高中数学教师资格证复习面试教案：平面向量的数量积及应用.pdf
平面向量的数量积运算及应用平面向量的数量积运算及应用课中讲解课中讲解【知识梳理】【知识梳理】一、两个向量的夹角一、两个向量的夹角1.定义已知两个非零向量a和b，作OA a，OB b，则AOB叫做向量a与b的夹角2.范围向量夹角的范围是 0180，a与b同向时，夹角0；a与b反向时，夹角180.3.向量垂直如果向量a与b的夹角是 90，则a与b垂直，记作a b二、平面向量数量积二、平面向量数量积1.已知两个非零向量a与b，则a b cos叫做a与b的数量积，记作ab，即ab a b cos，其中是a与b的夹角规定0a 0当a b时，90，这时ab 02.ab的几何意义：数量积ab等于a的长度a与b在a的方向上的投影b cos的乘积三、数量积的性质三、数量积的性质1.如果e是单位向量，则ae ea2.a bab 03.aa a2，a aa.4.cosaba b(为a与b的夹角)四、数量积的运算律四、数量积的运算律1.交换律：ab ba2.分配律：abc acbc3.对R,abab ab五、数量积的坐标运算五、数量积的坐标运算设a a1,a2，b b1,b2，则：1.ab a1b1a2b22.a ba1b1 a2b2 03.a a2 a2124.cosabb1 a2b2a ba1a2 a2b2b2(为a与b的夹角)1212【随堂演练】【随堂演练】一、数量积运算一、数量积运算典型例题典型例题例 1.已知菱形 ABCD 的边长为 a，ABC60，则BDCD（）A32a2B34a2C34a2例 2.已知向量 a a 与 b b 的夹角为3，|a a|2，则 a a 在 b b 方向上的投影为（D32a2）A3B32CD222例 3.向量 a a(2，1)，b b(1，2)，则(2a ab b)a a（）A6B5C1D6例 4.已知AB=(2,3)，AC=(3，t)，|BC|=1，则ABBC=（）A-3B-2C2D3例 5.平行四边形ABCD中，BAD 120,AB 2,AD 3,BE 1BC，则3AE BD（）A3B3C2D-2例 6.已知两个非零单位向量e1,e2的夹角为，则下列结论不正确的是（）A不存在，使e1e22CR，(e1e2)e1e2Be1 e222De1在e2方向上的投影为sin例 7.在四边形ABCD中，ADBC，AB 2 3，AD 5，A30，点E在线段CB的延长线上，且AE BE，则BD AE _.例 8.在边长为 4 的菱形ABCD中，A60，M为CD中点，N为平面ABCD内一点，若AB NB AM AN，则AM AN（）A16B14C12D8例 9.如图，在平面四边形 ABCD 中，ABBC，ADCD，BAD120，ABAD1.若 点 E 为边 CD 上的动点，则AEBE的最小值为（）21325ABCD316216例 10.（多选题）在ABC中，AB (2,3)，AC (1,k)，若ABC是直角三角形，则k的值可以是()A1B113C3 132D3 132例 11.（多选题）已知向量e1(1,2)，e2(2,1)，若向量a 1e12e2，则可使12 0成立的a可能是()A(1,0)过关检测过关检测 1.在菱形 ABCD 中，对角线 AC4，E 为 CD 的中点，则AEAC（）A8B10C12D14=6，DM，则=1DC 的值为2.在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=4，ABADMAMB3（）A10B12C14D163.已知点 A(1，1)，B(1，2)，C(2，1)，D(3，4)，则向量AB在CD方向上的投影为_.满足)=5且|=1，则向量方向的投影为4.已知向量，(+|=2,|在向量（）A2B1C2D25.在ABC中，AC 1，ACAB 1，O为ABC的重心，则BO AC的值为（）A1B6.在ABC中A 13B(0,1)C(1,0)D(0,1)35CD2233则AE AF的最小值为（）,bc 4,E、F为边BC的三等分点，A9 3826BCD32397.已知ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则PA(PBPC)的最小值是（）34A2BCD1238.（多选题）如图，在平面四边形ABCD中，等边ABC的边长为 2，ADC 30，AC CD，点M为AB边上一动点，记 DM CM，则的取值可以是()A4二、数量积的应用二、数量积的应用典型例题典型例题3311例 1.已知向量BA(，)，BC(，)，则ABC（）2222A30B45C60D120例 2.已知平面向量a,b的夹角为AB154C5D10，且a 1,b 2，则2a b与b的夹角是（）325BCD636315.则向量 a a，b b 夹角的余弦值为例 3.设平面向量 a a，b b 满足|a a|1，|b b|2，|a a2b2b|（）1111ABCD3434例 4.已知平面向量a a (1,3),b b (2,0)，则a 2b（）A3 2B3x1Cx2D5例 5.已知向量a、b的夹角为60，a 2，b 1，则ab（）A3B5C2 3D7例 6.已知向量a，b满足b 5，2ab 5 3，ab 5 2，则a _.