高考数学重点难点：数列的通项与求和.pdf

难点1 3数列的通项与求和数列是函数概念的继续和延伸，数列的通项公式及前 项和公式都可以看作项数的函数，是函数思想在数列中的应用.数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前项和&可视为数列 a的通项 通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一，与数列极限及数学归纳法有着密切的联系，是高考对数列问题考查中的热点，本点的动态函数观点解决有关问题，为其提供行之有效的方法.难点磁场()设 为 是正数组成的数列，其前项和为S”并 且 对 于 所 有 的 自 然 数 与2的等差中项等于S,与2的等比中项.写出数列 四 的前3项.(2)求数列%的通项公式(写出推证过程)(3)令 b”=：(L+-)(e N*),求 l i m (61+62+63+6”一).2 a“all+l 5 案例探究例1已 知 数 列 是 公 差 为 的 等 差 数 列，数列 九 是公比为g的(g d R且g W l)的等比数歹!若函数；(x)=(x 1)且 s=y(d 1)，a3=f(d+l),h=j(q+),b?三 氏(1)求数歹lj a 和b,的通项公式；(2)设数列&的前项和为S“，对一切“G N*,都有?+?+l=a,用成立，求 的 上 见.仇 b2 J T8 S2 n命题意图：本题主要考查等差、等比数列的通项公式及前项和公式、数列的极限，以及运算能力和综合分析问题的能力.属级题目.知识依托：本题利用函数思想把题设条件转化为方程问题非常明显，而(2)中条件等式的左边可视为某数列前项和，实质上是该数列前n项和与数列 a,的关系，借助通项与前项和的关系求解金是该条件转化的突破口.错解分析：本题两问环环相扣，(1)问是基础，但解方程求基本量勿、仇、d、q,计算不准易出错；(2)问中对条件的正确认识和转化是关键.技巧与方法：本题(1)问运用函数思想转化为方程问题，思路较为自然，(2)问“借鸡生蛋”构造新数列 4 ,运用和与通项的关系求出d,丝丝入扣.解：(1):41-J d-1 )=3 2)43 M d+1)=/，的 一 a 1 ;/(d-2)2=2 4,:d=2,勿 一l)r f=2(-1)；又，刁(q+l)=q?,1 )=(q2)2,义一=/,由夕 R,且夕W1,得,=-2,b q：.bn=b 尸=4 (-2)i 令?=d,则 d、+d2+d产%+i,5 仁 N*),bn 力=o+i a =2,，%=2,即 c=2 b=8 (2)I .$=1(2)”.bn3.S2,用 1一(_2严(V产+2-S2”1-(-2产里$23 例2 设4为数列%的前项和，4=二(%1)，数列 九 的通项公式为4,=4+3;2(1)求数列。“的通项公式；(2)把数列 斯 与 瓦,的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列，证明：数列 4 的通项公式为6/=32),+1;(3)设数列 4 的第n项是数列 0 中的第，项，8,为数列/,的前厂项的和；。“为数列 4 的前n项和，7“=SD,求im T、.(%)命题意图：本题考查数列的通项公式及前项和公式及其相互关系；集合的相关概念，数列极限，以及逻辑推理能力.知识依托：利用项与和的关系求。是本题的先决；(2)问中探寻他“与伯”的相通之处，须借助于二项式定理；而(3)问中利用求和公式求和则是最基本的知识点.错解分析：待证通项dn=32 n+与an的共同点易被忽视而寸步难行；注意不到r与 的关系，使T“中既含有”,又含有公 会使所求的极限模糊不清.技巧与方法：(1)问中项与和的关系为常规方法，(2)问中把3拆解为4-1,再利用二项式定理，寻找数列通项在形式上相通之处堪称妙笔；(3)问中挖掘出与r的关系，正确表示斗，问题便可迎刃而解.33解：(1)由/小彳“一1)，可知 4+i=A(a“+|1)，2 2.an+an=(a+23.求通项常用方法作新数列法.作等差数列与等比数列.累差叠加法.最基本形式是：1+。.2)+(。2一归纳、猜想法.4.数列前n项和常用求法重要公式1 +2+,+=g (+1)12+22+/=(/;+1)(2+1)61 +2、,+7?3=(1+2+=/(+1)24等差数列中Sm*Sm+Sn+mnd，等比数列中Sm廿S+q S后S,n+q Si.裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数和，即 4 4 +1)一/()，然后累加时抵消中间的许多项.