高考数学真题分类汇编专题09圆锥曲线理.pdf

1.12015 高考福建，理 3】若双曲线:5-看=1 的左、右焦点分别为大，鸟，点 P在双曲线E 上，且 归 用=3,则 归 图 等 于()A.11 B.9 C.5 D.3【答案】B【解析】由双曲线定义得归剧一归用|=2a =6,即13T p 图|=6,解得|P 4=9,故选民【考点定位】双曲线的标准方程和定义.【名师点睛】本题考查了双曲线的定义和标准方程，利用双曲线的定义列方程求解，属于基础题，注意运算的准确性.2.12015 高考四川，理 5】过双曲线Y 一 二=1 的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线3的两条渐近线于A,B 两点，则|A 8|=()(A)(B)2 G(C)6 (D)4 G3【答案】D【解析】双曲线的右焦点为尸(2,0),过 b与 x 轴垂直的直线为x=2,渐近线方程为V =(),将2x=2 代入/一=0 得：y2=i2,y=2g,.-.I A B|=4 百.选 D.【考点定位】双曲线.2 2 2 2【名师点睛】双曲线二-4=1 的渐近线方程为:-与=0,将直线x=2 代入这个渐近线矿 b 矿 b方程，便可得交点A、B 的纵坐标，从而快速得出|A5|的值.v2 5 53.12015 高考广东，理 7】已知双曲线C：/一 方=1 的离心率e =,且其右焦点用(5,0),则双曲线。的方程为()【答案】B.z 5【解析】因为所求双曲线的右焦点为6（5,0）且离心率为e=：=j,所以c=5,a=4,2 2b2=c2-a2=9 所以所求双曲线方程为土一上=1,故选8.16 9【考点定位】双曲线的标准方程及其简单几何性质.【名师点睛】本题主要考查学生利用双曲线的简单几何性质求双曲线的标准方程和运算求解能力，由离心率和其右焦点易得a,c 值，再结合双曲线。2=02一片可求，此题学生易忽略右焦点信息而做错，属于容易题.4.12015高考新课标1,理 5】已知M （毛,%）是双曲线C：上的一点，,巴是C上的两个焦点，若 M耳 研 0,则%的取值范围是（）(A),旦（西,也336 6、2V 2(C)(-32痣、（一 述，空）33 3【答案】A【解析】由题知月v：=i.所 以 诙 诬=（一/一 天 一 看=+y：-3 =3y：-l 0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C?,则（）A.对任意的 e2 B.当 a b 时，e,e2；当 时，e,e2C.对任意的q,b,e,匕时，e,e2；当 a e2【答案】D，如匚._ b.2 _ （a+m）2+S +m）2 _ I b+m 2 解析依感意，C,-=J l+（）,2 J +（）a V c i c i +m V a+mb因为-ab+ma+mab+b m -a b-a ma(a+m)m(b-a)-T,由于加(),a 0 ,/?0,aa+m)所以当 b时X，0八 一。1,i 0八 -b-+-m 1t,b -b-+-m-，（一 b厂、?（-b-+-m-）、2 ,所以.七；a a+m a a m a a+m士/b+m.b b+m.b.2,b+m、?二 匚2当 1,-1 而一-，所以（一）（-）,所以弓.a a-m a a+m a a+m所以当 b 时，et e2；当 e2.【考点定位】双曲线的性质，离心率.【名师点睛】分类讨论思想是一种重要的数学思想方法.分类讨论的时应做到：分类不重不漏；标准要统一，层次要分明；能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论.6.120 15高 考 四 川，理10 设 直 线1与 抛 物 线;/=4 x相 交 于A,B两 点，与圆（*一5）2 +2 =/（r 0）相切于点牝且M为线段A B的中点.若这样的直线?恰有4条，则r的取值范围是（）（A）（1,3）（B）（1,4）（C）（2,3）（D）（2,4）【答案】D【解析】显然当直线/的斜率不存在时，必有两条直线满足题设.当直线/的斜率存在时，设斜率为上V,2=4 x,设 A（XI，X）,3（X 2，%），M H X2，M（X（），%），则 ,，相减得=4%（%+%）（,一%）=4（为 一2）由于石。*2，所以岩X一2=2,即加o =2.圆心为x-x2C(5,0),由C M _ L A B得h迎二。=一1,6 0 =5%，所以2=5-/,%=3 ,即点M必在与-5直线x =3上.