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中学初高中数学衔接教材目 录引 入 乘 法 公 式第一讲因式分解1.1 提取公因式1.2.公式法(平方差，完全平方，立方和，立方差)1.3 分组分解法1.4 十字相乘法(重、难点)1.5 关于x 的二次三项式ax2+bx+c(a/)的因式分解.第二讲函数与方程2.1 一元二次方程2.1.1 根的判别式2.1.2 根与系数的关系(韦达定理)2.2 二次函数2.2.1 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质2.2.2 二次函数的三种表示方式2.2.3 二次函数的简单应用第 三 讲 三 角 形 的“四心”乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：(1)平方差公式(a+b)(a-b)=a-b ,(2)完全平方公式 伍。)2 =/2 +。2.我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：(1)立方和公式(2)立方差公式(3)三数和平方公式(4)两数和立方公式(5)两数差立方公式(a+b)(a2-ab+b2)a3+b3；(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3；(a+/7 +c)，ci+b+c+2(ab+be+ac)；(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；(a-b f-3a2b+3ab2-b3.对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明.例 1 计算：(x+l)(x-l)(x2-x+l)(x2+x+1).解法一：原式=，-1)，+1)2 _*2=(x2-l)(x4+x2+l)=x6-1 .解法二：原式=(x +l)(%2 -X 4-1)(X-1)(X2+X +1)=(x3+l)(x3-1)=x6-l.例2 已知 +/?+c =4,ab+hc+ac=4,求 Q+Z+C?的值.f t?：c i +h+c =(+/?+c)2(ab+he+etc)8 .练 习1.填空：/(1 、)1 2 1 ,2 =弓/8,+1 、)(/(2)(4 m +)2=1 6 m2+4in+(3 )(4 +2。-c)2=+4b2 +(2.选择题：);)；).(1)若/+m x +Z是一个完全平方式，2则人等于()(A)m2(B)m(C)m2(D)m24 3 1 6(2)不论a,b为何实数，2 a 4 b +8的值(A)总是正数(B)总是负数(C)可以是零(D)可以是正数也可以是负数)第一讲因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法,另外还应了解求根法及待定系数法.1 .十字相乘法例1分解因式：(1)x23 x+2；(2)X2+4X1 2；(3)x2-(d f +b)xy+ahy2；(4)盯一l +x-y.解：(1)如 图1.1-1,将二次项f分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成一1与一2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为一3羽 就是X23 x+2中的一次项，所以，有x2,3 x+2 =(九 一l)(x 2).说 明：今 后 在 分 解 与 本 例 类 似 的 二 次 三 项 式 时，可 以 直 接 将 图1.1 1中的两 个x用1来 表 示(如 图1.1 2所示).(2)由 图1.1-3,得X2+4X-1 2=(X-2)(X+6).(3)由 图1.1-4,得x2 (Q +Z?)x y +Qy 2 =&一今)&一 勿?)(4)xy-1 +x-y=孙+(1一丁)一=。-1)。，+1)(如图 1.1 5 所示).课堂练习一、填空题：1、把下列各式分解因式：(1)+5x-6 o(2)-5 x +6 =o(3)+5 x +6=(4)-5 x 6=o(5)x2-(2 +l)x +a =(6)x2-1 l x +1 8 =o(7)6 1 2 +7 x +2 =o(8)4 m2-12m+9 =(9)5 4-7 x -6%2 =o(1 0)1 2x2+xy-6y2=2、x _ 4x+=(x +3)(x +)3、若x?+a x +b =(x +2)(x-4)则=,b=o二、选择题：(每小题四个答案中只有一个是正确的)1 在多项式(1)r+7 x +6 (2)x?+4 x +3 (3)x2+6 x 4-8 (4)x*-4-7 x 4-1 0(5)/+1 5 X +4 4中，有相同因式的是()A、只 有(1)(2)B、只 有(3)(4)C、只 有(3)(5)D、(1)和(2)；(3)和(4)；(3)和(5)2、分解因式/+8M-3 3 得()A (a+1 1)(一 3)B (a+1 l b)(a-3。)C、-1 lb)(a-3b)D、(a -1 b)(a+3b)3、(+。)