应掌握以下常见的裂项：-1 -=-1-1-,!,=(z +,-1-=ctga-ctg2个a,(77 +1)勿+1 sin 2 aC“T=C+I_C -=-_ _ _-等 (+1)!n(+1)!错项相消法并项求和法数列通项与和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法.歼灭难点训练一、填空题1 -/*1.()设 z=(-),(N ),记 S产 I Z2Z|+I Z3Z2 I +I z“+z I ,则 lim S?=_.2 M-0 02.(*H 乍边长为。的正三角形的内切圆，在这个圆内作新的内接正三角形，在新的正三角形内再作内切圆，如此继续下去，所 有 这 些 圆 的 周 长 之 和 及 面 积 之 和 分 别 为.二、解答题3.()数列%满足。|=2,对于任意的“GN”都有 aO,H(M+1 )a2+a a+%+/=0,又知数列/),的通项为b=2 +1.(1)求数列 斯 的通项。”及它的前n项和S”；(2)求数列 瓦 的前项和3(3)猜 想&与 7 的大小关系，并说明理由.4.()数列。“中，0=8,44=2 且满足 a/M.2=2a+i 成立？若存在，求出”的值；若不存在，说明理由.3 25 .(*)设数列。的前项和为S ，且%=0+1)一.对任意正整数都成立，其中加为常数，且 1.(1)求证：斯 是等比数列；(2)设数列 4 的 公 比q=/(m),数 列 ，,满 足：a i,b“=/S“-i)(2 2,e N*).试 问 当m为何值n 寸，l i m(bn-l g C O W006 .(*)已知数列 6 是等差数列，仇=1,仇+历+瓦0=1 4 5.(1)求数列 4 J 的通项儿;(2)设数列3 的通项o“=l o g“(l +-!-)(其中 0 且 a W l),记 S,是数列%的前n项和，试比较S”与 L o g 也+1为3的大小，并证明你的结论.7 .(*)设数列%的首项。尸1,前项和 S”满足关系式：3/Sn-(2/+3)S-1=3/(/0,z 7=2,3,4-).(1)求证：数列%是等比数列；(2)设数列 a”的公比为/，作数列 设,使 仇=1 力=八一!一 )(=2,3,4)，求数列 b“的通项6”：bn-(3)求和:bib?b2 b3+b3 b4-+b2rl-也2 62 nb2 Hl.参考答案难点磁场解析：由题意，当”=1 时，有 用 工=2 店，S=a”%；2 =,解 得 m=2.当=2时，有；2 =,5 2=。1+牝，将。尸2代入，整理得(例一2 =1 6,由。2 0，解得色=6.当=3 时，有“3 ；2=12 s3,$3=。1+。2+。3，将 0=2,。2=6 代入，整理得(%2)2=6 4,由。30,解得的=1 0.故该数列的前3 项为2,6,1 0.(2)解法一：由(1)猜想数列。“.有通项公式。“=4-2.下面用数学归纳法证明他“的通项公式是=4-2,(W N*).当”1 时,因 为 4 X 1 2=2,又在中已求出q=2,所以上述结论成立.假设当=k时，结论成立,即有勾=4-2,由题意，有 竺 尹=国,将 q=4-2.代入上式，解得2卜=阿 ,得&=2 后 由题意，有 骰 型=阿 二，Sk+i=Sk+ak+i,将 i=2 后代入得(4卢 广=2(即|+2*),整理得依/一4必+4 16%2=0,由4+0,解得仅+尸2+4%,所以以+|=2+4&=4(左+1)2,即当=左+1 时，上述结论成立.根据，上述结论对所有的自然数N*成立.解法二：由 题 意 知=2 =J W，(6N*).整理得，S“=L(%+2 9,由此得$“+=!3向+2)2,.”“+1=$“+S,产L2 丫 8 8 8(a+2)2 (%+2)2 .整理得(依+4)(%+恁-4)=0,由题意知 a+aW0,a,产 4,即数列 4 为等差数列，其中。尸2,公差d=4.a=4+(-1)=2+4(/?1),即通项公式为。二 4 一2.解法三：由已知得色=属；,(e N*)，所以有“+；+=J 2 S“+1,由式得工+1 -：“+2=J 2 S“+1 ,整 理 得 S+1-2 V2 瓦+2 -S”=0,解得瓦=6 土 区，由 于 数 列%为 正 项 数 列，而历=五,.疯+小1 正，因 而 疯:=&+回，即 S“是 以 何=7 1 为首项，以 应 为 公差的等差数列.所以 V2 +(!)/2 =V2 ,S=2M2,故an=2,5=1)Sn-Sn-=4/7-2,(n 2)即。=4-2(N ).(3)令c=bn-,则 c,产1 (马包+3 一 2)2 a%+1 r.2/?+1 八 Z2H-1 八】1 1=-(-1)+(-1)=-,2 2-1 2 +1 2/?