高中数学双曲线高考考点解析及例题辅导.pdf

El维曲线一双曲线高考要求；掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质.知识点归纳？L双曲线定义：到 两 个 定 点F i与 出 的 距 离 之 差 的 绝 对 值 等 于 定 长（1 6 巳1）的点的轨迹（|P K|-|P F2|=2a l）时,这个动点的轨迹是双曲线。这定点叫做双曲线的焦点，定直线/叫做双曲线的准线。2。双曲线图像中线段的几何特征：/实轴长A A =2 a,虚轴长2 b,焦距旭=2 c.顶点到焦点的距离：|A 闿=%居|=，-4，|4 居|=%周=4 +。/顶点到准线的距离：2 2=|A2K二 a-；A K j =|A2 K 4=a+焦点到准线的距离：2 2|五 阕=|同 卬=C：或 屣 2|=优 岗=+9Q 2两准线间的距离：因 七|=%A P 大尸2 中结合定义|尸周一|尸尸2 卜 2”与余弦定理cos/F/B，将有关线段|P 用、|明、忻产2 1 和角结合起来，=/c o t NE尸.离心率：0=旭=+小（1,+8）PM P M2 A 4 4K2 a a1焦点到渐近线的距离：虚半轴长2 b2 b2 b2通径的长是，焦准距一，焦 参 数 一（通径长的一半）.a c a其中=/+/p闻 _ 归 引=2 a,3。双曲线标准方程的两种形式：二 一=1,c=la2+b2,焦点是 F|(c,0),尸2(以 0)a2 b2 一0=1,c=ya2+b2,焦点是 Fi (0,-c)、F2(0,c)a2 b24双曲线的性质：二 一 二=1（q 0,b0）a2 h2范围：xa,y WR对称性：关于x、y轴均对称，关于原点中心对称顶点：轴端点A （a,0）,A2（a,0）渐近线：若双曲线方程为 j 4 =l n渐 近 线 方 程 三 一 二=0=y=-xa2 b2 a2 b2 a若渐近线方程为y =2 x n 2 =0=双曲线可设为之一4二九a a b a b2 2 2 2若双曲线与 一4 =1有公共渐近线，可设为0 4 =九（九 0,焦点在X轴上，a2 b2 a2 b2入 0,焦点在y轴上）特别地当a =b时=离心率e =痣。两渐近线互相垂直，分别为y=x,此时双曲线为等轴双曲线，可设为2 丁2=九；）,=2 X，y=-Lxa a焦半径：|P G|=e（x +-）=e x +a,（点 P 在双曲线的右支上x 2。）；PF2 =e（x）=ex-a,（点 P在双曲线的右支上x 2 a ）；当焦点在y 轴上时，标准方程及相应性质（略），与 双 曲 线=1 共渐近线的双曲线系方程是一一斗=4（人 0）.a2 b2 a2 b22 2 2 2与双曲线I-斗=1 共焦点的双曲线系方程是 4-=1.a2 b2 a2+k b2-k题型讲解；例 1 根据下列条件，求双曲线方程:（1）与双曲线匕二=1 有共同的渐近线，且 过 点（一3,2 百）；9 1622（2）与双曲线二一汇二1 有公共焦点，且 过 点（3 7 2 ,2）o1 6 42 2分析：设双曲线方程为0 二=1,求双曲线方程，即 求a、b,为此需要关于a、ba2 h2的两个方程，由题意易得关于。、b的两个方程.2 2解法一：（1）设双曲线的方程为 j 二=1,a2 b2由题意，得432(22、9 、解得。=,b=44丫 2 v2所以双曲线的方程为J -二 二L9 442 2(2)设双曲线方程为三一二=1。a2 b2由题意易求c=2百0又双曲线过点(3后，2),又+户=(2 6)2,：.a2=U,户=&2 2故所求双曲线的方程为-匕 二1。1 2 82 2解法二：Q)设所求双曲线方程为二 一 乙=4(4#0),9 1 6将点(一3,2石)代入得乂=工，4所以双曲线方程为/二 一v匕2=1L9 1 6 42 2将 点(3痣，2)代入得k=4,所 以双曲线方程为二一匕=1。1 2 8点评：求双曲线的方程，关犍是求。、b,在解题过程中应熟悉各元素(。、b、c、e 及准线)之间的关系，并注意方程思想的应用,若已知双曲线的渐近线方程axby=O,可设双曲线方程为afb 2 yJ 4 (a W O)0,/.0 l/?l l 0,/.1 5 加2(x解得0 府|好，5即机的取值范围为(一旦,0)u(0,旦),5 5评述：本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识，考查了逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力.解决此题的关键是用好双曲线的定义，例 3 已知a d 0 川，设讨论随a 值的变化，方程x2 s i n a+y2 c o s a=l 表示的曲线形状.