2+8 +。)一2 0分解因式得()A、(q +/?+1 0)(q +Z?-2)B、(a+/?+5)(a+/?-4)C、(o+。+2)(Q+。-1 0)D、(a +/?+4)(a +Z?5)4、若多项式 3X+Q可分解为(不小心一)，则八方的 值 是()A、a=10,b=2 B、a=10,b=-2 C、a=-10,b=-2 D、a=-10,b=25、若/+nzx-10=(x+a)(x+b)其中a、6为整数，则机的 值 为()A、3或9 B、3 C、9 D、3或9三、把下列各式分解因式1 6(2p 1 l(q 2P)+3 2、a 5cib+6db3、2)2-4y-6 4、b4-2b2-82.提取公因式法例2分 解 因 式：(1)/俗 _5)+4(5-6)(2)xi+9+3x2+3x解：(1).a2(b-5)+a(5-b)=a(b-5)(a-1)(2)x3+9+3x2+3x=(x3+3X2)+(3X+9)=X2(X+3)+3(X+3)=(x+3)(x2+3).或x3+9+3x2+3x=(x3+3x2+3x+l)+8=(x+1)3+8=(x+1)3+23=(x+1)+2(x+1)2-(X+1)X2+22=(x+3)(x2+3)课 堂 练 习：一、填空题:1、多项式6/y -2盯2 +4xyz中各项的公因式是 o2、m(x-y)+(y-x)=(x-y)。3、m(x-y1+n(y-x)2=(x-y)。4、m(x-y-z)+n(y+z-x)=(x-y-z)*5、/心 -y-z)-x +y+z=(x-y-z)6、-13ab2x6-39aib2xs 分解因式得。7.计算992+99=二、判断题：(正确的打上“J”，错误的打上X”)1、2a2b-4ah2-1aba-b).()2、am+bm+m=m(a+b).()3、-3x+6x?15x=-3x(x+2x-5).()4、=/i(x +l).()3：公式法例3分 解 因 式：（1）-G4+1 6(2)(3x +2 y)2-(x-y)2解：(1)04+1 6 =42 仅2)2 =(4+q2)(4 a 2)=(4+a 2)(2 +a)(2 a)(2)(3x +2 y)2-(x-/J =(3x +2y+x-y)(3x +2y-x+y)=(4x +y)(2x+3y)课堂练习一、a2-2ab+b2,a2-b2,L/的公因式是二、判断题：（正确的打上“J”，错误的打上 义”）1、0.01=(|x)(0.1)2 =旨+01)停x 0.1).()2、9a2-8b2=(3a)2-(4Z)2=(3a +4b)(3a -4b).()3、2 5 a 2 -1 6 b =(5 a +4b)(5 a-4/7).()4、-x2 y2=-(x2-y2)=-(-v +y)(x-,).()5、a2-(b+c)2=(a+b+c)(a-b+c).()五、把下列各式分解1、-9(m -/?)2+(m+)23、4 (x2-4x +2)2、3x2-34、X4-2X2+14.分组分解法例 4(1)x2-xy+3y-3x(2)lx1+xy-y2-4x+5 y-6.(2)2x2+xy-y2-4x +5 y-6 =2 x?+(y-4)x-y2+5 y-6=2x2+(y-4)x -(y-2)(y-3)=(2x-y+2)(x 4-y-3).或2x2+xy-y2-4x +5 y-6 =(2 x2+xy-y2)-(4x-5y)-6=(2x-y)(x+y)-(4x-5y)-6=(2x-y+2)(x+y-3).课 堂 练 习：用 分 组 分 解 法 分 解 多 项 式（1）x2-y2+a2-b2+2ax+2by（2）/一4。+4。2 6 +1 2。+95.关 于x的 二 次 三 项 式。/+加什以。/)的 因式分角 毕.若关于X的方程。W +/?X +C =0(4工0)的两个实数根是玉、X2 9则二次三项式ax2+加;+c(a w 0)就可分解为a(x -尤I)(x -).例5把 下 列 关 于x的 二 次 多 项 式 分 解 因 式：(1)X2+2X-1；(2)x2+4x y-4y2.解：(1)令/+2 x 1=0,则 解 得x=l +JL 4=-1 一&，X2+2X-1=X-(-1+V2).X-(-1-V 2)=(尤+1-扬(x +1 +物.(2)令/+4 4)，2=0,贝I J解 得 玉=(2 +2直)y,玉=(2 2后)y,/.x2+4x y-4y2=x +2(l-V 2)y x +2(l +V 2).练 习1 .选择题：多项式2 x 2-盯-1 5 y2的一个因式为()(A)2x-5y(B)x-3y(C)x+3y(D)x-5y2 .分解因式：(1)?+6 x+8；(2)81一户(3)x2 2 x 1；(4)4(冗一y+l)+y(y-2 x).习题1.21 .分解因式：(1)/+1；(2)4%4 13x+9；(3)/?2+c2+2ah+2ac+2bc；(4)3+5孙一2 y?+x +9y-4.2 .在实数范围内因式分解：(1)5 x +3；(2)x-2/2 x 3；(3)3x2+4xy-y2；(4)(x2-2 x)2-7(x2-2 x)+1 2 .3.A A 8C三边。，b,c满足。