将x =3代入V=4 x得丁=12,%0）所以（/一5）2 +%2=尸 产=%2+4 4 （由于斜率不存在，故为工0,所以不取等号），所以4%2+4 16,:.2 r 0,6 0)的右焦点为1,过尸作4 尸的垂下线与双曲线交于其。两点，过 氏 C 分别作4 6 的垂线交于点若。到直线比的距离小于a+yl a2+b2,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是()A、(-1,0)(0,1)(-0),-1)(1,+8)C、(2,0)(0,V 2)D、(c o,-,2)(5/2,+o o)【答案】A【解析】由题意T(a O)*G )(c 2),由双曲线的对称性知D 在 X 轴上，设 Q(x O),由a a_ 0 后 4 4 _得-=-1 ,解得 C-X=-，所以 c-X=-0/0)的一条渐近线过点(2,6),且双曲线的一个焦点在抛物线丁=4屿 的准线上，则双曲线的方程为()r2 v2 r2 2 r2 2 丫2 2(A)上=1 (B)=1 (C)=1 (D)L =121 28 28 21 3 4 4 3【答案】D2 2i【解析】双曲线5-%=l(a 0/0)的渐近线方程为=2，由点(2,6)在渐近线上，所 以 巳=火，双曲线的一个焦点在抛物线V=4 j 7 x准 线 方 程 犬=-行 上，所以a 22 2c =币,由此可解得。=2/=6,所以双曲线方程为二一匕=1,故选D.4 3【考点定位】双曲线、抛物线的定义、标准方程及几何性质.【名师点睛】本题主要考查双曲线的定义、标准方程及几何性质，同时也学生的考查运算能.把双曲线的几何性质与抛物线的几何性质相结合，找出双曲线中。，仇c的关系，求出双曲线方程，体现圆锥曲线的统一性.是中档.9.1 20 1 5高考安徽，理4】下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y =2x的 是()(A)X2-=122 Xy一 r4【答案】c【解析】由题意，选项A,8的焦点在x轴，故排除A 8,C项的渐近线方程为上一/=(),4即y =2 x，故选C.【考点定位】1.双曲线的渐近线.4V2*4(B)-y2=14.jl(D)1【名师点睛】双曲线确定焦点位置的技巧：/前的系数是正，则焦点就在X 轴，反之，在 y轴：2 2 1 2 2在双曲线=-4 =1 的 渐 近 线 方 程 中 g容易混淆，只要根据双曲线-与=1的渐c r a b 6r t r2 2近线方程是=0,便可防止上述错误.a b1 0.1 20 1 5高考浙江，理 5】如图，设抛物线y 2=4 x 的焦点为尸，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ,B,C,其中点A,6 在抛物线上，点。在 y轴上，则 8 CF与AAC F 的面积之比是()BF-l-1 BF+1|AF|-1|AF|+1【答案】A.t解析】上=四=注=竺二，故选人.SqkF TC x.4 TF 1BF+|AF|2+I【考点定位】抛物线的标准方程及其性质【名师点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其性质，属于中档题，解题时，需结合平面几何中同高的三角形面积比等于底边比这一性质，结合抛物线的性质：抛物线上的点到准线的距离等于其到焦点的距离求解，在平面几何背景下考查圆锥曲线的标准方程及其性质，是高考中小题的热点，在复习时不能遗漏相应平面几何知识的复习.1 1.1 2 0 1 5 高考新课标2,理 1 1】已知4 8为双曲线后的左，右顶点，点 M在 E 上,为等腰三角形，且顶角为1 2 0。，则 6的离心率为()A.V5 B.2 C.V3 D.V2【答案】D2 2【解析】设双曲线方程为鼻=1（。0 力 0）,如图所示，恒 川=忸 根，NA6M=1 2 0,过点M 作轴，垂足为N,在放A3MN中，忸N|=a,|M N|=J 5a,故点M 的坐标为M（2 a,扃），代入双曲线方程得=/一。2,即,2=2/,所以e =血，故选D.【考点定位】双曲线的标准方程和简单几何性质.【名师点睛】本题考查双曲线的标准方程和简单几何性质、解直角三角形知识，正确表示点M的坐标，利 用“点在双曲线上”列方程是解题关键，属于中档题.1 2.【2 0 1 5 高考北京，理 1 0】已知双曲线!-丁=1（。）的一条渐近线为6x+y =O,则a【答 案 邛【解析】双 曲 线,丁=1（”0）的渐近线方程为y -1 X ,a J 36x+y =0 =y =_亚x,a 0,则-=一 应,a-a3【考点定位】本题考点为双曲线的几何性质，正确利用双曲线的标准方程，求出渐近线方程,利用已给渐近线方程求参数.