高考试题数学理(重庆卷).pdf

2007年普通高等学校招生全国统一考试数学(重庆理)一、选择题：本大题共1 0小题，每小题5分，共5 0分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)若等差数列。“的前三项和S 3 =9且6=1,则由 等 于()A.3 B.4 C.5 D.6【答案】：A【分析】:由 S3=3%+3 d =3 +3 d=9可得d =2.a2=q +d=3.(2)命 题“若 一1,则的逆否命题是()A.若 2 1,则x N l或xW 1 B.若一则x?l或x =6.=&】=C -r-x-r=;n 6 -2 r =0 =r =3 兀=C：=2 0.(5)在A A 8 C中，AB=6,A =45,C=7 5/I B C=()A.3-V3 B.V2 C.2 D.3+百【答案】：A【分析】：AB=百,A=4 5 ,C =7 5,由正弦定理得:aB C-=-,=-s i n A s i n C s i n 4 5A3V3s i n 7 5 V6 +V2 4BC=3-瓜(6)从5张1 0 0元，3张2 0 0元，2张3 0 0元的奥运预赛门票中任取3张,则 所 取3张 中 至 少 有2张价格相同的概率为A.【答 案】:J _4C7 9B.-1 2 0C-1()2 3D.2 4【分 析】:可从对立面考虑，即三张价格均不相同,D.CCC 3=P =1 5；2 _ _jco3 f4(7)若a是l+2 b与l-2 b的 等 比 中 项,则2 aba+2 b的 最 大 值 为()2 7 5A.-1 5D互2c好,5B.-4【答 案】：B【分 析】：a是l+2 b与l-2 b的等比中项，贝i j/=i 4/=/+4/=i 24 1 aM.:.ab.a2+4b2=(|n|+2|Z?|)2-4|=l.42 ab2 ab2 ab,-=a+2 b J1 +4 1 abl J1 +4 1 abiab41-m ax.,V2I I+2 1/?I 3 2+2尸-4abab 4,4 ab(8)设正数 a,b 满 足 i m(x 2+ax b)=4,x-2niin.an+abn-,则1下(A.01B.-41C.一2D.1【答 案1 B【分 析】：l i m(f+QX力)=4=4 +2。一/?=4=2。=力 =工x2b 2liman+ab-an-+2 hn吟+M 心+1 i=limy-=lim-n-=了f 8 _ (上.|,2 f 8 士(_L)H +2 今a b a 2(9)已知定义域为R的函数f(x)在(8,+8)上为减函数，且函数y=f(x+8)函数为偶函数，则()A.f(6)f(7)B.f(6)f(9)C.f(7)f(9)D.f(7)f(1 0)【答 案】D【分析】：y=f(x+8)为偶函数，n/(x+8)=f(x+8).即 y =/(x)关于直线x =8 对称。又 f(x)在(8,+8)上为减函数，故在(-oo,8)上为增函数，检验知选D。(1 0)如图，在四边形 A B C D 中，A B+BD+DC=4,A B B D =B D D C =Q,A B-BD+B D -D C =4,则(AB+DC)AC的 值 为()A.2 B.2 V2 C.4 D.4 V2【答案1 C(分析：(.A B+DC)-AC =(A B+D C)(A B+BO+OC)=(|AB|+1 D C|)2.A B+BD+DC=4,I 8O|(|AB|+1 DC I)=4,；.(AB+)C)AC=4.n|A B+DC=2.二、填空题：本大题共6小题，共 2 4 分，把答案填写在答题卡相应位置上(1 1)复数*7 的虚部为_ _ _ _ _ _ _ _.2+【答 案】【分析1452 1 _ 2 1 _ 2/(2+0-2+4/2+一百-5 -5 -x-y (1 2)已知 x,y 满足 2 x+y 1则函数z =x+3 y 的最大值是,【答案】：7【分析】：画出可行域，当直线过点(1,2)时，Z m a x =1+6=7.(1 3)若函数f(X)=1的定义域为R,则。的 取 值 范 围 为.【答案】：-1,0【分析】：2 3 2 3-21=2恒成立，=/一2以一。2 0恒成立，=(2a)2+4 a a(a+1)0-1 a l的等比数列，若的004和的005是方程4 一8*+3 =0的两根,则。2006+。2007=-【答案1 18【分析】：004和。2005是方程4X?8%+3 =0的两根,故有：_ j_ f _ 3a2004=T 。2004=T,或 1(舍)。：.q =3._ 2 _ _ 1_生005=万。2005=万,3“2006+。2007=2005(4 +4 )=万*(3 +3 )=18.