2+Z?2+c =Q+b c +c。，试判定 A 4B C 的形状.4.分解因式：x2+x(6 Z2 ).第二讲函数与方程2.1 一元二次方程2.1.1 根的判别式情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法，如求方程的根(D X2+2X-3 =0(2)x2+2 x +1 =0(3)尤2+2 x +3=0我 们 知 道，对 于 一 元 二 次 方 程ax2+b x+c=0(a#),用配方法可以将其变形为因 为。邦，所 以，42 0.于是(1)当廿一4a c 0时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根 _-by/b2-4ac修，2=-；2a(2)当4砒=0 时，方程的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根(3)当b2-4ac 0时，方程有两个不相等的实数根-by/b2-4acx.2=-;2a(2)当A=0时，方程有两个相等的实数根bX=X2=；2a(3)当AVO时，方程没有实数根.例 1 判定下列关于x的方程的根的情况(其中a为常数)，如果方程有实数根，写出方程的实数根.(1)?-3 x+3=0；(2)x2-a x-l=0；(3)x2a x+(a 1)=0；(4)x22 x+a=0.解：(1).=32 4x 1 x 3=-30,所以方程一定有两个不等的实数根_ a +V 2+4 _ a-yJa2+4(3)由于该方程的根的判别式为A=a24x l x(a l)=a24a+4=(a 2)2,所以，当a=2 时，=(),所以方程有两个相等的实数根X=1 2 =1 ；当时，(),所以方程有两个不相等的实数根 1 ,-1 (3)由于该方程的根的判别式为A=224x 1 x 44a=4(1 a),所以当(),即4(1 一 0,即时，方程有两个不相等的实数根X =1 +/1 a,=1 a；当 =(),即4=1 时，方程有两个相等的实数根X=尤2=1 ；当AV。，即。1时，方程没有实数根.说明：在第3,4 小题中，方程的根的判别式的符号随着。的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对。的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论.分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题.2.1.2 根与系数的关系(韦达定理)若一元二次方程办2+法+=0(4知)有两个实数根一/?+”2 -4ac-b-h2-4acX,=-，Xj=-，1 2a 2 2a则有 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _一/7 +J-2-4 。-/7-V&2-4ac-2h h%+工 2 =；+二 一；2a2a 2a a-b+y/h2-4ac-h-y/h2-4ac b2-(h1-4 c)4ac c2a 2a 4a2 4cT a所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax2+）x+c=0（存0）的两根分别是X1，X2,那么XI+*2=-2,Xr*2a=-.这一关系也被称为韦达定理.a特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2+p x+q =0,若为，应是其两根，由韦达定理可知羽+尤2=-P，工 工2 =4，即 P=一（修+%2），q-XX2,所以，方 程/+p x+q=O 可化为 x2（x i+xi）x+x-%2=0,由于 x i，x2是一元-：次方程x 2+p x +q =0的两根，所以，X,X2也是一元二次方程f （X+2）X+xX2 =0.因此有以两个数XI，X2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是X2（Xi+x2）x+xrX2=0.例2已知方程5/+履-6 =0的一个根是2,求它的另一个根及人的值.分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出女的值，再由方程解出另一个根.但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出女的值.解法一：是方程的一个根，.,.5 x 22+jtx 2-6=0,：.k=l.所以，方程就为5 x 2 7 x 6 =0,解得a=2,x2 -.所以，方 程 的 另 一 个 根 为 一 的 值 为-7.解法二：设方程的另一个根为乃，则2内=一（，.x i=-g.3 k由 （一士）+2=2,得 k=T.5 53所以，方程的另一个根为一（，的值为-7.例3 已知关于x的 方 程/+2（m-2）x+/+4=0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大2 1,求加的值.