【名师点睛】本题考查双曲线的几何性质，重点考查双曲线的渐近线方程，本题属于基础题,正确利用双曲线的标准方程，求出渐近线方程，求渐近线方程的简单方法就是把标准方程中的“1”改“0”，利用已知渐近线方程，求出参数a的值.【2 0 1 5 高考上海，理 5】抛物线V=2 x （0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1,则 p =.【答案】2【解析】因为抛物线上动点到焦点的距离为动点到准线的距离，因此抛物线上动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即 =l,p =2.2【考点定位】抛物线定义【名师点睛】标准方程中的参数p的几何意义是指焦点到准线的距离；p0恰恰说明定义中的焦点F不在准线/上这一隐含条件；参数p的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p的值，才易于确定焦点坐标和准线方程.涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性.2 2【2 0 1 5 高考湖南，理 1 3】设 R 是双曲线C：2=1的一个焦点，若 C上存在点P,使a b线段P F的中点恰为其虚轴的一个端点，则 C的离心率为.【答案】V 5.【解析】试题分析：根据对称性，不妨设JF（CQ）,短轴端点为（0：匕），从而可知点（-c二在双曲线上,【考点定位】双曲线的标准方程及其性质.【名师点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其性质，属于容易题，根据对称性将条件中的信息进行等价的转化是解题的关键，在求解双曲线的方程时，主要利用。2=1+62,焦点坐标，渐近线方程等性质，也会与三角形的中位线，相似三角形，勾股定理等平面几何知识联系起来.x2,1 3.【2 0 1 5 高考浙江，理 9】双曲线 y 2 =i 的焦距是，渐近线方程是.【答案】26，y=三X.【解析】由题意得：a=42,b=l,=B：.焦题为2 c =2 后,渐近线方程为y =2 x =土也 北a 2【考点定位】双曲线的标准方程及其性质【名师点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其焦距，渐近线等相关概念，属于容易题,根据条件中的双曲线的标准方程可以求得a,b,c,进而即可得到焦距与渐近线方程，在复习时，要弄清各个圆锥曲线方程中各参数的含义以及之间的关系，避免无谓失分.x y21 4.1 2 0 1 5 高考新课标1,理 1 4】一 个 圆 经 过 椭 圆 一+乙=1 的三个顶点，且圆心在x轴的1 6 4正半轴上，则该圆的标准方程为.【答案】(X 3 )2+尸=2 -4【解析】设圆心为(a,0),则半径为4一。，则(4 。)2 =+22,解得。=不，故圆的方程为(x-1)2 +y 2=子.【考点定位】椭圆的几何性质；圆的标准方程【名师点睛】本题考查椭圆的性质及圆的标准方程，本题结合椭圆的图形可知圆过椭圆的上下顶点与左顶点(或右顶点)，有圆的性质知，圆心在x 轴上，设出圆心，算出半径，根据垂径定理列出关于圆心的方程，解出圆心坐标，即可写出圆的方程，细心观察圆与椭圆的特征是解题的关键.1 5.1 2 0 1 5 高考陕西，理 1 4】若抛物线)2=2 (0)的准线经过双曲线 2 一 2=1 的一个焦点，则p =.【答案】2 及【解析】抛物线y 2=2 p x (p Q)的准线方程是x =双曲线2 一 丁=1 的一个焦点月卜加,0),因为抛物线V=2px(p0)的准线经过双曲线V y 2=i 的一个焦点，所以一g=一 痣，解得=2 行，所以答案应填：2 亚.【考点定位】双曲线的几何性质和抛物线标准方程【名师点晴】本题主要考查的是抛物线的简单几何性质和双曲线的简单几何性质，属于容易题.解题时要注意抛物线和双曲线的焦点落在哪个轴上，否则很容易出现错误.解本题需要掌握的知识点是抛物线的准线方程和双曲线的焦点坐标，即抛物线V=2p光（p0）的准2 2线方程是*=一勺 双 曲 线 三 一，=1 （。0,方0）的左焦点耳（一。,0）,右焦点鸟（c,0）,其中 c?=b2+a2.【2015高考上海，理9】已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C 1和C 2.若C 1的渐近线方程为y =则C 2的渐近线方程为.【答案】y=+-x2【解析】由题意得：C1：短丁：=乙 仪#0）,设。