解：a=0 时，两直线y=l 和 y=-1;(2)a=n 启时,两直线x=l 和 x=-1;(3)0 a n/2 时;焦 点 在 x 轴上的椭圆；a=n/4 时，半径为V5的圆；(5)n/4 a n/2 时，焦点在y 轴上的椭圆；(6)n/2 a n 时，焦点在x 轴上的椭圆。点评：本题主要考查椭圆双曲线方程的形式和分类讨论思想。例 4 一双曲线以y 轴为其右准线，它的右支过点M Q 2),且它的虚半轴、实半轴、半焦距长依次构成一等差数列，试求：双曲线的离心率；(2)双曲线的右焦点F 的轨迹方程；(3)过点M,F 的弦的另一端点Q 的轨迹方程。解：(1)依题意，2 a=b+c,/.b2=(2 a c)2=c2a2,5 a24 a c=0,两边同除以a)得 e =*;4(2)设双曲线的右焦点F(x,y),由双曲线的定义，点M到右焦点的距离与点M到准线的距离之比为e=-,4.7u-D2+(y-2)2 5 -=,1-0 42 5F 的轨迹方程为(x l)2+(y 2)2=o1 6(3)设Q(x,y),点Q到右焦点的距离与点Q到准线的距离之比为皿5 x4又设点F(xi,yj,则点F分线段Q A的 比 为 旦 匕=皂：9=x,F M 4 4x +x x 1 2 x y +x x 2 2x+yx i=-=-,y i=-=-/1 +x 1 +x 1 +x 1 +x代入区1)2+(力-2)22=52整理得：1 6点 Q 的轨迹方程为 9 x2 1 6 y2+82x+6 4 y 5 5=0.例5已知双曲线的方程为-y2=1,直线/通过其右焦点F2,且与双曲线的右支交4A、B两点，将A、B与双曲线的左焦点F i连结起来，求|F i A|RB|的最小值,解：设 A(X i,y 0,B(X 2,y 2),A到双曲线的左准线x=-La2 =一 三4 的距离d=|x i+；4|=x i+三4,C 0,则焦点在x 轴上，若求得4 0）的左、右焦点，过耳且垂直于X轴的直线与a b双曲线的左支交于A、B两点，若A 4 8%是正三角形，那么双曲线的离心率为（）A.V 2 B.V 3 G 2 D.3答案:B3。过点（2 -2）且与双曲线彳一 V=1有公共渐进线的双曲线是（）2 2A -=12 4B.2 2 2 2 2 2X V 厂 X ,X V-=1 G-=1 I-=14 24 22 49答案：人解析：设-y22=4,代入求X2 24如 果 双 曲 线 -一 上=1上一点P到它的右焦点距离是8,那么点P到它的右准线的距离是64 3 6N 107G 2A/73 2D o 5答案:d 解析:点P右支上.x25 已知名，f2是 双 曲 线 彳-/=1的左、右焦点,p、Q为右支上的两点，直 线P Q过 尸2,且倾斜角为a,则|P用+|。周一|尸0的 值 为（A。4A/2a 8G 2V2d 随a的大小变化答案:A解析：用双曲线定义列方程可解6.过双曲线2/-丁 2 一2 =0 的右焦点作直线/交曲线于人、B 两点，若 4 8|=4则这样的直线存在（）A.0 条 条 G2条 0 3条答案:d 解析：/1 x 轴时的焦点弦长AB=4 最短为通径，故交右半支弦长为4的直线恰有一条;过右焦点交左右两支的符合要求的直线有两条.1 xl xl y27。直线y=x+5 与曲线+匕=1 的交点个数是（）3 9 2 5A.0 个 个 G 2 个 D13个。答案：口解析:（0,5）点为完整双曲线和椭圆的极值点，故 y=5 为其切线，当直线斜率不为0 时,直线必与每个曲线交于两点。&P为双曲线二 二=1 上一点,K为一个焦点，以 尸鸟为直径的圆与圆/+/=/的a b位置关系为（）A.内切 B.外切 G内切或外切 d无公共点或相交.答案:C 解析：用两圆内切或外切的条件判断9。设。e（0,2），则二次曲线/c o t。一/t a n。=1 的离心率的取值范围是（）4.。，51 V 2 /后 XB u (-,2)G (V 2,+8)D o吟,扬冰心V t a n +c ot 0 r,r r答案：c 解析：e=-1-=V 1 +c ot 0V t a n 2），贝 l j 有 X i+2=-2-k2由已知 *=巧,=1 (=2,解得 k=1。2k2-2又 =1 时，J=1 6 0,从而直线AB方程为xy+l=0。（2）证明：按同样方法求得=2,而当k=2时，4V 0,所以这样的直线不存在，25。双曲线k F 丁=1,右焦点为F,斜率大于0的渐近线为/,/与右准线交于A,必与左准线交于B，与双曲线左支交于C,若 B为AC的中点，求双曲线方程.解:由题意出 0,渐近线方程/为产VTx,准线方程为x=土,，于是A （,亚）,kc kc kc直线FA的方程为 广历X”,于是8（-Ll-k c2 kc+kc2ykc(kc2-1)3 3+kc2由 B 是 A C 中点，则 XC=2XB-XA=一，yc=yByA=-7=-；-kc 4kckc2将玄、代入方程 kx2y2=1,得 k2c41 0攵 J+25=0a解得4（1+_1）=5,则 A=4 所以双曲线方程为4/一尸=1.k