分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大2 1得到关于？的方程，从而解得？的值.但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零.解：设Xi，检是方程的两根，由韦达定理，得X+x2=2（m-2）,xX 2=/+4.V X|2+X 22 Xr X 2 =2 1 ,（X1 +%2）2 3 尤1%2 =2 1,即 -2（m -2）2-3（m2+4）=2 1,化简，得 tn1 6 m 1 7 =0解得 m=,或加=1 7.当?二 一1时，方程为7+6X+5=0,A 0,满足题意；当?=17 时，方程为 d+30 x+293=0,A=302-4 x lx 2 9 3 24ac）.今 后，在 求 一 元 二 次 方 程 的 两 根 之 差 的 绝 对 值 时，可以直接利用上面的结论.例6若关于x的一元二次方程x2-x+a-4=0的一根大于零、另一根小于零，求实数。的取值范围.解：设的，也是方程的两根，则XX2C l 4 0.（2）由得 a4,-1 7由得 的 取 值 范 围 是a 4.练 习1.选择题：（1）方 程/一2限x +3 F =0的根的情况是（）（A）有一个实数根（B）有两个不相等的实数根（C）有两个相等的实数根（D）没有实数根（2）若关于x的方程加f+（2 z+1）龙+机=0有两个不相等的实数根，则 实 数 的 取 值范围是（）(C)m ,且团和4 42.填空:(1)若方程f 3 x 1=0的两根分别是X I和X 2,则J-+_L=.玉 x2(2)方程加2 m=0 (/)的根的情况是.(3)以-3和1为根的一元二次方程是.3.已知，/+8。+1 6+|5-1|=0,当n取何值时，方程依2+6=0有两个不相等的实数根？4.已知方程f 3 x 1 =0的两根为X I和X 2，求(X 3)(初一3)的值.习题2.1A组1.选择题：(1)已知关于x的 方 程 履一2=0的一个根是1,则它的另一个根是()(A)-3 (B)3 (C)-2(2)下列四个说法：方程/+2 x 7=0的两根之和为一2,两根之积为一7；方程f 2 x+7=()的两根之和为一2,两根之积为7；7方程3/一7=0的两根之和为0,两根之积为-一：3方程3 x 2+2 x=0的两根之和为一2,两根之积为0.其中正确说法的个数是(A)1 个(B)2 个(C)3 个(3)关于x的一元二次方程ax2-5 x+a2+a=0的一个根是0,(A)0 (B)1 (C)-1(D)2()(D)4 个则 的 值 是()(D)0,或一 1填空:(1)方程心+氢一1 =0的两根之和为一2,贝(I A=(2)方程2 _?一入一4=0的两根为a,。，则。2+伊=.(3)已知关于x的方程f 一 以-3 a=0的一个根是一2,则它的另一个根是(4)方程2/+2 x 1=0的两根为用和尤2，则1制一闯=3 .试判定当机取何值时，关于x的一元二次方程/了2一(2机+1 +1=0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？4 .求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程f 7 x-1=0各根的相反数.B组1 .选择题：若 关 于x的 方 程x2+(k2-)x+k+=0的 两 根 互 为 相 反 数，则k的值为()(A)1,或一1 (B)1 (C)-1 (D)02.填 空：(1)若?，n是 方 程x+2 0 0 5 x 1=0的两个实数根，则m2n+mn2 m n的值等于.(2)如 果a,b是方程x2+x-l=0的两个实数根，那么代数式a+a2b+ab2+b3的值是.3 .已知关于x的 方 程fc r2=0.(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)设方程的两根为X 1和龙2，如果2(X +X 2)X|X 2，求实数A的取值范围.4.一元二次方程f+bx+c=O (加)的两根为即和应,求:5.1.(1)|修一切|和外 ；(2)X|3+%23-关于尤的方程X2+4.T+?=0的两根为两，必满足|修一刈=2,求实数加的值.C组选择题：(1)已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2 f8 x+7=0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于()(A)V 3 (B)3 (C)6 (D)9(2)若 和 应是方程2/-4尤+1=0的两个根，则 工+上的值为()(A)6 (B)4 (C)3 (D)-2(3)如果关于x的方程W 2(1 机)x+/=0有两实数根a,p,则a+p的取值范围为()(A)a+花;(B)a+p l(D)a+p =。7 +法+。（4 声 0）具有下列性质：b 一 h（1）当。0时，函数以+。