（范1）,则尸（工力），所以3 x：4=E,即C：的渐v =x近线方程为 2【考点定位】双曲线渐近线【名师点睛】（1）已知渐近线方程y=mx,若焦点位置不明确要分，=&或?=二 讨 论.（2）a b2 2 2 2与 双 曲 线 二 一1 =1共 渐 近 线 的 可 设 为 1 =4（4 H O）；（3）若 渐 近 线 方 程 为a b-a bI 2 2y =x,则可设为二 一 与=丸力0）；（4）相关点法求动点轨迹方程.a a h2 21 6.1 2 01 5高考山东，理15】平面直角坐标系xo y中，双曲线G:一 齐=1（“0/0）的渐近线与抛物线G：/=2“y （P 0）交于点。,A,B,若A O A B的垂心为C2的焦点，则C,的离心率为.3【答案】-2【解析】设OA所在的直线方程为y =b，则。8所在的直线方程为y =hx,f b x-2pbu X -/9 x解方程组卜”得：，&所以点A 的 坐 标 为 冽，梏-,2 c 2 p b-V a a)x=2 p y y -a抛物线的焦点尸的坐标为：.因为f是 AABC的垂心，所 以%(F=1 ,【考点定位】1、双曲线的标准方程与几何性质；2、抛物线的标准方程与几何性质.【名师点睛】本题考查了双曲线与抛物线的标准方程与几何性质，意在考查学生对圆锥曲线基本问题的把握以及分析问题解决问题的能力以及基本的运算求解能力，三角形的垂心的概念以及两直线垂直的条件是突破此题的关键.1 7.1 2 01 5 江苏高考，1 2】在平面直角坐标系X。)，中，P为双曲线/一2=1 右支上的一个动点。若点P到直线x-y +l =0 的距离大于c 恒成立，则是实数c的最大值为.【答案】2【解析】设 P(x，y)，(xN l),因为直线x-y +l =o 平行于渐近线x-y =O,所以点P到直线x y +1 =0 的距离恒大于直线x-y +l=0 与渐近线x-y =0之间距离，因此c的最大值为直线 x _ y +l =O 与渐近线x _ y =O 之间距离，为;=注.V2 2【考点定位】双曲线渐近线，恒成立转化【名师点晴】渐近线是双曲线独特的性质，在解决有关双曲线问题时，需结合渐近线从数形2 2结合上找突破口.与渐近线有关的结论或方法还有：(1)与双曲线0-当=1 共渐近线的可设为a b2 2 I 2 25-多=/1(2*0)；(2)若渐近线方程为)，=21，则可设为-5 _ =兀*0)；(3)双曲线c r b a c r b2 9的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b；(4)乌-2 =1(。0方0)的一条渐近线的斜率为a b-=4匕=/?二i .可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小.另外解决不等式恒成立问题关键是等价转化，其实质是确定极端或极限位置.1 8.【2 01 5高考新课标2,理2 0(本题满分1 2分)已知椭圆C :9/+V =加2(加 0),直线/不过原点。且不平行于坐标轴，I与C有两个交点A,B,线段A3的中点为(I )证明：直 线 的 斜 率 与/的 斜 率 的 乘 积 为 定 值；(H)若/过点(,加)，延长线段0M与C交于点P,四边形O 4 P B能否为平行四边形？若能，求此时/的斜率，若不能，说明理由.【答案】(I)详见解析；(II)能，4 或4+J7.【解析】(I)设直线/:=+/?(Zw0,w0),A(%,y),B(x2,y2),M(xM.yM).将 y=k x-vb 代 入 9x2+y1=n r 得(k?+9)炉+2 k bx+b?m?=0,故x,+k b“2 一 V+9 11上=k x9 人 i-Qv+b=?一.于是直线O M的斜率ky=即k .k =一9.所以直线Q T/的斜率K +9 双 k与/的斜率的乘积为定值.(II)四边形0 T p 8能为平行四边形.因为直线7过 点 历)，所以，不过原点且与C有两个交点的充要条件是k 0,k 3.3 =_ 9 2.由 I 得Q U的方程为j=-2x.设点尸的横坐标为XF.由 =一工工 得 孙：=芹一，即-1 9X2+y:=w:s 八9二 亨将点(*?)的坐标代入直线/的方程得6=竺 上 也，因 此：”=竺 竺3.四边形3找+9 3 3 父 妙+9)O A P B为 平行四边形当且仅当线段与线段O P互相平分，即X p=2.0 .于 是 一 烹 =3病+9 m k(k -3)3(-+9).解得勺=4-J7,&=4+疗.因 为 匕 0,&w3,i=l2,所以当/的斜率为4 J 7或 4+J 7时，四边形O 4 P 8为平行四边形.