B C。成6 0 角，则A到底面A B C。的距离为()V 3 ,A.B 13C.V 2 D.百【答案】D【解析】本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念.(第4题解答图)属于基础知识、基本运算的考查.依题意，Z B,A B =60如图,=1 x t a n 6 0 =6，故选 D.T T5 ,“a=+2k7r(k 6 Z)()A.充分而不必要条件C.充分必要条件是“c o s 2(z =-”的2B.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断.属于基础知识、基本运算的考查.jr当 a =Z +2k兀(k G Z)时,c o s la=c o s I 4攵；r+3j =c o s 3=2反之，当c o s 2a =时，有2a2jr jr2k兀=a=kjr+(k s Z),3 6或 2a =2k7i-=a-k7v-yk G Z）,故应选 A.6.若（1 +J 5）5 =a+/?J 5（a /为 有 理数），则 a+=（）A.4 5 B.55 C.70 D.80【答案】C【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式.属于基础知识、基本运算的考查.（1+=c；（|+G（可+或（可+c；（可+c；（回+C（用=1 +5 后+20+20后+20+4亚=4 1+29亚，由已知，得 4 1+29后=4 +匕0,.-.0+6=4 1+29=7 0.C.7 .用0到9这1 0个 数 字，可 以 组 成 没 有 重 复 数 字 的 三 位 偶 数 的 个 数 为（）A.324 B.328 C.360 D.64 8【答案】B【解析】本题主要考查排列组合知识以及分类计数原理和分步计数原理知识.属于基础知识、基本运算的考查.首先应考虑“0”是特殊元素，当0排在末位时，有 否=9x 8=72（个），当。不排在末位时，有=4 x 8x 8=256（个），于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有72+256=328（个）.故选B.8.点P在直线/:y =x l上，若存在过P的直线交抛物线），=/于48两点，且 P A A B ,则 称 点 尸 为“点”，那 么 下 列 结 论 中 正 确 的 是（）A.直 线/上 的 所 有 点 都 是 点”B.直线/上仅有有限个点是“1点”C.直线/上的所有点都不是“4点”D.直线/上有无穷多个点（点不是所有的点）是点”【答案】A【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力，考查学生分析问题和解决问题的能力.属于创新题型.本题采作数形结合法易于求解，如图，则 B(2m-x,2/7-x -2),*A,3在y =x2_ t,2n m2n -x +1 =(2/n -x)2（第8题解答图）消去，整理得关于x的方程/一（4加一 l）x +2加2 -1 =0（1）V A =（4施-1，-4（2/-1）=8m2-8m+5 0恒成立,方 程（1）恒有实数解，应选A.2009年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理工农医类）（北京卷）第II卷（共110分）注意事项:【答案】-2【解析】本题主要考极限的基本运算，其中重点考查如何约去“零因子”.属于基础知识、基本运算的考查.XyxX Xyfx-X x 1 ,l i m-=l i m-=l i m r =l i m 产 =一,故应填1 X-1(Vx-l)(Vx+l)T 4 +1 22x+y-2 010 .若实数满足则5 二 丁一工的最小值为”5【答案】-6【解析】本题主要考查线性规划方面的基础知.属于基础知识、基本运算的考查.如图，当x=4,y =-2时，s=y-x 2-4 =-6 为最小值.故应填-6.（第10题解答图）11.设f（x）是偶函数，若曲线y =/（x）在点（1,7口心刖切次刖机罕力1,刈以圜我仕（-1,/（-1）处 的 切 线 的 斜 率 为.【答案】-1【解析】本题主要考查导数与曲线在某一点处切线的斜率的概念.属于基础知识、基本运算的考查.取/（X）=X 2,如图，采用数形结合法，易 得 该 曲 线 在1）处的切线的斜率为一L故应填-1.2 212.椭 圆 土+上-=1的焦点为月,居，点P在9 2椭圆上，若I P I=4,贝i J I P 8 1=：N F/F 2的小大为.【答案】2,12 0【解析】本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理.