图象开口向上；顶点坐标为（-一一）,2a 4a对称轴为直线x=-=b :当 XV-h3 时，y随着x的增大而减小；当时h，），随着2a 2a 2ax的增大而增大；当 工=-二b 时，函数取最小值y=4uc b.2a 4ah _h（2）当 一1 时，y随着x的增大而减小；采用描点法画图，选顶点以-1,4）,与x 轴交于点8（2 牛 3,0）和。（-当2,0）,与y 轴的交图 2.2 5点为0(0,1),过这五点画出图象(如图2 5 所示).说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确.函 数 尸 aV+W+c图象作图要领：(1)确定开口方向：由二次项系数a 决定(2)确定对称轴：对称轴方程为2a(3)确定图象与x轴的交点情况，若()则与x 轴有两个交点，可由方程/+，x+c=0 求出若=0则与x 轴有一个交点，可由方程T+6 x+c=0 求出若=丘+(B)将 x=1 3 0,y=7 0；x=1 5 0,y=5 0 代入方程，有7 0 =1 3 0 k+仇 5 0 =1 5 0 k+仇解得 k=,8=2 0 0.yx+2 0 0.设每天的利润为z (元)，则z=(x+2 0 0)(x 1 2 0)=-X2+3 2 0X2 40 0 0=-(X-1 6 0)2+1 6 0 0,.当x=1 6 0 时，z 取最大值1 6 0 0.答：当售价为1 6 0 元/件时，每天的利润最大，为 1 6 0 0 元.例3把二次函数yx2+bx+c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函 数 的 图 像，求 从c的值.解法一：y=x2+W+c=(x+1)2+c-5,把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到y=(x+?+4)2+c-/+2的图像，也就是函数y=f的图像，所以，2 4-4=0,2,、2 解得 b =8,c=1 4.c-+2 =0,4解法二：把二次函数y=f+以+c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y=f的图像，等价于把二次函数y=f的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y=x 2+b x+c的图像.由 于 把 二 次 函 数 的 图 像 向 下 平 移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数、=(x-4)2+2的图像，即为y=f-8 x+1 4的图像，函数y=f 8 x+1 4与函数y=/+b x+c表示同一个函数，；.b=-8,c1 4.说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律.这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点.今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题.例4已知函数y=f,-2 x a,其中破一2,求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值.分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对“的取值进行讨论.解：(1)当“=-2时，函数)=犬2的图象仅仅对应着一个点(一2,4),所以，函数的最大值和最小值都是4,此时x=-2；(2)当一2 “0时，由图2.2 6 可知，当x=-2时，函数取最大值y=4；当x=a时，函数取最小值y=/；(3)当0%2时，山图2.2 6 可知，当x=-2时，函数取最大值y=4；当x=0时，函数取最小值y=0；(4)当a*忖，由图2.函数取最小值y=0.2 6 可知，当x=a时,函数取最大值y=J；当x=0时,说明：在本 例中，利用了分类讨论的 方法，对a的所有可能情形进行讨论.止匕外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题.练 习1.选择题：(1)下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是()(A)ylx(C)y=2 f l(B)y=2?4 x+2(D)y=2 f-4 x(2)函数y=2(x l)2+2是将函数y=2为2(A)向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的()(B)向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的(C)向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的(D)向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的2.填空题(1)二次函数y=2 f 图象的顶点坐标为(1,2),则“1=,n=.(2)已知二次函数y=f+(m 2)x 2 m,当?=时，函数图象的顶点在y轴上；当m=时，函数图象的顶点在x轴上；当?