【考点定位】1、弦的中点问题；2、直线和椭圆的位置关系.【名师点睛】（I）题中涉及弦的中点坐标问题，故可以采取“点差法”或“韦达定理”两种方法求解：设端点A B 的坐标，代入椭圆方程并作差，出 现 弦 的 中 点 和 直 线/的 斜 率；设直线/的方程同时和椭圆方程联立，利用韦达定理求弦A 3的中点，并寻找两条直线斜率关系;（II）根据（I）中结论，设直线0M 方程并与椭圆方程联立，求得M坐标，利用巧,=2 x,”以及直线/过点（生,加）列方程求攵的值.31 9.【2 0 1 5 江苏高考，1 8】（本小题满分1 6 分）2 2 万如图，在平面直角坐标系X a中，已知椭圆*+方=1（。6 0）的 离 心 率 为 半，且右焦点尸到左准线1的距离为3.（1）求椭圆的标准方程；（2）过厂的直线与椭圆交于4 6 两点，线段1 8 的垂直平分线分别交直线/和于点 只C,若 P O 2 A B,求直线48 的方程.2【答案】(1)三+/=(2)1 或 y =-x+.2【解析】试题分析（1）求椭圆标准方程，只需列两个独立条件即可：一 是 离 心 率 为 注，二是右焦点2F到左准线1 的距离为3,解方程组即得（2）因为直线AB过 F,所以求直线A B 的方程就是确定其斜率，本题关键就是根据PC=2 AB列出关于斜率的等量关系，这有一定运算量.首先利用直线方程与椭圆方程联立方程组，解出A B 两点坐标，利用两点间距离公式求出A B 长，再根据中点坐标公式求出C点坐标，利用两直线交点求出P点坐标，再根据两点间距离公式求出PC长，利用PC=2AB解出直线AB斜率,写出直线AB方程.B 2试题解析：（1）由题意，得 =注 且,+幺=3,a 2 c解得。=0，C =l,则。=1,所以椭圆的标准方程为三+y2=1.2-（2）当A B lx轴时，AB=V 2-又CP=3,不合题意.当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为 =攵（-1）,A（X1,yJ,B（x2,y2）,将AB的方程代入椭圆方程，得（1 +2公4GX+2（%2 1）=0,则42=2&2业(1 +12)1 +2公C的坐标为2kz -kJ +2女2 1+2-AB=J(l+G)(4)22V2(1 +V)1 +2公且若=0,则线段A B的垂直平分线为）轴，与左准线平行，不合题意.k从而k x O,故直线PC的方程为1+1：-r-X-1+2 k 1 +2K 则P点的坐标为，-2：二 二、A-J1+2A-*1X,、J 从而 PC=-：网 1 +2K 因为PC=2 A B,所以2|3 好+1 M +M 4011+口解得左=1.即+2Ml1 +M：此时直线-旬方程为 =A1或 =T+】【考点定位】椭圆方程，直线与椭圆位置关系【名师点晴】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法：根据条件确定关于a,b,c的方程组，解出才，炉，从而写出楠圆的标准方程.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.2 0.1 2 01 5高考福建，理1 8 已知椭圆E：E +1 =l(a 匕0)过点(0,7 2),且 离 心 率 为 变.a-b-2(I)求椭圆E的方程;(H)设直线x =m y-1,(m?R)交椭圆E于A,B两点,Q判断点G(-3,0)与以线段A B为直径的圆的位置关系，并说明理由.4工2“9【答案】1+5=1；(I I)G(、，0)在以A B为直径的圆外.4【解析】解法一:(I)由已知得|b=V 2,1。=21 ,解得i a 2 13 2=/+,2,t c=V 22 2所以椭圆E的 方 程 为 土+乙=1.4 2(I I)设点 A(%yl),B(x2,y2),A B 中点为H(Xo，y().A x=m y-1由 I *2 y2 _ 得(m?+2)y2-2/n y-3 =0,i 二 1i 4 2叱“2 m所以3 2诉r从而y=m所以G H F =(%+y=(my+l)y、|m y+W|A B|2 _(Xw)2+(x-y2)2 _ 画+1)(乂 -y?)2444C+y-4yJ=(m2+)；_ x 打),wce，AB2 5 ,2 八 2 5 5m 2 3m2+1)2 5 1 7m2+2 n故 G H -=-m y0+(m-+l)y,y,+=-+=04 2 12 1 6 2(m2+2)m2+2 1 6 1 6(m2+2)所以|G H|幽，故G(-2,o)在以AB为直径的圆外.2 4解法二：(I)同解法一.9 Q(1 1)设点4内丫)上(工2 2),，则 G A =(%+,y1),G B =(x2+,y2).P =,-1 2 m 3由 I/M(m2+2)y2-2 m y-3 =0,1 y,+y2=,y,y2=X +=1 m +2 m+2I 4 2从而 G A _gB=(x+()(/+；)+MM=(m y+|)(m y2+!)