(1 5)某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有 种。(以数字作答)【答案1 25【分析】：所有的选法数为C；,两门都选的方法为c；c；。故共有选法数为C；-C；C；=3 5-10 =25.(16)过双曲线-产=4的右焦点F作倾斜角为10 5 的直线，交双曲线于P、Q两点,贝IJIFR|F Q|的值为.r的 中.86【答案】：3【分析】：F(272,0),A:=t a n 10 5 =-(2+V3:y =-(2+0)一2血).代入 y 2 =4 得：(6+46)/4 a(7 +4 6)8+60 +3 2石=0.设 P(X 1,弘),。(犬2,%)=X +工24夜(7+4折 _ 60+3 2公6+4 6 2=6+46 .又|尸P|=Vl+Fxl-2 y/2,FQ=J l+公|一2加FP FQ=(l+k2)xtx2-2A/2(X,+X2)+8|=(8+45|60 +3 2 6 16(7+4我6+46 6+4 6(8+4省)(+4)8 百6+4 6-3三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分 13 分）设 f （x）=6c o s2 x-V 3 s i n 2x（1）求f（x）的最大值及最小正周期；（9分）（2）若锐角a满 足/（。）=3-2百，求t a n（a的值。（4分）解：（I ）/（x）=61+CS2X-y/3 s i n lx=3 c o s 2 x一丛 s i n 2 x+3c o s 2 x s i n 2x +3 =2/3 c o s 2x +3 .2 I 6j故/（x）的最大值为2 6 +3；最小正周期7=生=兀.（II）由/。）=3-2百 得2 G c o s（2a +J +3 =3 2 G 故c o s（2 a+胃=一1.又由0 a 囚得巳2a +巴兀+色，故2=+色=兀，解得a=D-兀.2 6 6 6 6 12“-r-4 7 1 /T从而 t a n a =t a n =.5 3（18）（本小题满分13分）某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆90 0元的保险金.对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位获90 0 0元的 赔 偿（假设每辆车最多只赔偿一次）。设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：9 10 11（1）获赔的概率；（4分）（2）获赔金额4 的分别列与期望。（9分）解：设4表示第女辆车在一年内发生此种事故，k=1,2,3.由题意知A,A，A 3独立,且p（4）=：，P（4）=*P（A）=：.（I）该单位一年内获赔的概率为-8 9 1 0 3i-p（A&4）=i-P（4）P（4）P（A 3）=I-G X正 乂 五=百（I D J的所有可能值为0 ,90 0 0,1 80 0 0 ,2 70 0 0.-8 9 1 0 8PC =O）=P（A&A）=P（4）P（4）P（A）=X历*打=打,p 记=90 0 0）=P（A X 4）+P（44 A）+P（AAA）=P（A）P（W）P（A）+嗝P（&）P（A）+P（不）P（4）P（A）1 9 1 0 8 1 1 0 8 9 1 2 4 2 1 1=-x x-F x x-1-x-x=-=,9 1 0 1 1 9 1 0 1 1 9 1 0 1 1 990 4 5P C=1 80 0 0）=P（A&否+p（4AA）+。（可4A3）=P（A）P（4）P（4）+P（A）P（4）P（A）+P（A）P（4）P（A）1 1 1 0 1 9 1 8 1 1=-x x F x x 1-x-x 9 1 0 1 1 9 1 0 1 1 9 1 0 1 1_ 2 7 _ 3一前一 百P 记=2 70 0 0）=P（A44）=P（A）P（4）P（4）解法一：由自的分布列得1 1 1 1=X-X-=-9 1 0 1 1 990,1 80 0 02 70 0 0综上知，J的分布列为090 0 0P81 1311 14 51 1 0990求J的期望有两种解法：Q 1 1 3 1E =0 x +90 0 0 x +1 80 0 0 x +2 70 0 0 x 1 1 4 5 1 1 0 9902 990 01 1 2 71 8.1 8（元）.解法二：设费表示第女辆车一年内的获赔金额，女=1,2,3,则。有分布列90 0 089故 转=90 0 0 x=1 0 0 0.同理得刍=9 0 0 0 x =90 0,a=9 0 0 0*（*81 8.1 8.