例 7.已知向量 a a(1,2)，b b(3,4)，若 a akb b 与 a akb b 互相垂直，则实数 k（）A5B5C55D5例 8.已知非零向量 a a，b b 满足|b b|4|a a|，且 a a(2a ab b)，则 a a 与 b b 的夹角为_.例 9.已知|OAOA|1，|OBOB|3，OAOAOBOB0，点 C 在AOB 内，且AOC30，设m等于（）n33D.OCOCmOAOAnOBOB(m，nR)，则A.13B3C.3例 10.若 O 是锐角ABC 内一点，满足|OA|2|BC|2|OB|2|CA|2|OC|2|AB|2，则点 O是ABC 的（）A重心B垂心22C内心D外心例 11.在ABC 中,若动点 D 满足CA CB 2ABCD0，则点 D 轨迹一定过 ABC 的（）A.外心B.内心C.垂心D.重心例 12.（多选题）已知e1，e2是两个单位向量，R时，|e1e2|的最小值为结论正确的是()Ae1，e2的夹角是3，则下列23Be1，e2的夹角是2或33C|e1 e2|1或3D|e1 e2|1或32例 13.（多选题）已知向量e1，e2是平面 内的一组基向量，O为 内的定点，对于内任意一点P，当OP xe1 ye2时，则称有序实数对(x,y)为点P的广义坐标若点A、B的广义坐标分别为(x1，y1)(x2，y2)，关于下列命题正确的是()A线段A、B的中点的广义坐标为(x1 x2y1 y2,)22BA、B两点间的距离为(x1 x2)2(y1 y2)2C向量OA平行于向量OB的充要条件是x1y2 x2y1D向量OA垂直于OB的充要条件是x1y2 x2y1 0过关检测过关检测1.已知平面向量a,b满足a 2,b 1，且4ab（）Aa3b 2，则向量a,b的夹角为2BCD63232.若向量 a a(x1，2)和向量 b b(1，1)平行，则|a ab b|_.3.已知向量a a与b b的夹角为 120，a a 1,b b 3，则5a a b b _.4.在平面上，e1，e2是方向相反的单位向量，|a|2，(be1)(be2)0，则|ab|的最大值为（）A1B2C2D35.已知向量a (5,m)，b (2,2)且(a b)b，则m（）A9B9C6D66.向量 a a，b b 均为非零向量，(a a2b2b)a a，(b b2a2a)b b，则 a a，b b 的夹角为（）25ABCD3236 7.点 P 是ABC 所在平面上一点，若PAPBPBPCPCPA，则点 P 是ABC 的（）A外心B内心C重心D垂心8.若 O 为ABC 所在平面内任一点，且满足(OBOC)(OBOC2OA)0，则ABC 的形状为（）A正三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰直角三角形|=|=2，点在线段上，且|的最小值为 1，则|()的9.已知|最小值为（）A2B3C2D510.（多选题）ABC中，AB c，BC a，CA b，在下列命题中，是真命题的有()A若a b 0，则ABC为锐角三角形B若a b 0则ABC为直角三角形C若a b c b，则ABC为等腰三角形D若(a c b)(a b c)0，则ABC为直角三角形11.（多选题）定义两个非零平面向量的一种新运算a*b|a|b|sina，b，其中a，b表示a，b的夹角，则对于两个非零平面向量a，b，下列结论一定成立的有()Aa在b方向上的投影为|a|sina，bB(a*b)2(a b)2|a|2|b|2C(a*b)(a)*bD若a*b 0，则a与b平行课后练习课后练习1.已知向量OA AB，|OA|3，则OAOB _.2.如图，在矩形ABCD中，AB 2，BC 2，点E为BC的中点，点F在边CD上，AF 若AB2，则AEBF的值是_.3.在如图的平面图形中，已知 OM1，ON2，MON120，BM2MA，CN2NA，则BCOM的值为（）A15B9C6D04.已知平面向量a，b满足a (1,3)，|b|3，a (a b)，则a与b夹角的余弦值为_.5.平面向量a与b的夹角为2，a 1，b 1，则3a 2b _.6.已知向量a，b满足b 5，2ab 5 3，ab 5 2，则a _.7.已知向量a (m,2)，b (1,1)，若|a b|a|b|，则实数m（）A2B-2C11D228.已知向量 a a 与 b b 的夹角为3，|a a|2，则 a a 在 b b 方向上的投影为_.9.若a 1,b 2,c ab,且c a,则向量a与向量b的夹角为（）0000A.30B.60C.120D.15010.已知|a|2,|b|4,a和b的夹角为为_.3，以a,b为邻边作平行四边形，则该四边形的面积11.正方形ABCD边长为 2，点E为BC边的中点，F为CD边上一点，若AF AE AE，则AF（）2A3B5C35D22ABAC12.已知A，B，C是平面上不共线的三点，若动点P满足OPOA()，|AB|cosB|AC|cosC(0，)，则动点 P 的轨迹一定通过ABC 的（）A重心B垂心C内心D外心13.在边长为 1 的正三角形 ABC 中，BDxBA，CEyCA，x0，y0，且 xy1，则 CDBE的最大值为（）5333ABCD8824