+y2,2 八 5 ,、2 5 5m2 3(m2+1)2 5 7n r+2 八(n r +l)x1 y2,+_4?(x1+y2)+=-；-+-=-02 1 6 2(m2+2)m2+2 1 6 1 6(m2+2)所以c o洗A,G B 0,又G A,G B不共线，所以BAGB为锐角.9故点G(-N,0)在以A B为直径的圆外.4【考点定位】1、椭圆的标准方程；2、直线和椭圆的位置关系：3、点和圆的位置关系.【名师点睛】本题通过判断点和圆的位置关系来考查中点问题，利用韦达定理确定圆心，然后计算圆心到点G的距离并和半径比较得解；也可以构造向量，通过判断数量积的正负来确定 点 和 圆 的 位 置 关 系：G 4-G B 0。点G在 圆 外；GkG3 =0o点G在圆上，本题综合性较高，较好地考查分析问题解决问题的能力.J-*-2 1.1 2 0 1 5高考浙江，理1 9】已知椭圆彳+卜2=1上两个不同的点A ,8关于直线y=a+对称.(1)求实数加的取值范围；(2)求A A O B面积的最大值(。为坐标原点).【答案】（1）当 或m冬 与21 一X +/2 =11I 9 *试题分析：（1）可设直线A B的方程为丁=-x +b,从而可知2 有两个不同m 1 ,y=-x-vb、m的解，再由A8中点也在直线上，即可得到关于加的不等式，从而求解；（2）令，=工，可m将MOB表示为/的函数，从而将问题等价转化为在给定范围上求函数的最值，从而求解.X1 2 _1耳+y=i试题解析：（1）由题意知加#0,可设直线A B的方程为y=由42,m 1 .y=x +0m1 OA i r消去y,得(+二 +/-1 =0,.直线y=-上x +b与椭圆上+)，2 =1有两2 m m m 2个不同的交点，=2。2+2 +3 0,，将A B中点”（学 乙,义 生）代入直线m-m-+2 m2+2方程y=/x +L解得Z?=二?，。由得加一 逅 或 加 业；（2）令-2 2 m2 3 3,21%/A _ -2 +2/H r=J _e(_Y 9,0)(0,),贝 -j 2,且 0 到直线 A Bt H 2的距离为1 =予2,设 A40B的面积为S Q),V r +1A 5(r)=AB-d=|J-2(r2-1)2+2 2 =1.4（I I）由（I）知椭圆E的方程为三+二=1,1 6 4 设P（X o，%）,卷 彳=丸，由题意知。（一丸鼻,-丸先）因为 手+用，又空L空工即今生才卜，所以，即愣=2 .（i i）设4（和）1）,8（工2，%）将y =依+根 代入椭圆E的方程，可得 0 +必2）f +8 k m x+痴2-1 6=0由A。，可得/J?/0)点0为坐标原点,点A的坐标为（。，0）,点B的坐标为（0）,点M在线段A B上，满足怛M|=2|M A|,直线0 M的斜率为1 0（I）求E的离心率e；（II）设点C的坐标为（0,-/?）,N为线段A C的中点，点N关于直线A B的对称点的纵坐标为7，求2E的方程.【答案】（I）芷；（II）上+工=1.5 45 9【解 析】（）由 题 设 条 件 知，点 皿 的 坐 标 为（三又馥“=也，从 而 色=受，进而得3 3 1 0 2a 1 0a=#b-c=b=2b 故e =.a 5（n）由题设条件和的计售结果可得，直线4 8的方程为5+看=1,点.v的 坐 标 为 浮 也 为），设点.V关于直线AB的对称点S的坐标为（x1：-）,则 线 段 的 中 点 了 的 坐 标 为,4b又|0点了在直线一1 5上，且女宜上1 s=1：从而有，7 1 解 得5 =3,所以“=3右，故椭扇E的 方 程 为 工+工=1.45 9【考点定位】1.椭圆的离心率；2.椭圆的标准方程；3.点点关于直线对称的应用.【名师点睛】椭圆一直是解答题中考查解析几何知识的重要载体，不管对其如何进行改编与设计，抓住基础知识、考基本技能是不变的话题.解析几何主要研究两类问题：一是根据已知条件确定曲线方程，二是利用曲线方程研究曲线的几何性质.曲线方程的确定可分为两类：若已知曲线类型，则采用待定系数法：若曲线类型未知时，则可利用直接法、定义法、相关点法等求解.本题是第一种类型，要利用给定条件求出。,从2 224.1 20 1 5高考天津，理1 9（本小题满分1 4分）已知椭圆t +3=l（a 0）的左焦点为CT bpi4E（-c,0）,离 心 率 为 巨，点M在椭圆上且位于第一象限，直 线 被 圆 尤2+V=一 截得的3 44J 3线段的长为c,|FM|=?