=时，函数图象经过原点.(3)函 数y=-3(x+2 y+5的图象的开口向,对称轴为,顶点坐标为;当 X时，函数取最 值 y；当 x时，y随着x的增大而减小.3.求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大(小)值及)，随x的变化情况,并画出其图象.(1)y=f 2x3；(2)y 1 +6 xx2.4.已知函数)，=一/一2 x+3,当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大(小)值时所对应的自变量x的值：(1)后一2；(2)烂2；(3)-2 v l；(4)0 x X4-C(/Z0)；2.顶点式：y=a(x+h)2+k(tzO),其中顶点坐标是(一A,k).除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示.为了研究另一利表示方式，我们先来研究二次函数y=a/+云+c(a#0)的图象与x轴交点个数.当抛物线y=+b x+c(中0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有ax2-bx+c=0.并且方程的解就是抛物线y=a x 2+b x+c(W0)与x轴交点的横坐标(纵坐标为零)，于是，不难发现，抛物线=公2+法+。(存0)与x轴交点个数与方程的解的个数有关，而方程的解的个数又与方程的根的判别式=”一4%、有关，由此可知，抛物线y=a f+b x+c(存0)与x轴交点个数与根的判别式-4 a c存在下列关系：(1)当A 0时，抛物线y jn?+)x+c(a,0)与x轴有两个交点；反过来，若 抛 物 线)=/+奴+4邦)与x轴有两个交点，则A 0也成立.(2)当A=0时，抛 物 线=尔+加：+%4邦)与x轴有一个交点(抛物线的顶点)；反过来，若抛物线y=ax2+Zx+c(a#0)与x轴有一个交点，则A=0也成立.(3)当AV0时，抛物线y=ax2+/x+c(a#0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线7=2+必+(0)与x轴没有交点，则A 0也成立.于是，若抛物线y=a x 2+b x+c(a r。)与x轴有两个交点A(x i，0),Bg，0),则x i，X 2是方程a x 2+b x+c=0的两根，所以,b cX I%2=，XX2=一,a ab c即 一=-(X 1+X 2)，=XX2.a a所以，y=ax2+hx+c=a(x2+x+)a a=ax2 (x+%2)x+x|X 2 a(xx)(x X 2).由上面的推导过程可以得到下面结论：若 抛 物 线 尸 渡+公+用 邦)与X轴交于A(x”0),8(*2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y=a(xxi)(x一孙)(。#0).这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3.交点式：y=a(xxi)(x*2)(。邦)，其中力，刈是二次函数图象与x轴交点的横坐标.今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题.例1已知某二次函数的最大值为2,图像的顶点在直线y=x+l上，并且图象经过点(3,-1),求二次函数的解析式.分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a.解：.二次函数的最大值为2,而最大值一定是其顶点的纵坐标，二顶点的纵坐标为2.又顶点在直线y=x+l上，所以，2x+,.,.x=l.二顶点坐标是(1,2).设该二次函数的解析式为y =a(x-2)2 +l(a +1,即y=-2?+8x-7.说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题.因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件,并巧妙地利用条件简捷地解决问题.例2已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到x轴的距离等于2,求此二次函数的表达式.分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式.解法一：；二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),.可设二次函数为y=“(x+3)1)(和)，展开，得 yax2+2ax3a,顶点的纵坐标为一一 12 a 2-4 a2=4a由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2,；.