属于基础知识、基本运算的考查.V=9,/?2=3,:.c=4 9-2 =V 7,.恒用=2疗，又|周=4,忸耳|+|尸闻=2 a =6,（第12题解答图）：.PF2 =2,又由余弦定理，得cos N片 乙22+42-（25/7）22x2x42ZF,PF2=120 故应填 2,120.x o则不等式I/(x)12；的解集为.【答案】3,1【解析】本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法.属于基础知识、基本运算的考查.x 3 x 0（2）山x 01 n 0 0 xl.-3不等式 的 解 集 为 x l 3 4 x 4 1 ,.应填 3,1.1 4.已知数列 6,满足：。4-3=，。2=,，N*,则。2009=“2014=-【答案】1，0【解析】本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型.依题意，得 a2009 04x503-3 一1，。2014 02*1007 41007 “4x252-1=.应填 1,0.三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。1 5.(本小题共13分)在 AABC 中，角 A,8,C 的对边分别为 a,b,c,6=工，cos A=V3.3 5(I)求sinC的值：(I I)求AABC的面积.【解析】木题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识，主要考查基本运算能力.比 4(I):A、B、C 为AABC 的内角，且6=,cosA=一，3 5.一 2万 ._ 3 C-A,sin A=一,3 5.(2兀 R 6.1.3+4百.sine=s m-A=cos A+sin A=-.I 3 J 2 2 103 3+4 百(I I)由(I)知 sin A 二，sin C=5 10又Bn工场=6，.在aA BC中，由正弦定理，得3bsinA 6.a =-=.sin 8 5.A M -r-xn c 1 ,.八 1 6 T 3+48 36+9百.ABC 的面积S-a b sinC=x xx-=-2 2 5 10 501 6.（本小题共14分）如图，在三棱锥 P-ABC 中，P 4，底面 ABC,PA=AB,ZABC=60,NBCA=90,点。,E分别在棱PB,PC上，豆DEHBC（I）求证：BC_L平面PAC；（II）当。为PB的中点时，求A。与平面PAC所成的角的大小；（III）是否存在点E使得二面角A OE 尸为直二面角？并说明理由.【解 法1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.(I)：PA_L底面 ABC,APAIBC.又/804=9 0 ,；6(31.8(2.；.BC_L平面 PAC.(II)；D 为 PB 的中点，DE/BC,:.D E-B C ,2又 由(I)知，8(3_1_平面PAC,；.DE，平面PAC,垂足为点E.ZDAE是AD与平面PAC所成的角，：PA_L底面 ABC,Z.PA1AB,又 PA=AB,.ABP为等腰直角三角形，二A O=t AB,.在 RtZABC 中，Z.ABC=60,A BC=-AB.2在 RtAADE 中，sin N D A E=匹=A D 2 A D 4A O 与平面PA C 所成的角的大小arcsinZ4(Ill)VAE/BC,又 由(I)知，BC_L平面 PAC,；.D E L 平面 PAC,又；A E u 平面 PAC,P E u 平面 PAC,ADE1AE,DE1PE,ZA EP为二面角A-D E-P的平面角，二在棱PC上存在一点E,使得AE_LPC,这时NAEP=90,故存在点E 使得二面角A-D E-P是直二面角.【解法2如图，以 A 为原煤点建立空间直角坐标系A-X”，设PA=。，由已知可得（1巧、（h）A（0,0,0）,B-a,a,Q,C 0,a,0，尸（0,0,a）.、22）（2）(I),/AP=(0,0,a),8 C-a,0,0 j,Z.5C AP=0,/.BCAP.又；Z B C A=90,B C 1 A C,二BC_L平面 PAC.（II）；D 为 PB的中点，D E/B C,，E 为 PC的中点,1 G 1 1，D a,a,a,E 0,4 4 2V3 1-Q,一 C l4 27又 由（I）知，BC_L平面PAC,.口!.平面P A C,垂足为点E.ZD A E是 A D 与平面PAC所成的角，c s e 八 巴,怪 尸 巫.|阿 卜 4 4A。与平面P 4 C 所成的角的大小arccos巫.4（III）同解法1.1 7.