(I)求直线尸M的斜率;(H)求椭圆的方程:(HI)设动点P在椭圆上，若直线F P的 斜 率 大 于 近，求直线0 P (。为原点)的斜率的取值范围.【答案】(I)V3T2 2(II)+=1 ;(III)3 22 0-00,-3 JV2 2疔【解析】(I)1由 已 知有二=一，又由。2=/+/,可得/=3C2,b2=2c2,a2 3设直线b M的斜率为(%0),则直线月0的方程为y =Z(x+c),由己知有+c5,解得k=也3M v2(II)由(D得 椭 圆 方 程 为 京+会=1,直 线/M的方程为 =4(+。)，两个方程联立，消去y,整理得3/+2c x 5 c2=0,解得x=或尤=c,因为点M在第一象限，可得M的坐标为3,由 5=(72,解得D22V3 1-C3 )2X+二3 23 x -l 或 一l x 0,2设直线O P 的斜率为加，得根=2，即 y =u(x 彳0),与椭圆方程联立，整理可得X2 2m2%2 3m e当8 -:一 1 时，有 y =f(x +l)0,于是加,得当x e(-l,O)时，有 y =f(x +l)0,因此?人 0)的左、右焦点分别为耳,入,过居的直线交椭圆于P,Q 两点，且(i)若 仍 用=2+0,|尸鸟1=2 J5,求椭圆的标准方程(2)若|PF；|=|PQ,求椭圆的离心率e.2【答案】(1)+y-=l；(2)f6 y/34【解析】试题解析：(1)本题中已知椭圆上的一点到两焦点的距离，因此由椭圆定义可得长轴长，即参数a的值，而 由 应 用 勾 股 定 理 可 得 焦 距，即c的值，因此方程易得；(2)要求椭圆的离心率，就是要找到关于a,4 c的一个等式，题中涉及到焦点距离，因此我们仍然应用椭圆定义，设|P用=?，PF2 =2 a-m,Q F2=PQ-PF2=m-(2 a-m)=2 m-2 a,于是有|Q用=2 a -|Q周=4 a -2m,这样在R t PQ F、中求得m=2(2 -&)a ,在R t k PF、F,中可建立关于a,c的等式，从而求得离心率.(1)由椭圆的定义，2 a=|P：=4,故a=2.设椭圆的半焦距为c,由已知P耳，PF.,因此2 c=|FlF2|=7 l PF1|2+|PF2|2从而 b =J a2-c2=1故所求椭圆的标准方程为三+y 2=l.4(2)解法一：如图(2 1)图，设点尸(,y )在椭圆上，且PF|，P g,则2 2求得 3=，丁一？。?0。=.a c由IP耳|=|尸0|6 1，得0 0，从而/、2/2、2IPF|2=f-V 2-2/?2+c j +=2(a2-/72)+2 ayl a2-2 b2=(+a2-2 b2由椭圆的定义，IP耳|+|PF 2|=2 a,|Q耳|+|QF/=2 a,从而由|P耳|=|PQ|=|PF J +|QF 2|,有|QE=4a-2 1 P耳|又由P _ LP耳,又 耳|=|PQ|知|Q K|=&|P耳I，因此|P|=4 a于 是2 +解得e =V 6 A/3.解法二：如图:口）图由隔圆的定义，PF】+PF,=%：QF;+Q E =2 a,从而由PE=P Q =PR|-Q R ,有 Q月=4 a-2 P月又由P F：_ P F：,P F j =P Q 知 P F.,因此4 a-2 =0 P FP K =2 Q-J I）a：从而 P E =l a-P月|=2 a-Q-0）a =2（0-l、7由 P F _ P F 知 P K :+P E 2=P F J:=（2 c）:=4 c:,因此c =JPFJ+!P 巨=（2_8）：+（8一i）：=Q耳=4_ga l a【考点定位】考查椭圆的标准方程，椭圆的几何性质.，直线和椭圆相交问题，考查运算求解能力.【名师点晴】确定圆锥曲线方程的最基本方法就是根据已知条件得到圆锥曲线系数的方程，解方程组得到系数值.注意在椭圆中1 =）一百，在双曲线中1=/+炉.圆锥曲线基本问题的考查的另一个重点是定义的应用；求椭圆与双曲线的离心率的基本思想是建立关于a,b,c的方程，根据已知条件和椭圆、双曲线中a,b,c的关系，求出所求的椭圆、双曲线中a,c之间的比例关系，根据离心率定义求解.如果是求解离心率的范围，则需要建立关于a,。的不等式.2 2 62 6.【2 01 5高考四川，理2 0如图，椭圆E：=+=1（。0）的 离 心 率 是,过点Pa1 b 2（0,1）的动直线/与椭圆相交于A,B两点，当直线/平行与x轴时，直线/被椭圆E截得的线段长为2夜.（1）求椭圆E的方程；翁融成立？