综上有 E J =E 0 +E 5 +七刍 土 1 0 0 0 +90 0 +81 8.1 8=2 71 8.1 8（元）.（1 9）（本小题满分1 3分）如图，在直三棱柱A B C 4用。|中，A 4,=2,A B =1,N A B C =90；点D、E分别在84、力上，且用四棱锥C-ABD%与直三棱柱的体积之比为3：5。（1）求异面直线D E与用G的距离；（8分）（2）若B C=拒，求二面角A OG-坊 的平面角的正切值。（5分）解法一：（I）因 且 3 1 c l-L B BI，故 A G-1面 A A B B 从而工BE,又BE工DE,故 是 异 面 直 线4 c l与 的 公 垂 线.设8。的长度为x,则四棱椎C-ABDA的体积匕为K=S,”=L（OB+A A）ABBC=（x+2）-BC.而直三棱柱A B C -48 G的体积匕为匕=S”B CA 4 =|AB-BCA 4,=BC.1 3 Q由已知条件K：K=3:5,故一(x+2)=1,解之得x=2.6 5 5Q 2从而 4。=g 8 O B =2-g =g.在直角三角形4瓦。中，AQ =J A席+0 2 =又因耳E =；4耳山。，故 强处=返1 A.D 2 9(I I)如 答(1 9)图1,过B 1作用F J _ G。，垂足为/，连接A/,因 A4 BC,AfB,1 BD,故 A&J面 BtD C).由三垂线定理知CtD l A,F,故ZA,FB,为所求二面角的平面角.在直角中，C QNBG+BD=小+1|=乎，又因 SAGB,D=gcQBF=：BCBQ,故,与NRF.=BCJBQ 2G A g 3A/3i i 1=一,所以 ta n =，=-.C Q 9 BF 2答(1 9)图1解法二:(I )如 答(1 9)图2,以8点为坐标原点。建立空间直角坐标系O A，Z,则B(0,0,0),瓦(0,0,2),4(0,1,0),4(0 1 2)，则 胡=(0,0,2),A 8=(0,1,0).设 G(。,0,2),则 4G=3,o,o),又设 1(),y0,z。)，则 4 =(0,%,z0-2),从而 4G B、E=u,即 4石_L 4 G.G仇。)答(1 9)图2又B E L D A，所以g E是异面直线4G与。的公垂线下面求点。的坐标.设 0(0,0,z),则 B D(0,0,z).因四棱锥C -A B D 的体积匕为乂 =；S.，A*C|=（忸4+|例1）=1（z +2）1|B C|.AB BC而直三棱柱A B C -4用G的体积匕 为 匕=S4ABC 一情网四陷口叫.由已知条件匕：匕=3:5,故1（z +2）=?,解得Z=,即86 5 5 55）28从而。4（0,0,|）,A=（，1，|），。E =（0,%，z0-|55接下来再求点E的坐标.由有4 M=0,即 y +（Z o _ 2）=O（1）又由D 4,E得 半=（2）联 立（1）,（2）,解得先42 9竺4 8，即E=。，,生2 92 9 2 92 9；1 02 9:2 72 92 9825,得 桃=4y+（I I）由已知3 C =夜，则G（、叵，。，2），从而。G=（g。?，过B/乍用E _ L G。,垂足为F,连接A/，设产（%,0,Z,）,则 耳 尸=（即0,Z 1 2）,因为4尸 凶=0,故V 2 X|+Z j =0.z _ 8因0 b =（玉,0,4-|）且 得 全=，即5X|-+/2 =0.联 立 解 得 夜，Z i =1 y-即则“=怎 五 一1,一畀叱喝0,0,一 齐.2 72 72+BtF=方,1 0?2 72月9又/2+（-1）-|=0故4OG，因此/4/片 为所求二面角的平面角.又4 4 =(，一1，)，从而4 4用 尸=0,故4 4 J.4 F,4片尸为直角三角形，所以t a n A E B1 =任*=(2 0)(本小题满分1 3分)已知函数/(x)=ax4 h i x+bxA-c(x 0)在x=1处取得极值-3-c,其中a,b,c为常数。(1)试确定a,b的值；(6分)(2)讨论函数f(x)的单调区间；(4分)(3)若对任意x 0,不等式/0)2-2 0 2恒成立，求c的取值范围。(3分)解：(D由题意知/(1)=一3 。，因此人一c =3 c ,从而/?=3.又对/(%)求导得 f(x)-4t z x3 l n x+ax4 +4bx3=x3(4anx+a+4b).x由题意/(l)=0,因此。+4人=0,解得a =1 2.(II)由(I)知/(x)=48d l n x(x 0),令r()=。，解得x=l.当0 x l时，/(x)l时，/(x)0,此时/(x)为增函数.因此/(x)的单调递减区间为(0,1),而/(x)的单调递增区间为(1,+8).