-1 2 +1h+b2+bn-n=cl+C 2 +c=(1-)+(-)+(-)=1 3 3 5 2/7-1 2/7+1 2A?+1*l i m(4+b2 T-F bn-n)=l i m (1 -)=1 .w-c c w-0 0 2 +1歼灭难点训练一、1.解析:设C =|.一”日(?严(?)1=(孝 严,2.r s 1 2 +V2则,=丁 正2答案：1+匕22.解析：由题意所有正三角形的边长构成等比数列 为,可得。产 券，正三角形的内切圆构成等比数列%,可得r=A/3 1.,.这些圆的周长之和c=l i m 2+%)=豆 况/,-0 0 2面积之和 S=l i m 71(w2+r22+rw2)=an-oo 9答案：周长之和女叵 面积之和二/2 9二、3.解：(1)可 解 得&包=，从而。二2，有 S4二 2+,an n+1(2)刀 尸2+一1.(3)-S=2 一 2-L 验证可知,=1 时，7 S,=2 时石VS2；=3 时，73 Vs 3；=4 时，T4 Vs噌=5 时，r5 S5；=6 时 S6.猜想当2 5 时，Tn Sn9 即 2 /+1可用数学归纳法证明(略).4.解：(1)由。+2=2。+一%=。+2%+1=%+1一%可知 仇 成等差数列，d=2,。,尸 10 2 .4-1(2)由 仇=10 2 2 0 可得 n W 5,当 时，Sn=w2+9w ,当 n 5 时，S=9+40 ,故一 2 +9 1 w 5()”n(12 an)n(2 n+2)2(+1)-T=b +b2+-+hn=(l-)+(|-1)+-+(-)=0,n n 5 要 使 北 卷 总 成 立 需2 2 2 3 n A?+1 2(+1)3 2 3 27尸工成立，即机 8且;ez,故适合条件的冽的最大值为7.45魂 军：(1)由已知S+i=(?+l)一加4向，S“=(?+l)一，由一，得斯+i=mam*+i，即(加+1)为+二 加。对任意正整数都成立.;加 为常数，且加 一1 皿=上一，即 上一 为等比数列.%团 +1%当=1 时，a=m-ma,/.(7=1,从而 6户工.由知9(“)=品；也=颁1r)=言 看(；且 心2).,*=14 ,即.-=1,二 为等差数列=3+(-1)=+2,2 b .i bn%bn bn,”出心)/mM-l .m ,m=g T，m+1 tn H-11 1 1 1 、1-F H-)=14 5 n+1 +2尸,l i m(-l g aw)=l i m 一 800而 l i m 3(b 也 2 +b2 b3 +bn_bn)=l i m 3(-+X)8 3 4i,m ,ni 1 0由 逾意加I g-=1,.-=1 0,=-m +1 m+1 9仇=16.解：设数列也 的公差为d,由题意得：10(10-1)解得6=1,g 3,10Z)1 +-d=145bn=3 n2.山瓦尸3 -2,知 5=loga(1+1)+log(1 +7)+,+1og(1 +o 1.)43-2=log“(l+l)(l+-)-(l+1),lo g“6“+i=log“M3+l.4 3-2 3因此要比较S,与lo g/“+i的大小，可先比较(1+1)(1+!)(1+一)与 间 工I的大小,3 4 3 一 2取=1时，有(1+1)必3+1取 =2 时，有(1+1)(1+3 2 +1 4由此推测(1+1)(1+L)“(1+!)，3+1 4 3-2若式成立，则由对数函数性质可判定：当 1 时，S；10gA+l,当 0 a 1 时，S W+1 .那么当 n=k+时，4 3 k-2(皿。+%(+)。+5)用。+含)=(弘+2).,必3%+1*/-3月+19s+4-(3 k+1)2J 由己出 空 瑞 警 包 0,.弋:1(3%+2)W+4=,3(1+1)+1因而(1+1)(1+：)a+)(1+”)廊而有这就是说式当n=k+l时也成立.由(i)(ii)可知式对任何正整数n都成立.由此证得：当 a 1 时，S|log“b“+i；当 0 a 1 时，Sn；log也+i7 魂 平：(1)由5=。尸1,52=1+。2，得 3，(1+。2)(2/+3)=3/.72=2Z+33/a?2/+3，二 3 t又 3/5-(2 r+3)S-l=3/,-(2 7+3)5-2=3，一得 3f=1+-(M-1)=-；3 3 由 6=等L可知和 坛,是首项分别为1 和g，公差均为1的等差数列，于是必产出手,：.b b2 b2b3+b3b4-b4b5+i岳 一b2nb2n+1=勿(一63)+64(63 65)+/)2(岳 -1 一砥用)=4(/儿f+61+f 4 1 /5 4/7 +1、4 zn 2.o +庆”)二一一 /?(+-)=(2/7+3/?)33 2 3 3 9