(2)在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q,使得若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.1；(2)存在，Q点的坐标为。(0,2).4 2【解 析】（1）由已知，点(J5,l)在椭圆E上.2=1b2,因止匕，a2-h2-c2,CV2解得 a=2,b=V2.2 2所以椭圆的方程为土+=L4 2(2)当直线/与x轴平行时，设直线/与椭圆相交于C、D两点.如果存在定点Q满足条件，则磔1=此1=1,BIJI2CH QD.QD PD所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为(),尢).当直线/与x轴垂直时，设直线/与椭圆相交于M、N两点.则 M（0,夜）,N（0,-夜）,由3=出，有正智=充，解得=1或 犷2.|QV|PN y0+y/2 V2+1 ,所以，若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点的坐标只可能为。(0,2).下面证明：对任意的直线/,均有3=侬QB PB当直线/的斜率不存在时，由上可知，结论成立.当直线/的斜率存在时，可设直线/的方程为y=A x+l,A、B的坐标分别为(3,.%),(/,%)联立 -4-1-2-=1 ，得(2公1+1)/+4米一2=0.y=+1其判别式 =1 6/+8(2/+1)0,所以，+%,=-XX,-2公+1 -22 F+T巾 L I 1 1%因此一+=1X x2 XxX2=2 k.易知，点 B关于y 轴对称的点的坐标为9（-%,%）所以A r=%.，即O.A.B三点共线.所以 3=乌_=上_=冬Q B QB X,|P B故存在与？不同的定点0（0.2）,使得 L =旦 恒 成 立.QB PB【考点定位】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.【名师点睛】高考中解几题一般都属于难题的范畴，考生应立足于拿稳第（1）题的分和第（2）小题的步骤分.解决直线与圆锥曲线相交的问题，一般是将直线方程与圆锥曲线的方程联立，再根据根与系数的关系解答.本题是一个探索性问题，对这类问题一般是根据特殊情况找出结果，然后再证明其普遍性.解决本题的关键是通过作B 的对称点将问题转化.2 7.12015高考湖北，理 211一种作图工具如图1所 示.O是滑槽A 8的中点，短杆O N 可绕。转动，长 杆 M N 通 过 N 处较链与O N 连接，上的栓子。可 沿 滑 槽 4?滑动，且D N =O N =,M N =3.当栓子。在 滑 槽 内 作 往 复 运 动 时，带动N 绕。转动一周（。不动时，N 也不动)，M 处的笔尖画出的曲线记为C.以。为原点，AB所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(I )求曲线，的方程；(I I)设动直线/与两定直线4：x-2 y =O 和/2：x +2)，=0 分别交于P,。两点.若直线/总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：AOQP的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.1 6 4【解析】(I )设点 O(f,0)(|f|W 2),N(x0,y0),M(x,y),依题意,M D =2 DN,且|W|=|O N|=1 ,所以(f-x,-y)=2(x 0 T,%),且弧?Lt _ x=_2/,即 且 -2%)=0.1 7 =-2%.由于当点。不动时，点 N也不动，所以r 不恒等于0,于是f =2 x,故 x0=%=-2,代 入 片+必=1,可得上+2 1=1,4 2 1 6 4即所求的曲线C的方程为三+亡=1.1 6 4(I I )(1)当直线/的斜率不存在时，直线/为x =4或x =-4,都有SAW。=x 4 x 4 =8.2(2)当直线/的斜率存在时，设直线/:=+,*手由，y _|_ m.消去 y,n J W(1+4/:2)X2+S k n vc +4m2-1 6 =0.x2+4y2=1 6,因为直线/总与椭圆C有且只有一个公共点,所以 =6 4无2 m 2 -4(1 +4攵2)(4 m2-1 6)=0,H P in2=6 k2+4.又由y=k x+m,一加可得P(x-2 y=0,2 m ml-2 k 1-2 k)；同理可得Q(2 m m1 +2%1 +2 4).由原点o到直线p。的距离为d=L和i PQ=V i T