(III)由(II)知，/(x)在x=l处取得极小值/(1)=3 c,此极小值也是最小值,要使/(x)N -2 c 2 (x 0)恒成立，只需-3-2日3即2 c 2 c 3 20,从而(2 c 3)(c+l)2 0,解得c针 或cT.所以C的取值范围为(一8,-1 3一,+002(2 1)(本小题满分1 2分)已知各项均为正数的数列%的前n项和满足5 1 ,且6s“=(4+1)(%+2),e N*(I)求/,的通项公式；(5分)(2)设数列 2满 足%(2%-1)=1,并记，为 九 的前n项和，求 证:3 7；+l l og2(a+3),e N*.(7 分)(I)解：由q=，=,(4+1)(4+2),解得q=l或q=2,由假设4=耳 1,因此6q=2,又由 4+1 =S,+-S”=：(+1+1)(,|+|+2)-(+1)(+2),O O得(%+4,)(%一 3)=0,即 a“+-3 =0 或 an+i=-an,因 a)0,故 an+1=-a”不成立,舍去.因此。曲一4=3,从而 6,是公差为3,首项为2的等差数列,故 的通项为。“=3 一 1.(II)证法一：由 a“(2 -1)=1 可解得a=l og/l+l =l og2 2一(a2)3 一 1II人 人 1 1(3 6 3 1从 而(=4+仇+,=l og2-一-1 2 5 3/1-1 J因此+1 l og?(a.+3)=l og23 n Y 23 n-l J 3+2令/()=3 6 3 n Y2 5 3 n-l J2 ,则化32+3色上_3 +2.因(3 +3)3 -(3 +5)(3 +2 =9 +7 0 ,故/(+1)f(n).特别地/(n)/(I)=1,从而 37；+1-log?&+3)=log2 f(n)0.BP37；+l log2(a+3).证法二：同证法一求得乙及7；，由二项式定理知，当c 0时，不等式（1 +。）31+3。成立.由此不等式有37；+l=log2 2/1+372-113喝2(1+|)(啕(1+高,-5 8 3 +2 -/=噫2 近 7r幅(3 2)=噫(+3).证法三：同证法一求得 及7；.令人4，=3 62 53 八 4 7 3 +1-，,-3一1 3 6 33+2*_3 +1一5 一84 73 3n+l 3 +2因-3 n-l 3n 3 +1因此4；4 B,c=等.从而3c2昌 Ej Log9 log2 2 A g e =log2(3rt+2)=log2(a+3).证法四：同证法一求得”及7；.下面用数学归纳法证明:37；+l log2（a+3）.27当 =1 时，37J+1=log2 ,log2（4+3）=log?5,因此34+1 log2（G+3）,结论成立.假设结论当n=k时成立，即31+1 log2 a +3）.则当=&+1时，3小 +1 -噢2（%+|+3）=37；+1+3初 一 10g2（%1+3）log2(6+3)log2(%1+3)+3b2(3%+3)3一 g2(3%+5)(3+2)2因（3 k+3 7 一（3 左 +5）（3 4+2 =9Z+7 0 .故l og2 3；+2）3 0,从而3 +I+l l og 2（4+i+3）.这就是说，当=攵+1 时结论也成立.综上3 7；+1 l og2（a +3）对任何十N+成立.（2 2）（本小题满分1 2 分）如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F （3,0）,右准线1 的方程为：x=1 2,（1）求椭圆的方程；（4 分）（2）在椭圆上任取三个不同点，鸟，使NRFP?=NP2FP3=NP3FB,证明:-1-1-FPt FP2 FPy为定值，并求此定值。（8 分）2 2解：（I）设椭圆方程为三+4=1.a b因焦点为F（3,0）,故半焦距c =3.2又右准线/的方程为x=从而由已知2二 12,a2=36,c因此。=6,=27=33.2 2故所求椭圆方程为工+匕=1.36 27(II)记椭圆的右顶点为A,并设44/隹=/(1 =1,2,3),不失一般性,27r 2冗 4冗假设0冈 京，K a2=(+,a3+.c 1又设点e在/上的射影为2,因椭圆的离心率6=二,从而有a 2,2|阳=闸|e=-c-F P、COS%7=；(9-忻 用co s*(i=1 2 2.解得=2 h +，cosa(z=1,2,3).附|9 1 2 1)因此唱|阳阀|9 2(I 3)I 3而cos/+cos a2口 (4兀、H-+COS CC,H-3)I 3)=COStZcsa 旦吟csq+与呷=。,2 1 2 1 2,2 111112故-r+;-r+-r=一为定值.|研|秋|欢|3