|一4 a|=2,即 a=；.1 ,3 1 ,3所以，二 次 函 数 的 表 达 式 为 或y=-x 2 x +j分析二：由于二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),所以，对称轴为直线=-1,又由顶点到x轴的距离为2,可知顶点的纵坐标为2,或一2,于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(-3,0),或(1,0),就可以求得函数的表达式.解法二：.,二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),对称轴为直线x=-l.又顶点到x轴的距离为2,顶点的纵坐标为2,或一2.于是可设二次函数为y=(x+1)2+2,或 产a(x+1尸一2,由于函数图象过点(1,0),.,.0=a(l+l)2+2,或 0=。(1 +1)2 2.1前 1”=_ _ ,或a=.2 2所以，所求的二次函数为y=；(X+1)2+2,或y=；(x+l)2 2.说明：上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题.例 3 已知二次函数的图象过点(-1,-2 2),(0,-8),(2,8),求此二次函数的表达式.解：设该二次函数为？=。/+法+存 0).由函数图象过点(一1,-2 2),(0,-8),(2,8),可得 22=u b+c,=-(%+1)2+1(C)y=-(x-3)2+4 (D)y=-(x-3)2+l第三讲 三角形的“四心”三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.如图3.2-1,在三角形AABC中,有三条边48,6C,CA,三个顶点A,8,C,在三角形中，角平分线、中线、高(如 图 3.2-2)是三角形中的三种重要线段.三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.例 1求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.已知 D、E、R 分别为aA B C 三边BC、CA、AB的中点，求证 AD.BE、CT交于一点，且都被该点分成2：1.证明 连结O E,设A。、B E 交于点G,Q D、E分别为BC、A E的中点，则DE/AB,且D E=-AB,2 VGDEsVGAB,且相似比为1：2,A G=2GD,BG=IGE.图 3.2-4设A。、CT交于点Gl 同理可得,AG=2GD,CG=2GF.则G 与G，重合，AD.BE、CE交于一点，且都被该点分成2:1.三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心.三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.（如图3.2-5）例 2 已知VABC的三边长分别为8C=a,A C=仇48=c,I 为VA8C的内心,且 I 在 7 A B e 的 边 8C、AC、A B 上 的 射 影 分 别为D、E、F,求 证：，-b+c-aAE=AF=-.2证明 作VA8C的内切圆，则。、E、歹分别为内切圆在三边上的切点，QAE,A尸为圆的从同一点作的两条切线，AE=AF,同理，BD=BF,CD=CE.h+c-a=AF+BF+AE+CE-BD-CD=AF+AE=2AF=2AE即4E=AF=b+c-a2例 3若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形.已知求证证明0 为三角形A8C的重心和内心.三角形ABC为等边三角形.如图，连 A。并延长交6 c 于。.Q。为三角形的内心，故AO平分B8AC,=（角平分线性质定理）AC DCQ。为三角形的重心，。为8 c 的中点，即BD=DC.An =1,即 4B=AC.AC同理可得，AB=BC.V4BC为等边三角形.三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图3 2 8）例 4求证：三角形的三条高交于一点.已知 VA8C中，A0 ABe于AC于与6 E 交于4 点.求证 C A AB.证 明 以C”为直径作圆，QADA BC,BE 人 AC,?HDC?HEC 90,D、E 在 以 为 直 径 的 圆 上，?FCB DEH.同理，E、D 在 以 A B 为直径的圆上，可得?BED BAD.?BCH BAD,又 VA8O 与 NCBF 有公共角 DJ5,?CFB?ADB图 3.2-99 0 ,即。人 AB.过不共线的三点A、B、。有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O 为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.练习11.求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形.2.(1)若三角形ABC的面积为S,且三边长分别为a、b、c,则三角形的内切圆的半径是；(2)若直角三角形的三边长分别为以b、c(其中c 为斜边长)，则三角形的内切圆的半径是.并请说明理由.