（本小题共13分）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是！，遇到红灯时停留的时间都是2min.3(I)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；(II)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间J的分布列及期望.【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力.(I)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A,因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为P(A)=4?7(I I)由题意，可得自可能取的值为0,2,4,6,8(单位：机山).事 件“彳=2攵”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”(k=0,1,2,3,4）,.P（“2A）=C；g）停）（k=0,1,2,3,4）,.即4的分布列是402468P1681328?827881181；厚 的期望是 EJ=0X3 +2X 必+4x 刍+6x 刍+8X-!-=81 81 27 81 81 318.(本小题共13分)设函数/(X)=X*(AHO)(I)求曲线)，=/(x)在点(0J(0)处的切线方程；(I I)求函数/(x)的单调区间;(III)若函数/(X)在区间(一1,1)内单调递增，求上的取值范围.【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力.(I)/(x)=(l+fcc),/(0)=l,/(0)=0.曲线)，=/(x)在点(0 J(0)处的切线方程为y=X.(II)由 f (x)=(l+依)e k=O,得 x=火 wO),若k 0,则当xe1 oo,时，/(x)0,函数/(x)单调递减,当(：,+00,)时，f(x)O,函数/(x)单调递增，若女 0,函数/(x)单调递增，当x e(-,+8,1时，/(x)0,则当且仅当一1,k即人41时，函数/(x)(1,1)内单调递增，若女 0)=2.由 2 及 片+y；=2得x0 x+y0y=2(3苍 4%*4 x 0 x +8 _ 2X Q=0 (3 x j-4)/-8yox-8+2 x j=O 切线/与双曲线C交于不同的两点A、B,且0片2,.3片一4/0,设A、B两点的坐标分别为（须,%）,（乙,%），,8 2 x 2 x,7 8贝|x,1 x22 =3 x；-4,y1a2 =-3光;：一4：.OA OB=xlx2+yly2=0,：.N A 0 6 的大小为90 .（.片+y；=2且，0 x；2,0 y；2,从而当3 x；4/0时，方程利方程的判别式均大于零）.2 0.（本小题共1 3分）已知数集公=%,。2,外 。”,2 2）具有性质产；对任意的,j（l i j W n）,的,与以两数中至少有一个属于A .（I）分别判断数集 1,3,4与 1,2,3,6 是否具有性质P,并说明理由；（H）证明：4=1,且+&=4；6 Z +&+,+%（III）证明：当=5时，。,。2，。3，“4，。5成等比数列.【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法.本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题.4（I ）由于3 x 4与均不属于数集 1,3,4,.该数集不具有性质P.由于 1 x 2,1 x 3,1 x 6,2 x 3,9,1,2,3：都属于数集 1,2,3,6 ,2 3 1 2 3 6.该数集具有性质P.（I I ）：4=%,4,具有性质P，二4,4“与中至少有一个属于A,由于 1 生 an,故任 A.从而 1 =G A ,/.a=1.an 1 =q 和。“，故 W0 仁 A（%=2,3十,）.由A具有性质P可知工4（%=1,2,3产、）.ak从U而K。”=an+a n an=+%+a,+an,%。2%q+4+%.靖+丁+婷 一 ”（III）由（II）知，当=5 时，有 氏=。2，&=。3，即。5=。皿4=。；，。4 。3 1 6 Z|。2 。2。4 =，*。304 任 A，由A具有性质P可 知 区e A.%由 4,%=；，W =e A,且 1 包=a,-a.,a2。3 a2 a3 a2.%=幺=%=%,即q,出,小，4，%是首项为1，公比为4成等比数列。4。3